Взаимодействие электромагнитных волн в сильном постоянном магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

108

ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 3

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Взаимодействие электромагнитных волн в сильном постоянном

магнитном поле

В. А. Соколов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой теории и физики высоких анергий. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: sokolov.sev@itibox.ru

Статья поступила 24.06.2008, подписана в печать 26.12.2008.

Рассматривается взаимодействие электромагнитных волн в сильном постоянном магнитном поле в рамках параметризованной нелинейной электродинамики вакуума. Получено дисперсионное соотношение для нормальных мод. Вычислено влияние поправок нелинейной электродинамики на частоты генерации кольцевого лазера.

Ключевые слова: нелинейная электродинамика вакуума, постмаксвелловское приближение, кольцевой лазер.

УДК: 530.12:514.743. PACS: 03.50.Kk, ll.10.Lm, 12.20.Fv.

В современных теоретических моделях электродинамика в вакууме является нелинейной теорией. Наличие нелинейных слагаемых делает возможным предсказание новых эффектов, возникающих при взаимодействии электромагнитных волн.

В приближении слабого электромагнитного поля лагранжиан нелинейной электродинамики в параметризованном постмаксвелловском приближении [1] может быть записан в виде

■ В] + (Е2 - В2)2 + 4щ(ВЕ)2]}, (1)

-27 Рс —2

где £= 1 /В2 = 0.5- 10 " 1с а постмаксвелловские параметры г]\ и щ зависят от выбора теоретической модели. Оценки показывают, что для электродинамики Борна-Инфельда г]\ =щ и 4.9- 10^6, а для электродинамики Гейзенберга-Эйлера г]\ = 5.1 • 10^5 , 772 = 9.0 • 10~5.

Уравнения электромагнитного поля, получаемые из лагранжиана (1), аналогичны уравнениям макроскопической электродинамики

wtH =

IdD

c~dt'

1 ав

divD = 0,

(2)

(3)

(4) и (3) в (2) получим систему уравнений, описывающую взаимодействие электромагнитных волн в постоянном магнитном поле.

В нулевом приближении по еа. и Ьа, уравнения (2) описывают распространение плоской сильной волны в постоянном магнитном поле. При этом благодаря эффекту двулучепреломления вакуума возникают две нормальные моды, одна из которых поляризована в плоскости, образованной волновым вектором сильной волны Ы и направлением постоянного магнитного поля, (Е$,[До.А])=0, а вторая мода поляризована перпендикулярно этой плоскости, (Е$,Во) = 0. Частоты для этих нормальных мод сильной волны

2 Шк,В0}2л и(х 2^2 [к,В0]2-

и 1 = kc{\

k2

U2 = kc(\

k2

, сНУ.В = 0

С Ot

со специфическими материальными уравнениями яг

О = 477— =Е+ 2({//, (Е2 - В2)Е + 2щ(ВЕ)В),

0X2/ Я]

Н = = В + 2({//, (Е2 - В2)В - 2щ(ВЕ)Е}.

Пусть слабая, плоская электромагнитная волна распространяется в поле плоской волны сильного лазерного излучения в сильном, постоянном, однородном магнитном поле с индукцией Во. Векторы поля слабой волны обозначим еа. и Ьа., а сильной волны Е$, и В8. Тогда суммарные поля можно записать в виде

Е = Е$ + е&,, В = В$+В0 + Ь&,. (4)

В дальнейшем все вычисления будем проводить с точностью до слагаемых порядка После подстановки

(5)

для каждой из перечисленных поляризаций соответственно.

Решение для поля слабой волны будем искать в виде: bw = b0eiS, ew = e0eiS, (6)

где S(r,t) — эйконал, а амплитуды 6о и во будем считать слабо изменяющимися функциями по сравнению с . После подстановки (6) в материальные урав-

нения (3) и выполнения линеаризации по полю слабой волны аналогично [2] получим систему трех уравнений относительно компонент (е&.)/3:

(7)

где введено обозначение

-ч

(VS)

1 as\2-i f as as —1 1 ---

с dt J

dxa dxi3

' //г» „ „ч „„r (fe.VS) ldSi

x ('-^-(VS.E.)^ /;'. :{ (fe'- -^r 1 - ¡VS.Be] 1 \ k Ik с dt J

" V2

с dt I

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

109

с ot L ft u J

Условие существования нетривиальных решений уравнения (7): det ||Фа(д|| = 0. Будем искать решения уравнения (7) для двух случаев, когда сильная электромагнитная волна имеет линейную поляризацию соответствующую нормальным модам (5).

В том случае, если сильная электромагнитная волна имеет линейную поляризацию Es = ¿ц и поляризована в плоскости (£||, [B0,k]) = O, равенство нулю определителя det ||Фа,з|| = 0 приводит к следующим уравнениям для эйконала слабой волны:

(до sf - (vsf+^mE¡(n, ё)2+цт [(vs)2 д02 ч^.д,)—

(g,n)(VS, [До.-Ец]) -2(VS,£||)(VS, [л,Д0])] =0,

(В)

(d0S)2-(WS)4^mE¡(n,g)4^m[(d0S)2^-(WS,B0)2-

- 2<%S(VS. [Д,. £j |) — 2(VS. Д|)(я. [\\S\ £, =0, (9)

где обозначено: g = n<9oS + VS и n = k/k.

