CC BY
7
ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. Annalen Der Physik, 322 (8), 549-560. doi: 10.1002/andp.19053220806
5. Lindsay, S. (2009). Introduction to Nanoscience. Oxford, England: Oxford University Press, 472.
6. Ashkroft, N., Mermin, N. (1979). Fizika tverdogo tela. Vol. 1-2. Moscow: Mir, 393, 392. Available at: http:// mat.net.ua/mat/biblioteka-fizika/Ashkroft-tverdoe-telo-t1.pdf
7. Krugliak, Iu. A. (2015). «Bottom - up» nanoelec-tronics: the Hall effects, measurement of electrochemical potentials and spin transport in the negf model. ScienceRise, 10/2 (15), 35-67. doi: 10.15587/2313-8416.2015.51353
8. Sears, F. W., Salinger, G. L. (1975). Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics. Boston: Addison-Wesley, 454.
9. Krugliak, Iu. A. (2015). Graphene in Landauer -Datta - Lundstrom transport model. ScienceRise, 2/2 (7), 93106. doi: 10.15587/2313-8416.2015.36443
10. Krugljak, Ju. A., Krugljak, N. E. (2012). Metodi-cheskie aspekty rascheta zonnoj struktury grafena s uchetom a-ostova. Teoreticheskie osnovy. Visnik Odes'kogo derzh. ekolo-gichnogo un-tu, 13, 207-218.
11. Rabiu, M., Mensah, S. Y., Abukari, S. S. (2013). General Scattering Mechanism and Transport in Graphene. Graphene, 02 (01), 49-54. doi: 10.4236/graphene.2013.21007
12. Bode, N., Mariani, E., von Oppen, F. (2012). Transport properties of graphene functionalized with molecular switches. Journal of Physics: Condensed Matter, 24 (39), 394017. doi: 10.1088/0953-8984/24/39/394017
13. Dong, H. M., Xu, W., Peeters, F. M. (2011). High-field transport properties of graphene. Journal of Applied Physics, 110 (6), 063704. doi: 10.1063/1.3633771
14. Chauhan, J., Guo, J. (2011). Inelastic Phonon Scattering in Graphene FETs. IEEE Transactions on Electron Devices, 58 (11), 3997-4003. doi: 10.1109/ted.2011.2164253
15. Peres, N. M. R. (2010). Colloquium: The transport properties of graphene: An introduction. Reviews of Modern Physics, 82 (3), 2673-2700. doi: 10.1103/revmodphys.82.2673
16. Barreiro, A., Lazzeri, M., Moser, J., Mauri, F., Bachtold, A. (2009). Transport Properties of Graphene in the High-Current Limit. Physical Review Letters, 103 (7). doi: 10.1103/physrevlett. 103.076601
17. Bol'cman, L. (1984). Izbrannye trudy. Moscow: Mir, 590.
18. Tarkiainen, R., Ahlskog, M., Penttila, J., Rosc-hier, L., Hakonen, P., Paalanen, M., Sonin, E. (2001). Multi-walled carbon nanotube: Luttinger versus Fermi liquid. Physical Review B, 64 (19). doi: 10.1103/physrevb.64.195412
19. Naeemi, A., Savari, R., Meindl, D. (2004). Perfo-mance comparison between carbon nanotube and copper interconnects for GSI. IEDM Technical Digest. IEEE International Electron Devices Meeting, 699-702. doi: 10.1109/ iedm.2004.1419265
20. Burke, P. J. (2002). Luttinger liquid theory as a model of the gigahertz electrical properties of carbon nano-tubes. IEEE Transactions On Nanotechnology, 1 (3), 129-144. doi: 10.1109/tnano .2002.806823
21. Burke, P. J. (2003). An RF circuit model for carbon nanotubes IEEE Transactions On Nanotechnology, 2 (1), 5558. doi: 10.1109/tnano.2003.808503
22. Salahuddin, S., Lundstrom, M., Datta, S. (2005). Transport Effects on Signal Propagation in Quantum Wires. IEEE Transactions on Electron Devices, 52 (8), 1734-1742. doi: 10.1109/ted.2005.852170
23. Kruglyak, Yu. O., Kruglyak, N. E., Strikha, M. V. (2013). Lessons of nanoelectronics: Thermoelectric phenomena in «bottom-up» approach. Sensor Electronics and Microsystem, 10 (1), 6-21.
24. Rahman, A., Jing Guo, Datta, S., Lundstrom, M. S. (2003). Theory of ballistic nanotransistors. IEEE Transactions on Electron Devices, 50 (9), 1853-1864. doi: 10.1109/ted.2003. 815366
25. Pierret, R. F. (1996). Semiconductor Device Fundamentals. Reading, MA: Addison - Wesley, 792.
26. Krugliak, Iu. A. (2014). Generalized Landauer -Datta - Lundstrom model of electron and heat transport for micro- and nanoelectronics. ScienceRise, 5/3 (5), 21-38. doi: 10.15587/2313-8416.2014.30728
27. Kruglyak, Yu., Strikha, M. (2015). Landauer -Datta - Lundstrom generalized electron transport model for micro- and nanoelectronics. Kyiv: IEEE, 70-74. doi: 10.1109/elnano.2015.7146837
28. Fundamentals of Nanoelectronics, Part 2: Quantum Models. nanoHUB-U. Available at: http://nanohub.org/ courses/FoN2
29. PurdueX. Free online courses from Purdue University. Available at: https://www.edx.org/school/purduex
Рекомендовано до публгкацИ д-р ф1з.-мат. наук Глушков О. В.
