Взаимодействие системы ослабленных межчастичных зон со связями между берегами в круговом нагреваемом диске Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 30-42 Механика

УДК 539.375

Взаимодействие системы ослабленных межчастичных зон со связями между берегами в круговом нагреваемом диске

Н. М. Калантарлы

Аннотация. Проведено математическое описание трещинообра-зования в круговом диске под действием тепловой нагрузки на базе модели зоны предразрушения со связями между берегами. Считается, что прямолинейные зоны предразрушения расположены произвольно в сечении упругого изотропного диска. Считается, что температурное поле в круговом диске имеет осевую симметрию, а упругие характеристики и коэффициент линейного температурного расширения материала не зависят от температуры. Принято, что зона процесса трещинообразования представляет собой слой конечной длины, содержащий материал с частично нарушенными связями между отдельными структурными элементами. Взаимодействие между берегами ослабленных зон моделируется приложением к поверхностям зон сил сцепления, вызванных присутствием связей. Для определения раскрытия берегов ослабленных зон получена система сингулярных интегральных уравнений. Получено условие, устанавливающее соответствие между интенсивностью теплового воздействия и разрывом связей материала в ослабленной зоне.

Ключевые слова: круговой диск, ослабленные зоны, связи между берегами ослабленных зон, силы сцепления, трещинообразование.

Постановка задачи. Многие диски машин работают при воздействии тепловой нагрузки. В связи с этим важное значение имеет разработка расчетной модели трещинообразования трещины в круговом нагреваемом диске.

Пусть при нулевой температуре круглый диск свободен от напряжений (рис. 1). В процессе работы в диске под действием тепловой нагрузки будут возникать зоны предразрушения (прослойки перенапряженного материала), которые моделируем как области, где ослаблены межчастичные связи материала. Задачу о зарождении трещины рассматриваем как квазистатическую в постановке плоского напряженного состояния. Считается, что температурное поле в круговом диске имеет осевую симметрию, а упругие постоянные и коэффициент линейного температурного расширения материала диска не зависят от температуры. Пусть по мере нагружения диска тепловой нагруз-

кой в материале возникает N произвольно размещенных прямолинейных зон предразрушения. Обозначим их длины через 2£k (k = 1, 2, ..., N), а в их центрах разместим начала локальных систем координат XkOkVk. Оси Xk совпадают с линиями ослабленных зон и образуют с осью x углы ak (0 = 0) (рис. 1). Между берегами зоны предразрушения происходит взаимодействие, которое моделируем ослабленной зоной связей между берегами, имеющих заданную диаграмму деформирования. Размеры ослабленной зоны связей, как и их физическая природа, зависят от вида материала круглого диска. Считается, что закон деформирования связей между берегами материала задан. В общем случае этот закон представляет собой нелинейный закон деформирования [1-3].

Рис. 1. Расчетная схема задачи о взаимодействии ослабленных зон

Задачу о напряженно-деформированном состоянии нагреваемого кругового диска, когда в диске имеются прослойки «перенапряженного» материала, удобно [4] свести к задаче о напряженно-деформированном состоянии в идеально хрупком теле, ослабленном разрезами, поверхности которых взаимодействуют между собой по некоторому закону. При таком подходе к решению задачи о зарождении трещины, прежде всего, необходимо выяснить зависимость сил сцепления (усилий) от перемещений (раскрытий берегов зоны предразрушения) в той части деформируемого материала диска, где имеют место силы межчастичного взаимодействия (притяжения) между берегами. Затем следует провести оценку напряженного состояния вблизи ослабленной зоны с учетом внешних нагрузок и сил сцепления и определит зависимости критических нагрузок, при которых имеет место трещинообразование в материале. В общем случае решение такой задачи наталкивается на большие математические трудности.

Одна из возможностей моделирования зоны предразрушения состоит в явном приложении к поверхностям зоны сил сцепления, сдерживающих ее раскрытие. Появление трещины в круговом нагреваемом диске представляет собой процесс перехода области перенапряженного материала (зоны предраз-рушения) в область разорванных связей между поверхностями материала.

