Взаимосвязь качественных характеристик для различных видов цифровой манипуляции Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.233

C.B. Мелихов, В.А. Кологривов

Взаимосвязь качественных характеристик для различных видов цифровой манипуляции

Рассматриваются нормированное отношение качества для цифровой связи и вероятность битовой ошибки; пропускная способность канала связи по Найквисту и Шеннону; энергетическая и спектральная эффективности, а также полоса частот радиосигналов при различных видах манипуляции.

Введение

Публикации по цифровым телекоммуникациям (например [1-7] и многие другие), не содержат систематизированных сведений о взаимосвязи качественных характеристик при различных видах манипуляции.

Цель настоящей работы — систематизация сведений о взаимосвязи между пропускной способностью канала, коэффициентом скругления импульса, полосой частот радиосигнала и нормированным отношением качества для цифровой связи при различных видах манипуляции.

1. Нормированное отношение качества для цифровой связи

Для аналоговой связи критерием качества является отношение средней мощности сигнала S к средней мощности шума N : у = S/N = SNTR.

В цифровой связи для оценки качества связи используется нормированная версия SNR, которую удобно называть *нормированным отношением качества для цифровой связи*.

Нормированное отношение качества для цифровой связи — это отношение энергии сигнала на 1 бит к спектральной плотности мощности аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ) в полосе 1 Гц: Eb/N0 [1, 2].

Если цифровой сигнал содержит двоичные цифровые данные с длительностью одного бита Ть [с], передаваемые по каналу связи со скоростью

Д6[бит/с] = 1/(П[с]), (1)

то удельная энергия одного бита

Еь [Дж= Вт/Гц] = S[Bt= Дж/с] • Ть [с] = S/R,. (2)

Спектральная плотность мощности АБГШ в полосе 1 Гц выражается делением средней мощности теплового шума N = Рш0 = kT0 = Bm K 0 на шумовую полосу канала обработки Вш к 0\

N0 = N/Bm = kT0Bm.K.o/Bm.K.o = kT0 [Вт/Гц]. (3)

Из (1) и (2) следует, что отношение Eb/N0 безразмерно и при Вш к о = В, где В — полоса обработки (или полоса обнаружения) канала связи, выражается следующим образом:

Еь = S = S N0 kT0Rb N

В

RbJ

S

i^). (4)

Уравнение (4) имеет большое практическое значение для цифровой связи, поскольку вероятность появления ошибочных битов для любых сигналов является убывающей (водопа-доподобной) функцией отношения (Eb/N0). В частности, при известном значении (Eb/N0), требуемом для получения желаемого уровня ошибок, по уравнению (4) можно находить компромисс между параметрами (S/N) и (B/Rb).

2. Пропускная способность канала связи. Полоса обработки по Найквисту. Предел Шеннона. Эффективность использования полосы частот канала обработки

В цифровой связи широко применяются многоуровневые (М-арные) сигналы. Взаимосвязь числа уровней М цифрового сигнала с числом битов п сигнальной посылки (символа) [1]:

М-2"; п^\оё2М. (5)

В частности, если сигнальная посылка (символ) содержит 1 бит (п = 1), то число уровней цифрового сигнала М = 21 = 2 (например, 1 и О). Если символ содержит 2 бита, то М = 22 = 4 (например, 2, 1, -1, -2) и т.д.

Пропускной способностью канала связи называется максимально возможная при определенных условиях скорость, при которой цифровые данные могут передаваться по каналу связи.

По Найквисту для цифрового канала без шумов при передаче битов (или символов) с двумя уровнями (М = 2, в этом случае понятия «бит» и «символ» эквивалентны) без межсимвольной интерференции пропускная способность канала обработки ограничена удвоенной полосой Вм [1, 2]:

Л4[бят/с] = 2Вда[Гц]. (6)

Полосу Вд, называют полосой Найквиста.

Из (6) с учетом (1) следует

Если п > 1 (при этом М = 4, 8, 16, 32, ...), скорость передачи символов i?lSвл раз меньше скорости следования битов Ль:

Д, [символ/с] =Д"[бИТ/с]. (8)

п

В этом случае формула Найквиста для пропускной способности канала обработки принимает вид

Щ [символ/с] = 2В'Ы [Гц]. (9)

Из (8) с учетом (5) и (9)

Вь = Щп = В8 1оё2 М = {1/Т8)\оё2 М = 2В'н 1ог2 М, (10)

где

^[с] = ^----(И)

R

■s

длительность символа.

