CC BY
31
УДК 537.87 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2006, вып. 1
С. Н. Галямин, А. В. Тюхтин
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ, ДВИЖУЩИХСЯ В РЕЗОНАНСНО ДИСПЕРГИРУЮЩЕМ ДИЭЛЕКТРИКЕ
1. Введение. Проблемы излучения электромагнитных волн заряженными частицами, движущимися в материальных средах, широко освещались в научной литературе, в том числе в ряде монографий и обзоров (см., например, [1-4]). В последние годы эти вопросы привлекали внимание прежде всего в связи с экспериментами по кильватерному ускорению заряженных частиц [5-10]. Однако в большинстве доступных нам работ не рассматривалась роль конкретных дисперсионных закономерностей, характерных для тех или иных сред. Между тем хорошо известно, что учет частотной дисперсии принципиален при расчете энергии излучения точечного движущегося заряда [1-3].
Одна из типичных для диэлектрических сред моделей дисперсии описывается следующей зависимостью диэлектрической проницаемости е от частоты:
2 2 2 в{и) = 1 + ^ТЯ = У ц* ' (1)
— ш Ш0 — и)
где £о = 1 + > 1 - значение проницаемости по отношению к статическому полю;
и>о - резонансная частота; и>£ - плазменная (ленгмюровская) частота (магнитную проницаемость среды будем считать равной 1). Формула (1) соответствует наиболее простой модели резонансной дисперсии, когда имеется только одна резонансная частота и не учитывается диссипация. Для такой модели рассматривалось излучение отдельного заряда в случае безграничной среды [11, 12], в случае движения заряда вдоль оси вакуумного канала [13] и вдоль оси волновода, полностью [14] или частично [15] заполненного средой. Анализировался также случай движения заряда в вакууме вдоль границы раздела с подобной средой [16]. Отметим, что в некоторых работах (см. [8]) модель резонансной дисперсии использовалась при анализе излучения Вавилова-Черенкова в волноводе с активной средой (при этом < 0).
Основной задачей настоящей работы является анализ сил взаимодействия и полной энергии излучения системы из двух зарядов, движущихся в пассивной среде с проницаемостью вида (1). Однако, прежде чем рассматривать двухчастичную систему, целесообразно преобразовать известные выражения для компонент поля уединенного точечного заряда [1-3, 11, 12, 17]. Этот вопрос, с одной стороны, важен для дальнейшего изложения результатов данной работы, а с другой - представляет и существенный самостоятельный интерес.
2. О поле уединенного движущегося заряда. Для ненулевых компонент на-пряженностей электрического и магнитного полей точечного заряда <у, закон движения которого определяется соотношениями х = у = 0, г = VI (где скорость V постоянна), в цилиндрической системе координат р, ф, г имеют место следующие выражения (см., например, [1-3 , 17]):
© С. Н. Галямин, А. В. Тюхтин, 2005
+оо
1 да(ш,р)
еШ др
ехр
(1и,
(2а)
+оо
г [ 1-£(и)02 , ч Ег = — / -——— ш ехр
— оо
+ оо
На — —
да(ш, р)
ехр
V
'. С
с1ш.
(1и,
(26)
(2е
Здесь с - скорость света в вакууме, £ = г — VI, (3 = V/с,
а(и,р)=г^Н{01) (8(ш)р),
8(ш) =
у/е(ш)/32 - 1 при е(и))(32 > 1
(3)
г |ш|
у/1 -Е{и))Р2 при е(ш),в2 < 1
(радикалы в выражениях (3) считаются положительными).