Дата надходження рукопису 11.11.2015
Кругляк Юрий Алексеевич, доктор химических наук, профессор, кафедра информационных технологий, Одесский государственный экологический университет, ул. Львовская, 15, г. Одесса, Украина, 65016 E-mail: quantumnet@yandex.ua
УДК 621.646.4
DOI: 10.15587/2313-8416.2015.56361
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ СО СЛОИСТЫМ ЦИЛИНДРОМ
© Л. Б. Лерман
Решена задача электродинамики для бесконечно длинного кругового цилиндра и построено обобщение решения Ми на слоистые цилиндры с произвольным числом слоев. Для гармонического электромагнитного поля найдены частотные зависимости напряженностей и энергии в слоях. Подробно рассмотрен случай взаимодействия плоской волны с цилиндрическим объектом. В нулевом приближении получены замкнутые формулы для электрически тонких слоев
Ключевые слова: слоистый цилиндр, электромагнитная энергия, решение Ми, плоская волна, трансляционные матрицы
The electrodynamic problem of infinitely long circular cylinder is solved and generalization of Mie solution for layered cylinders with arbitrary number of layers is constructed. Frequency dependences of harmonic electromagnetic field and energy in slabs are founded. Interaction of plane wave with cylindrical object is considered in detail. Closed formulae for electrically thin slabs are obtained in zeroth approximation Keywords: layered cylinder, electromagnetic energy, Mie solution, plane wave, transfer matrices
1. Введение
Развитие современного научно-технического прогресса тесным образом связано с применением электромагнитного излучения (ЭМИ) различных диапазонов в радиотехнике, радиоэлектронике, космических исследованиях, ядерной физике, биологии и медицине. Слоистые плоские и криволинейные покрытия, многослойные наночастицы различной формы, новые метаматериалы находят все более широкое применение в научно-исследовательской практике. Их применение обусловлено уникальными радиотехническими и оптическими свойствами таких объектов. При этом возникает нетривиальная задача нахождения распределения электромагнитной энергии (ЭМЭ) в слоях и, в частности, той ее части, которая вызывает изменение температурных полей. Принципиальным в этом вопросе является возникновение внутренних распределенных источников тепла, мощность которых для слоистых тел зависит от физических параметров каждого слоя. При выборе необходимых физических характеристик слоев оказывается возможным создание материалов с требуемыми свойствами. Такие задачи к настоящему времени исследованы недостаточно, что позволяет говорить об актуальности данного направления.
В настоящей работе предлагается обобщение решения Ми на слоистые цилиндры с произвольным числом слоев. Полное решение задачи предполагает нахождение частотных зависимостей характеристик электромагнитного поля (ЭМП) в слоях, и, в частности, его энергии. Изложена постановка рассматриваемой задачи электродинамики, приведены расчетные соотношения для нахождения напряженностей поля и энергии в слоях и подробно рассмотрен случай взаимодействия с плоской электромагнитной волны (ЭМВ). Наряду с точным решением получены приближенные формулы для электрически тонких слоев.
2. Анализ литературных данных
Для изучения процессов распространения ЭМИ в неоднородных средах, взаимодействие с ними и воздействие на них хорошо известны апробированные аналитические и численные методы [1-3]. Для плоских слоистых структур обычно используют 3D преобразование Фурье для анализа связи пространственных и спектральных областей волн и полей [4, 5] или импедансный метод [5, 6]. Для начально-граничных задач и периодических структур часто используют функцию Грина в качестве ядра интегрального уравнения. Для сферических и цилиндрических объектов при получении представлений ЭМП применяют подход Лорентца-Ми, основанный на схеме разделения переменных [7-10].
Взаимодействие ЭМИ со слоистыми телами рассматривалось многими авторами [11-14], и при этом основное внимание уделено слоистым стенкам
и диэлектрическому шару в оболочке. В [15] рассмотрен цилиндр с диэлектрическим покрытием, а в [16-18] - приведено решение электродинамической задачи для слоистого цилиндра.
Настоящая работа продолжает исследования автора [19-21], в которых для построения решений краевых задач использован метод трансляционных матриц (transfer matrixe) [22, 23]. В работе [24] найдена ЭМЭ в слоистом шаре. Этот краткий обзор показывает, что вопросы, связанные с нахождением энергетических характеристик ЭМП, и, в частности, тепловой энергии в слоистых объектах, исследованы недостаточно. Этим обосновывается актуальность настоящих исследований, целью которых является нахождение удобных для практического использования выражений для нахождения ЭМЭ в слоях ради-ально неоднородного цилиндра. Наряду с точным решением, которое предполагает использование функций Бесселя, приводятся результаты для длинноволнового приближения.
