CC BY
8УДК 550.08
Выявление зависимости концентрации растворителя на поверхности ступени растворения от радиуса размыва
© Т.С. Китаева КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, Калуга, 248000, Россия
Выявлена зависимость концентрации растворителя на поверхности ступени от радиуса размыва. Определена скорость растворения боковой поверхности. Рассчитан промежуток времени, за который может произойти обрушение кровли камеры растворения.
Ключевые слова: камера растворения, параметры растворения, концентрация, нерастворитель, управление.
Одним из основных направлений исследований при формировании подземной камеры растворения солей выбрано определение основных динамических параметров растворения.
На рисунке представлены основные потоки и направления их движения при растворении ступени камеры высотой Ъ\. Без учета трения и сил тяжести из точки подачи растворитель движется со скоростью V, создавая плоскорадиальный поток Ql в припотолочной части камеры [1].
Схема потоков в камере при растворении ступени
Введем следующие допущения:
высота ступени растворения Q » Q2, поскольку h = const; в процессе растворения боковую поверхность ступени считаем цилиндрической, так как h « H, где H — глубина камеры;
скорость растворения боковой поверхности ступени A постоянна, поскольку высота слоя нерастворителя, прикрывающая потолок камеры, h = 3...4 см:
шб(A) « шб(0) - const. Поток Qi можно представить как
„ dV1 0 dr _ ,
Qi =-г1 = S-T = 2nrhiv,
d x d x
откуда
v = (1)
2%rh1
где V — объем соляного раствора в припотолочной части камеры; S — площадь боковой поверхности ступеней А, D; r — радиус размыва; v — скорость потока Qi.
Определим время, необходимое для того, чтобы слой D перешел в слой A:
Г ^ Qi
r - r1 = I vdx = —^—x, 0 2nrh1
где r — радиус трубы водоподающей колонны. Отсюда
x = 2^rhi (r - ti) T Qi '
За счет диффузии из объема соли в слой hi происходит его насыщение. Приращение концентрации
dC = *, Vi
где C — концентрация соли в слое; dq = &Sd x; ш — средняя по поверхности S скорость диффузии, ш = а(Ср -C); а — коэффициент скорости диффузии; С р — концентрация соли в объеме, прилегающем к слою.
Концентрацию Ср можно представить как функцию вертикальной координаты z, т. е. Ср = f (z). Рассмотрим ее в точке z = 0. Тогда
аС=-
а
(Ср - С) т а( Ср - С) а т
Ух
или
ас
а . = — а т.
Ср - С Их
Интегрируя при т = т0 и С а = С0 с учетом выражения (2), получаем концентрацию растворителя на поверхности А (по границе раздела фаз):
а-2 жг (г-гх)
Са = Ср — (Ср — Со )е ^ . (3)
Поскольку Ql » Q2, принимаем, что Q\ ~ Qв.
Для определения скорости растворения боковой поверхности воспользуемся соотношением [2]
ш<
= к (Сн — Са ),
где к = /(Qв, 1в, рв, ...) — коэффициент скорости растворения; Сн — концентрация насыщения.
Тогда
шб = к
а-2 жг (г - г)
Сн - Ср +(Ср - Со)е
(4)
где радиус разлива г можно определить расчетным путем по объему добытой соли или с помощью ультразвуковой съемки.
При г = 15.. .70 м концентрация растворителя на границе двух фаз не зависит от значения г и производительности скважины Qв и процесс растворения переходит в свободно-конвективный режим. Отсутствие зависимости С а от высоты отрабатываемой ступени Их позволяет применить ее для расчетов вертикальной выработки на различных этапах ее формирования.
К наиболее важным параметрам управления формированием камер растворения относится и уровень нерастворителя.
Пусть слой нерастворителя, предохраняющий кровлю камеры от растворения, имеет объем V и высоту И (см. рисунок):
2 2 / 2 2 \ V = жг И -жг1 И = ж( г -гх )И. (5)
При поступлении нерастворителя в камеру его расход
dV dt
Q^ = —. (6)
Однако при растворении боковая поверхность А «уходит» влево (вправо). Тогда, согласно (5),
dV _ , dr 2 dh 2 dh _ , dr / 2 2 \ dh
-= 2^rh--ьлт--raj — = 2л:га--i-tcI r -ri )—.
d x d x d x d x d x ^ 'd x
Приравняем выражения (6) и (7):
~ , Зт /2 2\ЗЬ _
2шк — + л(т2 - т!2)— = &р. (8)
Чтобы найти Ь, решим дифференциальное уравнение
^ -а-2лт(т-т )
dr к d x у
Сн -СР + ( - Со)e Q
(9)
где у — коэффициент соли съема.
Представим решение уравнения (9) в виде
r = у( x). (i0)
Решая совместно систему уравнений (9), (i0), получаем дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами относительно h:
dh
—+ V(x)h = Qнр. (ii)
dx
Пусть Qнр = 0, тогда можно сделать следующие допущения: за время x, когда h уменьшается до опасного значения h^, радиус r увеличивается незначительно, т. е. r = const. Тогда
y(x) = v(x0) = const;
dh . ., „ ч —+ V(x0)h = 0; (i2)
dx
h = h(x0) e_v(x0)[x-x0 ].
Из уравнения (i2) можно определить максимально допустимый период времени контроля нерастворителя Axmax при периодической его подкачке. Для этого необходимо подставить h = h^, x = xmax:
Икр = И(т0)е
-V ( т0)[т
(13)
где Аттах = ттах т0.
Принимая И(т0) = И), получаем
А 1 , Икр
Аттах =---- 1п~Г.