Для дальнейшего нужно определить функцию я(а;) на всей комплексной плоскости (естественно, при этом на вещественной оси должно оставаться справедливым представление (3)). В случае среды с проницаемостью (1), согласно (3), имеем
!м = -
1 - /?2 и2{ьУ-
V2
иг — СОА
(4)
где ¿ис = и>0
причем будем считать, что шс > 0 при £о02 < 1 и 1шшс > 0 при
£о(32 > 1. При £0/?2
V2
11п1
< 1 функцию (4) целесообразно записать в виде в2(и>) =
Ч _ . . . /-Г-.—-
-. Для определения функции й(о;) = проведем
<5—>+0 ш ~шо
разрезы по частям вещественной оси, задаваемым неравенствами —шо < о; < — шс и ис <и < шо, а также по мнимой оси из точки гб на -Иоо и из точки —16 на —гоо. «Физический» лист римановой поверхности определим условием 1т в(и;) > 0. Нетрудно показать, что если контур интегрирования находится на этом листе и обходит разрезы сверху, то для него соотношения (3) оказываются выполненными (рис. 1, а). Отметим, что полюсы подынтегральных выражений в (26), (2в), находящиеся в нулях функции е(ш) (при и = ±шр = ±ц;0 ^/¿о), также должны обходиться сверху (их вклад в интегралы представляет собой так называемый «плазменный след», который должен располагаться позади источника).
В случае е0/?2 > 1 введение вспомогательной бесконечно малой величины 5 оказывается ненужным. При этом первый разрез проведем по части вещественной оси, определяемой неравенством —и>0 < и> < и>о, & еще два разреза - по мнимой оси из точки г |со'с| на -Ноо и из точки —г |шс| на —гоо. На «физическом» листе (определяемом, как и выше, правилом 1т в (о;) > 0) справедливы выражения (3), если контур интегрирования идет по верхнему берегу разреза (рис. 1,6).
а
1 Im со
1ш со
/5
»41
со0 озр R-e со
-Лаз,
Рис. 1. Разрезы, полюсы и контур интегрирования для случаев со/32 < 1 (а) и со/?2 > 1 (б).
Отметим некоторые свойства функции s(cj). Нетрудно доказать, что
(5)
где черта означает операцию комплексного сопряжения. Выпишем также асимптотику функции s (и):
( \ У^"^ ■ /р ч s(w) —> ---wisgn (Reu;).
|ui|—»00 V
Отсюда следует, что в выражениях (2а)-(2в) области экспоненциального убывания подынтегральных; функций определяются неравенствами
Ima) > - |Roj| при (> 0,
Ттм lRiv.,1 РУ^-Р2 „„„ Г ^ Г\
Дальнейшие преобразования выражений (2а)-(2в) сводятся к следующему. Образуем замкнутый контур интегрирования, дополнив исходный контур (вещественную ось) полуокружностью бесконечного радиуса, расположенной в области Imw > 0 при ( > О и в области Imu; < 0 при £ < 0 (вследствие экспоненциального убывания подынтегральных функций интегралы по таким полуокружностям равны нулю). После этого все компоненты можно записать в виде сумм интегралов по разрезам и вычетов. При ( > О вклад в интегралы вносит только разрез, идущий вдоль мнимой положительной полуоси. Он дает «квазикулоновское» поле, представляющее собой предвестник, движущийся вместе с зарядом впереди него. При ( < 0 в интегралы вносят вклад как контур, который охватывает разрез, идущий по мнимой отрицательной полуоси («квазикулоновское» поле), так и контуры, которые охватывают разрезы, расположенные на вещественной оси (волновое поле, т. е. поле излучения Вавилова-Черенкова). Кроме того, в компоненты Ер и Ez вносят вклад полюсы ш = = ±uoy/eö, являющиеся ну-
лями функции s(lü) и определяющие «плазменный след». В результате ряда несложных преобразований с учетом соотношений (5) можно получить следующие выражения:
Здесь
Ер — Ер с + Еры + Ерр,
Ег = Е2с 4- Егу/ 4- Егр, (б)
Нф = Нф с + Нф и/;
о> 1
и>о
Ер у/ = — ^ I ~^\з(ш)\Мр\з(ш) |)яп
^ = - и* - ®(-о; + 00
о; 1 шо
^ = ¡Ц^О - *о)*о ссз 6(-0 ;
Hфc = ^J |в(гш)| 71(р|в(1ш)|)ехр ^-си-^г^ (ко,
о-'о
= I \з(ш)\Мр\з(ш)\)5т С).