3. Постановка задачи
Рассматривается бесконечный цилиндр, состоящий из N соосных круговых цилиндрических поверхностей (рис. 1). Задача решается в координатах r, ф, z (r - радиальная координата (полярный радиус), р - азимутальный угол круговой цилиндрической системы координат), связанной с центральной осью цилиндра 0z. Радиусы поверхностей цилиндров, которые являются поверхностями раздела слоев, обозначаются через r. (j - номер слоя и
j = 1,2,..., N); также используется обозначение a = rN. Нумерация слоев начинается с центрального цилиндра (j = 1), а для внешней среды индекс j = N +1. Слои характеризуются различными относительными комплексными диэлектрическими и магнитными проницаемостями (ДП и МП)
s =s'j + i s';=s'j (1+i tgSj),
И = и" + iи" = Hj (1 + rtg^j),
где i - мнимая единица, tg£. =sj//(as"), ст. - проводимость, a = 2ле / X - круговая частота, c - скорость света, X - длина волны. Отметим, что в выражениях для комплексных ДП и МП используется как знак «+» [1-3], так и знак «-» [15, 25]. Для внешней среды принимаются действительные значения ДП и МП smed = sn +1 , Mmed = 4v+1 .
В изотропных средах при отсутствии токов и зарядов и выборе временной зависимости характеристик полей в виде exp(i®/) уравнения Максвелла имеют вид
H
-— rotE, E = —— rotH,
/0/
(1)
где Е, Н - векторы электрической и магнитной напряженностей соответственно. Из уравнений (1) можно получить векторные уравнения Гельмгольца для напряженностей Е и Н
AE + k2E = 0 , AH + k2H = 0 .
(2)
В уравнениях (2) и далее А - оператор Лапласа, квадрат волнового числа к2 = е/мо2/ с2 = емк\,
где с - скорость света, к0 = ®л/еоМо - постоянная распространения в вакууме. Использование комплексных ДП и МП среды распространения ЭМИ приводит к тому, что показатель преломления
п = ^[ё/й и волновое число к = (па) / с также будут комплексными.
Рис. 1. Слоистый цилиндр под действием ЭМИ
4. Результаты исследования. Нахождение напряженностей полей и электромагнитной энергии
Решения волновых уравнений (2) в цилиндрических координатах выражаются через цилиндрические функции, причем при выборе функций Бесселя возможен некоторый произвол [1 -3, 9, 15-18]. Предполагается, что на цилиндр падает плоская волна, распространяющаяся в положительном направлении оси х. В статье рассматривается случай ТМ поляризации, а результаты для ТЕ поляризации могут быть получены с использованием принципа двойственности. Далее, следуя работе [17], в которой приведено аналитичское решение для металлического цилиндра с двухслойным и многослойном покрытием, для представления поля в слоях используются функции Бесселя целого порядка 1-го и 11-го рода К, Уи, а для рассеянного поля
- функции Ханкеля 11-го рода целого порядка И(2>, в общем случае комплексного аргумента. Напряженность электрического поля в падающей волне Е'пс представляется в виде суперпозиции цилиндрических волн [1-3]
да
Е'пс = 1А = 1 гXг-п8пЗп(к0г)ес8п<р. (3)
Здесь и далее S0 = 1 и Sn= 2 при n > 1. Поле в окружающем цилиндр пространстве представляет собой сумму падающего и рассеянного Esca полей и представляется в виде
_ J^inc ^ jisca _
ад
= £i~nSn [ Jn (V) + cHn2)(£0r)] cosnq>, r > a, (4)
n=0
где си - неизвестные коэффициенты ряда рассеяния.
Уравнения (2) должны выполняться для каждого слоя, и для j -го слоя (j > 1) решения могут быть записаны в виде
ад
E(j) = iEj) = iz £ i-nSn [ Anj) Jn j + Bj'Yn (kj.r)]cos ncp,
rj t < Г < Tj .
(5)
Для внутреннего цилиндра поле должно быть ограничено при г = 0, и для ] = 1 решение (5) принимает вид
E(1) = i г E« = i z £ ISA J (k1r)cos np,
n=0
0 < r < r .
(6)
Напряженность магнитного поля в слоях вы-ражаетя через напряженность электрического поля посредством уравнений Максвелла (1). В частности, для угловой компоненты вектора Н будем иметь:
(j) _ kj
H(j) =
la/dj n=0
да
X i-nSn [Aï) Jn (kjr) + ÉfY'j (kjr )]cos ncp,
Tj^ < r < г , г = 0,
(7)
где штрих здесь и далее означает производные цилиндрических функций по своему аргументу.
На поверхностях раздела слоев должны выполняться условия непрерывности составляющих Е2( Л, И напряженностей электрического и маг-
нитного полей:
7Ü+1)
- R-0)
= ,
Г=Г. 1г=Г-
H
CJ+1)
= Hj
Г=Г. p It=Г-
1 < j < N-1
E( N n = Elr
+ ES
HN )
lr=r P Г=Г p Г=Г
(8)
(9)
Подстановка представлений решений (4)-(6) в условия (8), (9) приводит для каждого п к семейству независимых систем алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов разложений в рядах
42);п (кг) + В^Уп (кг) = 4,};п (кг), (км)\\ к г) + В<2> У (к2г)] = (кМ^К М,
SqSCO
n=0
r=Г
Г=Г
r=Г
N
N
N
n=0
A+4 Jn (kj+1 r, ) + Bj X (k,+! r, ) =
=A) Jn (j)+в'пn Y X), j = 2,3,...,N -1,
(kj+iMj ) [ A, 1) J (kj) + ВП+%' (kj)] = = (kjMj+i) [ аПП ) Jn j)+Bnj Y (j)],
Jn k rN ) + СпИП2)(К rN ) = = AnN) Jn (kNrN ) + BnN Y (kNrN ),
Jn (k0 rN) + cnH™(k0rN)
с помощью формулы
у^ = ?Nn)(rN,r^.
