Выявление фазовых портретов широкого семейства кубических динамических систем в круге Пуанкаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

PHYSICS AND MATHEMATICS

ВЫЯВЛЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ ШИРОКОГО СЕМЕЙСТВА КУБИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КРУГЕ

ПУАНКАРЕ

Андреев А.Ф.

Доктор физ.-мат.наук, профессор кафедры Дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского

государственного университета, Андреева И.А.

Кандидат физ.-мат.наук, доцент кафедры Высшая математика Санкт-Петербургского Политехнического университета Петра Великого.

REVEALING OF PHASE PORTRAITS OF A BROAD FAMILY OF CUBIC DYNAMICAL SYSTEMS IN A POINCARE CIRCLE

Andreev A.F.

Professor, St.Petersburg State University,

Andreeva I.A.

Docent, St.Petersburg Polytechnical University

АННОТАЦИЯ

На вещественной плоскости рассматривается семейство динамических систем вида

it=Xk y^ f = 7 x y)> (°л)

где X (x, y), 7 (x, y) являются взаимно простыми формами от х и у, причем X представляет собою кубическую, а Y - квадратичную форму, для которых X(0,1) Y (0, 1) Ф 0. Решается задача определения всех возможных для подобных систем фазовых портретов в круге Пуанкаре с коэффициентными критериями реализации каждого портрета. Используется метод Пуанкаре последовательных отображений, центральных и ортогональных. Описываются все стадии процесса решения. Указаны как качественные, так и количественные результаты. ABSTRACT

A family of dynamical systems on a real plane x, y is considered

£ = X(x, yf g = 7 (x, yA (°Л)

where X (x, y), 7 (x, y) are reciprocal forms of x and y, X is a cubic, and 7 is a square form, such as X(0,1) 7 (0, 1) Ф 0. A problem is solved to find all different phase portraits possible for (0.1)-systems in a Poincare circle with coefficient criteria of every portrait's realization. A Poincare method of serial displays - central and orthogonal is used. All stages of a solution process are described. Qualitative and quantitative results for phase portraits are given.

Ключевые слова. Динамическая система, фазовый портрет, сфера Пуанкаре, круг Пуанкаре, особые точки, траектории.

Keywords. Dynamical system, phase portrait, Poincare sphere, Poincare circle, singular points, trajectories.

Рассматривается семейство динамических си- отождествленными диаметрально противополож-

стем, заданных на вещественной плоскости x, y, ными точками, 2) ортогонального отображения

— = X(x, y) — = 7 (x, y) (0 1) нижней замкнутой половины сферы X на круг

dt v/ , v/ 1 ™ л, ^: х2+у2< 1 с отождествленными диаметрально

гдеX(x, y), 7 (x, y) - взаимно простые формы ^

v .. v _ „ противоположными точками его границы Г. Сфера

от x и y, X - кубическая, 7 - квадратичная, X (0,1) v — г ^ г

> 0, 7 (0, 1) > 0. Ставится задача: найти все раз- X и круг П называются в этом процессе сфер°й

личные фазовые портреты (0.1) - систем в круге Пуанкаре и кругом Пуанкаре (см., например, [1] ,

Пуанкаре и указать критерии реализации каждого стр. 241 - 249).

Чяртт» 1

из них, близкие к коэффициентным. Для ее реше- .

ния применяется метод последовательных отобра- В части 1 настоящей работы дается решение

жений Анри Пуанкаре: 1) центрального отображе- задачи для тех 1) - систем, разложения форм X

ния (из центра (0, 0, 1) сферы X : х2 + у2 + z2 = 1 (x, y) 7 (x, y) которых на вещественные формы

) плоскости x, y , пополненной бесконечно удален- нижайших степеней содержат соответственно 3 и

n^^^v- 2 множителя, т.е. имеют вид ной прямой ( т.е. плоскости R2y) на сферу X с

X(x, y) = Рз(у-щ х)(у - щх)(у - щх), 7(x, y) = c(y - q± x)(y - q2x),

Где р3 > 0, с > 0,% < и2 < и3, < д2,и; Ф д,- при любых /' и/

Процесс этого решения состоит из нескольких Для произвольной (3.2) - системы вводятся

шагов. следующие понятия.

