ВЗАИМНО-ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ С МАТРИЦАМИ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическая физика

DOI: 10.18721/JPM .13104

УДК 517.51; 517.28; 517.983; 537.213, 537.8

ВЗАИМНО-ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ С МАТРИЦАМИ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА А.С. Бердников1, К.В. Соловьев21, Н.К. Краснова2

1 Институт аналитического приборостроения Российской академии наук, Санкт-Петербург, Российская Федерация;

2 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Данная работа продолжает изучение свойств функций, однородных по Эйлеру, которые можно использовать при синтезе электрических и магнитных полей электронно-и ионно-оптических систем, реализующих спектрографический режим регистрации. Рассматривается обобщение функционального уравнения общего вида для однородных функций, которое соответствует линейным функциональным соотношениям с матрицей минимального размера. В предположении о дифференцируемости рассматриваемых функций найдено общее решение построенного функционального уравнения. Полученные системы функций названы взаимно-однородными по аналогии с однородными функциями Эйлера и присоединенными однородными функциями Гельфанда.

Ключевые слова: функциональное уравнение, присоединенная однородная функция, взаимно-однородные функции, спектрограф

Ссылка при цитировании: Бердников А.С., Соловьев К.В., Краснова Н.К. Взаимно-однородные функции с матрицами конечного размера // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2020. Т. 13. № 1. С. 42-53. DOI: 10.18721/ JPM.13104

Статья открытого доступа, распространяемая по лицензии CC BY-NC 4.0 (https:// creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/)

MUTUALLY HOMOGENEOUS FUNCTIONS

WITH FINITE-SIZED MATRICES A.S. Berdnikov1, K.V. Solovyev2,1, N.K. Krasnova2

1 Institute for Analytical Instrumentation of the Russian Academy of Sciences, St. Petersburg, Russian Federation; 2 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russian Federation

This work continues our studies in the properties of the homogeneous Euler' s functions that can be used in the synthesis of electric and magnetic fields for electron and ion-optical systems to carry out spectrographs recording mode. A generalization of a functional general equation for homogeneous functions has been considered. This equation corresponds to linear functional relations with a minimal-sized matrix. A general solution of the obtained functional equation was found assuming of differentiability of the functions in question. The resulting systems of functions were termed mutually homogeneous functions by analogy with the homogeneous Euler's functions and the associated homogeneous Gel'fand's functions.

Keywords: functional equation, associated homogeneous function, mutually homogeneous functions, spectrograph

Citation: Berdnikov A.S., Solovyev K.V., Krasnova, N.K., Mutually homogeneous functions with finite-sized matrices, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 13 (1) (2020) 42-53. DOI: 10.18721/JPM.13104

This is an open access article under the CC BY-NC 4.0 license (https://creativecommons. org/licenses/by-nc/4.0/)

Введение

Данная статья продолжает серию работ [1 — 4], посвященных исследованию свойств однородных гармонических функций и их использованию при синтезе электрических и магнитных полей для электронно- и ион-но-оптических систем, реализующих спектрографический режим регистрации [5 — 8].

Функциями, однородными по Эйлеру и имеющими степень однородности р, называются вещественные функции многих переменных, удовлетворяющих при любом X следующему тождеству [9]:

f(kxv ^ = х2, ..., х). (1)

Любую однородную по Эйлеру функцию можно взаимно-однозначным способом представить в виде [9]:

f(xv хт х) = XJPg(X2/Xl, хз/хр хр) (2)

где g(X2/X1, X3/X1, хп/х1) = g(t2, ^ О -вещественная функция от (п — 1) переменных.

Соответственно, единственной однородной функцией степени р от одной переменной является степенная функция Дх) = сош1-хр, а единственной однородной функцией нулевой степени от одной переменной — константа.

Если функция х2, ..., хп) дифференцируема, то ее частные производные по переменным х1, х2, ., хп будут однородными функциями степени (р — 1) [9]. Кроме того, если функция Дх^ х2, ..., хп) является дифференцируемой в любой точке пространства В?, то для того, чтобы она была однородной по Эйлеру степени р, необходимо и достаточно, чтобы в любой точке пространства Вп выполнялось условие

XI д//д XI + х2д//д х2 + ... + Хпд//д хп = р/ (3)

(теорема Эйлера об однородных функциях, называемая также критерием Эйлера для однородных функций [9]).

Вместо определения (1) можно рассмотреть функциональное уравнение вида

^ XхП) = а0(Х) x2, хп) (4) с заранее неизвестной функцией а0(А), ко-

торое, на первый взгляд, должно обладать бульшей общностью, чем условие (1).

Однако достаточно быстро оказывается, что когда функция а0(А) непрерывна хотя бы в одной точке, то единственным случаем, когда у уравнения (4) возможны решения, отличные от нуля и представляющие практический интерес, будет степенная функция а0(А) = Ар. При этом, хотя у уравнения (4) и могут быть решения, отличные от степенной функции а0(А) = Ар и разрывные в любой точке, такие решения представляют интерес разве что в абстрактно-математическом смысле, но отнюдь не для физических приложений.

Действительно, из условия (4) следует, что функция а0(А) обязана удовлетворять функциональному уравнению

а0(АА) = а0(А1) ОА^

поскольку

ДА^х) = ао (А^)/(х) = ао (А1)XV) =

= ао (А2)/А1х) = ао (А1) а0 (А2)/х).

