Ячеечные модели суспензий сферических частиц при разных граничных условиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК: 534.138 OECD: 01.03.AA

Ячеечные модели суспензий сферических частиц при разных

граничных условиях

Казаков Л,И,1*

1 К.ф.-.м.н.. ведущий научный сотрудник, Тихоокеанский океанологический институт им,

В, И, Ильичёва Л ВО РАН, г, Владивосток

Аннотация

Приведены акустические характеристики ячеечных моделей монодисперсных суспензий сферических частиц произвольных концентраций для четырех чаще всего используемых граничных условий на поверхности ячейки. Сравнение расчетных и известных экспериментальных данных показало, что наилучшее их совпадение во всех случаях наблюдается при окружении ячейки тонкой невесомой жесткой оболочкой. Такое граничное условие обеспечивает минимум вязкой диссипации звуковой энергии при малых и умеренных значениях отношения диаметра частиц к глубине проникновения вязкой волны в жидкость. При больших значениях этого параметра вязкие потери минимальны при граничном условии Хаппеля и максимальны при жестких оболочках.

Ключевые слова: ячеечные модели суспензий, сферические частицы, граничные условия, вязкие потери, минимум диссипации энергии.

Cellular models of spherical particle suspensions under different boundary

conditions

Kazakov L.I.1 *

1 K. F.-M. N., leading researcher, Pacific Oceanological Institute named after V. I. Il'ichev FEB HAS,

Vladivostok 9

Abstract

Acoustic characteristics of cell models of monodisperse suspensions of spherical particles of arbitrary concentrations for the four most commonly used boundary conditions on the cell surface are presented. Comparison of calculated and known experimental data showed that the best coincidence in all cases is observed when the cell is surrounded by a thin weightless rigid shell. This boundary condition provides a minimum viscous dissipation of sound energy at small and moderate values of the ratio of the particle diameter to the depth of penetration of the viscous wave into the liquid. At high values of this parameter, viscous losses are minimal under the Happel boundary condition and maximal under rigid shells.

Keywords: cellular models of suspensions, spherical particles, boundary conditions, viscous losses, the minimum energy dissipation.

*E-mail: lev-kazakov@rambler.ru (Казаков JIM.)

Введение

Достоинство ячеечных моделей - возможность их применения для исследования свойств дисперсных сред произвольных концентраций. Но они имеют три существенных недостатка: 1) применимость лишь к монодисперсным средам, когда все включения одинаковы по размерам (радиуса Я), форме и свойствам; 2) упорядоченность структуры, приводящая иногда к появлению нежелательных резонансов внутри ячейки при гармонических колебаниях; 3) неопределенность требуемых условий на границе ячейки, поскольку механизм гидродинамического взаимодействия включений не вполне ясен и неизвестно как задать эти условия,

В литературе использовались разные граничные условия на поверхности ячейки, основанные на эвристических соображениях (каждому условию ниже присвоен номер п):

1, п = 0: жесткая оболочка ячейки, бесконечно тонкая и легкая [1, с, 152, 518];

2, п = 1: условие Квашпина дV©/дr = 0, т.е. минимум тангенциальной скорости по радиальной координате [2, с, 154]; по-видимому, это условие выполняется, по крайней мере, в 12 точках сферической поверхности ячейки - там, где она соприкасается с ближайшими соседними ячейками (при гексагональной плотнейшей упаковке последних);

3, п = 2: условие Хаппеля, состоящее в требовании, чтобы на границе ячейки обращались в нуль касательные напряжения а©г(Я1, в) = 0 [1, с. 447], [3], где Я1 - радиус ячейки;

4, п = 3: условие Кувабары постулирует отсутствие завихренности течения на границе ячейки го^Уг(Я1, в) = 0 [1, с, 450], [4].