(16)
Для внутреннего цилиндра /1(п) = [Л® ,о] , и решение в последнем слое будет зависить только от постоянных Л1. Для внешней области неизвестными будут коэффициенты ряда рассеивания си и =[0, си f. Следовательно, при использовании трансляционных матриц остается только две
(к0/им) J'n (к0гн) + с^'(к0гм) = группы неизвестных коэффициентов: ЛП1}, си. Для
нахождения ряда рассеяния необходимы только = (к„м„+1) [4* J'n (к„г„)+Б^т; (к„г„)]. (10) коэффициенты си, определяющие амплитуды пар-
Для нахождения коэффициентов разложений в циальных волн, а значения коэффициентов 4(1 [17] приведена формула, связывающая произвольные дают возможность найти коэффициенты разложений напряженностей в слоях. В этом случае система линейных алгебраических уравнений для их
постоянные соседних слоев = [Л^ , ]
.(n)
= [Лп) , Би)] (верхний индекс «Т» означает определения аналогична с°°тветствующей системе
г.
транспонирование) посредством некоторой матрицы. В работах [19-21] аналогичная матрица получила название «матрицы перехода» от у -го к (у +1 )-му слою
r(n) = T(n) r(n) r j+1 Tn r j ■
(11)
для сплошного цилиндра, и в развернутом виде запишется как
[)Jn (к„а) + /21 Т (к„а)]Л® --И?(к0 а)сп = Jn (ко а),
где элементы матрицы Т. в данной задаче в соответствии с (10) имеют вид
С' = "j {[ kj+Y (kj+1Гп ) Jn (kr,) - j+1 / V Y (kj+/, ) Jn (j )]}
tin' = "у" {[ kj+Y (kj+r )Y (j) - (kj V+1 / V Y (kj+r ж (j)]}
{[ (kj Mj+1 / V) Jn (kj+r) Jn (j) - kj+1 Jn (kj+r) J„ (j)]} {[ (kj V+1 / V) Jn (kj+r ж (j) - kj+1 Jn (kj+r )Y (kjrj)]}
"r.
t(n) = ^
21J 2 xr.
t(n) =—n
22J 2
Связь между постоянными у -го и (у + т )-го слоев дается формулой [19-23]
/п) = Т (г , г.)г(п)
/ у+т п" у +т-1' у '
где использовано обозначение
Т(г г ) = Т •Т • •Т
А ^'у+т-1''у) у+т-1 -*у+т-2 ■■■ Ау •
(13)
(14)
Матрица Т (г , г ) определяет трансляционную матрицу при переходе от у -го к (у + т )-му слою. Принимая в (14) у = 1, у + т = N, получим полную трансляционную матрицу при переходе от первого к последнему слою [19-24]:
tN"vN,rj = Пт£-, , TNn)(rN,=
j=1
i(n) i(n)
J11 J12
t(n) An)
/ 21 ' 22
. (15)
С её помощью неизвестные постоянные для N го слоя в^1ражаются через произвольные постоянные
(kv / Mn )х
х[ ) Jn (kNa) + /2; X (kva)] A1 -- (ko/ Mv+1)(НП2))' (koa)c„ = = (ko/ Mv +1) J," (koa). (17)
(12) Из системы (17) находим
A11 = A(n)/ А(и),
С =A(n)/ A(n), (18)
А(п) = (к„ / )ЯП2)(коа) х х[ %) Jn (к„а) + /2^' (к„а)]-
- (ко/ +1)НП2)'(ко а) х
х[ Jn (к„а) + /2;)Т, (к„а)],
А(п) = (ко/ ^+1) х
х J'n (коа)Ип (коа) -
-(ко / +1)•/п (коа)я>п (коаХ
А2п) = (ко/ +1) J'n (ка) х х[ Jn (к„а) + /21)Тп (к„а)]-
- (км / ) Jn (коа) х
х[ Jn (к„а) + /21)Т; (кма)]. (19)
Теперь для разложений напряженности в слоях
первого слоя (в данном случае сплошного цилиндра) и рассеянном поле можно записать
ад
E(1) = izEz(1) = iz£i-nSn [A(n)/ A(n)] Jn(kir)cosnp,
0 < r < r .
(20)
E(j) = iz Ej =
ад
= i z £ i-nSn [Afn)/ A(n) ][ t<1 Jn (j) + t2n'Yn (kj.r)] cos np,
r, , < r < r, , j > 1.
ад
Esca = iz £ i-nSn [A(n) / A(n) ] H^k r) cos np.
r > a.
(21)
(22)
Вектор напряженности магнитного поля в силу уравнений (1) определяется соотношениями
H
M0M®
1 5EZ. dEz
r dp r dr
H(1) = —^ £ i-n+S [A((n) / A(n) ] X
MoM® n=1 [ ]
1 Jn (kj r)n sin npi r + Jn (kj r)cos npi p
r
0 < r < r .
(23)
H
(j) _ .
1
MoMj® n=1
£ i - n+1S[Ain)/ A(n) ]:
1 [Jn (kr) + Ä (kr)] n sin npir ■ + [ t(n> Jn (kjr) +(kjr)] cos npip
r}_x < r < r. .
(24)
Аналогично рассматривается задача и для случая ТМ поляризации. Полученные ряды полностью решают задачу взаимодействия плоской волны со слоистым цилиндром и позволяют найти все необходимые характеристики.