Данное уравнение представляет собой мультипликативное функциональное уравнение Коши. Любое решение этого уравнения имеет вид степенной функции а0(А) = Ар, если функция а0(А) непрерывна хотя бы в одной точке. Для дифференцируемых функций а0(А) доказательство этого утверждения получается элементарным образом после дифференцирования соотношения

а0(А^) = а0(А) а0(^)

по ц в точке ц = 1 и решения соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения.

Обобщением функций, однородных по Эйлеру, являются присоединенные однородные функции Гельфанда [10, 11], которые можно определить как решение полубесконечной системы функциональных уравнений:

/0(АX1, АX2, = а0(А) /0(X1, X2, -У'

/1(Ах1, Ах2, ■ ..) = аг(К)/0(хг, х2, ■ ..) + (5)

+а0(А)/^г хт ■■■);

/2(Ххр Хх2, ...) = а2(Х)/0(х19 х2, ...) + + а1(Х) У1(х1, x2, + ао(Х) ,/;(х1, х2 ,.);

которые должны выполняться при любом X > 0; при этом ak(X) — это заранее неизвестные функции.

У системы функциональных уравнений (5), которая имеет вид нижней треугольной матрицы с одинаковыми функциями ак(Х) вдоль диагоналей, общее решение может иметь достаточно сложный вид. Однако практический интерес представляет лишь так называемая главная цепочка присоединенных однородных функций, для которой

а.(Х) = (Ш!) У (1п Х)к,

Л(ХР х2

х) =

О

= (Ш!) (х1)р (1п х/ g(x2lxl, х^, ..., хрх),

(6) (7)

Эйлера и для присоединенных однородных функций Гельфанда, что требование диф-ференцируемости функций во всех точках можно значительно ослабить, заменив его на непрерывность функций хотя бы в одной точке и получив на выходе точно такие же формулы общего вида.

Доказательство соответствующих теорем выходит за рамки данной публикации, поскольку для скалярных потенциалов электрических и магнитных полей, используемых в электронной и ионной оптике, требование дифференцируемости в любой точке всегда выполняется.

Матрица минимального размера

Рассмотрим систему функциональных уравнений, соответствующую матрице (8) размера 2 * 2:

где g(t2, ..., tn) — произвольная вещественная функция от (п — 1) переменных.

Следующим уровнем обобщения являются функции, которые должны удовлетворять системе функциональных уравнений

Л(Ххр ...) = оДОх, х2, ...), (8)

где k = 1, 2, ..., m, а функции а.(Х) заранее неизвестны.

Такие функции, названные нами взаимно-однородными, исследуются в данной работе.

Получаемые на выходе конструкции могут иметь не только теоретический, но и практический смысл. Так, для электрических и магнитных потенциалов, однородных по Эйлеру, справедлив принцип подобия траектории, введенный Ю.К. Голиковым [5 — 8]:

если надлежащим образом масштабировать начальные условия заряженных частиц, то при справедливости нерелятивистского приближения, траектории частиц в подобных полях будут представлять собой геометрически масштабированные выражения.

Это свойство позволяет синтезировать эффективно работающие электронно- и ионно-оптические системы, примерами которых могут служить, например, полученные в работах [12 — 28].

Для упрощения выкладок предполагается, что как функции а(Х), так и функции /к(х1, х ••., хп) будут дифференцируемыми в любой точке. Имеется предположение, справедливое для однородных функций

fl(^l, Ъс^ ...) = ап(у)/l(xl, ^ ...) + + а12(Х)x2, ..-Х

f2(;kxv Xx2, . • •) = а21(Х)^^ Х2, . • •) + + а22(Х) f2(xv ХТ ..-Х

(9)

(10)

где функции а11(Х), а12(Х), а21(Х), а22(Х) заранее неизвестны.

Применим взаимно-однозначную замену переменных:

х = 1п х1,12 = х21х1, и = х. 1х., ..., I = х 1х..

3 3 V 5 п п 1

При подстановке

/1(хГ ^ ...) = gl(ln xl, х21хр ХnlХl),

Х2, = g2(ln Х1, Х2/Х1, хп1х1)

вместо уравнений (9), (10) получаем эквивалентные функциональные уравнения:

gl(X + Ы у ^ ^ О = = ап(Х) ^(х, ^ ..., I) + (11) + ^(У) g2(Х, ^ ^ ^Х

g2(X + 1П у ^ ^ . Ц =

= а^Х) gl(x, ..., О + (12) + а22(у) g2(Х, ^ ^ О.

После дифференцирования уравнений (11), (12) по переменной X в точке X = 1

получаем обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами по переменной х:

g'l(x, ■..) = а'п(1) gl(x, + + а'120) g2(x, ■ ..) ■..) = а'21(1) gl(x, + + а^О) g2(X, ■).

(13)

(14)

Форма аналитического решения для уравнений (13), (14) зависит от того, к какому классу относятся собственные числа матрицы ||а'..(1)||.

Несовпадающие вещественные собственные значения. Пусть собственные числа матрицы (13), (14) являются вещественными и не равными друг другу. Общее решение для системы дифференциальных уравнений (13), (14) имеет вид

g^(x, ^ V• - О = с11(^ tn) ехР(Р1х) +

+ Cl2(t2, t3, О еХР(Р2хХ g2(X, t2, t3, О = С21(^ t3, О еХР(Р2х) +

+ с22(^ ^ О «Р^Д

где с, с, с, с22 — это некоторые функции

от (о - 1) переменных.