Из (9)и(11) следует

= (12)

N 2 2TS v '

В приведенных формулах под полосой Найквиста BN (B'N ) понимается полоса идеального фильтра, который имеет АЧХ в виде прямоугольника (АЧХ «кирпичная стена», рис. 1 ,а) [1]. На практике такую характеристику получить невозможно. Поэтому в реальных условиях в канале связи наиболее часто используют сквозную АЧХ в виде наклонно-симметричной функции «приподнятый косинус» {ВС} (Raised Cosine, см. рис. 1,а, гладкая кривая).

Функция {ВС} характеризуется коэффициентом спада АЧХ г (Roll-off-Factor). Параметр г еще называют коэффициентом скругления (сглаживания) импульса, поскольку фронты прямоугольного импульса сглаживаются при его прохождении через фильтр с АЧХ вида «приподнятый косинус». Для получения сквозной АЧХ канала связи в виде {ВС} формируют АЧХ полосы обработки в передатчике в виде корня квадратного из «приподнятого косинуса» (<J{RC}) и АЧХ полосы обработки в приемнике также в виде J{RC} . Параметр скругления г характеризует избыток полосы обработки rBN относительно полосы Найквиста. При этом полоса обработки канала связи (см. рис. 1 ,а):

В = В„+гВм = В„( 1 + г) -для двухуровневого цифрового сигнала;

В' = В'к + гВ^ = В^ (1 + г) — для многоуровневого цифрового сигнала.

I + ^ +

Моменты решений

(13)

(14)

Рис. 1 — Прямоугольная АЧХ фильтра Найквиста и АЧХ в виде «приподнятого косинуса» (а); формы импульсных откликов канала связи при использовании фильтра Найквиста (г = 0) и фильтра с АЧХ в виде «приподнятого косинуса» при г = 0,5 (б)

При 0 < г < 1 межсимвольная интерференция цифрового сигнала при прохождении им канала связи отсутствует, поскольку моменты решений соответствуют нулевым значениям «хвостов» импульсных откликов канала связи (рис. 1,6) [1].

Чем меньше величина г, тем меньше полоса обработки. Однако использование малой величины г требует разработки сложных цифровых фильтров. Кроме того, при малой величине г в решающем устройстве приемника отсчеты сигнала становятся в большей степени подвержены влиянию временного джиттера. При 0,4 < г < 0,6 достигается максимальная помехоустойчивость канала связи [3].

С учетом выражений (7) и (12) формулы (13) и (14) принимают вид:

В =

Д„(1 + г) ^(1 + г) 2 2 Т„

для двухуровневого цифрового сигнала;

В'

Дз(1 + г) _ (1 + г)

2Т.

для многоуровневого цифрового сигнала.

Из уравнения (4) с учетом (7), (8), (12), (13), (14), следует:

N

(в^ 5

\Еь) N

В„(1 + г)

для двухуровневого цифрового сигнала;

N

(В' ] _ 5 (в' ] -81 ' В'„(1 + г) ) _ 5

1 пь , ¿V

5^(1 +г)4

ЛГ

1 + г

21о%2М

8_ N

1 + г 2 п

(15)

(16)

(17)

(18)

для многоуровневого цифрового сигнала.

При наличии в канале АБГШ (гауссовский канал) максимальная безошибочная пропускная способность канала связи определяется формулой Шеннона [1]:

шах [бит/с] = В 1оё21 1 + — ) = В 1ое2 (1 + БМВ) .

(19)

Шеннон доказал, что теоретически с использованием сложных сигнальных кодов информацию по каналу связи можно передать со скоростью со сколь угодно малой вероятностью возникновения ошибки. Однако теорема Шеннона не дает способа нахождения сигнальных кодов.

Из формулы Шеннона следует, что скорость передачи данных можно повысить путем расширения полосы обработки канала В и увеличения интенсивности сигнала 5. Однако

следует помнить, что расширение полосы пропускания приводит к увеличению мощности шума, а увеличение интенсивности сигнала увеличивает вероятность возникновения интерференционных помех в системе передачи.

На практике достичь скорости передачи данных, определяемой формулой Шеннона, не удается, поскольку при ее выводе учтен только АБГШ и не учтены импульсные помехи, амплитудные искажения (искажения, вызванные запаздыванием эхо-сигналов).