1. Акустические характеристики суспензий

Ячеечные модели эмульсий сферических и цилиндрических капель для гармонических колебаний при четырех вариантах указанных граничных условий на поверхности ячейки изучены в работах [5] и [6]. Но там получены лишь низко-и высокочастотные приближения, В работе [7] представлены полные выражения акустических характеристик ячеечной модели эмульсии с жесткими оболочками ячеек п=0

суспензий (п = 1, 2, 3),

Если длина звуковой волны в ячеечной дисперсной среде намного превышает размер ячейки, то такую среду считают «микронеоднородной» с эффективными параметрами - плотностью р (кг/м3), сжимаемостью к (Па-1), скоростью звука с (м/с) и другими [8, с, 56,57], Поскольку при распространении звука в дисперсной среде неизбежны вязкие и тепловые потери, то её параметры суть комплексные частотнозависимые величины:

р(—) = р1(ш)+ гкгМ, (1)

к(—) = к1(ш) + ¿к2(—), (2)

причем их действительные и мнимые части однозначно связаны дисперсионными соотношениями типа Крамереа-Кронига, выражающими принцип причинности [6,

с, 65], [9], Комплексная скорость звука в среде [8, с, 28] с = —=, (м/с), волновое

\]кР

число гармонической звуковой волны к = — = —у'^к), (м-1), где — - круговая частота колебаний. Зависимость переменных от времени £ определим множителем например,

и(¿) = ие и (м/с) - комплексная амплитуда колебательной скорости частицы.

Обычно считают малым относительное убывание за счет поглощения амплитуды звукового давления на длине волны [10, с. 424]." Это означает, что к2 << къ р2 << р\. В таком случае имеют место приближения:

где

к(ш) = к1(ш) + ж2(ш)

Сф (ш)

ш

фазовая скорость звука в суспензии;

сф(ш)

+ ik2(u) , м

-i

1

ki(u)p i(w)

м/с -

К2 (ш)

ш

к2(ш) + р2 (ш)

-i

(3)

2Сф(ш) укх(ш) Р\(щ)

амплитудный коэффициент поглощения звука в множителе е-К2(ш)ж, характеризующем убывание амплитуды колебаний с расстоянием х.

В (3) первое слагаемое в скобках определяет тепловые потери, второе - вязкие. Ниже изучим только вязкие потери, считая, что дисперсия сжимаемостей фаз и, соответственно, тепловые потерн отсутствуют, т.е. эффективная сжимаемость к(ш) (2) является вещественной постоянной величиной [8, с. 57]:

к = ye+k(i - а,

где к'(Па-1) - сжимаемость частицы, к(Па-1) - сжимаемость вмещающей вязкой жидкости, £ = Я/Я^ £3 = £ - объемная концентрация включений в суспензии. Если необходимо учесть тепловые потери, следует использовать результаты работы [11]. Они кратко изложены в [7].

Комплексная плотность (1) получена в работах [6], [7]:

р(ш) = р 1(ш) + -1р2(ш) = р + (р' - р)С3кг/м3,

(4)

где р - плотность жидкости, р - плотность включения, V (м/с) - амплитуда скорости полюсов ячейки. Эта формула выведена для несжимаемой жидкости, каковой её и следует считать в малой относительно длины звуковой волны ячейке суспензии.

Таким образом, согласно (4), все определяет отношение скоростей фаз, а они разные при разных плотностях. За счет этой разности и происходят вязкие звуковые потери. Для одиночной частицы отношение скоростей дает известная формула Кёнига (W.König, 1891г.), являющаяся основой всех акустических теорий вязких потерь в малоконцентрированных суспензиях:

U V

где

1 3 /3 6

1 + - + i - + ^ а \ а а2

13

- + - + i - + -г

Y а \а а2

36

а=

2R

(5)

(6)

д

^ (Па-с) - динамическая вязкость жидкости, $Вязк = (2^/^р)1/2 (м) - глубина проникновения вязкой волны в жидкость [10, с, 123],

7

3р

2р' + р

Полные выражения для отношения скоростей представим в виде:

и

1

— ,п = 0, 1, 2, 3,

V 1 -

где _ свое для каждого граничного условия точное выражение,

1.1. Жесткая оболочка ячейки, п = 0:

[7], здесь приведено для сравнений:

(7)

Зо

где

2(р - р)^Я2 -2-е+х(1+е2)сф(1 - е)] - Г х2 1 1 - е + у(1 - е3) - е)]

9п Г х3 1 - (1 - е) - у е (1 - е) сФ(1 - е)] - х2 х4 1 1 + 1Г(1 - зе+е 2) + ¥ е2 ^[-а - е)]

,з а - = г2

(8)

Используя разложения для сЛ, и и сократив числитель и знаменатель на -5 получим альтернативное представление:

где

Зо

9п

ЕФ0т(С)[х(1 - £)]2т

т=0

*ио = 5!(т, +1)(т, + 2) (1 - е)Ч 1 + е+^2

ФОт(^)

2(2т + 5)! 5!(т + 1)(т + 2)

2т + 4

2(2т + 5)!