В таком случае функции/1(х1, х2, ..., Хп) и /2(х1, х2, ..., Хп) должны будут иметь вид

fl(X1, х2, ., хп) =

= х1р1с11(х2/х1, ..., хп/х^) + (15) + х11с11(х1/х1, ... , х?/х)

/2(х1, х2, .", хп) = = х<р1с11(х1/х1, хъ/хх, ..., хп/х1) + (16) + х11с11(х1/х1, х./хх, ., х?/х^.

После подстановки выражений (15) и (16) в условия (9) и (10), в силу того, что функции х^1 и хр являются линейно-независимыми, получаются соотношения

Ар1сп = ап(А) сп + а^(А) с^ (17)

Ар2С12 = а„(А) С12 + ^(А) (18)

Ар1С21 = а^(А) сп + а22(А) ^21, (19) ^22 = а21(А) С12 + а22(А) С22. (20)

Линейные алгебраические уравнения (17), (18) для неизвестных функций а(А) и а12(А) не могут быть линейно-зависимыми (пропорциональными друг другу), за исключением вырожденного случая

с = с = с = с = 0

11 12 21 22 '

не представляющего практический интерес, поскольку функции Ар1 и Ар2 являются линейно-независимыми.

Точно так же линейно-независимыми будут линейные алгебраические уравнения (19), (20) для неизвестных функций а21(А) и а22(А). 21

Следовательно, без ограничения общности, можно считать, что

А = с с — с с Ф 0

11 22 12 21 '

В таком случае

ап(А) = Ар1(спс22/А) + Ар2(—с^/А), (21) а12(А) = Ар1(—сцс^А) + Ар2(спс12/А), (22)

а21(А) = Ар1(с21с22/А) + Ар2(—C2lC22/А), (23) а22(А) = Ар1(—с12с21/А) + Ар2(спс22/А). (24)

Поскольку функции а11(А), а12(А), а (А) и а22(А) не должны зависеть от набора переменных х1, х2, ..., хп, а функции

с11 (х2/х1 ,.,хп/х1), с12 (х2/х1 ,.,хп/х1), с21 (х2/х1 ,.,хп/х1), с22(х2/х1 ,.,хп/х1) не должны зависеть от А, множители

C11C22/А, C12C21/А, C11C12/А, с21с22/А

— это константы, не зависящие ни от указанного набора переменных, ни от А. Следовательно, выражения

с22 : с12 = (с11с22/А) : (с11с12/А);

с11 : с21 = (с11с22/А) : (с21с22/А) также должны быть константами.

В результате

СцЦ/Хр Х3/Х1, ., Хп/Х^) = = ^ДХ/Х!, Х3/Х1, ..., Хп/Х1),

с11(х1/х1, Х3/Х1, ..., Хп/Х1) = = 512^2(х2/х1, Х3/Х1, "•, Хп/Х1),

с11(х1/х1, Х3/Х1, ..., Хп/Х1) = = ЖгЛ^Хр Х3/Х1, ..., Хп/Х1),

с22(х2/х1, х3/х1, "•, хп/х1) = = Ж22^2(х2/х1, х3/х1, "•, хп/х1),

где величины 5 , 5, 5, 522 — это произвольные константы; h1(t , ..., хп), h (t2, ..., Хп) — произвольные функции от (п - 1) переменных.

В окончательном виде общее решение для функциональных уравнений (9) и (10) приобретает вид

ап(Х) = Хр1 + (Хр2 - ХР^-^/А*), (25)

а^Х) = (Хр2 - Х^.^/А*), (26)

а^Х) = (Хр2 - Х^ЖЛ/А*), (27)

а22(Х) = Хр2 + (Хр2 - Х^Х^/А*), (28)

/l(Х1, Х2, Хп) =

= х.^Д^Д, Х31Х1, .. „х^х.) + (29) + xlp25l2h2(x2lxl, Xзlxl, ...^х

^ x2, хп) =

х р1 52Д(х21х., х31х1, хп1х1) + (30)

+ xlp2522h2(x2lxl, ХзlХ1, xnlxl),

где

А* = 511522 - 512521 + 0

а величины 5 , 5.2, 521, 5 — произвольные константы; h1(t t3, Г^ h2(t2, t3, Г) -произвольные функции от (п — 1) переменных.

В общем случае часть констант в формулах (25) — (30) является лишней, поскольку, например, константу 5 можно объединить

с функцией

h1(Х2lХ1, ХnlХ1),

а константу ж22 — с функцией

h2(Х2lХl, XзlХl, ХnlХl),

однако тогда случаи 5 = 0 или 522 = 0 придется рассматривать отдельно. В частности, можно без ограничения общности положить в общих формулах 511 = 522 = 1, а случаи, когда 511 = 522 = 0 либо 511 = 0, 522 = 1, рассматривать как вырожденные.

Следует отметить, что формулы (25) — (30) остаются корректными и при р1 = р2 = р, когда они принимают вид

ап(Х) = Хр, аи(к) = 0,

а21(к) = 0, а22(Х) = Хр,

У1(х г ^ хп) = = x1ph1(x2lx1, x3lx1, xnlx1),

Л(х 1, ^ хп) =

= x1ph2(x2|x1, x3|x1, xn|x1),

т.е. в этом случае решение распадается на две независимые однородные функции одной и той же степени.