В общем случае предполагается, что ДП материалов слоев является комплексной, и это означает, что имеют место потери ЭМЭ. Расстояние А, при прохождении которого поле ослабевает в е раз, принято называть глубиной проникновения поля в среду, т. е. имеет место соотношение аА0 = 1, где а - коэффициент ослабления ЭМИ [25]. Тогда глубина проникновения составит: для диэлектриков
Ao =-==
1 = iJi .yÜT^gS -1)
а ® у 2 ^ '
tgS
2® ^^=•
(25)
и для металлов
А0 =у]2/(ам'ст) = ^Л/(щ1'а) . (26)
Таким образом, при постоянной частоте ЭМИ глубина его проникновения определяется физиче-
скими характеристиками среды и зависит от частоты: чем больше частота, тем меньше А . Следует отметить, что для слоистого материала может возникнуть ситуация, когда поле в слоях, удаленных от поверхности облучения, будет практически отсутствовать.
При известных коэффициентах с ряда рассеяния (г > я)
ад
Ех" = 1г£г5 [А(п) / А(п)]Ип2)(к0г)0С8п^ (27)
п=1
сечение рассеяния а, структуры находится по формуле [2, 3]
2
4 » 2
а = —£ 5 с =
* 7 £ ^ п|
Кп
k0 n=0
= f £Sn [A2n)/A(n>]2
(28)
В работе [26] показано, что для электрически тонких слоев [10] (малых значениях параметров дифракции) при выполнении сильных неравенств в ряде рассеяния (25) доминирует первый коэффициент при n = 0.
Изменяясь во времени, поле может отдавать или отбирать энергию какому-либо неэлектромагнитному процессу. Величину ЭМЭ, запасённую в некотором объёме V, принято обозначать буквой W , а ее объемную плотность w определять как w = lim (АW / АV) . В макроскопической теории
ЭМП существует связь между векторами поля и его энергетическими характеристиками. Так, объемная плотность ЭМЭ представляет собой сумму электрической и магнитной энергий, и для j -го слоя можно
записать
j
' + w
(j)
(29)
„(J) ллР)
где м(', ) - объемные плотности энергии электрического и магнитного полей соответственно, и так как векторы электрической Б ■ и магнитной Б^ индукций коллиниарны с векторами напряженностей то
E. и H .,
„(J) -
1
= Т(Dj • Ej) = k • |E
w.
,(j) _
1
1
= -(Bj • Hj) =-M0\m\ • Hj
(30)
Таким образом, плотность энергии в слоях зависит от координат г,ф и изменяется во времени по
закону ехр(/2а() ,т. е. с частотой, вдвое большей, чем частота возбуждающего поля. Энергия ЭМП, запасённая в объёме V , вычисляется по следующей формуле:
W = Jwdv =1 J(D• E + B• H)dv .
(31)
Вектор Пойнтинга П определяет плотность потока электромагнитной энергии, которая равнозначна плотности мощности, и указывает направле-
n=1
n=1
n=1
X
2
ние движения энергии, а плотность энергии в слое зависит от координат г, р
П = E х H.
(32)
Прохождение ЭМИ через вещество сопровождается его поглощением в данной среде, т.е. потерей энергии волны. Практический интерес представляют собой тепловые потери в веществе. Долю энергии ЭМП, которая расходуется на нагрев тела, определяет tgS, а интенсивность нагрева q определяется формулой
q = |Е|2 со2е'tgS = |Е|2 со2е" = |Е|2 (2ж / Л)2 е". (33)
В общем случае для вычисления квадратов модулей напряженностей необходимо возводить ряды (20)-(24) в квадрат. Но для электрически тонких слоев формулы существенно упрощаются, поэтому далее считаем центральный цилиндр и последующие слои электрически тонкими. Это означает [10] выполнение сильных неравенств А^/; 1. Ау2 <§с1, .... А;, /', <к 1. к,/1 <к 1. Учитывая результаты работы [26], достаточно ограничится случаем п = о. В этом случае можно воспользовать разложениями функций Бесселя J0(х), То(х), яо2)(х) = J0(х)- /То(х) в ряды при малых значениях аргумента. С точностью до бесконечно малых высшего порядка для функций и их производных имеют место представления [27]:
^ (х) = 1 - х2/4,
т (х) = (2/ ж) {[1п(х /2) + у] (1 - х2 / 4) + х2 / 4} ,
Я0(2) = 1 - х2 / 4 -/(2/ж) х х{[1п(х/2) + у] (1 - х2/4) + х2/4},
J'о(х) = -х/2, т (х) = (2 / ж) {(1 / х) + х /4 - [1п(х /2) + у] (х /2)}, т; (х) = (2 / ж) {(1 / х) + х /4 - [1п(х /2) + у] (х /2)},
(Но(2)(х))' = -х /2 - /(2/ ж) х
х{(1/х) + х/4 -[1п(х/2) + у] (х/2)}, (34)
где константа у =0,5772156649... [27].
В этом случае элементы матриц перехода (12) Т(о) и определители (19) принимают вид
^ = 2^о / (жду) , /(О = о, 5^ (еу+, - е7),
t = [(2^)0,)]ln(e, / +1),
/(0) = 2v0/(xAn) , (35)
A() = апа22 -а12а21, A( ) = bа22 -Ь2а.