(1 - е5) + 2те(1 - е3) + у(4т - 2)е 2(1 - е)

1.2. Условие Квашнина, п = 1:

2(р' - р)^Я2 2хе + Г х3 1 х(1 - е+2е 2) + 1Г(1 - е3) сФ (1 - е)]-

9п *а - е) + Хз3 (1 - е)2 + у е2 сл[х(1 - е )]-

- Г х2 1 1 - 2е + -^(2 + зе2 - 2е3) ем- (1 - е)]

- Г х2 х4 1 1 + -(2 - зе+е2) - ¥е(з - 2е) - е)]

qi

2(p' - p)wR2 m=0

2 E0im(e)[z(i - e)]2m

9n

E*ue )[z(i - e)]2m

m=0

r^e

01

1m

(1 e)3 J(i-e)[(m+2)(i-e+2e2)+e]+(m+ 2)(2m+5) [(2m+ i + 2e)(i+e+e2) - 3e2]

(2m + 5)!

3

*im(e)

(m + 2) J(i - e)5 +2m + 5,0_ , , , „4

+

(2m + 5)!|v_ ' 3 (2m + 2)(2m + 3)(2m + 5)

■(2m+i+e)(i - e)4 + ■■■

9

e [(2m+i)e+(i - e)(3 - 2e ]

1.3. VcjiOBHe XannejiH, n = 2:

r^e

q2 =

2(p' -

2 -2ze +

z(i - 2 + 2 e2) + z3 (i - e3)

ch[z(i - e )]-

9n

z(i - e) + Z63 (i - 3e + 2e2) + i8 e2

ch[z(i - e)]-

- r 3 z2 1 i - 3 e+y(i+e2 - e3) sh[z(i - e)]

- i+ z2 z4 -(3 - 6e + 2e2) - -e(i - e) sh[z(i - e)]

q2

2(p' - p)wR2 m=o

2 E02m(e)[z(i - e)]2m

9n

(i - e)3

(i - e)

2m (2m + 5)!

(m + 2)(2m + 5)

E*ue )[z(i - e)]2m

m=0

e3

(m+2)(i - 2 + 3 e 2)+e

+

+

6

[(2m+3e)(i + e+e2) - 3e2]

*ue)

(m + 2) ) 5 + 2m + 5

(2m + 5)!|( e) + 6

(m + i)(2m + 3)(2m + 5)

[(2m+3)(i - 2e) - 3 + 6e - 2e2] (i - e)3 + ■ ■ ■

+

9

e [(2m+i)e+3(i - e )2]

1.4. Условие Кувабары, п =3:

qa =

2(р - p)^R2 3

9п

3 -zе (1 - z3 -е) + Zrd - е3) ch [z(1 - е)] - z2 -е+у(1 + 3е2 - е3) sh [z(1 - е)]

z2 Г z3 1 z(1 - е) + Z3 е2 ch [z(1 - е)] - z2 1 + у е (е - 3) sh [z(1 - е)]

qa

2(р' - p)^R2 m=0

е ¿ие) [z(i - е)]

2m

9п

е Ф3т(е) [z(i - е)]

m=0

2m

Ф3

3m

3(m + 2)(1 - е)3 (2m + 5)!

-е(1 - е)2 + (2m + 3)(2m + 5) (1 + е + е2) - (2m + 5) ,

3

3

-(1 + зе2 - е3)

(m+1)

(2m + 3)!

3 (2m + 1)(2m + 3) 2 (2m + 3)

(1 - е)3 + -—-^3——е2 - 3 7е(е - 3)(1 - е)

При е ^ 1 все значения qn ^ 0, т.е. U/V ^ 1, как это и должно быть. При е ^ 0 то (8) значение z ^ то, th [z(1 - е)] ^ -1, что во всех четырех случаях приводит к формуле Кёнига (5) для U/V,

2. Сравнения с экспериментами

Из рассматриваемых четырех вариантов граничных условий физически состоятельны два - жесткая оболочка и условие Хаппеля. Последнее, в принципе, может быть реализовано окружением ячейки тонким слоем идеальной жидкости.