Равные вещественные собственные значения. Пусть собственные числа матрицы

(13), (14) являются вещественными и равными друг другу. Общее решение для системы дифференциальных уравнений (13),

(14) имеет вид

gl(x, Ч ^ О = ^ ^ О ехРр) +

+ Cl2(t2, tз, хп) х exp(pх);

g2(Х, ^ t3, О = С21(^ t3, О eXР(PX) +

+ C22(t2, t3, О X eXР(PX),

где с11, с12, с21, с22 — это некоторые функции от (п — 1) переменных. В таком случае функции

x2, /2(xl, x2, Xn)

должны иметь вид

^ ^ хп) =

= х1р C11(X2/X1, X3/X1, хп/х1) + (31)

+ х1р (1п х1) Cl2(x2/Xl, Xз/Xl, Xn/Xl),

/2(X1, X2, хп) =

= х1р с21 (х2/х1, х3/х1, хп/х1) + (32)

+ х1р (1п х1) • ^^ xз/xl, хп/х1).

После подстановки выражений (31) и (32) в условия (9) и (10), в силу того, что функции х1р и х1р (1п х1) являются линейно-независимыми, получаются следующие соотношения:

ап(А) сп + а12(А) с21 = Ар Cll, (33)

ап(А) с12 + а12(А) с22 = Ар (1п А) с№ (34)

а21(А) с„ + а22(А) с21 = Ар C2l, (35)

а21(А) с12 + а22(А) с22 = Ар (1П А) с22. (36)

Из-за того, что функции Ар и Ар (1п А) являются линейно-независимыми, линейные алгебраические уравнения (33), (34) для неизвестных функций а(А) и а (А), а также линейные алгебраические уравнения (35), (36) для неизвестных функций а(А) и а22(А) не могут быть линейно-зависимыми (пропорциональными друг другу), за исключением вырожденного случая с12 = с22 = 0, который рассматривается отдельно.

Пусть

А = с с — с с Ф 0

11 22 12 21

В таком случае

ап(А) = Ар (1 + (1 — 1п А) (с^/А)), (37)

а12(А) = Ар (1 — 1п А) (—спс12/А), (38)

а21(А) = Ар (1 — 1п А) (с21с22/А), (39) а22(А) = Ар (1 + (1 — 1п А) ("спс22/А)). (40)

Поскольку функции а11(А), а12(А), а21(А) и а22(А) не должны зависеть от набора переменных х1, х2, ..., хп, а функции

C11(x2/xl, xз/xl, хп/х1Х

с12( 2/ 1, 3/ 1, ., п/ 1), C21(X2/X1, X3/X1, Xn/X1), ^^ X3/X1, хп/х1)

не должны зависеть от А, то множители с12с21/А, с11с12/А, с21с22/А, с11с22/А — это константы, не зависящие ни от указанного набора переменных, ни от А.

Следовательно, выражения с21 : с11 =

= (с12с/21{А) : (с11с12/А) И с12 : с22 = (^11с12/АА) : (с11с22/А) — также константы, так что

^^ х3/хг хп/х1) =

= 511 X3/X1, Xn/X1),

C21(X2/X1, X3/X1, хп/х1) =

= 521 h1(X2/X1, X3/X1, Xn/X1),

C12(X2/X1, X3/X1, хп/х1) =

= 512 h2(X2/X1, ^ Xn/X1),

C22(X2/X1, X3/X1, хп/х1) =

= 522 X3/X1, Xn/X1),

где 5 5 5 и 522 — константы, не равные одновременно нулю; К1(х2/х1, х3/х1, ..., хп/х1) и К2(х2/х1, хз/х ..., хп/х1) — некоторые функции от (п — 1) переменных.

В окончательном виде решение приобретает вид

ап(А) = Ар (1 + (1 — 1п А) (^/А*)), (41)

а^(А) = Ар (1 — 1п А) (—^^/А*), (42)

а21(А) = Ар (1 — 1п А) (^^/А*), (43)

а22(А) = Ар (1 + (1 — 1п А) (—^^/А*)), (44)

/(хГ ^ хп) =

= х1р 511 h1(x2/x1, X3/X1, хп/х1) + (45)

+ х1р (1п х1) 512 К2(х2/х1, Xз/Xl, Xn/X1),

/2(хГ ^ хп) = = Х1р 521 h1(X2/X1, X3/X1, хп/х1) + 46)

+ х1р (1п х1) 522 хз/хГ Xn/X1),

где А* = sns22 - s12s21 ф 0, величины sn, s12, s s22 являются произвольными константами, 01 h1(t2, t3, ..., tn) и h2(t2, t3, ..., tn) произвольными функциями от (n - 1) переменных.

Комплексно-сопряженные собственные значения. Пусть собственные числа матрицы (13), (14) являются сопряженными комплексными числами вида p± ia.

Общее решение для системы дифференциальных уравнений (13), (14) имеет вид

^ tV ^ •• ,tn) =

= cn(t2,t3, tn) cos(rox)exp(px)+ + c12(t2, t3, t) sin(rox) exp(px);

gfc t2, t3, .,tn) =

= c21(t2, t3, tn) cos(rox) exp(px)+

+ cn(tv 4 O sin(®x) exP(Px),

где с с12, с21, с22 — некоторые функции от (n - 1) переменных.