т0) И0
(14)
Решаем совместно уравнения (8) и (10):
а-2 жг( г-г)
и + ж(г2 - г21 Qнр; (15)
о к
2жг —
У
Сн - Ср +(Ср - С0 )е Qв
аи 2г к • +
-а-2 жг( г-г)
Сн - Ср +(Ср -С0)е &
а т г2 - г12 у
Сравнивая выражения (11) и (16), получаем
(16)
( ) 2г к
^(т) = ~-2 _
г2 - г12 у
-а-2 жг( г-г)
Сн - Ср +(Ср -С0)е &
(17)
Рассмотрим функцию +Т0), где т1 — время, за которое И уменьшается до опасного значения Икр:
у(т, +Т0) = * Т0) + т, + ¿^М т2 +.
а т
а т
(18)
Величина ат0) т1 ^ 0, т. е. пренебрежимо мала ввиду малости т1
ат
по сравнению со временем размыва. Из соотношения (17) имеем 2 (г02 + г12) -а-2жг(г-г) •
а ¥( т0) а т
-(Сн - Ср )-(Ср - С0) е Q■ -
(г02 - г12 )2 ^
2 ( + г12 ) а 4ж(2г02 - г12 )
У
(г02 -г12)
2 - г2 )2 Qв г02 - г12
(19)
Обозначим
Т0 < Т < Т0 + Т1.
(20)
Тогда с учетом (18)
У(Т) = ^(То) + ^^ (Т-Т0 ). а т
Используя выражения (17), (19) и (21), находим
( ) 2т0 к
^(Т) = —-2 _
Т)2 - Т12 У
-а-2 ят( т-т1)
С - Ср + ( - С0 )е а
- С р )(С р-С) Q
а-2ят(т-т1)
(( - т,2))
У
к
+ — <
У
+ т12) а 4^(2т02 -т2)
( -П2)
2 - т 2 )2 т0 - т12
(Т-Т0 ).
Подставляя уравнение (22) в (11), получаем
аь
а т
¥( Т0) + (Т-Т0 )
а т
Ь = Онр.
(21)
(22)
(23)
Рассмотрим случай дискретной закачки нерастворителя Qнр = 0 через промежуток времени т. Тогда, согласно (23),
аь
а т
¥( ,0) + (Т-Т0 ) + ^ (Т-Т0 )
а,
а,
Ь = 0,
(24)
откуда
или
= -у(,0)а, - а^Т0) (, - ,0)а,,
Ь а т
1« Ь „,(, )(, , ) аТ0) (Т-Т0) . \п— = -у( Т0)( Т - ,0)-------.
Ь0 а т 2
а^ (,0) (Т-Т0)2
Ь = Ь0е-Ц1( Т0)( Т-Т0^е а, 2
(25)
(26)
(27)
где Ь0, Ь — уровень нерастворителя в момент времени ,0 и т соответственно.
Пусть И достигает критического значения Икр за время т. Тогда из выражения (26) находим
\2
-ln ^ = у( то) (т-ю ) + 2 ^ (т"то )
2 d т
или
(т-то )2 +2 V^ (т-то ) + ln ^ = 0, V(т0) h0
где дискриминант
Я = 4_ÖEcL - 4ln икр
ho
[V (то)]2
Тогда
т-то =1 -2 ± о 2 V ' (то)
Для т-то h = икр, т. е.
т-то =1 -2 ^Го! + о 2 V ' (то)
V2(то)
[V (то)]2
V 2(то)
[V (то) ]2
-4ln икр ho
-4 ln
1/2
1/2
(28)
(29)
(зо)
(31)
Таким образом, промежуток времени, за который может произойти обрушение кровли камеры, определяется выражением (31). Поэтому в момент времени т необходимо закачать дополнительный объем нерастворителя, исходя из условия, что И = И0.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Аренс В.Ж. Геотехнологические методы добычи полезных ископаемых. Москва, Недра, 1998.
[2] Аксельруд Д.А., Молчанов А. Д. Растворение твердых тел. Москва, Химия, 2оо1.
Статья поступила в редакцию о4.о3.2о14
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:
Китаева Т.С. Выявление зависимости концентрации растворителя на поверхности ступени растворениия от радиуса размыва. Инженерный журнал: наука и инновации, 2о14, вып. 5. URL: http://engjournal.ru/catalog/ mathmodel/technic/1251.html
Китаева Тамара Сергеевна родилась в 1949 г., окончила ГГУ им. Н.И. Лобачевского в 1972 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Физика» КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана. Область научных интересов: подземное растворение солей, контроль параметров процесса. e-mail: tamara.kitaeva.49@mail.ru
T.C. Kumaeea
Identification of the solvent concentration dependence of the erosion stage surface on the dissolution radius
© T.S. Kitaeva
Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University, Kaluga, 248000, Russia
The main purpose of the article is to identify how the solvent concentration on the surface level depends on the radius of erosion. The findings of the research helped to determine the rate of dissolution of the side surface and calculate the period of time when wearing of the dilution chamber can occur.
Keywords: dissolution camera, dissolution parameters, concentration, non-solvent, control.
REFERENCES
[1] Arens V.Zh. Geotekhnologicheskie me tody dobychi poleznykh iskopayemykh [Geotechnological methods of mining]. Moscow, Nedra Publ., 1998.
[2] Aksel'rud D.A. Molchanov A.D. Rastvorenie tverdykh tel [Solid Bodies Dissolution]. Moscow, Khimiya Publ., 2001.
Kitaeva T.S. (b. 1949) graduated from Gorky State University. Ph.D., Assoc. Professor of the Physics Department, Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University. Research interests include the dissolution of underground salt, control of process parameters. e-mail: tamara.kitaeva.49@mail.ru
