Явное выражение псевдообратной лапласиана двудольного графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЯВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ПСЕВДООБРАТНОЙ ЛАПЛАСИАНА ДВУДОЛЬНОГО ГРАФА

Блюмин С.Л., Миловидов С.П.

(Липецкий государственный технический университет,

Липецк)

[email protected]

Получено явное выражение псевдообратной лапласиана полного невзвешенного двудольного графа, опирающееся на полученное ранее явное выражение псевдообратной матрицы инцидентности такого графа и отличающееся от известных методов псевдообращения лапласиана, использующих собственные или сингулярные числа и векторы.

Ключевые слова: двудольный граф, матрицы смежности, валентностей, инцидентности, сопротивлений, лапласиан, псевдообратная.

Введение

Графы как математические модели пространственной структуры больших дискретных распределенных систем широко используются в самых разнообразных областях, например, в теории управления организационными (активными) системами [5], в проблематике (пассивных) многоагентных систем [10] и др.; в частности, двудольные графы моделируют транспортные [1, 4] и электроэнергетические [3, 6, 8, 9] системы, используются в математической физике и химии [6, 8] и др. Графы представляются характеризующими их матрицами смежности А, валентностей V, инцидентности В и лапласианами Ь, связанными соотношениями [7] Ь = V - А = В-ВТ.

В ряде упомянутых приложений используются псевдооб-ратные [2] некоторых из указанных матриц. Так, в [4] путём

систематического использования формулы Клайна псевдообращения блочных матриц [2] получено, явное выражение псевдо-обратной В+ матрицы инцидентности В полного невзвешенного двудольного графа как матрицы условий транспортной задачи (см. также [1, 2]). В [6, 8] использовано основанное на диагональном разложении [2] лапласиана Ь представление его псев-дообратной Ь , а в [9] предложен основанный на соотношении Ь = V - А и «^РО-разложении [2] лапласиана Ь двудольного графа алгоритм вычисления его псевдообратной Ь+. Результаты [6, 8, 9] приводят к выражениям, содержащим собственные или сингулярные числа и векторы лапласиана.

Цель данной работы: опираясь на явное выражение В+, соотношение Ь = В-Вт и некоторые свойства псевдообратных, получить явное выражение Ь+.

1. Некоторые матричные соотношения

Пусть V = к + т вершин и г = к-т ребер полного невзвешенного двудольного графа занумерованы так, что его матрицы имеют следующую блочную структуру:

А =

V=

ь =

в =

0

Jm

кхк

JI

кхт

= А1

т ■ I,

кхк

0к

кхт

к ■ /

т ■ I

- Jm

кхк

- J.

кхт

к ■ I.

= Vі,

- І„х„ -1

J

к к ли...

-1

л

к к (т)

тх к тхк *** тхк

Здесь 0 = [0] и J = [1] - матрицы соответствующих размеров, состоящие из нулей и единиц, I - единичные матрицы соответствующих порядков;

0

к

тт

0

к

т

к

^тхк, / = 1, -,ш, - матрицы, /-я строка которых состоит из единиц, а остальные элементы - нули, так что ^ = ЛтУк .

Далее также используются матрицы:

Лк2т = ( Т/!к )Т, /-й столбец которых состоит из единиц, а остальные элементы - нули, так что

[ Лк!.ш Л1

кхш ’

рк = Рк = к • (Лк - v • 1к), так что рк = к 2 •^ 2 • 1к -(у+ш) • Лк)

(здесь и далее квадратные матрицы снабжаются одним нижним индексом),

Рк • Г • Ткхш = ~Г • Ткхш’ Г • Тшхк ' Рк = ~Г ' Лш

^кхш

так что

т

шхк к

ок1.ш =ш • ^ • 41- Лк!ш х оШ! к=(ок)ш)Т,

У.к ’

уш 0(/) = г • т уш 0(/) = г • т

£и/=1*~'кхш кхш ’ ^и/=1^-'шхк шхк ’

1,'=1 01к • 0к)ш = Г • Ш • (V2 • 1ш - (V + к) • Лш) .

