Взаимодействие магнитного поля со стопой сверхпроводящих колец Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 536.613

А. Р. Сазонов, А. Р. Буев, А. В. Леухин

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

СО СТОПОЙ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ КОЛЕЦ

Исследуется влияние коаксиальной стопы сверхпроводящих колец на внешнее аксиальное, однородное магнитное поле. Результаты расчета поля внутри экрана хорошо коррелируют с экспериментом.

Введение

В работе [1] было установлено, что набор сверхпроводящих колец (стопа) эффективно экранирует аксиальное магнитное поле. В работах [1-4] обнаружено, что существует оптимальное расстояние между кольцами, при котором зона полного экранирования на оси экрана оказывается максимальной. Этому сопутствует также увеличение среднего (по высоте экрана) поля проникновения. Последний факт экспериментально подтверждается в работах [2, 3], в которых при описанной выше ситуации наблюдается ~20 % рост порога ограничения тока в индуктивном высокотемпературном сверхпроводнике (ВТСП) - токоограничителе. Физического толкования или расчета, обнаруженных в работах [1-4] эффектов, не имеется.

Данная работа посвящена развитию теории взаимодействия стопы сверхпроводящих колец с внешним, однородным, аксиальным магнитным полем. С помощью алгоритма, основанного на законе сохранения магнитного потока через сверхпроводящее (СП) кольцо, и классической электродинамики осуществлено численное моделирование некоторых экспериментов из [1-4].

1 Математическая модель дискретного экрана

Расчет производится при следующих упрощающих предположениях:

1) ВТСП-кольца являются идеальными, т.е. их ширина и толщина намного меньше радиуса;

2) кольца имеют одинаковые размеры и располагаются на одинаковых расстояниях друг от друга;

3) вычисляются индуцированные СП-токи в кольцах и осевая составляющая магнитного поля внутри стопы колец.

На основании закона сохранения магнитного потока для /-го сверхпроводящего кольца можно записать:

Е ад =Фо. (1)

к

Здесь слева стоит сумма магнитных потоков через /-е кольцо от собственных индуцированных СП-токов 1к всех колец (в том числе и поток Ьи J/ от собственного тока Ji /-го кольца), - коэффициент взаимной индукции /-го

2

и к-го колец, Ф о = Во п ■ а - магнитный поток внешнего поля через /-е кольцо; а - радиус кольца. Таким образом, на основании (1) можно записать систему А-уравнений:

L1 1 ^ + L1 2 J2 + L 1 3 '}3 + ••• + L1 kJk + •••• + L1 N JN -ф0 =

L 2 1 Jl + L 2 2 J2 + L 2 3 J3 + ••• + L 2 к Jк +___________________________________________________________________+ L

'2 2°2'

'2 3 ^3

2 k'Jk'

'2 N ° N

J N — Фо

Li 1 •А + Li 2 •/2 + Li 3 J3 + ••• + Li k Jk + •••• + Li N JN — Ф0 =

(2)

LN 1 J1 + L

N 2 2

N 3^3

J3 + ••• + LN kJk + •••• + L

JN — Фо-

Коэффициенты самоиндукции L ,, у всех колец равны, т^к все кольца одинаковые • Поэтому принято Li г- = L1 ь Очевидно также, что Li k = Lk ь где і = 1, 2, •••, N и к = 1, 2, ..., N.

С учетом этого (2) можно переписать:

L 11 •А + L12 •/2 + L13 •/3 + ••• + L1 к •1к + •••• + L1 N JN — ^

L 12 •А + L 11 •/2 + L 2 3 •/3 + ••• + L 2 к '1к + •••• + L 2 N JN — Ф0,

L 32 -А + L 23 -А + L 11 -А + ••• + L 3 к '1к + •••• + L 3 N JN — Ф0,

L 1 N Jl + L 2 N J2 + L 3 N Jз + ••• + Lk \rJl- + •••• + L 1 1 J^ г —Ф0^

(3)

Система уравнений (3) при известных Ь/ к определяет СП-токи во всех кольцах ^.