В таком случае функции f и f должны иметь следующий вид:

f1(x1, x2, ...,x) = = x1pc11(x2/x1, x3/xp .,xn/x1) cos (ю ln x1)+ (47) + x1pc12(x2/x1, x3/x1, .,xn/x1) sin (ю1п x1);

f2(xv x2, .,xn) =

= x1pc21(x2/x1, x3/x1, .,xn/x1) cos (ю ln x1)+ (48)

+ x1pc22(x2/x1, x3/x1, .,xn/x1) sin ^lrn^).

После подстановки выражений (47) и (48) в условия (9) и (10), в силу того, что функции x^cos^lnx^ и x^sin^lnx^ являются линейно-независимыми, получаются следующие соотношения:

С11 «11^ + С21«12(^) = = xpc11 cos (ю1пХ) + хрс12 sin (ю1пХ),

с12 a11(^) + с22«12(^ = = хрс12 cos (ю!пх) - хрс11 sin (ю1пх),

с11 a21(^) + C21a22(^) = = Xpc21cos(tolnX) + Хрс22 sin^lnX),

с12«21(^ + C22a22(^) = = Хрс cos (ю1пХ) - Хрс sin (ю1пХ).

(51)

(52)

(49)

(50)

Линейные алгебраические уравнения (49), (50) для неизвестных функций а(Х), а(Х) и линейные алгебраические уравнения (51), (52) для неизвестных функций а (Х), а22(Х) не могут быть линейно-зависимыми, за исключением вырожденного случая

с = с = с = с = 0

11 12 21 22 '

не представляющего практический интерес.

Действительно, функции Хрсо$(ю1пХ) и Х^т(ю1пХ) являются линейно-независимыми, при этом соотношения пропорциональности

с с = с ' (-с )

11 12 12 11

с с = с ' (-с )

21 22 22 21

для правых частей уравнений (49) — (52) не могут быть удовлетворены при ненулевых

значениях с11,с12,с21,с22.

Следовательно, без ограничения общности можно считать, что

А = с с - с с Ф 0

11 22 12 21 '

В таком случае

а11(Х) = Xpcos(ю1nX) + + УЪт(ю1пХ) ((спс21+ с^УА), (53) а.2(Х) = - УЪт(ю1пХ) ((сП2+ с.22)/А), (54) а^Х) = + Х^т(ю1пХ) ((си2+ с2^)/А), (55)

а22(Х) = Xpcos(ю1nX) -

- Х^т(ю1пХ) ((спс21+ с^УА). (56)

Поскольку функции а (Х), а(Х), а(Х) и а22(Х) не должны зависеть от набора переменных х х2, ..., хп, а функции

сl1(x2|xl, Хз|хр xnlxl),

с12(Х21Х1 ,ХЗ1Х1 , ХnlХ1),

с21(х2/х1,хз/х1, ..., хп/х1),

с22(х2/х1' х3/х1' XJXl)

не должны зависеть от X, то множители

(Сп^+с^УА, (сп2+С122)/А, (С212+С222)/А

— это константы, не зависящие ни от указанного набора переменных, ни от X. После замены

c11(x2/x1, xjxv ...) = = ha(xjxv xjxv ...) cos hb(xjxv xjxv ...),

cl2(x2/xv xjxv ...) = = ha(xjxv xjxv ...) sin hb(x2/xv xjxv ...),

c2l(x2/xv xjxv ...) = = hcx/xi, x3/xi, .)sinh¿(x2/xi, x3/xi, ...), c22(x2/x1, x3/x1, .") = = hc(x^/x1, x^, ...) cos h(x.Jxx, xjxv ...)

получим, что константами должны быть величины

tg (hb(X2/X15 X3/X1' + hd(X2/XV X3/X1'

h.(X2/X1' X3/X1' -)/hc(X2/X15 X3/X1'

Поэтому после подстановок

h (x /x. , xJx,, ...) = 5 h(X Ix. , xJx,, ...),

av 2 V 3 V ' a v 2 P 3 1'

hc(x2/x1, х3/хр ...) = sh(x2/xv х3/х19 ...),

hfe(X2/X1, х3/х1, = У(х2/х1, X3/X1, +

hd(X2/X1, х3/х1, = - fX2/X1, X3/X1,

где 5 , 5 , s,, s, - константы; h(x/х, /х,, . • •),

jp a c b d ? v 2 P 3 1'

f(x2/x х3/х ...) — вспомогательные функции, а также некоторых дополнительных эквивалентных преобразований приходим к формулам

с (х /х х /х ) =

11 2 1 3 1

+ s11h(x2/x1, х3/хр ...) cosf(x2/x1, х3/х13 ...) -- s12h(x2/x1, х3/х19 .) sinf(x2/x1, х3/х19 .);

с (х /х X /х ) =

12 2 1 3 1

= + s11h(x2/x1, х3/хр ...) sinf(x2/x1, х3/х13 ...) + + s12h(x2/x1, x3/x13 .) cosf(x2/x1, x3/xp .); с (х /х x /х ) =

21 2 1 3 1

= -s22h(x2/x1, x3/x13 .) sinf(x2/x1, x3/xp .) + + s21h(x2/x1, x3/xr .) cosf(x2/x1, x3/xp .); с (х /х x /х ) =

22 2 1 3 1

= + s22h(x2/x1, x3/x13 .) cosf(x2/x1, x3/xp .) +

+ s21h(x2/x1, x3/xv .) sinf(x2/x1, x3/x19 .),

где s s12, s21, s22 — константы, не зависящие ни от указанного набора переменных, ни от X.