А(0) = Ь2 ап - b а ,
(36)
ап = {С [1 - (kNö)2/4] + [2t20)/ *]х х [(ln^a /2) + у)(1 - fea)2 / 4) + fea)2 /4]},
аи =[1 - (k0a)2 / 4] -i(2/ ж) х х {[ln(ka /2) + у][1 - (ka)2 / 4] + (^a)2 /4},
а21 = (kN Mn+1 )
([-(СkNa)/2] + ¿2042/ ж) х
х{1 / (kNa) + kNa / 2) - [ln(kNa) /2) + у] kNa) / 2}),
а22 = (kMn) {-ka /2 - i(2 / ж) х
х[1 / (ка) + к0а /4 - (ка / 2)(1п(£0а /2) + у)]},
ь = 1 - (к0а)2 /4, й2 = -(к0км^а) /2 . (37)
Тогда выражения для сечения рассеяния (26) и напряженностей в слоях (20)-( 24) будут
^ = (4/ k0)
[A(0)/ A(0) ]2
E(1) = izE(1) = iz А(0) / A(0), 0 < r < r1: E(n) = iEn) = i . [A(0) / A(0) ]х х[ С + t21,)n (2/ x)ln(kj,r)],
(38)
(39)
< r < r..
(40)
H
(n) _
H(1) = 0, 0 < r < r , 2
жМ0М,ю
[A(0) / A(0) ]t^ ln(kj.r)i¥
r< r < r..
(41)
В свою очередь плотности электромагнитной энергии в слоях и объемная плотность тепловых источников будут равны
w(V) =1 е0|е|-КС0) / А(0)|2,
w(j> = _ s \ß х
е 2 01 Л
х |[А(0) / А(0) ] [t1(0,n + t2?)j (2 / ж) ln^r)], (42)
w, =
m
-• |[а(0) / А(0) ]t20)n (2 / ж) 1п(ж£пг)|2 , (43)
2M0 Mj ® 1 ' 1
^(1) = а(0)/ А(0) Г ®2е 'tgS,
(44)
9СЛ =
где
= |[а(о) / А(о)][/1(о,)у+ /2о)у(2/ж)1п(жкуГ)]|2 ®2е^. (45) 5. Выводы
Построено решение задачи взаимодействия плоских электромагнитных волн со слоистым цилин-
дром. Получены расчетные соотношения для нахождения характеристик ЭМП в слоях, и, в частности, его энергии. В замкнутом виде построено приближенное решение для электрически тонких слоев. Это позволяет определять мощность внутренних источников тепловой энергии для проведения последующих теплофизических расчетов. Замкнутые формулы оказываются особенно удобными для нахождения температурных полей в слоистых наночастицах из золота и серебра. Таки частицы находят все более широкое применение в лазерной термотерапии для диагностики и лечения онкологических заболеваний.
Ллтература
1. Bom, M. Principles of optics. 7th ed. [Text] / M. Born., E. Wolf. - Cambridge: Cambridge University Press, 1999. - 987 p.
2. Rothwell, E. J. Electromagnetics. 2nd ed. [Text] / E. J., Rothwell, M.J. Cloud. - CRC Press, Taylor & Francis Group, 2009. - 540 p.
3. Борен, К. Поглощение и рассеяние света малыми частицами [Текст] / К. Борен, Д. Хафман - М.: Мир. -1980. - 345 с.
4. Chew, W.C. Waves and fields in inhomogenejus anisotropic media [Text] / W.C. Che w. - New York: Van Nos-trand, 1990. - 611 p.
5. Tai, C.T. Dyadic Green's functions in electromagnetic theory. 2nd ed. [Text] / C.T. Tai. - New York: IEEE Press, Piscataway, New Jersey. 1994. - 547 p.
6. Aden, A.L. Scattering of electromagnetic waves from two concentric spheres [Text] / A.L. Aden, M. Kerker // Journal of Applied Physics. - 1951. - Vol. 22, Issue 10. -P. 1242-1246. doi: 10.1063/1.1699834
7. Wu, Z. S. Electromagnetic scattering for multi-layered spheres. Recursive algoritm [Text] / Z. S. Wu, Y. P. Wang // Radio Science. - 1991. - Vol. 26, Issue 6. -P. 1393-1401. doi: 10.1029/91rs01192
8. Tarento, R. J. Mie scattering of magnetic spheres [Text] / R. J. Tarento, K. H. Bennemann, P. Joyes, J. Van de Wabble // Physical Review E. - 2004. - Vol. 69, Issue 2. -P. 026606, 1-5. doi: 10.1103/physreve.69.026606
9. Barber, P. W. Light scattering by particles: computational methods [Text] / P. W. Barber, S. C. Hill. - Singapore, New Jersey, London, Hong Hong: World Scientific, 1990. - 261 p.
10. Бреховских, Л. М. Волны в слоистых середах [Te^] / Л. М. Бреховских. - М.: Наука, 1973. - 343 с.
11. Афанасьев, А. М. Математическое моделирование взаимодействия СВЧ излучения с влагосодержащими плоскими слоистыми средами. Часть 1 ^кст] / А. М. Афанасьев, В. В. Подгорный, Б. Н. Сипливый, В. В. Яцышен // Известия вузов. Электромеханика. - 2001. - № 2. - С. 14-21.