Несложный расчет показывает, что коэффициенты Ь/к могут быть получены из соотношения

1К

Li к— JІр(Г, 2 і к)2п

гёг,

(4)

в котором

р (г-2і к ) = В2 (г, 2 і к )/■]к —

^0

\2

( + Г ) + гг-

і к

2 2 2 а - г - zi к

К +----------- -----—- Е

(а - Г) + 2 і к2

Здесь (см. [6]) В2 (г, 2 ^ к) - осевая составляющая магнитного поля, создаваемого к-током на расстоянии г от оси 2 и на высоте 2/к, т.е. в плоскости /-го кольца (г/к - расстояние между плоскостями /-го и к-го колец); К и Е -полные эллиптические интегралы первого и второго родов:

п/2 п/2

к = I

лА - к2 8ІИ2 0

Е

к2 —-

4аг

2

(а + Г) + 2ік

2

На оси 2 (г = 0):

Р(0, 2ік ) — В2 (0, 2ік )/'1к =■

|І0а

4 (а2 + 2 і к2

3/2 '

Если известно значение внешнего магнитного поля В0, размеры колец и расстояния между ними, то можно разрешить систему (2) относительно Ък.

Наведенные в кольцах СП-токи оказываются такими, чтобы суммарные потоки внешнего магнитного поля и полей от индуцированных в кольцах СП-токов через их отверстия были равны нулю.

Оптимальное экранирование, очевидно, достигается тогда, когда наведенные токи во всех кольцах принимают равные значения. В этом случае при достижении внешним магнитным полем определенного, критического значения все кольца одновременно перейдут в нормальное состояние, т.е. потеряют сверхпроводимость и способность экранировать внутренний объем стопы (дискретного экрана). В противном случае самое «слабое» кольцо, в котором индуцируется наибольший СП-ток, первым выйдет из строя. При этом кольцо перестанет давать свой вклад в собственные поля остальных колец. Индуцированные токи колец вынуждены будут вырасти, чтобы выполнялось уравнение (1), и приблизиться к критическому значению. Таким образом, можно найти такое оптимальное расположение колец (оптимальные расстояния между ними), чтобы все СП-токи в них были одинаковыми. Эта конфигурация стопы колец будет соответствовать максимально возможному полю проникновения.

2 Модель стопы из ограниченного числа колец

Произведем вышеописанный расчет для дискретной стопы, состоящего из девяти СП-колец с радиусом а = 0,01 м во внешнем поле В0 = 10 мТл. Критическое значение плотности тока для всех колец принимается ]с = 1000 А/см или Ъ = 122,5 А.

Для нахождения СП-токов колец производится поиск решений системы уравнений (3) относительно переменных Ък (к = 1, 2, ..., А) при N = 9.

С ростом величины расстояния между кольцами значения магнитного поля от соседних колец уменьшаются, соответственно, уменьшается их вклад в собственный поток через кольцо. Это приводит к уменьшению влияния соседних колец и к заметному выравниванию индуцированных СП-токов в центральных и крайних кольцах.

В качестве численной характеристики выравнивания токов при раздви-жении колец были введены такие параметры, как среднее значение тока по всей стопе Ъср и относительная степень отклонения значений токов в каждом

- 1 А к -ъср|

из колец от среднего значения 5 =—Е ----------- . Их значения, приведенные

А /=1 Ъср

в табл. 1, наглядно иллюстрируют вышесказанное.

Для моделирования распределения магнитного поля в объеме стопы рассмотрим случай, когда внешнее магнитное поле находится вблизи значения поля проникновения, при котором все наведенные в кольцах СП-токи достигли критического значения, т.е. Ъ/ = Ъс.

На рис. 1 и 2 показано распределение магнитного поля В(2) = В0 - Вкольц внутри стопы из девяти колец в зависимости от расстояния к между кольцами.

Из рис. 1 и 2 следует, что при росте расстояния между кольцами увеличивается зона экранирования. Установлено также, что имеется оптимальное расстояние между кольцами (копт = 0,28а ), при котором поле на оси практи-

чески равно нулю, т.е. достигается полная экранировка (рис. 3). Этот факт хорошо коррелирует с экспериментальными данными работ [1-4]. При расстояниях между кольцами менее или более копт эффективность экранирования уменьшается. А именно, дно кривых В(2) оказывается менее плоским и лежит на большем расстоянии от оси 2.