Для стационарного течения принцип минимума вязких потерь в ячейке эмульсии работы [7] диктует необходимость окружения ячейки жесткой оболочкой. Доказательство следующее. Решаем стационарную задачу, как это сделано в книге [12, с. 397...], но с учетом внешней силы F, действующей на единицу массы жидкости (чего в [12] нет). Коль скоро радиальная скорость ищется в виде vr = f (r) cos в, то известно лишь одно граничное условие на поверхности ячейки: f (Ri) = V-U, где V - заданная скорость полюсов ячейки, U - скорость капли, которую надо найти. Как задать здесь v© = ^(r)sine неизвестно. Записав все граничные условия задачи, получим систему из семи уравнений относительно восьми неизвестных: 6 искомых коэффициентов скоростей, плюс ^^юс V0 - скорость жидкостей на экваторе капли.

Используя известное выражение для диссипации энергии в несжимаемой вязкой жидкости [12, с. 16], найдем энергию, диссипируемую в ячейке в единицу времени

W = -

2пп

Ri

R

d(f - 2<р) dr

dr - 8Ri [f (Ri) + ^(Ri)]2 +

2 , 2n + 3n'

2n

8R [f (R) + p(R)]s

где

fi \ ß1 I ß2 n 2 i \ ß1 ß2 a 0 2

f (r) = + — + ß3 + air , ^(r) = — - ^ - ß3 - 2«ir .

r3 r

2

2

r

3

Отсюда видно, что Ж зависит лишь от трех постоянных въ в2 и я1; одна из которых (а^) остается неизвестной, Подставив в (9) найденные значения в1 и в2; получим зависимость Ж только от этой неизвестной постоянной. Значение последней найдем,

дЖ

минимизируя Ж, т.е. из необходимого условия минимума —— = 0, Убедимся также

да1

д 2(-Ж)

в выполнении достаточного условия минимума —-—-— > 0, Далее из предыдущего

да12

уравнения определим критическое значение а1. Подставив его в найденные формулы для [/ и "о, обнаружим, что в них на свои места водворились функции <роо(£), Фоо(£), ) Ф0О (£), характерные для ячеек эмульсии с жесткими оболочками.

Таким образом, для любого стационарного течения доказана необходимость наличия жесткой оболочки для выполнения принципа минимума вязких потерь. Достаточность обеспечена вариационным принципом Гельмгольца [13, с, 415],

Видимо, все это справедливо и для квазистационарного случая, т.е. для достаточно низкочастотного звука (аналогичные результаты получены также для ячеечной модели с цилиндрическими каплями [14]),

Вместе с тем, приведенные ниже расчеты показали, что при жестких оболочках ячеек суспензии потери минимальны в очень широком диапазоне частот, а не только на низких частотах. Также выяснилось, что вязкие потери могут быть минимальными и при выполнении условия Хаппеля (и = 2), Критерием осуществления того или иного варианта служит отношение

„ Im—1— 1 + (£3Re —1—

s2 = К02 = 1 —iqo -Цж, (io)

K22 Im-\ 1 + CfRe-

1 - ¿92 ^ 1 - ¿9o

где Z = p'/p — 1; sn, Kn2, qn суть функции трех аргументов: а, причем определяющим фактором является не частота, а значение а (6). При а<< 1 и а ~ 1 sn < 1, т.е. потери минимальны при жесткой оболочке (n = 0); в этом случае независимо от значений Z имеем: s1 2 3 -> 1, s1 2 3 -> 0,25 т.е. превышение потерь над случаем n = 0 доходит

до 4 раз. При больших значениях а sn > 1 и потери минимальны при n = 2, причем s1)2)3-> 1 + С4 Для любых значений (. Ниже приведены примеры обоих вариантов.