Моделирование трещиностойкости диска на основе модели зоны предразрушения со связями между берегами состоит из трех основных этапов: 1) нахождения закона деформирования связей между берегами ослабленной зоны; 2) анализа напряженно-деформированного состояния в зоне предразрушения; 3) анализа предельного равновесия зоны предразрушения при действии нагрузок и сил сцепления (усилий), возникающих в связях.

При радиальном распределении температуры T = T(r) нетрудно найти частное решение уравнений равновесия и совместности деформаций в виде

r

а°г = Ъ\ + 2» T(P)PdP, т°гв = 0,

о

r

1 J T(p)pdp - T(r) ,

о

где a — коэффициент линейного температурного расширения материала; Л и ц — постоянные Ламе материала диска.

При воздействии температурных напряжений в круговом диске в связях, соединяющих берега зон предразрушения, будут возникать нормальные qyk (xk) и касательные qXkyk (xk) (к = 1, 2, ..., N) усилия. Величины этих напряжений qyk (xk) и qXkyk (xk) и размеры £k зон предразрушения заранее неизвестны и подлежат определению в процессе решения краевой задачи.

Граничные условия в рассматриваемой задаче о зарождении трещины в нагреваемом диске имеют следующий вид:

ar + ітг0 = 0 на Г;

ayk + iTxkyk = qyk (xk) + iqxkyk (xk) пРи Vk = ° \xk \ < 4,

где i — мнимая единица; Г — граница круга (диска).

Основные соотношения поставленной задачи механики материалов должны быть дополнены уравнениями, связывающими раскрытия зон предразру-шения и усилия в соответствующих связях. Без потери общности в рассматриваемой задаче их можно представить в виде

(v+ (xk, 0) - V- (xk, 0)) - i (и+ (xk, 0) - и- (xk, 0)) = (1)

= П (xk, ak) (qyk (xk) - iqxkyk (xk)) (к = 1, 2, ..., N), где функция П (xk, ak) представляет собой эффективную податливость связей, зависящая от натяжения связей; ak = ^q2k + q2kyk — модули вектора

усилий в соответствующих связях; (у+ - и—) — нормальные и (и+ - и— касательные составляющие раскрытия берегов зон предразрушения. При

a0

0 3Л + 2ц

2ц—-a

Л + 2ц

постоянном значении функции П имеем в соотношении (1) линейный закон деформирования.

Для определения значения интенсивности тепловой нагрузки, при которой происходит зарождение трещины в диске, нужно постановку задачи дополнить критерием (условием) появления трещины (разрыва межчастичных связей материала). Используем критерий критического раскрытия берегов зоны предразрушения

|(и+ " Vk) - i(uk - U— I = 6c,

где 5c — характеристика сопротивления материала диска трещинообразова-нию. Она определяется опытным путем [1].

Это дополнительное условие позволяет установить параметры нагреваемого кругового диска, при которых происходит трещинообразование в диске.

Метод решения задачи. Представим искомое напряженное состояние в круговом диске в виде

Or = оГ + о0; ов = oj° + о\; Ттв = + Trf.

Для определения напряжений о}, о0, т0в получаем граничную задачу

о0 + гтГв = F (t) на Г, (2)

°L + iTXkyk = (xk) + Qvk (xk) + iQxkyk (xk) при yk = 0, \xk\ < £k. (3)

Выражение для функции F(t) найдено в виде

t

F (t) = Rr2 J T (p)pdp, t Є Г.

0

С помощью известных формул Колосова-Мусхелишвили [5] находятся функции fk (xk) (к = 1, 2, ..., N) для каждой зоны предразрушения.

Краевые условия (2)-(3) с помощью формул Колосова-Мусхелишвили можно записать в виде граничной задачи для отыскания комплексных потенциалов Ф (z) и Ф (z) в виде

Ф (т) + Ф(T) - еш (тФ (т) + Ф (т)) = Fjtj, (4)

Ф (xk) + Ф (xk) + XkФ' (xk) + Ф (xk) = fk (xk) + qyk (xk) - iqxkyk (xk), (5)

где т = Rexp (iff); xk (к = 1, 2, ..., N) — аффикс точек берегов к-й ослабленной зоны.

