Якісні методи дослідження коректності розв'язку в математичній моделі нелінійних коливань напівнеобмежених пружних тіл Текст научной статьи по специальности «Математика»

Баран М.М., Васькович И.М. Зависимость энергии электронных состояний, локализированных на краевой дислокации, от концентрации доноров

Исследован энергетический спектр электронных состояний, локализированных на краевой дислокации в модели, которая учитывает как электростатическое, так и деформационное взаимодействия между заряженною краевой дислокацией и свободными электронами. Показано, что увеличение концентрации доноров nj приводит к понижению локальных электронных уровней, а энергетическое расстояние при этом между соответственными электронными уровнями увеличивается.

Ключевые слова: электрон-деформационный потенциал, концентрация электронов проводимости, зоны проводимости, краевая дислокация, доноры.

Baran M.M., Vaskovich I.M. Energy Dependence of electron positions located on the edged dislocation from the concentration of donors

Energy spectrum of electron positions located on the edged dislocation in the model which takes into consideration both electrostatic and deformational interactions between charged edged dislocation and free electrons has been researched. It is shown that the increase of concentration of donor nj results in lowering of local electronic levels, and power distance here between corresponding electronic levels grows.

Keywords: electron-deformational potential, concentration of conduction electrons, conduction area, dislocation, donors.

УДК 517.95+534.1 Доц. П.Я. Пукач, канд. ф1з.-мат. наук -

НУ "Львгвська полгтехтка "

ЯК1СН1 МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ КОРЕКТНОСТ1 РОЗВ'ЯЗКУ В МАТЕМАТИЧН1Й МОДЕЛ1 НЕЛ1Н1ЙНИХ КОЛИВАНЬ НАП1ВНЕОБМЕЖЕНИХ ПРУЖНИХ Т1Л

Викладено методику ягасного дослщження розв'язку математично! моделi ко-ливань натвнеобмежених пружних тш. Розглянута система узагальнюе систему не-лшшних хвильових рiвнянь, яка вивчаеться в теори пружностг Отримано класи ко-ректност узагальненого розв'язку - ваговi соболевсьга простори функцш з ягасною поведшкою на нескшченностг

Ключовг слова: нелшшш коливання, нелшшна крайова задача, метод Гальорга-на, метод монотонности необмежена область.

Актуальшсть проблеми та огляд основних результат. Актив1за-щя теоретичних дослщжень вивчення динам1чних явищ у нелшшних коли-вальних конструкщях за ди р1зного роду збурень (силових, шерцшних, кше-матичних) зумовлена як лопкою розвитку динамжи коливальних систем, так й штересами р1зномаштних практичних застосувань. Цю проблему достатньо дослщжено у випадку коливальних систем, що моделюються лшшними ди-ференщальними р1вняннями (див. для прикладу [1]). Зазвичай, таю розрахун-ки не приводять до цшком адекватного вщображення динам1чних явищ, ос-кшьки процеси в реальних системах не може бути описано в термшах вик-лючно лшшно! теори. Усе це призводить до зниження цшносп отриманих результата дослщження та до визнання необхщносп проведення розрахунюв на основ1 нелшшно! теорп.

Асимптотичш методи нелшшно! мехашки дали змогу дослщити широкий клас мехашчних коливальних систем для випадку мало! залежносп ам-

плпуди коливань вщ нелiнiйних пружних сил та сил опору [2, 3]. У випадку нелшшного закону пружностi матерiалу, iстотно нелшшно! залежностi ам-плпуди коливань вiд пружних сил та сил опору задача пов'язана з принципо-вими математичними труднощами, оскшьки вiдсутнi загальнi аналiтичнi ме-тоди розв'язування такого класу задач. Яюсш методи загально1 теорп нель ншних крайових задач дають змогу для широкого класу нелшшних коливаль-них систем отримати результати коректносп розв'язку. Вказана методика дае змогу обгрунтувати коректнiсть розв'язку моделi та надат для 11 дослiдження застосовувати рiзноманiтнi наближенi методи. Отож, проблеми якюних мето-дiв дослiдження нелiнiйних коливальних систем е актуальними.