Существует теоретическое нижнее предельное значение (Eb/N0)np, называемое пределом Шеннона, при котором ни при какой скорости передачи нельзя осуществить безошибочную передачу информации. Для расчета предела Шеннона необходимо преобразовать выражение (19) с использованием (4) к виду:

R,

ftmax

В

= x\og2{l + x)l/x, где х = ~

N„

R■

Ь шах

В

и, используя соотношение

наити

lim(l + х)1/х = е .

Eh

N

о /

пр

lo g2e

= 0,693 = -1,6 дБ .

(20)

Для нахождения границы пропускной способности канала связи по Шеннону необходимо преобразовать (19) с учетом (4) к виду:

В

Na

-(2/Wax/B-l).

(21)

'0 -^>тах

Зависимость, построенная по уравнению (21), изображена на рис. 2.

Отношение (ДЬ/В), характеризующее ординату какой-либо точки правее границы пропускной способности канала связи, называют эффективностью использования полосы частот.

Очевидно, что чем больше величина (Л&/В), тем более эффективно при заданной скорости передачи данных Rь используется полоса обработки канала связи В. Из (15) и (16) следует, что большая эффективность использования полосы обработки канала связи соответствует меньшему значению параметра скругления г. Эффективность использования полосы частот радиоканала зависит не только от г, но и от вида манипуляции (см. раздел 4 данной статьи).

бит/с/Гц А

Область, для которой

Rb > ^Ь шнх

Предел Шеннона -1,6

Граница пропускной способности по Шеннону, для которой Кь= Е-ь,

Область, для которой ■Кь <&Ь шх

Область эффективного использования полосы ж (область ограниченной полосы)

(1/2

1/4

12

18 24 30 36

лК

Область эффективного использования мощности (область ограниченной мощности)

Рис. 2 — Теоретическая взаимосвязь по Шеннону максимальной пропускной способности канала связи с отношениями (Еь/Ы„) и (Лдтах/В) (область с правой стороны от кривой имеет название плоскость «полоса-эффективность»)

Из (4) следует, что для определенных величин нормированного отношения качества (Eb/N0 = const) и средней мощности шума (N = const) при увеличении отношения (Rb/B) необходимо увеличивать среднюю мощность сигнала S. Если значение Rb/B = 1, соответствующее оси абсцисс (см. рис. 2), условно принять за компромисс между полосой и мощностью, то область выше оси абсцисс можно назвать областью эффективного использования полосы, а область ниже — областью эффективного использования мощности. Часто эти области называют соответственно *область ограниченной полосы* и «область ограниченной мощности» [1].

3. Энергетическая эффективность различных видов модуляции и характеристики вероятности ошибок на бит при воздействии АБГШ

Мерой энергетической эффективности (мерой производительности), используемой для сравнения цифровых систем с различными видами модуляции, является вероятность появления битовой ошибки в зависимости от нормированного отношения качества Eb/N0. Чем выше вероятность ошибки, тем ниже энергетическая эффективность системы связи, так как передаваемая мощность сигнала напрасно «тратится» на данные, которые искажаются в канале передачи.

Поскольку при оценке чувствительности приемников систем связи используется отношение средней мощности сигнала и средней мощности шума S/N, необходимо сделать пересчет значения S/N в значение Eb/N0.

На рис. 3-6 по данным [1, 4-8] приведены расчетные зависимости вероятностей битовой ошибки (или частоты появления битовой ошибки, BER — Bit Error Rate) при передаче по каналу связи с гауссовским шумом Af-арных радиосигналов с PSK (Phase Shift Keying — фазовая манипуляция), FSK (Freqency Shift Keying — частотная манипуляция), MSK (Minimum Shift Keying — манипуляция с минимальным частотным сдвигом), GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying — гауссовская манипуляция с минимальным частотным сдвигом), QAM (Quadrature Amplitude Modulation — квадратурная амплитудная модуляция).

Рис. 3 — Зависимость РЬ от Еь/Ы0 для М-арных сигналов РвК при использовании когерентного обнаружения

М-арные радиосигналы обозначают следующим образом: M-PSK, M-FSK, M-QAM.

Манипуляцию 2-PSK еще называют BPSK (Binary Phase Shift Keying — двухуровневая фазовая манипуляция), a 4-PSK-QPSK (Quadrature Phase Shift Keying — квадратурная фазовая манипуляция).

QPSK имеет две разновидности: O-QPSK (или SQPSK) — квадратурная фазовая манипуляция со сдвигом (Offset, Staggered); я/4 -QPSK — квадратурная фазовая манипуляция с фазовым сдвигом я/4.