Решение краевой задачи (4)-(5) ищем в виде

Ф (z) = Фо (z) + Фі (z); Ф (z) = Фо (z) + Фі (z). Здесь комплексные функции Фі (z) и Фі (z) ищем в виде [6]

N tk

Фі (z) = 2^E

2п

к=і

-tk

9k (t)dt t - zk '

N

tk

фі (z) = 5nE

-2iak

к=і

-tk

9 k(t)

T k eiak

Lt - zk (t - zk)

9 k(t)

dt'

Tk = teiak + z0' z0 = xk + iy0' zk = e-iak (z - z0) .

Здесь gk(xk) — искомые функции, характеризующие раскрытие берегов зон предразрушения,

9k (xk) = т

д

i(1 + к) dxk

[u+ (xk' 0) - uk (xk' 0) + i {v+ (xk' 0) - Vk (xk' 0))] .

Для нахождения неизвестных функций gk (xk) имеем граничные условия (5) на отрезках yk = 0, \xk| ^ £k, (k = l 2' ...' N).

Комплексные потенциалы Фо (z) и Фо (z) должны быть определены из граничных условий на контуре Г (r = R). Для определения аналитических функций Фо (z) и Фо (z) граничные условия на контуре Г представим в виде

Фо (г) + Фо (г) - е-ш [гфо (т) + Фо (Т)] = F (в) - (/і (в) - if2 (в)) ' (6)

где /і (в) - i/2 (в) = Фі (Т) + Фі (Т) - e-2i0 ТФі (Т) + Фі (Т)] .

Для решения краевой задачи (6) относительно комплексных потенциалов Фо (z) и Фо (z) используем метод академика Н.И.Мусхелишвили [5]. После некоторых преобразований найдем

Фо (z) = —

N

2ni ^ k=!

tk

k tk

zTk^TT + 1)T keiak 9k (t) +

+

Tk

z2Tk - 2z + Tk

{zTk - l)2

e-iakgk (tU dt + Фоо (z);

Фо(z) = 2П

N

E

k=1

tk

k tk

■ —3

eiak t k

. (zTk - l)

29k (t) + [z2T2k + 4 - 3zTk+

2

_2 _ \ T k e-iak _

+ 3TkTk - 3TkTkj —k--3 g (t)

-гак

{zTk - 1)

11

dt + Ф00 (z)

ф00 <z) = 22-Jf (r)(T-z - ^;

Г

Фоо (z) = -1 Ф00 (z) + -1 ФоЛ 1 ) - 1 Ф0о (z). z2 z2 \z j z

Теперь, требуя выполнения граничных условий (5) на берегах зон предразрушения комплексными потенциалами, получим систему N комплексных сингулярных интегральных уравнений относительно искомых функций gk (xk) (k = 1, 2, ..., N):

N tk

[Rnk (t, x) gk (t) + Snk (t, x) gk (t)] dt = nFn (x) \xk | ^ Ik■ (7)

k=1-tk

Функции Rnk (t, x) и Snk (t, x) определяются по известным формулам [6].

Здесь переменные x, zQn и in — безразмерные, отнесенные к радиусу нагреваемого диска R.

К системе комплексных сингулярных интегральных уравнений (7) следует добавить дополнительные условия

tk

J gk (t) dt = 0 (k = 1, 2, ..., N). (8)

-tk

Условия (8) определяют однозначность перемещений при обходе контуров ослабленных зон межчастичных связей материала диска. Сингулярные интегральные уравнения (7) с ядром Коши при дополнительных условиях (8) с помощью процедуры алгебраизации [6-8] сводятся к системе N х M алгебраических уравнений для определения N х M неизвестных приближенных значений gktm) (k = 1, 2, ..., N; m = 1,2,..., M):

1 M N

^^ ^ ^ ^ ^k \_gk (tmm)Rnk (^k tm,^nxr) + gk (tm)Snk (^k tm ,^nxr ^ — Fn(xr) (9) m=1 k=1

(n = 1, 2,... ,N; r = 1, 2,... ,M - 1),

M

gn(tm) = 0,

m=1

где tm = cos п (m = 1, 2,..., M); xr = cos m ж (r = 1, 2,...,M - 1).