(7)
(8)
(9)
| 0 при 0 < 0С, \ шс при 0 < 0С,
(-0 1 — N Ш2 = \
[|шс| при 0 > 0С, [0 при 0 > 0С,
и Кк(0 - соответственно функция Бесселя и модифицированная функция Хан-келя порядка /с (/с = 0, 1), 0(0 - единичная функция Хэвисайда: 0(0 =0 при £ < О, 0(0 = 1 при £ > 0. Индексом С снабжены квазикулоновские части соответствующих компонент, индексом ТУ - их волновые составляющие, а индексом Р - компоненты плазменного следа. Квазикулоновское поле присутствует как позади, так и впереди движущегося заряда и быстро убывает по мере удаления от него. Волновое поле (поле излучения) имеется только позади заряда и осциллирует по мере удаления от него.
Аналогичным образом ведет себя плазменный след, однако, в отличие от поля излучения, он сосредоточен в основном вблизи траектории движения заряда и быстро (экспоненциально) убывает при удалении от нее.
Следует подчеркнуть, что результаты (6)-(9) не справедливы к точке расположения заряда С = 0; Р — 0) так как ПРИ этом не имеет места экспоненциальное убывание подынтегральных функций. В таком случае для вычисления компоненты Ег = Е можно воспользоваться тем, что она связана с потерями энергии частицы на единицу длины пути Е простой формулой Е^ = — Е/д. Потери энергии складываются из потерь на излучение Е^ и поляризационных потерь Ер (потерь на возбуждение плазменных колебаний). Пользуясь известными результатами (см., например, [1-3, 17, 18]), имеем
где величина р0 обычно полагается равной радиусу Дебая [18]. Отметим, что вывод формулы (11) носит несколько непоследовательный характер, так как наличие ненулевого радиуса Дебая фактически означает введение пространственной дисперсии среды, которая не учитывалась в постановке задачи. Тем не менее получаемый таким путем результат, как известно, дает верную оценку поляризационных потерь энергии [18].
Отметим, что результаты (10), (11) также могут быть получены путем трансформации контура интегрирования. При этом сначала целесообразно положить, что £ = 0, в то время как величина р произвольна. Трансформируем контур интегрирования в (26) таким образом, чтобы новый контур в левой полуплоскости совпадал с исходным, а в правой полуплоскости проходил вдоль вещественной оси, но по нижнему берегу разреза и ниже полюса. Поскольку функции 5(01) и е(ш) являются четными, то при £ = 0 подынтегральное выражение в (26) нечетно, и интеграл по новому (симметричному) контуру обращается в нуль. При трансформации контура выделяется вклад разреза, который при р = 0 дает формулу (10), и вклад полюса, дающий при р = р0 формулу
Подчеркнем, что полученные формулы (6)-(9) обладают существенными преимуществами как по сравнению с исходными формулами (2а)-(2в), так и по сравнению с тождественными им выражениями, приведенными в работах [11, 12]. Во-первых, в (6)-(9) выделены три физически разные части: квазикулоновское поле, волновое поле и «плазменный след». Во-вторых, подынтегральные выражения в формулах для квазикулоновской и волновой частей не имеют особенности при р —> 0, в отличие от выражений, приведенных в [11, 12]. Потому численный расчет этих составляющих поля на оси р = 0 по формулам (6)-(9) оказывается наиболее простым.
3. Силы, действующие на заряды. Перейдем к анализу системы из двух точечных зарядов величиной <71 и движущихся в безграничной пассивной среде с дисперсией, определяемой формулой (1). Предположим, что скорости движения зарядов одинаковы по величине и направлению и практически не меняются со временем. Вторая частица движется вслед за первой по той же прямолинейной траектории, так что законы движения частиц можно задать следующими соотношениями: х\ = у\ — 0,
(10)
(П)
(11).
= УЬ, Х2 = У2 — 0, 22 = УЬ — Ь, где Ь - расстояние между частицами, У - скорость их движения.