Далее на рисунках крупными точками (•) обозначены экспериментальные

результаты. Соответствие расчетных кривых граничным условиям следующее: -

- жесткая оболочка (n = 0); ••• - условие Квашпина (n =1);---условие Хаппеля

(n = 2)\ - • — условие Кувабары (n = 3),

На рис, 1 показаны результаты измерений Хемптоном (Hampton, 1967) [15] затухания A(e) = 8,686к2(е) звука частотою 100 кГц в полидисперсной суспензии частиц каолинита в воде в зависимости от объемной концентрации частиц е. Параметры суспензии: плотность частиц p' = 2,71 • 103 кг/м3, их сжимаемость k' = 10-11 Па-1; плотность воды p = 0,9982 • 103 кг/м3, вязкость п = 1,004 • 10-3 Па^с , сжимаемость k = 4,557 • 10-10 Па-^, скорость звука c = 1482,7 м/с; средний размер частиц 2R = 2,50 • 10-^ = 2,5 мкм; а = 1,397 Z = 1,715. Приведены также расчетные кривые затухания An(e), Видно, что для теоретического объяснения экспериментальных

n=0

вариантов вязкие звуковые потери.

На рис, 2 представлены результаты измерений Уриком (Uriek, 1948) [16] затухания звука частотою 1,0 МГц в полидисперсной суспензии частиц каолина в воде при разных

концентрациях частиц. Значения параметров: р' = 2,71 • 103 кг/м3, к' = 10-11 Па-1, ( = 1,715, а = 1,635. Средний диаметр частиц 2К = 0,925 • 10-6м = 0,925 мкм, И здесь минимальные вязкие потери описывает нижняя кривая, полученная для ячеек с жесткими оболочками и наиболее пригодная дня интерпретации экспериментальных данных.

40

£

"ы

в <

<ь Я

5

£ со

30

20

10

X \\ о - ЧЛ • • х, *

¿у

/>- \/ * _• * • • ■X \\\

1 • * * —

0.1

0,2

0.3

0.4

0.5

Объемная концентрация £

Рис. 1. Затухание звука частотою 100 кГц в по.нидисперспой суспензии каолинита в воде для разных объемных концентраций е частиц средним диаметром 2К = 2,5 мкм [15]

Рис. 2. Затухание звука частотою 1,0 МГц в по.нидисперспой суспензии каолина в воде для разных объемных концентраций е частиц средним диаметром 2К = 0,925 мкм [16]

На рисунках 1, 2 вряд ли следует рассчитывать на лучшее совпадение теоретических кривых с результатами измерений, поскольку расчетные кривые дня но.нидиснерсных суспензий получены с учетом лишь среднего размера частиц при

широком спектре их размеров, что является грубым приближением. Частицы суспензий заведомо нерегулярной формы в расчетах принимаются сферическими с радиусами, определяемыми седимептациоппыми (т.е. стационарными) измерениями, и остается лишь надеяться, что эти значения радиусов частиц применимы и к описанию вязких звуковых потерь в широком диапазоне частот |15|, |16|. Кроме того, не учтены тепловые потери. Неизвестна также точность измерений - не высокая, судя по разбросу точек.

На рис. 3 приведено сравнение расчетных и измеренных в работе |17| значений звуковых потерь в суспензиях частиц рутила (ТЮ2) в воде для разных объемных концентраций на частоте 10,3 МГц. Помимо вязких потерь (в Ж/(см-МГц))

ВПп(е)

8,686

ш

р2(ш)

100 ■ 10,3 2сФ(ш) Pi(w)'

дня четырех граничных условий при расчете учтены также тепловые потери

Ш(е)

8,686

ш

fa (ш)

100 ■ 10,3 2Сф(ш)

пе зависящие от гидродинамических граничных условий па поверхности ячейки. Они взяты из статьи |7|, где рассчитаны по формулам, дублирующим результаты работы |11|. Параметры суспензии частиц рутила: р' = 3,92 ■ 103 кг/м3, ( = 2,929. Средний размер частиц согласно [17] зависит от концентрации: 2R(e) = (0,3 + 0,3478 е) мкм. Значения а -в пределах 1,70 - 2,59.

s

о Ш

ч

С н

X

U)

сГ С

ш О

С И

ш

а

н

20

15

10

f /

ч\> л \ \

/ • ir* * к * \ *

/• I * »«Sw ч

0.2

0.4

0.6

0.8

Объемная концентрация £

Рис. 3. Затухание звука частотою 10,3 МГц в суспензии рутила (ТЮ2) в воде в

зависимости от объемной концентрации е частиц средним диаметром 2Я(е) = (0,3 + 0,3478е) мкм [17]: ■■■■ - расчет вязких потерь ВПо(е) для жесткой

оболочки;

е

Как и в предыдущих случаях, наилучшим приближением к экспериментальным данным служит кривая ВП0(е) + ТП(е), представляющая минимальные суммарные вязкие и тепловые потери в модели суспензии с жесткими оболочками ячеек. Кривые суммарных потерь дня моделей с другими граничными условиями намного превышают результаты измерений.