Если в алгебраических уравнениях (9) перейти к комплексно сопряженным значениям, получим еще N х M алгебраических уравнений.

В правые части алгебраических систем (9) входят неизвестные значения нормальных qyk (xk) и касательных qXkyk (xk) напряжений в узловых точках соответствующих зон предразрушения. Для их нахождения служат уравнения (1).

Используя полученное решение, имеем

d i(1 + к)

— \n(xk, ak) (qyk(xk) - -iqxkyk(xk))] = —2^9k(xk) (к = 1, 2, N).

k (10) Эти комплексные дифференциальные уравнения (10) служат для нахождения напряжений qyk и qxkyk (к = 1, 2, ..., N) в связях между берегами ослабленных зон предразрушения.

Для нахождения приближенных значений напряжений qyk (tm) и qxkyk (tm) (m = 1, 2,..., M) в узловых точках необходимо построить недостающие алгебраические уравнения. Для этого потребуем, чтобы в узловых точках tm, содержащихся в зонах предразрушения, выполнялись условия (10). Используется метод конечных разностей. В результате получим комплексную алгебраическую систему из N х M уравнений для определения приближенных значений qyk (tm), qxk yk (tm) (к = 1, 2,... ,N; m = 1, 2,..., M) в узловых точках зон предразрушения.

Численные результаты и их анализ. Так как напряжения в нагреваемом круговом диске ограничены, то решение комплексных сингулярных интегральных уравнений (7) должно искаться в классе всюду ограниченных функций (напряжений). Такое решение существует [9] при выполнении условий разрешимости интегральных уравнений. В связи с этим полученные алгебраические системы не являются пока замкнутыми. Для замкнутости полученных алгебраических уравнений не хватает 2 х N уравнений, выражающих условия разрешимости сингулярных уравнений (условия конечности напряжений в окрестности вершин зон ослабленных зон xk = ±£k

(к = 1, 2, ..., N)). Эти условия можно представить в следующем виде: M 2m- 1

Е (-1)M+mgk (tm) ctg m-1 п = 0 (к = 1, 2, ..., N) , (11)

m=l

4M

M2

(-1)m (tm)tg 2

4M

Y,(-1)m gk (tm) tg^J-1 п = 0. m=1

Полученные соотношения (9)—(11) позволяют получить окончательное решение задачи. Полученные системы уравнений относительно gk(tm), qyk (tm), qxk yk (tm) (к = 1, 2,... ,N; m = 1, 2,..., M) позволяют при заданных

характеристиках связей определить напряженно-деформированное состояние нагреваемого кругового диска при наличии в материале произвольного числа зон предразрушения.

Из-за неизвестных величин Ik (к = 1, 2,...,N) объединенная алгебраическая система уравнений даже при линейно-упругом законе деформирования межчастичных связей материала оказывается нелинейной. В случае линейно-упругих связей для решения системы использовали следующим образом метод последовательных приближений: объединенную систему при некоторых определенных значениях £k (к = 1, 2,..., N) решали относительно неизвестных gk (tm), qyk (t m), qxkyk (tm). Далее выбранные величины £k и найденные значения gk (tm), qyk (tm), qxkyk (tm) подставлялись в (11), то есть в неиспользованные уравнения объединенной системы (условия конечности напряжений в окрестности вершин зон предразрушения). Выбранные величины параметров £k и соответствующие им значения gk (tm), qyk (tm), qxkyk(tm), вообще говоря, не будут удовлетворять уравнениям (11). Поэтому, выбирая значения параметров £k, будем многократно повторять вычисления, пока не будут с заданной точностью удовлетворяться уравнения (11). Объединенная система уравнений в каждом приближении решалась методом Гаусса с выбором главного элемента для различных значений M (M = 20; 30).