У робот математичну модель нелiнiйних коливань натвнеобмежено-го каната пiд дiею нелшшних сил опору. Подiбнi задачi виникають в рiзнома-нiтних технiчних застосуваннях - щодо коливань трубопроводiв, залiзничних колш, довгих моспв, електричних лшш, оптичних волокон тощо [4-6]. Роз-глянуто математичну модель нелiнiйних коливань, яку описано системою рiвнянь другого порядку

-±( А(х) ^ Щх, г) д-Ц- V Д(х, г) ^ + С(х, г)и +

дг2 дх ^ дх) дх ^ дг) дх

ди

+0(х, г)

дг

р-2 ди

— = F(x,t), р >2 (1)

дг

в необмеженiй за просторовою змшною областi. Система (1) моделюе колив-нi процеси у конвеерних лшях стрiчкового (канатного) типу для випадку ру-хомо1 стрiчки [3]. Рiвняння та системи вигляду (1), як моделюють коливнi процеси у середовищi з опором, вивчають у теорп пружностi (див. для прикладу [7-9]). Задачi для нелiнiйних рiвнянь та систем

А(х) — |+ Q(u) = ^(х,г) (2- нелшшний оператор) у необмежених об-

дг2 дх ^ дх)

ластях розглядали у працях [10-14]. Деякi результати коректносп розв'язку у цих працях отримано в припущеннi певно1 яюсно! поведiнки розв'язку, по-чаткових даних та право1 частини рiвняння (системи) на нескшченносп, iншi результати - без таких припущень. У цш статтi класи коректностi розв'язку мшано! задачi е ваговими соболевськими просторами функцш, що описують якiсну поведшку розв'язку на нескiнченностi. Ця поведшка залежить вiд право! частини системи та початкових даних задачь Отримаш результати пев-ним чином доповнюють [15].

Постановка задачь Формулювання результату. В областi 2т = (0,+ю)х (0,Т), 0<Т <ю розглядаемо для системи (1) мшану задачу з по-чатковими умовами

и(х, 0) = <ро(х), (2)

ди(х,0)

, = 91(х) (3)

дг

та крайовою умовою и(х, 0) = 0. (4)

У crncreMi (1) квадратнi матрицi A, B, B1 та матриця С е дiйсно знач-ними i мають порядок m е N, u = col(u1,...,um), G = col(G1,...,Gm), F = col(F1,...,Fm), <p0 = col(p01,...,p0m), P = col(p1,...,p1m). Розглянемо дат фун-кцiю \ з такими властивостями: (Y) функщя [0,+с) ^ (0,+с) е монотонною при ^ , неперервно диференцшовною функщею, \\(£)| < С\(Е), С > 0. У цш пращ використовуемо простори з ваговою функщею \. Зокрема,

Lr\(0, +c)=ju : J |u|r \(x)dx <+ю> , r е (1,+с)

ILr\(o,+

J |u|r\(x)dx I

H0\(0, +сс)- замикання простору CC(0, +с) функцiй з компактними ношями за

нормою u

1я;-\(0,+«)

г | du J

\(x)dx

. Всюди далi через V' позначено

функцюнальний проспр, спряжений до простору V, || позначае евклiдову норму. Стосовно коефщенпв, правих частин системи (1) та початкових да-них припускатимемо виконання таких умов.

(A) Елементи akl(k,l = 1,...,m) матрицi A - неперервш на [0, +с) функцп, для довiльного вектора <;l = (41,...,4т)е Rm та для майже всiх xе (0, +с) виконуемо умову (A(x)f, > a0, a0 >0.

dbkl dB

(B) Елементи bkl матрищ B та елементи - матрищ — належать до

dx dx

простору If'(QT), k, l = 1,..., m. (B1) Елементи bjkl матрицi B1 належать до простору ILJ(QT) для довшьних к,l = 1,...,m .

(C) Елементи ckl матрищ С належать до If'(QT), k,l = 1,...,m .

(G) Для функцш G,(x,t)(i = 1,...,m) та для майже всх (x,t)е (0, +с)х (0,Т) виконуються умови: Gi(x,t) > g0, g0 = const > 0, |Gi(x,t)| < g1; g1 = const > 0.

(F) F, е Lp'((0,T); Lp>, +с)), p' = p/(p -1), (i = 1,...,m ).

( Ф ) p0i е H\0, +с), <1i е L2\(0, +с), (i = 1,..., m ).