12. Gurwich, I. Scattering of electromagnetic radiation by multilayered spheroidal particles: recursive procedure [Text] / I. Gurwich, M. Kleiman, N. Shiloah et. al. // Applied optics. -2000. - Vol. 39, Issue 3. - P. 470-477. doi: 10.1364/ ao.39.000470
13. Roth, J. Scattering and extinction sections for a spherical particles coated with an oriented molecular layer [Text] / J. Roth, M. J. Digman // Journal of the Optical Society of America. - 1973. - Vol. 63, Issue 3. - P. 308-311. doi: 10.1364/josa.63.000308
14. Лопатин, В. Н. Введение в оптику взвесей клеток [Текст] / В. Н. Лопатин, Ф. Я. Сидько. - Новосибирск: Наука, 1988. - 240 с.
15. Величко, Е. А. Влияние диэлектрического покрытия на рассеяние плоской электромагнитной волны металлическим цилиндром [Текст] / Е. А. Величко,
А. П. Николаенко.// Радиофизика и радиоастрономия. -2013. - Т. 16, № 1. - С. 67-74.
16. Афанасьев, А. М. Слоистый цилиндр во внешнем гармоническом электромагнином поле [Текст] / А. М. Афанасьев, В. В. Подгорный, Б. Н. Сипливий // Изв. вузов. Электромеханика.- 2013. -№ 3. - С. 5-11.
17. Tricarico, S. Scattering cancellation by metamaterial cylindrical multilayers [Text] / S. Tricarico, F. Bilotti, L. Vegni // Journal of the European Optical Society: Rapid Publications. - 2009. - Vol. 4. - P. 0921-1-0921-10. doi: 10. 2971/jeos.2009.09021
18. Qiu, Ch.-W. Electromagnetic Scattering Properties in a Multilayered Metamaterial Cylinder [Text] / Ch.-W. Qiu, H.-Y. Yao, S.-N. Burocur, S. Zouhdi, L.-W. Li // IEICE Transactions on Communications. - 2007. - Vol. E90-B, Issue 9. -P. 2423-2429. doi: 10.1093/ietcom/e90-b.9.2423
19. Гречко, Л. Г. Розставання електромагштного випромшювання на багатошаровш кулi [Текст] / Л. Г. Гречко, Л. Б. Лерман, Н. Г. Шкода // Вюн. Кшвс. унту. Сер. фiз.-мат. - 2004. - № 3. - C. 376-384.
20. Гречко, Л. Г. Багатошаровий елшсо!д в елек-тричному rn^i [Текст] / Л. Г. Гречко, Л. Б. Лерман,
H. Г. Шкода // Вюн. Кшвс. ун-ту. Сер.: фiз.-мат. науки. -2004. - № 1. - С. 386-394.
21. Гречко, Л. Г. Поляризовшсть структурно-неод-норщних кульових частинок [Текст] / Л. Г. Гречко, Л. Б. Лерман, Д. Л. Водопьянов, С. В. Шостак // - Вюн. Кжвс. ун-ту. Сер.: фiз.-мат науки. - 2007. - № 1. - С. 207-212.
22. He, B. Transfer Matrix Method for Natural Vibration Analysis of Tree System [Text] / B. He, X. Rui, H. Zhang // Mathematical Problems in Engineering. - 2012. - Vol. 2012. -P. 1-9. doi: 10.1155/2012/393204
23. Khorasani, S. Analytial solution of linear ordinary differential equations by differential transfer matrix method [Text] / S. Khorasani, A. Adibi / Electronic J. of Differential Equatios. - 2003. - Vol. 2003, Issue 79. - P. 1-18.
24. Породько, Л. В. Электродинамическая энергия в сферических слоистых наночастицах [Текст] / Л. В. Породько, Л. Б. Лерман // Технологический аудит и резервы производства. - 2013. - Т. 6, № 1 (14). - С. 41-44. - Режим доступа: http://journals.uran.ua/tarp/article/view/19549/17221
25. Черенков, В. С. Техническая электродинамика: Конспект лекций. [Текст] / В. С. Черенков, А. М. Иваниц-кий. - Одесса: ОНАЗ им. А.С. Попова, 2006. - 160 с.
26. Silveirinha, M. G. Parallel Plate Metamaterials for Cloaking Structures [Text] / M. G. Silveirinha, A. Alu, N. En-gheta // Physical Review E. - 2007. - Vol. 75, Issue 036603.-P. 1-16. doi: 10.1103/physreve.75.036603
27. Справочник по специальным функциям [Текст] / под ред. А. Абромовича, И. Стиган. - М.: Наука, 1979 - 832 с.
References
1. Born, M., Wolf, E. (1999). Principles of optics. 7th ed. Cambridge University Press. Cambridge, 987.
2. Rothwell, E. J., Cloud, M. J. (2009). Electromagnetics. 2nd ed. CRC Press, Taylor & Francis Group, 540.
3. Bohren C, Huffman, D. (1983). Absorption and Scattering of Light by Small Particles. New York: Wiley, 545.
4. Chew, W. C. (1990). Waves and fields in inhomo-genejus anisotropic media. New York: Van Nostrand, 611.
5. Tai, C. T. (1994). Dyadic Green's functions in electromagnetic theory. 2nd ed. New Jork, IEEE Press, Piscataway.
6. Aden, A. L., Kerker, M. (1951). Scattering of electromagnetic waves from two concentric spheres. Journal of Applied Physics, 22 (10), 1242-1246. doi: 10.1063/
I.1699834
7. Wu, Z. S., Wang, Y. P. (1991). Electromagnetic scattering for multilayered sphere: Recursive algorithms. Radio Science, 26 (6), 1393-1401. doi: 10.1029/91rs01192
8. Tarento, R. J., Bennemann, K. H., Joyes, P., Van de Wabble, J. (2004). Mie scattering of magnetic spheres. Physical Review E, 69 (2), 026606, 1-5. doi: 10.1103/ physreve.69.026606
9. Barber, P. W., Hill S. C. (1990). Light scattering by particles: comptation mrthods. Singapore, New Jersey, London, Hong Hong: World Scientific, 261.