P(u), Q(u) - ее полиномы P, Q:

I. Основные понятия и обозначения.

P(u) :=х(1,и) = Рз(и-их)(и- ^(м- :=У(1,м) =с(и-^1 Хм-^),

ПКР (ПКQ) - возрастающая последовательность всех вещественных корней ее полинома P(u) ^(и)), ПКPQ - возрастающая последовательность всех вещественных корней обоих ее полиномов

P(u), Q(u).

ДЗ-преобразование - двойная замена в ней: —, -у). Оно преобразует ее в (3.2)-систему, вообще говоря, другую, для которой знаки и нумерации корней многочленов P(u), Q(u) и направление движения по траекториям с возрастанием t изменяются на обратные по сравнению с таковыми для исходной системы. Две различные (3.2)-системы называются а)взаимно обратными (относительно ДЗ), если ДЗ преобразует одну из них в другую, б) независимыми (от ДЗ) в противном случае.

Очевидно, что для произвольной (3.2)-

5!

системы возможны 10 различных ПКPQ, ибо — =

3!2!

10.

ДЗ-преобразование (0.1)-систем показывает, что шесть из них попарно независимы, для каждой из остальных существует взаимно обратная среди первых шести. Каждой из различных ПКPQ (3.2)-системы присваивается определенный номер г 6 {1, ...,10} так, что (ПКР@)Г с номерами г = 1,6 оказываются попарно независимыми, а с номерами г = 7,10 - взаимно обратными таковым с номерами г = 1Д соответственно.

II. Вводится понятие (3.2)г - семейства (0.1) -систем:

(3.2)г - семейство (0.1) -систем := совокупность всех систем (3.2) - семейства, для каждой из которых ПКPQ = (ПКР0г.

Далее поочередно по общей схеме изучаются (3.2)г - семейства (0.1)-систем, г = 16. Результаты для (3.2)г - семейств, г = 7, 1 0 , получаются затем из таковых, полученных для (3.2)г - семейств, г = 1 , 4, ДЗ-преобразованием систем последних.

Процесс изучения фиксированного (3.2)г -семейства состоит из следующих шагов.

0. Здесь перечисляются особые точки систем (3.2)г - семейства в круге Пуанкаре П : это суть точка 0(0, 0)60 и точки (^, 0) 6 Г, i =0,3, и0=0. Для любой особой точки вводятся понятия: пучков N (узловой) и Б (седловой) полутраекторий систем семейства, примыкающих к этой точке, ее топодинамического типа (ТД-типа), ее сепаратрисы.

1. Семейство (3.2)г разбивается на (3.2)гх -семейства, 5 = 1,7. V (3.2)гх - семейства ищутся ТД-типы особых точек его систем и их сепаратрисы.

2. V 86 {1, ..., 7} изучается поведение сепаратрис особых точек систем (3.2)гх - семейства на предмет выяснения а) однозначности продолжения каждой из них из малой окрестности особой точки на всю ее длину, и б) взаимного расположения всех их в круге О.

3. Строятся фазовые портреты (ФП) систем (3.2)г - семейства как в графической форме (в виде рисунков: ГФП), так и в описательной форме (в виде таблиц: ОФП). Указываются критерии реализации каждого из них.

Итог для части 1 этой работы таков: для систем (3.2)1 - семейства возможны 25 различных ФП, для систем (3.2)2 и (3.2)3- семейств - по 9 ФП, для (3.2)4 и (3.2)5- семейств - по 7, для систем (3.2)6-семейства - 36, для всех (3.2) - систем - 93. Много. Но ведь в каждом (3.2)г - семействе число (0.1)-систем - несчетно. Часть 2.