Розв'язком задачi (1)-(4) називаемо таку функцiю щ еС([0,Т];Я\(0, +с)),

де dj- е С ^[0, Т]; ((1\(0, +с) n Lp\(0, +с)) )| n Lp((0, Т); Lp\(0, +с)) (i = 1,..., m ),

яка задовольняе умови (2), (4) та iнтегральну тотожнiсть

J

Qt_ |at at

du d du d

A(x)—,—(v\(x)) - B(x, t)—,— (v\(x)) dx dx dt dx

-J

Qr

B1(x,t) , v\(x)

dx

(

С(^, t)u + G(x, t)

du

3t

p-2

- F

at

л

, v\(x)

dxdt ■

dxdt

+ | I — (х,т), v(x,т)^(x) I dx - | (ы(х), v(x, 0)^(х))х = 0 (5)

0 VдГ 1 0

для довiльного те(0,Т] i для довшьно1 функцп V = ео1(у\,...,vm) тако1, що

е /2((0,Т);Н1°^(0, +<»)) п /р((0,Т);/»(0, +<»)), — е /2((0,Т);/>(0, +»)) (г = 1,...,т ).

дГ

Головний результат роботи: при виконанш умов (Т), (А), (В), (В1), (С), (О), (Г), (Ф). Тодi iснуe единий узагальнений розв'язок и задачi (1)-(4) в област QT, для якого

I

ц/(х$х + I

ц/(х)лхлг <

яр

Р'((0,Т );/>>(0,+м))

-Ы Н

"И

'(0.+

(6)

для довiльного те(0,Т], де С0 - додатна стала, яка залежить вщ р, ^ та ко-ефiцiентiв А, , В1, С, в системи (1).

ОбГрунтування методики. 1снування. Виберемо довшьне фiксоване число Я > 1. Розглянемо в обмеженiй обласп От для системи (1) допомiжну задачу з правою частиною ЕЯ i умовами

и(0, Г) = и(Я, Г) = 0, (7)

и(0, Г) = Ы(х), 8и(0, Г) = ыЯ(х), х е (0, Я), дГ

(8)

де: ыЯ(х) = Ы(х)&(х), ыЯ(х) = ы(х)&(х), & е С1(Я), 0 <&(х) < 1, &(х) = 1 при х < Я -1, &Я(х) = 0 при х > Я , ^Я(х, Г) = Дх, Г) при (х, Г) е ОЯ, ^Я(х, Г) = 0 при (х, Г) е ОТ \ ОТ?. Для доведення юнування розв'язку дожмжно! задачi (1), (7), (8) використаемо методику [16, с. 234]. Розглянемо в послщовшсть гальо-

N

ркшських наближень и^(х,Г) = Х Ск(Г)®к(х), N = 1,2,..., г = 1,...,т , {®к} - база в

к=1

Яо(0, Я) п Ьр(0, Я), ортонормована в /2(0, Я), причому функцп С^ визначають як розв'язки задачi Кошi для системи звичайних диференщальних рiвнянь

I

д2^ Л ( дUN ' Л ( дUN -дГт-, ®кИх) I+1А(х)—, ^ ^(х) I+1А(х) -^х"' ^(х)Фк

dx -

( дUN ' Л ( д^ I В(х, Г) -д^-, тк ц/(х) I +1 В(х, Г) -д^-, ц/'(ок

dx -

дUN

В1(х, Г)-+ С(х, Г)и N+ в(х, Г)

дх

ди1

дГ

р-2

диЛ

"д7

Л

- ^Я(х, Г), Юк\//(х)

ЛХ = 0,

= Ы- С&0)

, к = 1,..., N

(9) (10)

N N

ЫN(х) = X Ы>к(х), Ы N(х) = Е (х), к=1 к=1

0

г=1

+

PN-pRlLo(o,R)-o p-pRU-o N—+»•

На пiдcтaвi теореми Кaрaтеодорi [17, с. 54] юнуе неперервний розв'язок зaдaчi Кошi (9), (10), який мае абсолютно неперервну похiднy, виз-начений на деякомy промiжкy [0^ т0], т0 < T . З отриманих дат оцiнок виплива-

—ckN

тиме, що t0=T . Помножимо кожне рiвняння системи (9) на

dt

пiдcyмyeмо

yci рiвняння за k вiд 1 до N та проiнтегрyeмо резyльтaт по промiжкy [От], т < T . Тодi

2

2

2

f duN J ( du\ duNr N

I —(X^T)! +I Ax)—(x^т)• ~~dX~(x*T)

1 r L, duN duN] , , , 1 r --J B(x. t)-•- w dxdt +— J

2 Qr dt dt 2 Qr

r f .. ,duN duN 1 ,, ,

|(x)dx + + J A(x)-•- | dxdt -

Qr I dx dt J

dB(x,t) duN duN

dx dt dt

l(x)dxdt

duN du

du

|(x)dxdt -

+ J B1(x^t)-•- |(x)dxdt J C(x,t)uN•-

qr V dx dt J qr T dt

-IR[A(x)M^P—^Jl(x)dx --2R((x)) W .

dx

J

dUN

fr qu ' dt

l(x)dxdt - J G(x, t)

QT T

du

dt

P-2

du du dt ' dt

l(x)dxdt = 0.