Решая уравнение (8) методом последовательных приближений с точностью до слагаемых порядка £r¡ получим

(s,)|| = -m + (?,r)-

4£„, f (q,Ef.)(q, [л,Д0])

-TÍ n'c-(f.«)

^ | ^ - (я, q) | sin 2(u\ t - (ft, r)),

^i(£|)2f n

2 к

где q — волновой вектор слабой волны, а Я - частота слабой волны.

Решение уравнения (9) имеет вид

4£?72

№)n = -ni + (ff,r)-Ä{n/c_(ffiJi)} -

х {(q, Д0)(л, [q,£¡}]) + j(q, [Д0,£¡}])} sin(w, t - (ft, r)) ■

2ft

j — - (л, #)} sin2(o;ií - (ft, г)).

Если сильная электромагнитная волна Е$ = Е± имеет поляризацию (Е_|_,До) = 0, то уравнения для эйконала слабой волны имеют вид

(д08)2^8)2+ЦтЕ2±(п,ё)2+Цт [(У5)2Д2^(У5,Д0)2^

[В0,Е±]) [л,Д0])] =0,

(10)

(а05)2 - С\78)2+Цг]2Е2± (л, ё)2+Цг]2 [ШУВ2 - СУ5, Д,)2 -- 2(а05)2(£±, [л, Д0]) - 2а05(У5, [Д0,1^]) +

+ 2(У5,Д0)(л, [У5,£±])] =0. (11)

Решение уравнения (10) имеет вид

(5,)х = -т + (?,г)-4£т( (д,Е?±)(д, [л,Д0]) й I И/с — (д,п)

ШКУ г О

2ft

j — - (л, (?) j sin2(o;2Í - (ft, г)),

где # — волновой вектор слабой волны. Решение уравнения (11) имеет вид

(S2)± = -m+(q,r)

4£Í?2

ft{fi/c — (q, л)}

x {(?,*))(«, [9>£° ]) + "(?, [До.^2.])-

П2 1

- -^(Él [л, До])} sm(üj2t^ (ft, г)) ■

2ft

- (л, <?)} sin2(o;2Í - (ft, г)).

Дисперсионное соотношение для уравнений (8)-(11) имеет одинаковый вид

^ - Ч2 + 2^,2 - (Л, <?))2£2 + 4(,/|.1> [Ч, До]2 = о, (12)

где под Е подразумевается одна из поляризаций сильной волны.

Из (12) видно, что поправки нелинейной электродинамики максимальны, если слабая волна распространяется в направлении, перпендикулярном До и противоположном направлению распространения сильной волны.

Дисперсионное соотношение (12) может быть использовано для расчета частот генерации кольцевого лазера аналогично тому, как это сделано в работе [1]:

V\,2

X

2 £í71j2¿

(2Е2 + В2)), щ ■■

с

А'

где I — длина активного участка кольцевого лазера, Р — его периметр, а А = (27гс)/П. В частности, для параметров кольцевого лазера, описанного в [1], при Во = 5-105 Гс для электродинамики Гейзенберга-Эйлера

Дг/01 =щ-р\ = (2Е2 + В20) = 11.9 • 10^7 Гц, Дг,02 = щ-у2 = (2Е2 + В2) = 21.1 ■ НГ7 Гц,

Дг/,2 = щ - р2 =

РХ

(2.Е2 + До) = 9.2 • 10^7 Гц.

Для электродинамики Борна-Инфельда

АЩ{ =щ-их = (2Е2 + В2) = 1.17 • 10^7 Гц,

Дг.02 = щ^р2 = (2É2 + В2) = 1.17 • КГ; Гц,

Дг/,2 = щ - р2 =

РХ

Щу'2 - Vi) 1с

РХ

(2Е2 + В1)=0.

(q, [Bo,E°±])}sm(oj2t^(k,r))+

Минимальная разность частот, фиксируемая в кольцевом лазере [1], Аь> = 1.4- 10^7 Гц. Из вычисленных значений разности частот генерации видно, что поправки нелинейной электродинамики Гейзенберга-Эйлера могут быть обнаружены в эксперименте с кольцевым лазером.

Списож литературы

1. Denisov V.l., Denisova LP. 11 Theor. Math. Phys. 2001. 129, № 1. P. 1421.

2. Denisov V. II J. Opt. A. 2000. 2. P. 372.

3. Stedman G.E. et al. // Phys. Rev. A. 1995. 51. P. 4944.

4. Родионов B.H. Ц ЖЭТФ. 2004. 125, № 3. C. 453.

5. Денисов В.И., Кравцов Н.В., Ларионцев A.A. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2000. № 5. С. 51.

6. Денисов В.И., Кравцов Н.В., Гришачев В.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2003. № 4. С. 34.

110 ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 3

Electromagnetic waves interaction in a strong permanent magnetic field V. A. Sokolov

Department of Quantum Theory and High Energy Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: sokolov.sev@inbox.ru.

Interaction of electromagnetic waves in a strong permanent magnetic field is considered in the frame of the parameterized nonlinear electrodynamics of vacuum. Dispersion relations for normal-modes are derived. Also, the effect of nonlinear corrections on ring laser frequencies generation is calculated.

Keywords: nonlinear electrodynamics of vacuum, post-Maxwellian approximation, ring laser. PACS: 03.50.Kk, ll.10.Lm, 12.20.Fv. Received 24 June 2008.

English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2009).

Сведения об авторе

1. Соколов Владимир Андреевич — аспирант; e-mail: sokolov.sev@inbox.ru.