В частях 2 и 3 задача решается для (2,2) - семейства. Вводится в рассмотрение (2,2)-семейство (0.1)-систем, т.е. совокупность всех (0.1)-систем, для каждой из которых разложения форм X (х, у), У (х, у) на вещественные множители самых низких степеней содержат по два множителя, т.е. имеют вид

Х(х, у) = р(у - % х)*1(у - ^2х)Ч У(х, у) = д(у - ^ х)(у - ^х), Гдер, д, м1, и2, 6 Д, р > 0, ^ > 0, и1 < м2, < д2, ^ Ф д,- при любых i,} 6 {1,2}, 6 М,

^ + к? 3.

Естественно различать два класса (2,2) - си- В части 2 данной работы дается полное реше-

стем. Класс а: системы с ^ = 1Д2 = 2 и класс Ь: ние поставленной задачи для семейства (2,2) - си-системы с = 2, = 1. стем класса а, т.е для систем вида

dx dt

= р(у - % х)(у - U2X)2 , ^ = q(y — - 92*) (2,2)а.

dt

Процесс этого решения состоит из нескольких 1.1. Для произвольной (2,2)а - системы вво-

шагов. дятся следующие понятия.

Р(и), Q(u) - ее полиномы Р, Q:

1. Основные понятия и обозначения.

P(u) :=X(1,u) = p(u-u1))(u- U2)2,Q(U) :=Y(1,u) = q(u - )(u-q2),

ПКР (ПК0 - возрастающая последовательность всех вещественных корней ее полинома Р(и) (Я(и)), ПКPQ - возрастающая последовательность всех вещественных корней обоих ее полиномов Р(и) и Q(u). Для последней возможны шесть раз-

4!

личных вариантов, ибо — = 6. Эти ее варианты

г > 2\2\ ^

нумеруются в каком-либо порядке цифрами от 1 до 6.

Вводится понятие (2,2)г - семейства (2,2)а -систем:

(2,2)г - семейство (2,2)а -систем есть совокупность всех (2,2)а -систем, имеющих одну и ту же ПКPQ, а именно ПКРф с номером г из перечня возможных ее вариантов.

2. Поочередное изучение (2,2)г - семейств (2,2)а -систем.

Процесс изучения каждого фиксированного (2,2)г - семейства состоит из следующих шагов.

0. Для любой особой точки произвольной системы семейства вводятся понятия: пучков N (узловой) и 8 (седловой) полутраекторий системы семейства, примыкающих к этой точке, ее сепаратрисы, ее топодинамического типа (ТД-типа).

1. Семейство (2,2)г разбивается на (2,2)Г5 -семейства, 5 = 1,5. V бЕ {1,..., 5} ищутся ТД-типы особых точек (2,2)Г5 — систем и их сепаратрисы.

2. V 8 Е {1, ..., 5} изучается поведение сепаратрис особых точек систем (2,2) Г5 - систем на предмет выяснения а) вопроса об однозначности глобального продолжения (ГП) каждой из них из малой окрестности особой точки на всю ее длину в круге О, и б) вариантов взаимного расположения (ВР) всех их в этом круге. Если для фиксированного 5 ГП каждой сепаратрисы особых точек (2,2)ГБ - систем однозначно, то ВР всех их в круге О неизменно, следовательно, все (2,2)ГБ - системы

Р(и) ■=Х(1,и) = р(и — и1)2(и — и2

ПКР (П^) - возрастающая последовательность всех вещественных корней ее полинома Р(и) т)), ПКPQ - возрастающая последовательность всех вещественных корней обоих ее полиномов Р(и) и Q(u). Для последней возможны шесть раз-

4\

личных вариантов, ибо — = 6. Эти ее варианты

2\2\

нумеруются в каком-либо порядке цифрами от 1 до 6.

Вводится понятие (2,2)г - семейства систем класса Ь:

(2,2)г - семейство систем класса Ь есть совокупность всех (2,2)ь -систем, имеющих одну и ту же ПКPQ, а именно ПКРф с номером г из перечня возможных ее вариантов.

2. Поочередное изучение (2,2)г - семейств систем класса Ь.

