Вывод выражений для перекрестной и квадратичной составляющих радиационного давления в случаях идеальной и вязкой жидкостей Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 3, с. 101-106 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ =

УДК 534-29 © Б. П. Шарфарец

ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ ПЕРЕКРЕСТНОЙ И КВАДРАТИЧНОЙ СОСТАВЛЯЮЩИХ РАДИАЦИОННОГО ДАВЛЕНИЯ В СЛУЧАЯХ ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЕЙ

Проведен подробный вывод полученных ранее выражений для расчета радиационного давления в идеальной жидкости. Проведен также вывод отсутствовавших ранее соответствующих выражений для составляющей радиационного давления в вязкой среде, обусловленной взаимодействием падающей и рассеянной волн. Эти выражения, будучи по форме схожими с выражениями для идеальной среды, позволят применять всю наработанную для идеальной среды технику расчетов радиационного давления.

Кл. сл.: радиационное давление, перекрестная составляющая, квадратичная составляющая, идеальная жидкость, вязкая жидкость

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] для случая идеальной жидкости было показано, что радиационное давление (рд) на включение складывается из перекрестной составляющей рд, вызванной взаимодействием между первичным и рассеянным полями, и квадратичной составляющей, вызванной взаимодействием внутри рассеянного поля. Приведем выражения для соответствующих составляющих рд так, как они представлены в [1]. Для перекрестной составляющей (черта сверху означает временное усреднение)

F 'S ="ill ~Ро v 'ine • V', + — P'ine P\ Hl Po

Л

+P0 (

V . V „ + V „ V

inel sk inek j f k

)j nk dS, i

¿,k +

= 1,3.

(1)

Как следует из [1], квадратичная составляющая равна

F' МП" V.15 +

Po

2

|2 С | , |2

P J

Л

2Po

+Po (v ',,v s + v s ^ nkds,

Sk +

i = 1,3,

(2)

а в волновой зоне (2), когда S есть поверхность, охватывающей включение сферы, трансформируется к выражению [2]

-(SS) 1 Г| |2 -

F ="2PoJ lvS cos0idS, 1 = 1,3 .

с

(2а)

Это вызвано тем, что в первой скобке подынтегрального выражения в (2) стоит разность средних плотностей кинетической и потенциальной энергий, которые в плоской волне (в волновой зоне), как известно, равны.

Здесь Fi — проекции векторов рд: is — для перекрестной составляющей, ss — для квадратичной; vП =(v\ПС1,v'ИС2,v'Шс3), =(vVvVv) — первое приближение колебательной скорости падающей и рассеянной волны соответственно; р0 — равновесное значение плотности; р' — возмущение плотности первого порядка малости; с — скорость звука в жидкости; S — поверхность произвольного объема, содержащего включение; в1 — угол между нормалью к поверхности п = (п1,п2,п3) и i -й осью декартовых координат. Выше и далее для идеальной и вязкой жидкости под характеристиками звукового поля понимаются величины первого порядка малости, т. е. решения линеаризованных уравнений системы Эйлера или Навье—Стокса.

Далее в [1] без вывода дается окончательный вид выражения (1) для вектора перекрестной составляющей рд:

—(is) Г

F ="Po J V ine AVS"

<зУ

e2 ~дё

\

dV.

(3)

Здесь р' — скалярный потенциал скоростей VV = Ур' , V' = Ур' .

тс т те ' х т х

В работе [3] дан конспективный переход от выражения (1) к выражению (3) в тензорном виде. Вызывает, однако, интерес воспроизвести этот переход подробно и в векторном виде, а на его основе получить соответствующее выражение для случая вязкой жидкости.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В настоящей работе дается подробный вывод выражения (3) в векторном виде из выражения (1) альтернативным приведенному в работе [3] методу. Кроме того, производится полный вывод соответствующего выражения для случая линеаризованной системы Навье—Стокса для вязкой жидкости, аналогичного выражению (3) для линеаризованной системы Эйлера.

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Вначале для решения поставленной выше задачи выпишем линеаризованную систему уравнений Навье—Стокса (см., например, [4-7]), а затем и следующую из нее систему уравнений Эйлера. Рассматриваем для простоты баротропную жидкость. Система состоит из собственно линеаризованного уравнения движения Навье—Стокса

^' 1 ^ , Л + Иъъ ,, И А .

-=--Ур'+-—УУ • V +—^',

д Ро Ро Ро

линеаризованного уравнения неразрывности

Р + РоУ- V' = 0

дх 0

(4)

(5)

и уравнения состояния, связывающего давление р' с плотностью р':

Р' = f (р'), или

Р =с Р .

(6)

) = И:

, 2 с = Л+ — и. 3

^' 1 ^ , Л + 2ц к ,

-=--Ур'+-—Av'.

д Ро Ро

Из уравнений (5)-(7) при условии равенства нулю коэффициентов динамической вязкости Л и И немедленно следует система уравнений Эйлера. Рассмотрение начнем с идеальной жидкости.

Идеальная жидкость

По теореме Гаусса переходим от поверхностного интеграла (1) к объемному. Введем обозначение

для тензора Т1к = У1По Ук + 1ПС1 . Тогда выражение

(1) может быть переписано следующим образом

(

С

2

Л

"Ро V то • V , + —Р то Рх V I V Ро

+

+Родк (

, IV ■ V + V V ■

к \ 1пс хк х ток

)| dV, 1, к = 1,3.

Здесь д 1=^-; дк (

дх,. у

, IVV V + V V ■

к \ тс хк х, тск

= д кТгк = Е

д(

V . V + V V .

тс1 Хк х шСк

дх.