10. Brehovskih, L. M. (1973). Volny v sloistyh sredah. Moscow: Nauka, 343.
11. Afanas'ev, A. M., Podgorny, V. V., Sipliwy, B. N., Yacyshen, V. V. (2001) Matematicheskoe modelirovanie vsai-modeistviya SVC islucheniya s wlagosoderzhaschimi ploskimi sloistymi sredami. Chast 1. Isvestiya wusov. Electrotechnika, 2, 14-21.
12. Gurwich, I., Kleiman, M., Shiloah, N., Cohen, A. (2000). Scattering of electromagnetic radiation by multilayered spheroidal particles: recursive procedure. Applied Optics, 39 (3), 470-477. doi: 10.1364/ao.39.000470
13. Roth, J., Dignam, M. J. (1973). Scattering and extinction cross sections for a spherical particle coated with an oriented molecular layer. Journal of the Optical Society of America, 63 (3), 308-311. doi: 10.1364/josa.63.000308
14. Lopatin, V. N., Sidko, F. Ya. (1988). Wvedenie v optiku vsvesey kletok. Novosibirsk: Nauka, 240.
15. Velichko, E, A., Nikolayenko, A. P. (2013). Vliya-nie dielectricheskogo pokrytiya na rassseyanie ploskoy elec-tromagnitnoy volny metallicheskim cylindrom. Radiophysika i radioastronomiya, 16 (1), 67-74.
16. Afanas'ev, A. M., Podgorny, V. V., Siplivi, B. N. (2013). Sloisty cylinder vo vneshnem garmonicheskom elec-tromagnitnom pole. Isvestiya wusov. Electrotechnika, 3, 5-11.
17. Tricarico, S., Bilotti, F., Vegni, L. (2009). Scattering cancellation by metamaterial cylindrical multilayers. Journal of the European Optical Society: Rapid Publications, 4, 0921-1-0921-10. doi: 10.2971/jeos.2009.09021
18. Qiu, C.-W., Yao, H.-Y., Burokur, S.-N., Zouhdi, S., Li, L.-W. (2007). Electromagnetic Scattering Properties in a Multi-layered Metamaterial Cylinder. IEICE Transactions on Communications, E90-B (9), 2423-2429. doi: 10.1093/ietcom/e90-b.9.2423
19. Grechko, L. G., Lerman, L. B., Shkoda, N. G. (2004). Rossiyuvannya electromagnitnogo vyprominuvannya na bagatosharoviy kuli. Visn. Kyivs. un-tu. Ser.: phys.-math., 3, 376-384.
20. Grechko, L. G., Lerman, L. B., Shkoda, N. G. (2004). Bagatisharovy elipsoid v electrychnomu poli. Visn. Kyivs. un-tu. Ser.: phys.-math., 1, 386-394.
21. Grechko, L. G., Lerman, L. B., Vodopyanov, S. V., Sostak, S. V. (2007). Polyarisovnost strukturno-neodnorodnych kulyovych chastinok. Visn. Kyivs. un-tu. Ser. : phys.-math., 1, 207-212.
22. He, B., Rui, X., Zhang, H. (2012). Transfer Matrix Method for Natural Vibration Analysis of Tree System. Mathematical Problems in Engineering, 2012, 1-19. doi: 10.1155/ 2012/393204
23. Khorasani, S., Adibi, A. (2003). Analytial solution of linear ordinary differential equations by differential transfer matrix method. Electronic J. of Differential Equatios, 2003 (79), 1-18.
24. Porodko, L. V., Lerman, L. B. (2013). Electrody-namic energy in spherical nanoparticles layered. Technology audit and production reserves, 6/1 (14), 41-44. Available at: http://journals.uran.ua/tarp/article/view/19549/17221
25. Cherenkov, V. S., Ivanicky, A. M. (2006). Tehnich-eskaya electrodynamica: Konspekt lekcy. Odesaa: ONAS im. A. S. Popova, 160.
26. Silveirinha, M. G., Alu, A., Engheta, N. (2007). Parallel Plate Metamaterials for Cloaking Structures. Physical Review E, 75 (036603), 1-16. doi: 10.1103/physreve.75.036603
27. Abromovich, A., Stigan, I. (Eds.) (1979). Spra-vochnik po special'nym funkcijam. Moscow: Nauka, 832.
Рекомендовано до публгкацИ д-р ф1з.-мат наук Розенбаум В. М.
Дата надходження рукопису 23.11.2015
Лерман Леонщ Борисович, кандидат техшчних наук, старший науковий сшвробггник, 1нститут х1мп поверхш 1м. О. О. Чуйка НАН Украши, вул. Генерала Наумова, 17, м. Кшв, Украша, 02124 E-mail: llerman@yandex.ru