Такой выбор параметризации для с с12, с с22 является избыточным (очевидным образом), поскольку, например, практически без ограничения общности можно установить s = 1 и s, =0, что означает, что s,, =1

ч a b ' '11

И s12=0).

Кроме того, удобно заменить

h(x2/x1,x3/x1, ...) cosf(x2/x1,x3/x1, ...)

на h1(x2/x1,x3/x1, ...), а

h(x2/x1,x3/x1, ...) sinf(x2/x1,x3/x1, ...)

на h2(x2/x1,x3/x1, ...).

В окончательном виде общее решение для функциональных уравнений (9) и (10) приобретает вид

a11(X) = Xp cos (rolnX) + Xp sin(rolnX) x

X ((s11s21+ s12s22)/A*)'

(57)

a12(X) = - Xp sin (rolnX) ((sn2 + s^/A*), (58) a21(X) = + Xp sin (rolnX) ((s212 + s222)/A*), (59) a22(X) = Xp cos(rolnX)- Xpsin(rolnX)x

X ((s11s21+ s12s22)/A*)'

(60)

У1(х1, х2, . . .,хп) = Х1Р С^^Ь х1) + /^кр^ х2' Хп) = ^ПХ^М (ю1пХ.)х

(64)

+ 512 х1psin(ю1n х.)) h1(x2lx1, х31х., ...) + xh(x2lx1, х31х., хп1х.),

12 1 1 1 2 1 3 1 (61) 2 1 3 1 п 1

+ х.р (- 512соз(ю1п х.) + /^(х.^,.. ,,хп) = х.р(1п х.)^т (ю 1п Х.)х

(65)

,хх , х ) , v тт /тг 1

2 2 1 3 1 2 1 3

+ ^т(ю!п х.)) h2(x2lx1, х31х., ...), Xh(x2lx1, х31х., хп1х.),

/2(х., х2, .,хп) = х.р (s21cos(ю1n х.) + которые соответствуют комплексно-со -

пряженным собственным значениям вида + s22 х1psin(ю1n х.)) h1(x2lx1, х31х., ...) + р ± /ю кратности к, где h(t2,t3, ..., tn) - неко-

(62) торые функции от (п - 1) переменных.

+ х.р (- s22cos(ю1n х.) + Представляется целесообразным при

построении теории взаимно-однородных + s21sin(ю1n х.)) h2(x2lx1, х3!х ...), функций вместо анализа систем функцио-

нальных соотношений общего вида ограни-где читься анализом систем функциональных

А* = s11s22 - s12s21 Ф 0, соотношений, соответствующих изолиро-

ванным фундаментальным цепочкам функ-а величины s11, s12, s21, s22 — произволь- ций вида (63) и (64), (65). ные константы (отчасти избыточные); Анализу получаемых в результате подоб-hl(t2,t3, ..., tn), h2(t2,t3, . — произвольные ного анализа систем взаимно-однородных функции от (п - 1) переменных. функций с бесконечными цепочками функ-

циональных уравнений вида (8)планирует-Дальнейшие шаги ся посвятитьследующие публикации.

По аналогичной схеме можно проанализировать и другие системы функциональных уравнений вида (8) с матрицами конеч- Вычисления, представленные в данной ного размера. В результате анализа, однако, работе, выполнялись с помощью программы появятся сложные формулы со многими ва- '^ИтатМа&етаИса [29]. риантными ветвлениями, вдобавок не имеющие (на взгляд авторов) большого практи- Благодарн°сги ческого смысла. Авторы выражают искреннюю благо-С учетом приведенного в данной статье дарность доктору физико-математиче-анализа для дифференцируемых функций, ских наук Антону Леонидовичу Булянице, все решения функциональных уравнений профессору кафедры высшей математики вида (8) будут линейными комбинациями Санкт-Петербургского политехнического функций вида университета Петра Великого, за активное

участие в обсуждении проблемы.

/к,р(Х1'Х2'.'Хп) = , ч

(63)

= х1р(1пх1)^(х2!х1, х31х ..., Хп1х.), Работа частично выполнена в рамках

НИР 0074-2019-0009, входящей в состав гос. которые соответствуют вещественным соб- задания № 075-01073-20-00 Министерства ственным значениям р кратности к, и функ- науки и высшего образования Российской ций вида Федерации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бердников А.С., Галль Л.Н., Галль Р.Н., Соловьев К.В. Обобщение формулы Томсо-на для гармонических функций общего вида // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2019. Т. 12. № 2. С. 32—48.

2. Бердников А.С., Галль Л.Н., Галль Р.Н.,

Соловьев К.В. Обобщение формулы Томсо-на для гармонических однородных функций // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2019. Т. 12. № 2. С. 49—62.

3. Бердников А.С., Галль Л.Н., Галль Н.Р., Соловьев К.В. Дифференциальные операто-

ры Донкина для однородных гармонических функций // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2019. Т. 12. № 3. С. 45-62.

4. Бердников А.С., Галль Л.Н., Галль Н.Р., Соловьев К.В. Базисные дифференциальные операторы Донкина для однородных гармонических функций // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2019. Т. 12. № 3. С. 26-44.

5. Голиков Ю.К., Краснова Н.К. Теория синтеза электростатических энергоанализаторов. СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2010. 409 с.