Процесс изучения каждого фиксированного (2,2)г - семейства систем класса Ь состоит из тех же этапов, что и для (2,2)г - семейств систем класса а.

имеют в круге

П один и тот же фазовый портрет (ФПГ,5 ). Остается лишь его построить. Если же для некоторого 5 (2,2)ГБ — системы имеют несколько, скажем, т сепаратрис, ГП которых неоднозначно, то (2,2)гз

- семейство разбивается на (2,2)Г51 — семейства, I = 1,т , для каждого из которых, как показывает последующее их изучение, ГП любой сепаратрисы его систем однозначно, ВР всех их в круге О неизменно, ФП всех его систем в круге П один и тот же: ФПГАг .

3. Строятся фазовые портреты (ФП) в круге П систем (2,2)г - семейств, г = 16 . Как в графической форме (в виде рисунков: ГФП), так и в описательной форме (в виде таблиц: ОФП). Указываются критерии реализации каждого из них.

Итог этой части работы: (2,2)1 - системы (2,2)а - семейства имеют в круге П 13 различных ФП, (2,2)2 — системы — 1, (2,2)3- системы - 10, (2,2)4, (2,2)5- и (2,2)6-системы - по 5, а все (2,2)г

- системы класса а - 45 различных ФП.

Часть 3.

В части 3 дается полное решение поставленной задачи для (2,2) систем класса Ь, т.е. для систем вида

йх

dt

= р(у-щх)2(у-щ х)

dy dt

= q(y-

41 *)(у —42*) (2,2)ь.

Процесс этого решения состоит из этапов, аналогичных таковым в процессе решения задачи для систем класса а.

1. Основные понятия и обозначения.

1.1. Для произвольной (2,2)ь - системы вводятся следующие понятия.

Р(и), Q(u) - ее полиномы Р, Q:

■= У(1,и) = ц(и — Ц1 )(и — ц2),

0. Для любой особой точки произвольной системы семейства вводятся понятия: пучков N (узловой) и 8 (седловой) полутраекторий системы семейства, примыкающих к этой точке, ее сепаратрисы, ее топодинамического типа (ТД-типа).

1. Семейство (2,2)г разбивается на (2,2)Г5 -семейства, 5 = 1Д V БЕ {1, .,5} находятся ТД-типы особых точек (2,2) Г5 — систем и их сепаратрисы.

2. V бЕ {1, ..., 5} изучается поведение сепаратрис особых точек систем (2,2)Г5 - систем на предмет выяснения а) вопроса об однозначности глобального продолжения (ГП) каждой из них из малой окрестности особой точки на всю ее длину в круге О, и б) вариантов взаимного расположения (ВР) всех их в этом круге. Если для фиксированного 5 ГП каждой сепаратрисы особых точек (2,2)ГБ - систем однозначно, то ВР всех их в круге О неизменно, следовательно, все (2,2)ГБ - системы имеют в круге П один и тот же фазовый портрет (ФПГ 5 ). Оста-

ется построить его. Если же для некоторого 5 возможны 7 различных ФП, для каждого из (2,2)гх — системы имеют несколько, скажем, т (2,2)г — семейств,г = 2,4,5,6 — по 5,для (2,2)3-

сепаратрис, ГП которых неоднозначно, то (2,2)гх - семейство разбивается на (2,2)гд; — семейства, I = 1,т , для каждого из которых, как показывает последующее их изучение, ГП любой сепаратрисы его систем однозначно, ВР всех их в круге О неизменно, ФП всех его систем в круге П один и тот же: ФПгдг .

3. Строятся фазовые портреты (ФП) в круге П систем (2,2)г - семейств/ = 1,6 . Как в графической форме (в виде рисунков: ГФП), так и в описательной форме (в виде таблиц: ОФП). Указываются критерии реализации каждого из них.

Итог этого исследования таков: показывается, что для (2,2)х - семейства (0,1)4- систем класса Ь

йх

= РэО - % х)(у - U2x)(y

семейства - 25 различных ФП.

Таким образом, всё (2,2)& - семейство (0,1)4-систем распадается на 52 семейства, все системы каждого из которых имеют в круге П один и тот же ФП.