(11)

Врaховyючи нaведенi умови та проводячи оцiнки iнтегрaлiв рiвноcтi (11), подiбно до того, як це зроблено в [15], можна отримати

J! —— (x,t) I |(x)dx + M1JI —— (х,т) I |(x)dx + M2 J

dt

duN

dx

duN

dt

|(x)dxdt <

fdUN f—UN Y ,P'

< M3 J I-I |(x)dxdt + M4 J I-I |(x)dxdt + M5 J FR |(x)dxdt +

QR T dx J QR T dt J ¿R

+M 6 J

dpR'N (X) ^

dx

-(pR N (X))2 + ((N (X) )2

|(x)dx

для вшх т е (0^ T], додатш cтaлi M1-M6 не залежать вiд N. На пiдcтaвi леми Гронуола з (12)отримуемо оцiнкy

R fdUN I2 R fdUN I2

JI —— (x^ т) I |(x)dx + M1JI —— (x^ т) I |(x)dx + M2 J

dx

du

dt

l(x)dxdt < M3 (12)

0 T ^ J 0 T J QR

для вшх 0 < т < T, M3 - додатна стала, яка не залежить вiд N. З нерiвноcтi (12) випливае icнyвaння пiдпоcлiдовноcтi {uNk} с {uN} тaкоï, що

dUNk —UR

uNk — uR * - слабков Lm((0,T);H¿(0,R)),-->- слабков Lp((0,T);Lp(0,R)),

dt

dt

sun sur

-->-* - cлaбкoв L"((0, T);L2(0, R)), при Nk ^œ для дoвiльнoгo R > 1. От-

дt дt

же, uR - рoзв'язoк зaдaчi (1), (7), (S) в oблacтi QR для дoвiльнoгo фiкcoвaнoгo R > 1. Рoзглянемo пocлiдoвнicть oбмежених oблacтей QT (k = 2,3,.. ) для стоге-ми (1) Ta дoпoмiжнi зaдaчi з прaвими чacтинaми Fk i yмoвaми (7), (S), в гаж-нiй з цих oблacтей вiдпoвiднo. Ha пiдcтaвi oтримaних збiжнocтей мoжнa cтверджyвaти: для дoвiльнoгo k = 2,3,... юнуе yзaгaльнений рoзв'язoк uk TaKoï зaдaчi в QT. Пoклaдемo uk (x, t) = 0 при (x, t) g QT\Qk. Отримaнy пocлiдoвнicть рoзв'язкiв зaдaчi (1)-(4) в QT для зрyчнocтi згову пoзнaчимo {ukj. В oблacтi QT рoзглянемo рiзницю u1 - um, 1,m g N, 1 > m > k Ta врaхyeмo, щo F1 -Fm = 0 в QT. Здiйcнивши прoцедyрy регyляризaцiï, oпиcaнy в [16, c. 23S-239], пюля грaничнoгo перехoдy при s ^œ, k ^œ oдержимo, пoдiбнo дo (12), щo

+?f su1 (x,т) dum(x, т) V +"fdu1 (x,т) дum(x,т) V

---dT~ r(x)dx + Jhx---зТ~ Wx)dx+

du1 dum dt dt

p

y/(x)dxdt < + J

Qr

du1 dum dt dt

y/(x)dxdt < C1 J ¿jF/ - Fm|V(x)dxdt +

Qr\Qki=1

^¿l-Р0?1н0-(0,+œ)+ C3glKP^+œ), (13)

де C1, C2, C3 - деякi дoдaтнi cTani, щo не зaлежaть вiд k . Врaхoвyючи фyндa-ментaльнicть пocлiдoвнocтей {Fik}, {pk} i {pk} y прocтoрaх Lp((0, T), Lp>(0, +œ)), H0W(0, +œ), L2,^(0, +œ) вiдпoвiднo, з нерiвнocтi (13) мoжнa oтримa-

{duk ] "dl e

фyндaментaльнoю в C([0, T]; (H^(0, +œ) n L»(0, +œ))'n LP((0,T);L»(0, +œ)). От-

же, uk ^ u гальна в C([0,T];H¿'^(0, +œ)), —-->— галью в

v ' dt dt

C (j0, T]; (H^(0, +œ) n L»(0, +œ)) ] n LP ((0, T); L»(0, +œ)).