Взаимодействие зарядов друг с другом, а также полные потери энергии системы определяются значениями ¿-компоненты электрического поля в точках расположения зарядов. Обозначая через Е\ и Е2г компоненты полей первого и второго зарядов соответственно, для воздействующих на эти заряды сил имеем
(12)
Каждая сила состоит из силы торможения уединенной частицы и силы воздействия со стороны другого заряда. Использз'я результаты (6)—(12), получаем
+оо
ил
ио
шо шо
Ш2
(14)
рР^(1-ео) \_2 , П.....
-2 у2 "и ^ у у . ^ у ^ .
Входящий в формулы (14), (15) параметр ро, как и в (11), по порядку величины совпадает с радиусом Дебая. Отметим, что формулы (14) и (15) выведены аналогично тому, как это делалось в случае уединенного заряда [18], т. е. вместо р —> 0 полагалось, чтор —> ро- Данный прием позволяет получить оценку поляризационной составляющей силы.
Компоненты Р^ являются силами кулоновского взаимодействия частиц, а их знаки определяются знаком произведения зарядов: sgn^,1c2 = ±sgn (д^)- Величина
и
первое слагаемое в Р™ являются силами радиационного трения уединенных зарядов (они всегда отрицательны). Второе слагаемое в (13), обусловленное воздействием поля излучения первого заряда на второй, может иметь любой знак в зависимости от расстояния Ь. Компоненты Р^2 связаны с поляризационными потерями энергии. При этом, если в Р^ входит только одно (отрицательное) слагаемое, связанное с возбуждением собственного «плазменного следа», то в Р- и слагаемое, обусловленное воздействием «плазменного следа» первого заряда на второй.
Как видим, при зарядах разного знака все три составляющие в ^ отрицательны, и первый заряд всегда тормозится. В случае зарядов одного знака ускорение первого заряда возможно только при относительно малом расстоянии Ь за счет кулоновского отталкивания частиц. Сила, воздействующая па второй заряд, содержит компоненты Р^ и знаки которых зависят от расстояния между частицами. Поэтому можно ожидать, что ускорение второго заряда может наблюдаться и при достаточно больших значениях Ь.
Изменение энергии системы на единице длины пути с?И/Т/¿г равно сумме сил, воздействующих на заряды:
1)2
Отметим, что выражение для мощности излучения, равной — УдШ¡¿г, было получено также с помощью расчета потока энергии через бесконечный цилиндр, соосный с траекторией движения частиц [19].
4. Анализ результатов. Приведем некоторые результаты анализа сил взаимодействия зарядов и общих потерь энергии системы. При этом не будем рассматривать поляризационные потери энергии и соответствующие компоненты в выражениях для сил. полагая, что 2 — 0' Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, как уже говорилось, поляризационные потери энергии и соответствующие им силы в данной модельной задаче могут быть лишь оценены, но не рассчитаны строго. Во-вторых, в некоторых важных случаях роль таких сил действительно является незначительной. Так, хорошо известно [4], что излучение Вавилова-Черенкова от частицы, движущейся в вакуумном канале, практически совпадает с излучением в сплошной среде, если толщина канала много меньше длины волны. В то же время поляризационные потери при движении частицы в канале, как правило, несущественны. Такая ситуация вполне реальна и для рассмотренной модели среды, несмотря на наличие бесконечно коротких длин волн в спектре излучения. Это связано с тем, что роль высокочастотной (т. е. близкий к резонансной частоте) составляющей спектра относительно мала.
Для удобства анализа введем безразмерный параметр С}, определяющий отношение зарядов: <Э = 92/91- При построении графиков силы нормируем на величину и)$с~'2(д'1 + ^2), расстояние между зарядами - на с/и о-
Нетрудно видеть, что второе слагаемое в формуле (16), отвечающее за взаимодействие полей двух зарядов, оказывает на потери энергии максимальное влияние, если ¡<2| = 1. Для такой ситуации зависимости сил и величины <Ш/¡йг от расстояния между зарядами представлены на рис. 2: I, а, б соответствует случаю одноименных зарядов
= 1), а II, а, б - разноименных (<3 = —1).