-

Предел Шеннона

\\\\8\4 \\16\ \ \М=2

\з2\ \ \ \

16 ЕьЩ,д Б

Рис. 4 — Зависимость Рь от Еь/Ы0 для М-арных ортогональных сигналов ЖБК при использовапии когерентного обнаружения

Рис. 5 — Зависимость Рь от Еь/Ы0 сигналов ВРБК, МЯК, ОМБК при использовании когерентного обнаружения (при В0ТЬ = со вАГв-йТ-радиосигнал эквивалентен МвК-радиосигналу)

-s -1,б о

Еь/Н0,дВ

Рис. 6 — Зависимость Рь от Eb/N0 для М-арных сигналов QAM при использовании когерентного обнаружения

4. Полоса частот радиосигналов по первому лепестку при различных видах манипуляции. Эффективность использования радиополосы

Полоса обработки канала связи, как следует из (15) и (16), определяется длительностью битовой или символьной посылки и параметром скругления г характеристики «приподнятого косинуса»:

В =

1 + г

2 Т„

В' =

1 + г

2 Тя

Полоса частот, цифрового радиочастотного сигнала Вдр (RF — Radio Frequency — радиочастота) зависит от полосы обработки канала связи В (В').

Полоса частот ASK-радиосигнала (ASK — Amplitude Shift Keying — амплитудная манипуляция) и BPSK-радиосигнала, которые могут иметь только два уровня (М = 2):

BRF = 2B = 2^ = (l + r)Rb. (22)

Эффективность использования полосы радиосигнала при ASK или BPSK:

RF

1 + г "

Полоса частот М-арных М-РSK-радиосигнала и M-QAM-радиосигнала-.

1 + r (1 + r)Rb (1 + r)Rb

В

'RF

= 2В' = 2^-^ = (1 + г)Д9 = 2Г0 s

Tb\og2M lo g2M

Эффективность использования полосы радиосигнала при M-PSK или M-QAM:

Ri, _ log2 М _ п

->rf

1+г 1+г'

(23)

(24)

(25)

Заметим, что (24) и (25) при М =2 соответствуют (22) и (23).

Полоса частот М-РвК-радиосигнала при использовании некогерентного обнаружения (в этом случае минимальная величина разнесения частот манипуляции Д/м = 1 /Т8):

BRF = (М - 1)Д/М + 2В' = (М -1)— + 2

1 + г

Ts

М + r чп М + г

—-— = (М + r)Rs =

2TS

(М + r)Rb _ (М + r)Rb

Tb log2 M log2 M

(26)

Эффективность использования полосы радиосигнала при М-ЖБК и некогерентном обнаружении:

_ 1ое2 М _ п

BRF М + г М + г

(27)

Полоса частот M-FSK-радиосигнала при использовании когерентного обнаружения A£,=1/2TS:

т, «ч., „ 1 „1 + г М + 2г + 1 Bhf=(M-1Wm+2B' = (M-1)— + 2— = ——-=

(M + 2r + l)Rs M + 2r + l (M + 2r + l)Rb (M + 2r + l)Rb

=-=-=-=-•

2 2Tb log2 M 2 log2 M 2n

Эффективность использования полосы радиосигнала при M-FSK и когерентном обнаружении:

Rb _ 2 log2 М _ 2л

(29)

Вдр M + 2r + l M + 2r + l v

Полоса частот MSK-радиосигнала и GMSK-радиосигнала, имеющих параметр скругле-ния г = 1 и индекс частотной манипуляции Мчм = /д / Fa = fR / В = 0,5 (где fa — девиация частоты; FM — частота модуляции, равная верхней частоте полосы обработки В' = (1 + г) / 2TS = = (l + r)/2Ts=l/Ts:

BRF =2В'(Мчм+1) = 2-^(0,5 + 1) = Jr = M = 1>5i{6> (30)

Эффективность использования полосы радиосигнала при MSK или GMSK:

^ГГГ0'66- <31>

Заметим, что хотя радиосигналы MSK и GMSK являются четырехуровневыми (М = 2" = 22 = 4 ), они имеют только два значения частоты:

4=/о-/«=/о--*б/4 = /о-1/4Т*; (32)

4 =/о+/д =f0+Fb/4 = f0+l/4Tb, (33)

где /0 — средняя частота манипулированной несущей; Fb — частота битовой последовательности.