В работе в описательной форме строятся все эти фазовые портреты. Получается 52 различных ОФП. 26 из них выписываются явно. Остальные 26 получаются методом ДБТ.

Часть 4.

В части 4 настоящей статьи мы решаем задачу для (3, 1) - семейства, т.е. для семейства (0.1) -систем вида (будем обозначать их указателем (0.1)з )

¿у

= с(У - х)2, (0.1)

где рэ > 0, с > 0,u1 < u2 < иэ, q (6 Р) Ф ut i = 1,3.

э

Процесс решения состоит из следующих шагов. При его описании мы используем введенные выше понятия и обозначения.

1. Разбиваем (3, 1) - семейство (0.1)3 - систем на (3.1)г - семейства, г = 1,4. Каждое из последних есть совокупность всех (0.1)3 - систем, имеющих ПКРб = (ПКР@)Г, где г —

изучения (0.1) - систем (см. [5]), т.е. по следующей программе.

2Х. Фиксируем г 6 {1,2}. Разбиваем (3.1)г-семейство на (3,1)гх - семейства (см. [4]), 5 = 1,66 и находим топодинамические типы (ТД-типы) особых точек (3,1)гх - систем.

22. V 5 6 {1,...,9} строим БД - карту (3,1)гх -систем (см. [5]) и находим по ней а — пре-

1. 2.

3.

4.

Ui,^2,U3, q,

щ,щ, q, щ, (ii)

Mi, q, U2, Щ, q,

её номер в перечне (1Х) всех различных ПКРф (3,1)десасгоеммножество каждой а (<^) — сепаратрисы

этих систем, выясняем взаимное расположение (ВР) всех этих сепаратрис в круге Пуанкаре О. 23. Строим все различные ФП (3.1)г - систем.

3. Изучаем поочередно (3.1)г - семейства (0.1)3 - систем, г = 3,4. Действуем методом ДЗ-преобразования результатов исследования (3.1)г -семейств, г = 2, 1. Строим все различные ФП (3.1)3 и (3.1)4 - систем.

4. Подводим итог этих исследований. Для (0.1)3 - систем (3.1)г - семейств, г = 1,4, возможны 15 + 11 + 11 + 15 = 52 различных ФП в круге Пуанкаре П.

Часть 5.

В частях 1,2,3 и 4 настоящей статьи описывается решение поставленной задачи для (3,2) - семейства, двух классов (2,2) - семейств и для (3,1) -семейства (0.1) - систем соответственно. В части 5 даётся полное её решение для (2,1) - систем класса 2, т.е. для (0.1) - систем (пятого) вида

Применяем к (0.1)3 - системам ДЗ-преобразование (двойную замену) : (I, у)^(-Ь -у). Убеждаемся в том, что оно преобразует (3.1)г -семейства этих систем, г = 1, 2, 3, 4, в их (3.1)г -семейства, г = 4, 3, 2, 1 соответственно, и наоборот. Отмечаем: из этого следует, что семейства (0.1)3 - систем (3.1)х и (3.1)2 не связаны преобразованием ДЗ, а семейства (3.1)3 и (3.1)4 взаимно обратны относительно ДЗ семействам (3.1)2 и (3.1)х соответственно.

2. Изучаем поочередно (3.1)г - семейства (0.1)3 - систем, г = 1,2, по общей программе О.2

dx

— = р0 хэ

dt

+ PiX2y + Р2 ху2 + Рэ уэ = Рэ Су - %х)2 (у

с(у - qx)2 , (0.1)5

u2 х), ^ = X2 + Ьху + су2 =

где рэ > 0, с > 0,ui < u2, q (6 R) Ф ui

Процесс этого решения состоит из этапов, аналогичных таковым в процессе решения задачи для других (т, п) - семейств (0.1) - систем.

1. Для произвольной (0.1)5 - системы вводятся следующие понятия и обозначения.