6. Голиков Ю.К., Краснова Н.К. Электрические поля, однородные по Эйлеру, для электронной спектрографии // Журнал технической физики. 2011. Т. 81. № 2. С. 9-15.

7. Голиков Ю.К., Краснова Н.К. Обобщенный принцип подобия и его применение в электронной спектрографии // Прикладная физика. 2007. № 2. С. 5-11.

8. Аверин И.А., Бердников А.С., Галль Н.Р. Принцип подобия траекторий при движении заряженных частиц с разными массами в однородных по Эйлеру электрических и магнитных полях // Письма в Журнал технической физики. 2017. Т. 43. № 3. С. 39-43.

9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Физматлит, 2001. 616 с.

10. Гельфанд И.М., Шапиро З.Я. Однородные функции и их приложения // Успехи математических наук. 1955. Т. 10. Вып. 3. С. 3-70.

11. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Серия «Обобщенные функции». Вып. 1. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.

12. Khursheed A., Dinnis A.R., Smart P.D. Micro-extraction fields to improve electron beam test measurements // Microelectronic Engineering. 1991. Vol. 14. No. 3-4. Pp. 197205.

13. Khursheed A. Multi-channel vs. conventional retarding field spectrometers for voltage contrast // Microelectronic Engineering. 1992. Vol. 16. No. 1-4. Pp. 43-50.

14. Khursheed A., Phang J.C., Thong J.T.L. A portable scanning electron microscope column design based on the use of permanent magnets // Scanning. 1998. Vol. 20. No. 2. Pp. 87-91.

15. Khursheed A. Magnetic axial field measurements on a high resolution miniature scanning electron microscope // Review of Scientific Instruments. 2000. Vol. 71. No. 4. Pp. 1712 -1715.

16. Khursheed A. A low voltage time of flight electron emission microscope // Optik (Jena). 2002. Vol. 113. No. 11. Pp. 505-509.

17. Khursheed A. Aberration characteristics of immersion lenses for LVSEM // Ultramicrosco-py. 2002. Vol. 93. No. 3-4. Pp. 331-338.

18. Khursheed A., Karuppiah N., Osterberg M., Thong J.T.L. Add-on transmission attachments for the scanning electron microscope // Review of Scientific Instruments. 2003. Vol. 74. No. 1. Pp. 134-140.

19. Khursheed A., Osterberg M. A spectroscop-ic scanning electron microscope design // Scanning. 2004. Vol. 26. No. 6. Pp. 296-306.

20. Osterberg M., Khursheed A. Simulation of magnetic sector deflector aberration properties for low-energy electron microscopy // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, Section A. 2005. Vol. 555. No. 1-2. Pp. 20-30.

21. Khursheed A., Osterberg M. Developments in the design of a spectroscopic scanning electron microscope // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A. 2006. Vol. 556. No. 2. Pp. 437-444.

22. Luo T., Khursheed A. Imaging with surface sensitive backscattered electrons // Journal of Vacuum Science and Technology. B. 2007. Vol. 25. No. 6. Pp. 2017-2019.

23. Khursheed A., Hoang H.Q. A second-order focusing electrostatic toroidal electron spectrometer with 2n radian collection // Ultramicroscopy. 2008. Vol. 109. No. 1. Pp. 104-110.

24. Khursheed A. Scanning electron microscope optics and spectrometers. Singapore: World Scientific, 2010. 403 p.

25. Hoang H.Q., Khursheed A. A radial mirror analyzer for scanning electron/ion microscopes // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A. 2011. Vol. 635. No. 1. Pp. 64-68.

26. Hoang H.Q., Osterberg M., Khursheed A.

A high signal-to-noise ratio toroidal electron spectrometer for the SEM // Ultramicroscopy.

2011. Vol. 111. No. 8. Pp. 1093-1100.

27. Khursheed A., Hoang H.Q., Srinivasan A. A wide-range parallel radial mirror analyzer for scanning electron/ion microscopes // Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena.

2012. Vol. 184. No. 11-12. Pp. 525 -532.

28. Shao X., Srinivasan A., Ang W.K., Khursheed A. A high-brightness large-diameter graphene coated point cathode field emission electron source // Nature Communications. 2018. Vol. 9. No. 1. P. 1288.

29. Wolfram Mathematica // URL: http:// wolfram.com/mathematica/

Статья поступила в редакцию 21.01.2020, принята к публикации 02.03.2020.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

БЕРДНИКОВ Александр Сергеевич — доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института аналитического приборостроения Российской академии наук, Санкт-Петербург, Российская Федерация.

190103, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Рижский пр., 26 asberd@yandex.ru

СОЛОВЬЕВ Константин Вячеславович — кандидат физико-математических наук, доцент Высшей инженерно-физической школы Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, младший научный сотрудник Института аналитического приборостроения РАН, Санкт-Петербург, Российская Федерация.

195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 k-solovyev@mail.ru

КРАСНОВА Надежда Константиновна — доктор физико-математических наук, профессор Высшей инженерно-физической школы Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого,Санкт-Петербург, Российская Федерация.

195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 n.k.krasnova@mail.ru

REFERENCES

1. Berdnikov A.S., Gall L.N., Gall N.R., Solovyev K.V., Generalization of the Thomson formula for harmonic functions of a general type, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 12 (2) (2019) 32-48.

2. Berdnikov A.S., Gall L.N., Gall N.R., Solovyev K.V., Generalization of the Thomson formula for homogeneous harmonic functions, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 12 (2) (2019) 49-62.