Рис. 1 Распределение продольной компоненты суммарного магнитного поля вдоль оси ВТСП-экрана при расстоянии к между кольцами: 0,2а < к< 0,28а

В, мТл

Рис. 2 Распределение продольной компоненты суммарного магнитного поля вдоль оси ВТСП-экрана при расстоянии к между кольцами: 0,28а < к < 0,9а

Втш, мТл

Н, м

Рис. 3 Зависимость минимального значения магнитного поля Вшт от расстояния между кольцами к в экране из девяти колец (а = 0,01 м)

Из физических соображений и из экспериментов понятно, что экранирование на оси 2 дискретного экрана является полным. С точки зрения проведенных расчетов это означает, что кривая В(г) в пределах зоны полного экранирования должна совпадать с осью 2. Небольшой зазор, порядка 0,1 мТл (рис. 3), может быть объяснен тем, что токи в кольцах представляются протекающими по круговым траекториям, проходящим через центры колец. В действительности ток в кольце протекает по всему его сечению. Учет данного факта, а также вероятного неравномерного распределения тока по объему кольца усложняет расчет, но приближает к реальным условиям. В дальнейших работах планируется учесть все эти дополнительные условия.

При расстояниях между кольцами к > копт = 0,28а на кривой В(2) начинают выделяться максимумы и минимумы значений магнитного поля (рис. 2). Причем минимумы соответствуют расположениям колец, а максимумы - щелям между ними. И на кривой, соответствующей к = 0,9а (рис. 2), уже отчетливо видно проникновение поля в объем экрана.

Заключение

Проведенные исследования показали следующее:

1. Проведенные вычисления позволяют повторить их для реальных колец, имеющих собственный объем. При этом следует учесть распределение плотности тока и абрикосовских вихрей по объему кольца. Предварительный анализ показал, что учет данных факторов приведет к заметным изменениям в пространственном распределении проникающего магнитного поля. Данная работа является лишь первым шагом в решаемой задаче.

2. Полученные результаты могут быть использованы на практике при экранировании постоянных магнитных полей.

3. Для снижения поля проникновения в центре стопы необходимо найти условие, при котором в кольцах будут протекать одинаковые СП-токи. Это осуществляется путем поиска оптимального распределения колец. В дальнейшем будут рассмотрены различные варианты неравномерного распределения колец. В расчетах будет также учтено проникновение магнитного поля в толщу сверхпроводника и показано, как вид зависимости проникновения магнитного поля может повлиять на свойства экрана.

Список литературы

1. Патент Российского агентства по патентам и товарным знакам РФ на изобретение № 2253169. Составной магнитный ВТСП-экран / Игумнов В. Н., Буев А. Р., Иванов В. В., Филимонов В. Е. - 27.05.2005, Бюл. № 15.

2. Патент Российского агентства по патентам и товарным знакам РФ на изобретение № 2230417. ВТСП-ограничитель тока с дискретным экраном / Буев А. Р., Игумнов В. Н., Лоскутов А. В., Иванов В. В. - 07.08.2002.

3. Буев, А. Р. Сверхпроводящий ограничитель тока с составным экраном / А. Р. Буев, А. В.Лоскутов, В. З. Манусов // Научный вестник НГТУ. - 2002.- № 2 (13). - С. 137-144.

4. Буев, А. Р. Сверхпроводящий ограничитель аварийных токов с составным экраном. Результаты экспериментов / А. Р. Буев, А. В. Лоскутов, В. З. Манусов // Электро. - 2003. - № 3. - С. 6-10.

5. Лаппо, И. С. Технология и свойства магнитных экранов / И. С. Лаппо [и др.] // Получение, свойства и анализ высокотемпературных сверхпроводящих материалов и изделий. - Екатеринбург : УрОАНСССР, 1991. - С. 94-97.

6. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : в 10 т. : учебное пособие для студентов / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. - Т. 8. Электродинамика сплошных сред. - 2-е изд., перераб. - М. : Наука, 1982. - 616 с.