MS-йТ-радиосигнал имеет ширину спектра по первому лепестку в 1,5 раза больше, чем QPS^-радиосигнал (рис. 7), однако 99 % мощности М&ЙГ-радиосигнала содержится в полосе 2,4/Ть, а 99 % мощности Q-PSJT-радиосигнала содержится в полосе 16/Ть (то есть внеполос-ная мощность при MSK значительно ниже, чем при QPSK) [6]. Уменьшение уровня внепо-лосной мощности при MSK по сравнению с QPSK достигается тем, что в квадратурном модуляторе прямоугольные модулирующие дибиты преобразуются в синусоидальные.

Радиосигналы с MSK и GMSK имеют приблизительно одинаковую ширину спектра по первому лепестку, однако внеполосная мощность GMSK радиосигнала меньше, чем MSK-радиосигнала (рис. 8). Внеполосная мощность GMSiT-радиосигнала тем меньше, чем меньше значение BGTb, где BG — полоса пропускания (по уровню минус 3 дБ) гауссовского фильтра нижних частот, через который пропускается цифровая последовательность перед подачей на квадратурный модулятор, аналогичный MSiC-модулятору. Уменьшение значения BGTb мало сказывается на ширине спектра GMSJST-радиосигнала, однако приводит к возрастанию межсимвольной интерференции и, как следствие, к возрастанию вероятности цифровых ошибок (см. рис. 5) [5, 6].

Рис. 7 — Зависимости нормированной спектральной плотности мощности радиосигналов с различными видами манипуляции от нормированного сдвига частоты при г = 1 для BPSK, QPSK, O QPSK, n/4-QPSK

В системе сотовой связи GSM, в которой используется GMSK, BGTb = 0,3. При такой величине обеспечивается компромисс между внеполосной долей мощности радиосигнала при GMSK (уровень излучения для соседнего канала AfCK = 200 кГц не хуже минус 30 дБ) и сравнительно небольшим возрастанием битовой ошибки по сравнению с использованием MSK (см. рис. 5, где для MSK BGTb = °°, что физически означает отсутствие гауссовского фильтра в канале модуляции). Поскольку в системе GSM Tb ~ 3,69 мкс, то полоса гауссовского фильтра BG =81,3 кГц .

Рис. 8 — Зависимости нормированной спектральной плотности мощности радиосигналов МвК и вМЗК

Таким образом, в данной работе систематизированы сведения о взаимосвязи между пропускной способностью канала, коэффициентом скругления импульса, полосой частот радиосигнала и нормированным отношением качества для цифровой связи при различных видах манипуляции.

Литература

1. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение / Б. Скляр. - М. : Вильяме, 2003. - 1104 с.

2. Столингс В. Беспроводные линии связи и сети / В. Столингс. - М. : Вильяме, 2003. -640 с.

3. Зубарев Ю.Б. Цифровое телевидение / Ю.Б. Зубарев, М.И. Кривошеев, И.Н. Красносельский. - М. : Научно-исследовательский институт радио (НИИР), 2001. - 568 с.

4. Беллами Дж. Цифровая телефония / Дж. Беллами ; под ред. А.Н. Берлина, Ю.Н. Чернышова ; пер. с англ. — М. : Эко-Трендз, 2004. — 640 с.

5. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра / К. Феер ; под ред. В.И. Журавлева ; пер. с англ. — М. : Радио и связь, 2000. — 520 с.

6. Маковеева М.М. Системы связи с подвижными объектами : учебн. пособие для вузов / М.М. Маковеева, Ю.С. Шинаков. — М. : Радио и связь, 2002. — 440 с.

7. Григорьев В.А. Сети и системы радиодоступа / В.А. Григорьев, О.И. Лагутенко, Ю.А. Распаев. — М. : Эко-Трендз, 2005. — 384 с.

8. Громаков Ю.А. Стандарты и системы подвижной радиосвязи / Ю.А. Громаков. — М. : Международный центр научной и технической информации, 1996. — 239 с.

Мелихов Сергей Всеволодович

Д-р техн. наук, проф., зав. каф. средств радиосвязи ТУСУРа Телефон: (3822) 41 37 09 Эл. почта: mrc@main.tusur.ru

Кологривов Василий Андреевич

Доцент каф. средств радиосвязи ТУСУРа Телефон: (3822) 41 37 09 Эл. почта: mrc@main.tusur.ru

S.V. Melikhov, V.A. Kologrevov

Relation of different kinds of digital manipulation characteristics

There has been investigated: normalized ratio of the digital communication quality and the bit error probability; ability of communication channels by Nyquist and Shannon; energy and spectral affectivity and frequency bands of radio-signals in case of different kinds of manipulation.