В случае нелинейного закона деформирования межчастичных связей материала для определения напряжений в зонах предразрушения использовали также итерационный алгоритм, подобный методу упругих решений А.А.Ильюшина [10].

Принято, что закон деформирования связей в зонах предразрушения является линейным при Vk = | (u+ — u— — i (v+ — v— 1 ^ V*. Первый шаг итерационного процесса состоит в решении системы уравнений для линейно-упругих межчастичных связей. Если на части зоны предразрушения имеет место Vk > V*, выполняются последующие итерации. Для таких итераций решается объединенная система уравнений в каждом приближении для квазихрупких связей с эффективной податливостью, переменной вдоль зоны предразрушения и зависящей от величины модуля вектора усилий в связях, полученного на предыдущем шаге расчета. Расчет эффективной податливости проводится подобно нахождению секущего модуля в методе переменных параметров упругости [11]. Считается, что процесс последовательных приближений заканчивается, как только напряжения в зонах предразрушения, полученные на двух последовательных шагах, мало различаются.

В расчетах нелинейная часть кривой деформирования межчастичных связей материала представлялась в форме билинейной зависимости, восходящий участок которой соответствовал упругому деформированию связей (0 < Vk (xk) < V*) с максимальным натяжением связей. При Vk (xk) > V* закон деформирования описывался нелинейной зависимостью, определяемой двумя точками (V*,o*) и (5c,oc), причем при ос ^ о* имели возрастающую

линейную зависимость (линейное упрочнение, соответствующее упругопла-стической деформации связей).

Найденное решение задачи позволяет прогнозировать появление трещин в нагреваемом круговом диске. В качестве условия зарождения трещин (разрыва межчастичных связей материала) используем критерий критического раскрытия берегов ослабленных зон.

Используя полученное решение, предельное условие зарождения трещин в круговом нагреваемом диске можно записать в виде

n(xk' ak (xk)) ak (xk ) = (k = 1, 2'...'N)' (12)

где xk — координаты точки ослабленной зоны, в которых происходит разрыв межчастичных связей материала.

Таким образом, совместное решение полученных алгебраических систем и предельного условия (12) дает возможность (при заданных характеристиках материала нагреваемого диска) определить критическую интенсивность теплового воздействия, размеры зон предразрушения для состояния предельного равновесия, при котором происходит зарождение трещин.

Введем новые обозначения:

4k = 4/R' Тоu(x) = T (Rx) '

где То — некоторая характерная температура, показывающая степень теплового воздействия на диск.

Рассмотрим два режима нагрева кругового диска.

1. Задана постоянная скорость роста температуры внешней границы диска. В этом случае характерная температура То = ; параметр в = = Л+ff аТ является безразмерной скоростью нагрева; т = R- — безразмерное время; a — температуропроводность материала диска. Функция /(x) в правой части системы интегральных уравнений будет иметь вид

і _ 3x2 ~ / w = + 2Е

k=1

J (ak) + - J (akx)

ak akx

o-(a*k) T

(ak )3 J1 (ak)'

где J0 — функция Бесселя нулевого порядка; ak (k = l 2'...) — последовательность ее нулей.

2. Задан постоянный поток тепла Q на внешней границе диска. В этом случае характерная температура То = QR/Xk; параметр в характеризует скорость подвода тепла; Ak — теплопроводность материала. Функция /(x) в уравнении (7) в этом случае имеет вид

1 - 3x2 2 - J (akx) - Л (akx) 1 ^)-

k=1

akx

(ak)2 J0 (ak)

-

Аналогично могут быть рассмотрены другие режимы нагрева диска.

Расчеты проводились для ряда фиксированных значений безразмерного времени т от Ю-2 до 1.