При ^oMy фyнкцiя u зaдoвoльняe iнтегрaльнy тoтoжнicть (S), викoнy-

duk du

ютазя yмoви (2), (4). Зayвaжимo, щo 3i cильнoï збiжнocтi —--> — в прocтoрi

Pli ik P Pli ik Pli i P Pli i

LP((0,T ); Lp'¥(0, +œ)) випливae, щo

Lp((0;T);Lp'^(0, +œ)). Прaвильнicть oцiнювaння (6) для u дoвoдитьcя TaK caMo, як oтримaнo нерiвнicть (13).

Сдинють. Якщo u(1) Ta u (2)-двa дoвiльних рoзв'язки зaдaчi (1)-(4), to aнaлoгiчнo дo Toro, як oтримaнo нерiвнicть (14), мoжнa oтримaти

duk p-2 -, k duk du p-2 du

dt dt dt dt

+cfdu1(x,T) dum(x,T)f +C°fdu1(x,t) dum(x,T)V

ij/(x)dx + I I —--I 4/(x)dx -

dt dt j o ( dx dx

du1 dum dt dt

p

y/(x)dxdt < 0

+I

Qt

для Bcix 0 < т < T. Отже, u(1) = u(2) майже CKpi3b в QT.

Отриманi класи юнування та eдиностi розв'язку задачi (1)-(4) е ваговими соболевськими просторами функцш з якiсною поведiнкою при x ^+со. Прикладами вагово! функцп можуть бути i//(x) = (1 + x)a, i//(x) = eex ,a, p = const тощо.

Висновки. Отримано умови коректност розв'язку в математичнiй мо-делi нелiнiйних слабко зв'язаних коливальних систем. Вказана методика мо-же бути застосована також й у випадках коливань тд дiею комбiнованих не-лiнiйних сил пружностi та опору. Отримаш якiснi результата, якi обгрунтову-ють застосування до вказано! задачi методу Гальоркша, надалi при досль дженнi динамiчних характеристик розв'язкiв розглянутих математичних моделей коливань дають змогу застосовувати рiзноманiтнi наближенi методи.

Л1тература

1. Коломиец В.Г. Случайные колебания упругих нелинейных систем с распределенными параметрами / В.Г. Коломиец, Л.М. Порхун // Математическая физика : респ. межвед. сб. науч. тр. - 1968. - Вып. 5. - С. 103-108.

2. Митропольский Ю.О. Асимптотические решения уравнений в частных производных / Ю.О. Митропольский, Б.И. Мосеенков. - К. : Вид-во "Вища шк.", 1976. - 596 с.

3. Союл Б.1. Дослщження нелшшних коливань стр1чок конвеер1в / Б.1. Сокш // Ошташза-щя виробничих процешв i технолопчний контроль у машинобудуванш та приладобудуваннг - 2000. - № 394. - С. 101-104.

4. Santee D.M. Oscillations of a beam on a non-linear elastic foundation under periodic loads / D.M. Santee, P.B. Goncalves // Shock and Vibrations. - 2006. - Vol. 13. - Pp. 273-284.

5. Demeio L. Forced nonlinear oscillations of semi-infinite cables and beams resting on a unilateral elastic substrate" / L. Demeio, S. Lenci // Nonlinear Dynamics. - 2007. - Vol. 49. -Pp. 203-215.

6. Demeio L. Second-order solutions for the dynamics of a semi-infinite cable on a unilateral substrate" / L. Demeio, S. Lenci // J. Sound Vibr. - 2008. - Vol. 315. - Pp. 414-432.

7. Astaburuaga M. Scattering frequencies for a perturbed system of elastic wave equations / M. Astaburuaga, Coimbra R. Charao, C. Fernandez, Perla G. Menzala // J. Math. Anal. And Appl. -1998. - Vol. 219. - Р. 52-75.