Р(и), Q(u) - ее полиномы Р, Q:

P(u) :=X(1,u) = рэ (u - ui)2(u -и2),0(и) := Г(1,и) = с (и - q)2,

ПКPQ - возрастающая последовательность всех вещественных корней ее полиномов Р(и), Q(u). Для последней возможны три различных варианта. Эти ее варианты нумеруются в каком-либо порядке цифрами 1,2,3 .

Вводится понятие (2,1)г - семейства систем класса 2:

(2,1)г - семейство систем класса 2 есть совокупность всех (0.1)5 - систем, имеющих одну и ту

же ПКPQ, а именно ПКРф с номером г из перечня возможных ее вариантов.

2. Поочередно изучаются (2,1)г - семейства систем класса 2, г = 1Д .

Процесс изучения каждого фиксированного (2,1)г - семейства систем класса 2 состоит из тех же этапов, что и изучение других (т,п)г - семейств.

0. Для любой особой точки произвольной системы семейства вводятся понятия: пучков N (узловой) и 8 (седловой) полутраекторий системы семейства, примыкающих к этой точке, ее сепаратрисы, ее топодинамического типа (ТД-типа).

1. Семейство (2,1)г разбивается на (2,1)Г5 -семейства, 5 = 11. V бЕ{1, ...,1} находятся ТД-типы особых точек (2,1)Г5 — систем и их сепаратрисы.

2. V б Е {1, ..., 7} изучается поведение сепаратрис особых точек (2,1)Г5 - систем на предмет выяснения а) вопроса об однозначности глобального продолжения (ГП) каждой из них из малой окрестности особой точки на всю ее длину в круге О, и б) вариантов взаимного расположения (ВР) всех их в этом круге. Если для фиксированного 5 ГП каждой сепаратрисы особых точек (2,1)г^ -систем однозначно, то ВР всех их в круге О неизменно, следовательно, все (2,1)г^ - системы имеют в круге П один и тот же фазовый портрет ФПГ 5 . Остается построить его. Если же для некоторого 5 (2,1)Г5 — системы имеют особые сепаратрисы ( ГП которых неоднозначно), то (2,1)Г5 - семейство разбивается на (2,1)гл1 — семейства, I Е Ы, каждое из которых уже не имеет особых сепаратрис, а потому ФП всех его систем в круге П один и тот же: ФПГА; .

3. Строятся фазовые портреты (ФП) в круге П систем (2,1)г - семейств, г = 1,3 . Указываются критерии реализации каждого из них.

Итог исследования таков: доказывается, что для каждого (2,1)г - семейства (0,1)5- систем возможны 7 различных ФП, а для всех (2,1)г — семейств, г = 1,3 , число различных ФП равно 21.

В работе строятся все эти фазовые портреты. Строятся они в описательной форме. Для каждого ФП строится таблица, состоящая из 5-6 строк, каждая строка которой детально описывает одну инвариантную ячейку этого ФП: её границу, источник и сток её фазового потока. Такая таблица называется описательным фазовым портретом (ОФП) систем данного семейства.

Подробное изложение всего процесса исследования и его результатов дано в монографии [6].

Литература

1. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка.- Москва: Наука, 1966.- 586 с.

2. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре.1. Дифференциальные уравнения и процессы управления. [Электронный журнал].2007. № 4. С. 17-26. Http//www.math.spbu.ru/user/diffjournal.

3. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре.11. Дифференциальные уравнения и процессы управления. [Электронный журнал]. 2008. № 1. С. 1-13. Http//www. math. spbu. ru/user/diffj ournal.

4. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре.Ш. Дифференциальные уравнения и процессы управления. [Электронный журнал].

2008. № 3. С. 39-54. Http//www. math. spbu. ru/user/diffj ournal.

5. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре./7Х. Дифференциальные уравнения и процессы управления. [Электронный журнал].

2009. № 4. С. 181-213. Http//www.math.spbu.ru/user/diffjournal.

6. Андреева И.А., Андреев А.Ф. Фазовые портреты одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре. [Text]. Lambert Academic Publishing, Germany, 2017. - 70 c.