Работа |18| содержит данные измерений в диапазоне частот 20 - 300 кГц затухания звука в воде, насыщенной с объемной концентрацией е = 0,635 стеклянными бусинками среднего диаметра 2R = 1,8 • 10-4м = 0,18 мм. Иные параметры этой суспензии: р' = 2,45 • 103 кг/м3, Z = 1,4544, y = 0,5077 (но (7)), а = 10,06 • /кГц1/2 (но (6)). На рис. 4 точками показаны (в функции от параметра а) экспериментальные данные работы [18] и нанесены расчетные кривые.

Рис. 4. Частотная зависимость затухания звука в суспензии стеклянных бусинок

2R = 0,18 а = 10,06 • /кГц1/2 [18]

Верхняя кривая представляет точные расчетные значения в 5Б/м затухания при n = 0. Ниже - высокочастотное приближение для жесткой оболочки

Ao = 8,686 • Ä02 = 1,90 57v/^, Ж/м, следующее из выражения дня амплитудного коэффициента поглощения звука |7, (33) |

9(1 - y)2£ 3VPn(1 +

К02М

^л/2[1 - (1 - y)£3]2PM^MR'

м

1

где

р(то) = р{ 1 +

3(1 - y)е3

3

2 [1 - (1 - y )е3]

кг/м

с(то) = 1917,2 м/с - среднее значение фазовой скорости по измерениям в [18]. Нижние три точные кривые (п = 1, 2, 3) практически сливаются. Несмотря на предсказываемые ими минимальные потери, эти кривые не годятся дня аппроксимации экспериментальных данных, с чем неплохо справляется (кроме нижних 20, 30, 40 кГц) верхняя кривая, относящаяся к жесткой оболочке (п = 0) и описывающая, на этот раз, наибольшие вязкие потери.

Критерии 8П = К02/представлены на рис. 5. Частотам измерения соответствуют значения параметра а, охватывающие диапазон от 45 до 174, где всюду зп > 1, и минимальные потери обеспечивает граничное условие Хаппеля, а не жесткая оболочка.

Рис. 5. Критерии sn(a) = ~02( ) (10) для данных работы [18]

K„2(a)

Рис. 6. Добротности Qn(a) = Р"1 ( ) моделей суспензий при вязких потерях

Рп2 (а)

Информативны также а'-завиеимоети «добротпоетей» моделей суспензий при вязких звуковых потерях,

1 + C£3Re ' 1

Q ( ч pni(a) _ \1 - iqn(a)

Qn(a)

Рп2(а) Z£3lmf 1

1 - iqn(a)

Дня данных работ |18| они показаны па рис, 6,

Заключение

Выполненные сравнения показали, что только при использовании граничного условия в виде жесткой оболочки удается хорошо интерпретировать экспериментальные данные, тогда как три других граничных условия для этого не годятся.

Первоначально жесткая оболочка появилась в связи с требованием минимальных потерь, призванным заменить недостающее граничное условие на поверхности ячейки, «Принцип минимума диссипации - это один из важнейших принципов отбора реальных движений из числа виртуальных, ,,, Природа этим принципом нам демонстрирует удивительную особенность: она допускает не просто те движения, при которых энтропия растет, а только те, при которых рост минимален,,. Он строго никогда не был обоснован, ... Но, с другой стороны не существует примеров, которые бы ему противоречили» [19 с, 49], При стационарном течении в ячейке принцип минимума вязких потерь диктует необходимость ограничения ее жесткой оболочкой. Обратно, коль скоро жесткая оболочка на границе ячейки уже имеется, то согласно вариационному принципу Гельмгольца [13, с, 415], действительное медленное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости происходит с наименьшей диссипацией энергии, в отличие от любых допустимых виртуальных течений с тем же распределением скоростей на поверхности ячейки, т.е. со скоростями самой жесткой оболочки. Таким образом, для стационарных течений жесткая оболочка необходима и достаточна для выполнения принципа минимума диссипации.