Случай равных зарядов. Из рис. 2, I, а, б видно, что сила, действующая на второй заряд, зависит от расстояния немонотонно, поскольку она является суммой убывающей по модулю компоненты и осциллирующей компоненты Г™. При Ь —> оо полная сила F2 стремится к первому (отрицательному) слагаемому в выражении (13), что соответствует потерям энергии уединенной частицы. Для относительно малых расстояний существуют такие области значений Ь, где Р2 > 0, т. е. второй заряд ускоряется. При малых скоростях имеется достаточно большое число таких областей (рис. 2, I, а), а при /3 и 1 - только одна, но более широкая (рис. 2, I, 6). Сила, действующая на первый заряд, при изменении расстояния между
Рис. 2. Зависимости величин Р\, Рч и ¿У//¿г от расстояния между зарядами Ь при (Зс = 1/\/£о --'- 0,8 для случаев = д2 (I) и = —<?2 (II).
а - 0 = 0,2, б - 0 = 0,99. Пунктир - , точки - /<2| сплошная линия - ¿/И^/с^г; силы -в единицах + расстояние - в единицах с/и)о-
зарядами монотонно убывает, что объясняется отсутствием воздействия волнового поля второй частицы на первую. Первая частица при достаточно большом расстоянии тормозится, но при относительно малых расстояниях она ускоряется за счет кулоновского отталкивания. Отметим, что область соответствующих значений Ь тем меньше, чем выше скорость, что связано с уменьшением роли «кулоновского предвестника» (на рис. 2, I, б сила Р\ практически неизменна, т. е. для показанных расстояний влияние второго заряда на первый несущественно).
Поведение полных потерь энергии двухчастичной системы при изменении расстояния между зарядами носит осциллирующий характер. Интересно, что при выполнении условия /З2 (со - 1) < 1 которое обеспечивает узость спектра излучения, полная энергия излу-
чения близка к нулю, если Ь = (2к 4- 1)7гУ/шо, где к = 0, 1, 2,.... Таким образом, при относительно медленном движении зарядов и определенных расстояниях между ними система в целом почти не теряет энергию на излучение. Этот эффект хорошо виден на рис. 2, I, а, где сплошная кривая в некоторых точках практически касается оси абсцисс. В то же время при больших скоростях она лежит значительно ниже нулевого уровня (рис. 2,1,6). Это связано с расширением спектра излучения с ростом скорости: при /Зу/ёо > 1 он занимает весь
0,005
-0,01
Рис. 3. Зависимости величин и дМ¡йг от расстояния между зарядами
Ь при 0С — 1/уёо = 0,8 для случаев q2/q\ = 0,1 (I) и 92/91 = 10 (II). а - )3 = 0,2, б - ¿8 = 0,99. Обозначения те же, что на рис. 2.
частотный диапазон [0, с^о), так что компенсация излучения разных зарядов за счет интерференции возможна лишь на некоторых частотах, в то время как полная энергия излучения остается конечной.
Случай равных по модулю зарядов разного знака (рис. 2, II, а, б). Как видим, основные отличия от случая <5 = 1 заключаются в том, что первый заряд всегда тормозится, а второй - ускоряется при достаточно малых расстояниях между зарядами. Здесь также может проявиться эффект почти полного «обнуления» потерь энергии на излучение в случае относительно медленного движения. Он имеется при выполнении условия /З2 (¿о — 1) << 1—/З2 для расстояний Ь = 2/с7Г У/шо, где к = 0, 1, 2,... (рис. 2, II, а).
Случай малого второго заряда. На рис. 3, I, а, б представлены зависимости величин ^, F2 и (Ж71¿г от расстояния между зарядами в случае, когда второй заряд много меньше первого (С} = 0,1). Для малых скоростей (рис. 3, I, а) характер зависимостей в целом остается таким же, как и при С} = \. Основное отличие наблюдается при большой скорости: вместо одной области значений Ь, для которой происходит ускорение второго заряда (рис. 2, I, б), появляется несколько подобных областей (рис. 3, I, б). Обратим внимание также на то, что величины первых максимумов на рис. 2, I, б и рис. 3, I, б сопоставимы, несмотря на резкое уменьшение величины второго заряда. Поэтому, если второй заряд представляет собой малый сгусток элементарных частиц, то сила, воздействующая на каждую частицу, в случае С) = 0,1
намного превосходит соответствующую силу в случае Q — 1 (при том же значении q\). Величина dW/dz (сплошные кривые на рис. 2, 3), как и ранее, осциллирует в зависимости от L, однако размах этих осцилляций невелик, так как потери энергии системы в основном определяются потерями энергии большего заряда. Подчеркнем, что эффект равенства нулю полных потерь энергии при неравных зарядах не может иметь места.