2. Явное выражение псевдообратной лапласиана

Явное выражение матрицы Ь+ можно получить, используя формулу Клайна псевдообращения блочных матриц [2]. Менее громоздким является его получение с использованием найденного в [4] явного выражения матрицы

Р 0(1)

Р 0(2) к к ! ш

1

в+ =

V • г

Р 0(т)

к к ! ш

из которого, в силу свойств псевдообратных [2], следует

Г = (В • вТ) + = (В1 ) +• в + = (В+ )Т • в+ = Р 0( 1)

к г^кхш

V • г

Рк

0(1)

Рк

Рк

0( 2) 0(ш)

V • г

Рк 0(2)

куш

Рк

22 V • г

т • Рк2

Рк • (

т

(!Ш=10(1к) • Рк т* 0ШИк • 0

к

0(/) ) ^и/=1*'-' к*ш'

(/) Скхш

0(ш) *~-куш.

С учетом вышеуказанных соотношений между фигурирующими здесь матрицами явное выражение псевдообратной лапласиана может быть записано в виде

Ь+ =

1

22 V • г

г • к • (V • 1к - (V + ш) • Лк) - г 2 • л

шук

- г2 • Л

г •ш • <У2 • 1ш - & + к) • тш)_

Непосредственно проверяются соотношения Мура-Пенроуза [2], определяющие псевдообратную матрицу:

Ь • Г = (Ь • Г )Т = Г • Ь = (Г • Ь)Т =

шук

куш к • 1_

•Ь+ =

v • 1к - тк

-

шук

Ь • (Ь+ • Ь) =

= I — Л

V

1

1

1

хш

" ш • Тк - ткуш " 1 V • ^ Тк Ткуш =Ь

- Т к • I _ ° шук Л 1 ш _ V _ Тшук ^ ^ш Тш _

(Ь+ • Ь) • Ь+ = 1

V

V • 1к Тк Ткуш

шук

V • I - Т

шш

• ь+ = ь+ .

Заключение

В качестве одного из приложений можно получить явное выражение матрицы сопротивлений Я [6, 8, 9] рассмотренного графа, элементы которой определяются по формулам

г. = (Ь)// + (Ь), - (Ь). - (Ь)., / *

г, = 0,1 =1,..., v, так что Я симметрична и имеет нулевую диагональ.

Из выражения для Ь+ следует, что

2

для к +1 < /, . < ш : г =—;

. к

1 1 1

для 1 < / < к, к +1 < . < ш : г. = — +----------------------------

1 к ш к • ш

V -1

так что

Я =

2 • ( л -1 ) v 1 • л

\° к 1к) ° куш

шг

V -1 2

-_-• Т —• ( Т - Т )

шук ш ш

гк

Предложенные в [6] явные детерминантные формулы для вычисления элементов г . матрицы сопротивлений произвольного графа,

г. = ёй Ь(/, 1)/ ёй Ь(/),

г

где подматрицы L(i) получены из L вычеркиванием i-х строки и столбца, а L(i, j) - i-х и j-х строк и столбцов, согласуются с указанными выше для случая полного невзвешенного двудольного графа.

Литература

1. БЛЮМИН С.Л., МИЛОВИДОВ С П. Обратные задачи динамики и динамические транспортные задачи // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1987. № 5. С. 209 (М.: ВИНИТИ, 1985. № 7527-В85 Деп. - 56 с.).

2. БЛЮМИН С.Л., МИЛОВИДОВ С.П. Псевдообращение. Воронеж: ВПИ-ЛПИ, 1990. - 72 с.

3. ВЕРЕНИКОВ В.А. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики. М.: ВШ, 1981. -288 с.

4. МИЛОВИДОВ С.П. Псевдообращение матрицы условий транспортной задачи. М.: ВИНИТИ, 1982. № 6027-82 Деп. - 25 с.

5. НОВИКОВ Д.А. Теория управления организационными системами. М.: МПСИ, 2005. - 584 с.

6. BAPAT R. Resistance distance in graphs. Math. Stud. 1999. № 68. - Рр. 87-98.

7. GODSIL C., ROYLE G. Algebraic Graph Theory. NY: Springer, 2001. - P. 439

8. GUTMAN I., XIAO W. Generalized inverse of the Lapla-cian matrix and some applications. Bull. Acad. Serbe. 2004. T. 129, № 29. - S. 15-23.

9. HO N., VAN DOOREN P. On the pseudo-inverse of the Laplacian of a bipartite graph. Appl. Math. Lett. 2005. Vol.18, No 8. - Pp. 917-922.

10. OLFATI-SABER R., FAX A., MURREY R. Consensus and cooperation in networked multi-agent systems. Proc. IEEE. 2007. Vol. 95, No 1. - Pp. 1-17.