8. Duvaut G. Les inequations еn mecanique et en physique / G. Duvaut, J.L. Lions. - Paris: Dunod, 1972. - 236 p.

9. Gurtin M. An introduction to continuum Mechanics / M. Gurtin. - New York : Academic Press, 1981. - 128 p.

10. Agre K. Global solutions to boundary value problems for a nonlinear wave equation in high space dimensions / K. Agre, M.A. Rammaha // Diff. And Integr. Equat. - 2001. - Vol. 14. - Р. 1315-1331.

11. Majdoub M. Qulitative study of the critical wave equation with a subcritical perturbation / M. Majdoub // J. Math. Anal. And Appl. - 2005. - Vol. 301. - Р. 354-365.

12. Pecher H. Sharp existence results for self - similar solutions of semilinear wave equations / H. Pecher // Nonlin. Diff. Equat. And Appl. - 2000. - Vol. 7. - Р. 323-341.

13. Ryo Ikehata. Two dimensional exterior mixed problem for semilinear damped equation / Ikehata. Ryo // J. Math. Anal. And Appl. - 2005. - Vol. 301. - Р. 366-377.

14. Todorova G. Critical exponent for a nonlinear wave equations with damping / G. Todoro-va, B. Yordanov // J. Diff. Equat. - 2001. - Vol. 174. - Р. 464-489.

15. Пукач П.Я. Змшана задача в необмеженш област для слабко нелiнiйного гшербо-лiчного рiвняння 3i зростаючими коефщентами // Математичнi методи та фiзико-механiчнi поля : наук. журнал. - Львiв : Вид-во 1ППММ. - 2004. - Вип. 47. - № 4. - С. 149-154.

16. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.Л. Лионе. -М. : Изд-во "Эдиториал" УРСС, 2002. - 587 с.

17. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. - М. : Изд-во иностр. лит., 1958. - 475 с.

Пукач П.Я. Качественные методы исследования корректности решения в математической модели нелинейных колебаний полуограниченных упругих тел

Изложена методика качественного исследования решения математической модели колебаний полунеограниченных упругих тел. Рассмотренная система обобщает систему нелинейных волновых уравнений, изучаемую в теории упругости. Получены классы корректности обобщенного решения - весовые соболевские простанства функций с качественным поведением на бесконечности.

Ключевые слова: нелинейные колебания, нелинейная краевая задача, метод Га-леркина, метод монотонности, неограниченная область.

Pukach P.Ya. Qualitative research methods of investigation of solution correctness in the mathematical model of nonlinear oscillations of semi-infinite elastic bodies

The technique of qualitative research solution mathematical model of vibrations of semi-infinite elastic bodies is given. The system generalizes the system of nonlinear wave equations, which is studied in the theory of elasticity. Correctness classes of a solution -weighted Sobolev spaces of functions with qualitative behavior at infinity are obtained.

Keywords: nonlinear vibrations, nonlinear boundary value problem, Galerkin method, method of monotony, unbounded domain.

УДК 634.0.377 Викл. 1.В. Бичинюк -Львшський ДУВС

КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА АНАЛ1З НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ Г-ПОД1БНО1 ПРОМ1ЖНО1 ОПОРИ КАНАТНО1 Л1СОТРАНСПОРТНО1 УСТАНОВКИ

Розроблено програму математичного моделювання просторово! конструкцп промiжноi опори на базi системи MSC/NASTRAN для Windows. Оцшено напружено-деформований стан Г-ждабно! промiжноi опори просторово! конструкцп. Представлений аналiз дав змогу встановити небезпечш перерiзи та вузли опори. Визначено внугршш зусилля, яга виникають в елементах опори, та наведено рекомендаци для вибору розмiрiв !х поперечних перерiзiв.

Ключовг слова: комп'ютерне моделювання; напружено-деформований стан; просторова конструкщя; Г-подiбна опора; основш елементи; геометричш параметри.

Канатш люотранспортш установки е основним засобом мехашзацп первинного транспортування деревини в прських умовах [1, 2], а для умов украшських Карпат це багатопрогшш канатш установки. Багатопрогшш канатш люотранспортш установки оснащують пром1жними опорами, яю, зазви-чай, виготовляють з використанням ростучих дерев [1-3]. Однак шд час дог-лядових рубаннях та i у стиглих деревостанах не завжди вдаеться на трас установки знайти ростучi дерева, яю за мщшстю, висотою та дiаметром стовбу-