3. Berdnikov A.S., Gall L.N., Gall N.R., Solovyev K.V., Donkin's differential operators for homogeneous harmonic functions, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 12 (3) (2019) 45-62.

4. Berdnikov A.S., Gall L.N., Gall N.R., Solovyev K.V., Basic Donkin's differential operators for homogeneous harmonic functions, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 12 (3) (2019) 26-44.

5. Golikov Yu.K., Krasnova N.K., Teoriya synteza elektrostaticheskikh energoanalizatorov [Theory of designing of electrostatic energy analyzers], Saint-Petersburg Polytechnic University Publishing, Saint-Petersburg , 2010.

6. Golikov Yu.K., Krasnova N.K., Application of electric fields uniform in the Euler sense in electron spectrography, Technical Physics. 56 (2) (2011) 164-170.

7. Golikov Yu.K., Krasnova N.K., Generalized similarity principle of similarity in electron spectrography, Prikladnaya Fizika (Applied Physics). (2) (2007) 5-11.

8. Averin I.A., Berdnikov A.S., Gall N.R., The principle of similarity of trajectories for the motion of charged particles with different masses in electric and magnetic fields that are homogeneous in Euler terms, Technical Physics Letters. 43 (2) (2017) 156-158.

9. Fikhtengol'ts G.M., The fundamentals of mathematical analysis, Vol.1, Oxford, New York, Pergamon Press, 1965.

10. Gel'fand I.M., Shapiro Z.Ya., Generalized functions and their applications, Uspekhi Mat. Nauk.10 (3) (1955) 3-70.

11. Gel'fand I.M., Shilov G.E., Generalized Functions, Vol. 1: Properties and Operations, AMS Chelsea Publishing, 1964.

12. Khursheed A., Dinnis A.R., Smart P.D., Micro-extraction fields to improve electron beam test measurements, Microelectronic Engineering. 14 (3-4) (1991) 197-205.

13. Khursheed A., Multi-channel vs. conventional retarding field spectrometers for voltage contrast, Microelectronic Engineering. 16 (1-4) (1992) 43-50.

14. Khursheed A., Phang J.C., Thong J.T.L., A portable scanning electron microscope column design based on the use of permanent magnets, Scanning. 20 (2) (1998) 87-91.

15. Khursheed A., Magnetic axial field measurements on a high resolution miniature scanning electron microscope, Review of Scientific Instruments. 71 (4) (2000) 1712-1715.

16. Khursheed A., A low voltage time of flight electron emission microscope, Optik (Jena). 113 (11) (2002) 505-509.

17. Khursheed A., Aberration characteristics of immersion lenses for LVSEM, Ultramicroscopy. 93 (3-4) (2002) 331-338.

18. Khursheed A., Karuppiah N., Osterberg M., Thong J.T.L., Add-on transmission attachments for the scanning electron microscope, Review of Scientific Instruments. 74(1) (2003) 134-140.

19. Khursheed A., Osterberg M., A spectroscopic scanning electron microscope design, Scanning. 26 (6) (2004) 296-306.

20. Osterberg M., Khursheed A., Simulation of magnetic sector deflector aberration properties for low-energy electron microscopy, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, Section A. 555 (1-2) (2005) 20-30.

21. Khursheed A., Osterberg M., Developments in the design of a spectroscopic scanning electron microscope, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, Section A. 556 (2) (2006) 437-444.

22. Luo T., Khursheed A., Imaging with surface sensitive backscattered electrons, Journal of Vacuum Science and Technology B. 25 (6) (2007) 2017-2019.

Received 21.01.2020, accepted 02.03.2020.

23. Khursheed A., Hoang H.Q., A second-order focusing electrostatic toroidal electron spectrometer with 2n radian collection, Ultramicroscopy. 109 (1) (2008) 104-110.

24. Khursheed A., Scanning electron microscope optics and spectrometers, World Scientific,Singapore, 2010.

25. Hoang H.Q., Khursheed A., A radial mirror analyzer for scanning electron/ion microscopes, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, Section A. 635 (1) (2011) 64-68.

26. Hoang H.Q., Osterberg M., Khursheed A., A high signal-to-noise ratio toroidal electron spectrometer for the SEM, Ultramicroscopy. 11 (8) (2011) 1093-1100.

27. Khursheed A., Hoang H.Q., Srinivasan A., A wide-range parallel Radial Mirror analyzer for scanning electron/ion microscopes, Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena. 184 (11-12) (2012) 525-532.

28. Shao X., Srinivasan A., Ang W.K., Khursheed A., A high-brightness large-diameter graphene coated point cathode field emission electron source, Nature Communications. 9 (1) (2018) 1288.

29. Wolfram Mathematica, URL : http:// wolfram.com/mathematica/N.K.,Teoriyasyntezae lektrostaticheskikhenergoanalizatorov [Theory of designing of electrostatic energy analyzers], Saint-Petersburg Polytechnic University Publishing, Saint-Petersburg , 2010.

THE AUTHORS

BERDNIKOV Alexander S.

Institute for Analytical Instrumentation of the Russian Academy of Sciences 26RizhskyAve., St. Petersburg, 190103, Russian Federation asberd@yandex.ru

SOLOVYEV Konstantin V.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

29 Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russian Federation

k-solovyev@mail.ru

KRASNOVA Nadezhda K.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

29 Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russian Federation

n.k.krasnova@mail.ru

© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2020