Случай малого первого заряда. Рисунок 3, II, а, б иллюстрирует случай, когда второй заряд много больше первого (Q = 10). По сравнению со случаем Q = 1 при малой скорости значительно расширяется область значений L, при которых на первый заряд действует ускоряющая сила. Второй заряд тормозится при любых скорости и расстоянии.
Summary
Galyamin S. N., Tyukhtin A. V. Interaction of point charges moving in a dielectric with resonant dispersion.
The system of two point charged particles moving at constant velocity one after the other in a one-resonance frequency dispersive medium is considered. The expressions for the components of the field emitted by a solitary charge in such medium are presented in a new form, which has a number of advantages in contrast with the ordinary one. The formulas for the forces acting between the charges of a two-particle system and the expression for the full energy loss are obtained. A number of new physical effects specific for such a problem are revealed. In particular, it is shown, that both acceleration and deceleration of either charge can take place. It's also underlined that in the case of equal in module charges for some parameters the system does not almost lose the energy on the Vavilov-Cherenkov radiation.
Литература
1. ФранкИ. M. Излучение Вавилова-Черенкова. М., 1988. 2. Зрелое В. П. Излучение Ва-вилова-Черенкова и его применение в физике высоких энергий: В 2 ч. М., 1968. 3. Болотовский Б. М. // Успехи физ. наук. 1957. Т. 62, вып. 3. С. 201- 246. 4. Болотовский Б. М. // Успехи физ. наук. 1961. Т. 75, вып. 2. С. 295-350. 5. Power J. G., Conde M. E., Gai W. et al. /1 Phys. Rev. Special Topics - Accelerators and Beams. 2000. Vol. 3. P. 101302-1-101302-7. 6. Park S. Y., Hirshfield J. L. // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62, N 1. P. 1266-1283. 7. Варданян А. С., Оксузян Г. Г. ¡I Журн. техн. физики. 2002. Т. 72, вып. 4. С. 76-80. 8. Schachter L. // Phys. Rev. Е. 2000. Vol. 62, N 1. P. 1252-1257. 9. Алътмарк А. М., Канарейкин А. Д., Шейнман И. Л. // Письма в Журн. техн. физики. 2003. Т. 29, вып. 20. С. 58-64. 10. Алътмарк А. М., Канарейкин А. Д., Шейнман И. Л. 11 Журн. техн. физики. 2005. Т. 75, вып. 1. С. 89-97. 11. Afanasiev G. N., Kartavenko V. G. 11 J. Phys. D. 1998. Vol. 31. P. 2760-2776. 12. Afanasiev G. N., Kartavenko V. G., Magar E. N. // Physica. B. 1999. Vol. 269. P. 95-118. 13. Тюхтин A. B. If Изв. вузов. Радиофизика. 2005. Т. 48, JV* 4. С. 327-330. 14. Тюхтин А. В. 11 Письма в Журн. техн. физики. 2004. Т. 30, вып. 14. С. 68-74. 15. Тюхтин А. В. // Письма в Журн. техн. физики. 2005. Т. 31, вып. 4. С. 37-43. 16. Иванов Н. В., Тюхтин А. В. II Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2005. Вып. 2. С. 113-118. 17. Тюхтин А. В. Электромагнитное излучение заряженной частицы, движущейся в изотропной среде. СПб., 2004. 18. Болотовский Б. М., Столяров С. Н. // Эйнштейновский сборник. 1978-1979. М., 1983. С. 173-277. 19. Галямин С. Н. // VIII Всерос. науч. конференция студентов-радиофизиков. 7-8 декабря 2004 г. СПб., 2004. С. 19-21.
Статья поступила в редакцию 12 июля 2005 г.