Но для звуковых колебаний принцип Гельмгольца неприменим. Здесь, как показано выше, звуковые течения суспензии с жесткими оболочками ячеек скорее следуют принципу экстремальных (стационарных) потерь - в зависимости от значения а

других граничных условиях и других распределениях граничных скоростей. Для более уверенных выводов вопрос требует дальнейших проработок (в том числе применительно к эмульсиям и вязкоупругим дисперсным средам) и сравнений с экспериментами.

Предложенная здесь теория применима к расчету звукогасящнх сред. Заменив в суспензии жидкость воздухом, получим физическую модель зернистого звукопоглощающего материала [20, с, 49], Его отличительная особенность - большое значение параметра С >> 1, как и в случае волокнистых звукопоглотителей [14].

Выполнив во всех формулах здесь (а также в [14]) замену динамической вязкости жидкости ^(Па-с) на где = - ^(ш)] (Па) - комплексный

модуль сдвига вязкоупругого материала, например, резины, получим средство расчета акустических характеристик резиноподобной среды с твердыми сферическими или цилиндрическими включениями [21],

Список литературы

1, Хаппель Дж,, Бреннер Г, Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Пер, с англ, под ред. Буевича К). А. М,: Мир, 1976, 630 с,

2, Квашнин А,Г, Об одной ячеечной модели суспензии сферических частиц // Изв. АН СССР, МЖГ. 1979. № 4. С. 154-157.

3. Happel J. Viscous flow in multiparticle systems: slow motion of fluids relative to beds of spherical particle // A. I. Ch. E. Journal. 1958. V. 4. № 2. P. 197-205.

4. Kuwabara S. The forces experienced by randomly distributed parallel circular svlinders or spheres on a viscous flow at small Reynolds numbers //J. Phvs, Soc. Japan. 1959. V. 14. № 4. P. 527-533.

5, Казаков Л,И, Гармонические колебания вязких капель в вязкой жидкости в условиях стесненного обтекания, Владивосток, 1984, 18 с, - Деп, в ВИНИТИ 12,09,84 № 6202 - 84 Деп.

6, Казаков Л,И, Динамика капель в электрокапиллярных акустических преобразователях, Дисс, ... к.ф.-м.н. Владивосток, 1985, 114 с,

7, Казаков Л,И, О распространении звука в дисперсных средах / / Л куп. жури, 2018. Т. 64. № 3. С. 330-341.

8, Исакович М.А. Общая акустика. Учебное пособие. М,: Наука, 1973.495 с.

9, Гинзбург В, Л, Об общей связи между поглощением и дисперсией звуковых волн // Акует. журн. 1955. Т. 1. № 1. С. 31-39.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. 3-е изд. перераб. М,: Наука,1986.

736 с.

11. Вызова И.Л., Нестеров B.C. Термическое затухание звука в суспензии высокой концентрации // Акует, журн, 1959, Т. 5. JV2 4. С. 408-414.

12. Левич В,Г, Физико-химическая гидродинамика, 2-е изд. дополн, и перераб, М.: ГИФМЛ, 1959. 699 с.

13. Лойцянекий Л.Г. Механика жидкости и газа. 7-е изд. М,: Дрофа, 2003. 840 с.

14. Казаков Л,И, Ячеечные модели суспензий цилиндрических частиц при разных граничных условиях // NOISE Theory and Practice, 2019, Т. 5. JV2 2. С. 39-48.

15. Hampton L.D. Acoustic Properties of Sediments // J. Acoust. Soc. Amer. 1967. V. 42. № 4. P. 882-890.

16. Urick E.J. The Absorption of Sound in Suspensions of Irregular Particles //J. Acoust. Soc. Amer. 1948. V. 20. № 3. P. 283-289.

17. Dukhin A.S., Goetz P.J. Ultrasound for Characterizing Colloids. Elsevier. 2002.372 P.

18. Hovem J.M., Ingram G.D. Viscous Attenuation of Sound in Saturated Sand // J. Acoust. Soc. Amer. 1979. V. 66. № 6. P. 1807-1812.

19. Моисеев H.H. Математика ставит эксперимент. M,: Наука, 1979. 224 с.