Результаты некоторых расчетов представлены на рис. 2-5. На рис. 2 представлены зависимости длины зоны предразрушения l^/R (к = 1,2,3) от интенсивности теплового воздействия /3 (скорость нагрева) для различных углов ориентации зон предразрушения (а\ = 15°; ol2 — 30°; аз = 45°).

0,100

0,075

0,050

h/R

0,02510

/

3 /А

2 V У

\ 1

10

10°

Рис. 2. Зависимость длины зоны предразрушения tk/R от интенсивности

теплового воздействия

На рис. 3-5 представлены графики распределения нормальных qyk //? усилий в зонах предразрушения.

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0

Рис. 3. Распределения нормальных qyi/P усилий в зоне предразрушения

Здесь кривые 1 соответствуют линейному закону деформирования связей, а кривые 2 — билинейному закону деформирования связей. При расчетах использованы безразмерные координаты х'к = Xk/ik■

Ч2/р

1 у 6.0 / Чї>

4.0 2 \

// 2.0

-1.0 -0.5 0 0.5 1.0

РИС. 4. Распределения нормальных qy2/f3 усилий в зоне предразрушения

і 6.0 к ,/Р

1 \

^^^ 4.0

2.0 x

РИС. 5. Распределения нормальных qy3//3 усилий в зоне предразрушения

При увеличении размера зоны предразрушения уровень напряжений в связях уменьшается. Существенное влияние на напряжения qyk и qXkyk оказывает месторасположение зон предразрушения.

Заключение. Анализ трещинообразования в круговом нагреваемом диске сводится к параметрическому исследованию полученных системы и критерия зарождения трещины (12) при различных законах распределения температурных полей и напряжений в круговом диске и характеристик материала.

Полученные результаты можно использовать для опытного нахождения критического раскрытия берегов ослабленных зон Sc (характеристика сопротивления материала трещинообразованию) и его температурной зависимости.

Список литературы

1. Папасюк В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наук.

думка, 1991. 416 с.

2. Rusinko A., Rusinko K. Plasticity and Creep of Metals. Berlin: Springer-Verlag, 2011. 436 p.

3. The special issue: Cohesive models // Eng. Fract. Mech. 2003. V. 70. No 14. P. 1741-1987.

4. Мирсалимов В.М. К решению задачи механики контактного разрушения о зарождении и развитии трещины со связями между берегами во втулке фрикционной пары // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 1. С. 132-151.

5. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

6. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук. думка, 1976. 443 с.

7. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987. 256 с.

8. Ladopoulos E.G. Singular integral equations: Linear and non-linear theory and its applications in science and engineering. Berlin: Springer-Verlag, 2000. 553 p.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640 с.

10. Ильюшин А.А. Пластичность. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

11. Биргер И.А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 2. С. 113-119.

Калантарлы Наиля Мерадж гызы (nailyak1975@gmail.com), к.ф.-м.н., доцент, докторант, Институт математики и механики НАН Азербайджана, Баку, Азербайджан.

Interaction of system of weakened interparticle zones with interfacial bonds in a circular heated disk

N. M. Kalantarly

Abstract. A mathematical description of the cracking in the circular disk under the heat load is carried out on the base of the prefracture zone with interfacial bonds model. It is assumed that the rectilinear prefracture zones are arbitrarily located in the cross section of the isotropic elastic disk. It is assumed that the rectilinear prefracture zone located arbitrarily in the cross section of the elastic disk isotropic. It is assumed that the temperature field in the circular disk has an axial symmetry, and the elastic characteristics and the coefficient of linear thermal expansion of the material does not depend on temperature. It is accepted that the cracking zone is a finite length layer, containing the material with a partially broken bonds between the separate structural elements. For determining of the opening of the weakened zones faces a system of singular integral equations is obtained. The condition establishing the correspondence between the thermal

influence intensity and rupture of the material bonds in the weakened zone is obtained.

Keywords: circular disk, weakened zones, bonds between the weakened zones faces, cohesive forces, cracking.

Kalantarly Naila Meraj gyzy (nailyak1975@gmail.com), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, doktoral, Institute of Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan.

Поступила 23.11.2014