20. Шашкеев К,А,, Шульдешов Е.М., Попков О.В., Краев И.Д., Юрков Г.Ю. Пористые звукопоглощающие материалы (обзор) // Труды ВИАМ, 2016. JV2 6 (42). С. 46-56.

21. Викторова Р.Н., Тютекин В.В. Физические основы создания звукопоглощающих материалов с использованием среды с комплексной плотностью // Акует. журн. 1998. Т. 44. № 3. С. 331-336.

References

1. Happel J., Brenner G. Hydrodynamics at Small Reynolds Numbers. Under the editorship of Buevich Y.A. M,: Mir, 1976. 630 P. [in Russian]

2. Kvashnin A.G. On one cell model of suspension of spherical particles, Izv. AN USSR, MZHG, 1979. No. 4. Pp. 154-157. [in Russian]

3. Happel J. Viscous flow in multiparticle systems: slow motion of fluids relative to beds of spherical particle // A. I. Ch. E. Journal. 1958. V. 4. No. 2. P. 197-205.

4. Kuwabara S. The forces experienced by randomly distributed parallel circular svlinders or spheres on a viscous flow at small Reynolds numbers / / J. Phvs, Soc. Japan. 1959. V. 14. No. 4. P. 527-533.

5. Kazakov L.I. Harmonic oscillations of viscous droplets in viscous liquid under constrained flow conditions. Vladivostok, 1984. 18 p. - DEP. in VINITI 12.09.84 No. 6202 -84 DEP. Iin Russian]

6, Kazakov L.I., Dynamics of droplets in an acoustic eleetroeapillary converted the stands. Diss, ... Ph. D, Vladivostok, 1985, 114 PP. [in Russian]

7, Kazakov L.I. On the propagation of sound in dispersed media. Acoust. Phvs, 2018. T. 64. No. 3. P. 330-341.

8. Isakovich M. A. General Acoustics. Textbook. M,: Science, 1973. 495 P. [in Russian]

9. Ginzburg V.L. On the General Relationship between Absorption and Dispersion of Sound Waves 11 Acoust. Phvs. 1955. Vol. 1. No. 1. P. 31-39.

10. Landau L. D,, Lifshits E. M, Hydrodynamics. 3 ed,, revised. M,: Science, 1986. 736 P. [in Russian]

11. Buzova N.L., Nesterov V. S. Thermal Attenuation of Sound in a High Concentrated Suspension. Acoust. Phvs. 1959. Vol. 5. No. 4. P. 408-414.

12. Levich V.G. Physico-chemical Hydrodynamics. 2 ed., suppl. and revised. M,: GIFML, 1959. 699 P. [in Russian]

13. Loitsvanskv L.G. Mechanics of Liquid and Gas. 7th ed. M,: Bustard, 2003. 840 P. [in Russian]

14. Kazakov L.I. Cell Models of Suspensions of Cylindrical Particles under Different Boundary Conditions 11 NOISE Theory and Practice. 2019. Vol. 5. No. 2. P. 39-48. [in Russian]

15. Hampton L.D., Acoustic Properties of Sediments // J. Acoust. Soc. Amer. 1967. V. 42. No. 4. P. 882-890.

16. R.J. Urick, The Absorption of Sound in Suspensions of Irregular Particles //J. Acoust. Soc. Amer. 1948. V. 20. No. 3. P. 283-289.

17. Dukhin A.S., Goetz, P.J. Ultrasound for Characterizing Colloids. Elsevier.2002.

372 p.

18. Hovem, J.M., Ingram D.G. Viscous Attenuation of Sound in Saturated Sand // J. Acoust. Soc. Amer. 1979. V. 66. No. 6. P. 1807-1812.

19. Moiseev N.N. Mathematics puts the Experiment. M,: Science, 1979. 224 P. [in Russian]

20. Shashkeev K.A., Shuldeshov E.M., Popkov O.V., Kraev I.D., Yurkov G.Yu. Porous Sound-absorbing Materials (review) / / Proceedings of VIAM. 2016. No. 6 (42). P. 46-56. [in Russian]

21. Viktorova R.N., Tvutekin V.V. Physical Bases of Creation of Sound-absorbing Materials with Use of Environment with Complex Density. Acoust. Phvs. 1998. T. 44. No. 3. P. 331-336.