кк Легко показать, что при преобразовании последнего интеграла к векторному виду он записывается следующим образом:

—(к) с I - с -

р( )="|]У "Ро( V 'тс • V 'х ) + (Р\с Р\)

(

\

V I V

+Ро ( КПС7^)^ +(V 'х -У) V' пс + + V 'тс У- V 'х + V 'х У- V' тс )| dV.

+

(8)

В (4) Л и и — коэффициенты динамической вязкости (соответственно первый и второй параметры Ламе), связанные с коэффициентами г) сдвиговой и с объемной (второй) вязкости следующим образом:

Учитывая тождество для градиента скалярного произведения двух векторов

У(VV • V') = (VV -У)V' + (V' -У)VV +

V тс х/ V 1 тс > х V х ' тс

+ V',.„„ хУхV'„ + V'„хУхV'

Поскольку линейная задача рассеяния на включении связана с безвихревой (т. е. потенциальной) составляющей скоростей [8], то уравнение (4) для этих составляющих приводится к виду [4]

а также потенциальность колебательных скоростей, получаем

У(VV -V') = (VV -У)V' + (V' -У)VV .

У тс х' У тс ' х V ' х ' тс

С учетом последнего равенства интеграл (8) преобразуется к виду

М1- +

V V Ро

)

)

2

ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЙ.

103

+ Ро ( V \пс V- V+ VV- V \пс дУ.

(9)

Далее учтем выражение (7) для линеаризованного уравнения Эйлера (при Л = / = 0) и выражение (6), связывающее возмущенные плотность и давление

с!v(р' р')=^р+ъ±р. =

гпс г £/ Гэ г тс

Ро Ро Ро

= —'VV р' — "V' р' ,

гпс г э э г гпс'

а также линеаризованное уравнение неразрывности (5). Кроме того, очевидно, что для гармонического процесса при интегрировании по периоду колебаний справедливы равенства

V р = V р , — V р = V р

гпс г э гпс г э ^ э г гпс э г гпс

-V(Р'гnc р\ ) = — ^^ 'гпс р\ — ^^ 'э р 'гпс =

V 'гпс р \ — р0 V V• V '

v э р гпс ро v гпс V - v э,

т. к. очевидно, что

^ э р гпс v э р гпс ро v э V - v гпс ;

+р0 V 'э V• V 'гпс ) ^ =

= — К V 'гпс р \ + ро V 'гпс V - V 'э ) ^

V

| V 'гпс (ро^ V 'э + р \ ) dV =

= —I V

V

-{ V 'гпс ( роА<Р \ — -ро Р'э^ dV =

= — р

{ v'гnc (лр — ^ Ф\ЛjdV. (12)

Здесь учтено, что V' = V р ' и р' = —о Р . Вы-

с

ражение (12) полностью совпадает с выражением (11) работы [1].

В случае, если бы было принято представление

(точка сверху означает дифференцирование по времени).

С учетом сказанного получаем цепочку равенств:

-V(Р 'гпс р\ ) = V 'э р 'гпс — ро V 'гпс V• V 'э ,

ро

то конечное выражение для рд было бы таким:

^ I

г =—ро I V

{V 'э (л р \пс—1 Рр' гпс ] dV - о.

(1о)

—V 'гпс р\ = V 'гпс р'э = — ро V 'гпс V• V .

Таким образом, получено два различных представления для первого слагаемого в подынтегральном выражении в (9). Произведем дальнейшие выкладки для варианта

— V(Р'гnc р\ ) = V 'гпс р\ — ро V 'э V• V 'гпс . (11)

ро

Подставляя (11) в (9), получаем цепочку равенств:

=—— v(р'nc р\)+ро (+)1 dv=

V ( ро )

= — I (V 'гпс р\ — ро V 'э V• V 'гпс + ро V 'гпс V• V 'э +

Последнее выражение тождественно равно нулю, т. к. внутри объема V потенциал р\пс удовлетворяет однородному волновому уравнению

Л Р \пс —т Рр \„с = о . Дело в том, что в соответствии с

с выбранным объемом интегрирования V и охватывающей его поверхности S при получении выражений для рд принимается предположение о том, что источник падающего поля находится вне объема V.

Вязкая жидкость

В этом случае необходимо исходить из линеаризованной системы Навье—Стокса (7), (5), (6). Отличие от идеальной жидкости проявляется только в уравнении движения (7). В качестве альтернативного подхода примем предположение о стационарности процесса с временным фактором в—а, который везде далее опускаем.

Приведем здесь соответствующие выражения, связывающие амплитуды характеристик потенциального поля между собой (обозначения для амплитуд оставим теми же, что были для общего случая временной зависимости). Из уравнения (7) получаем

1 , Л + 2/ ,

—г^ =--Vp +--Лv .

ро ро

2

2

2

Из соответствующих нестационарных зависимостей [8] получаем для области без источников (особенностей)

Ар'+ к1 р = о, (13)

Av'+ к2 V' = о, (14)

, . Ро , Л + 2 и . ,

Р' = т^т р'+-Ар,

с с

р' = 1ЮРор'+ (Л + 2ц)Ар'.

Последнее выражение легко преобразуется к следующему виду (см. [9]):

Р =

1Рос2к12

а

Р .

Для плотности, учитывая (6), имеем

Здесь

, Рок ,

Р = —^р . а

2_ а2 (л . Л + 2цХ"

к = ✓

1 - 1а-

2

(15)

(16)

(17)

к2 — [7].

Далее модифицируем выражения (15), (16):

„ , 1Рс2к,2 ,

Ур' = -™-V',

а

(15а)

УР' =

1Рок12

V .

а

(16а)

1

р'' = ^(-шр')2 Ро (Ур')2 +

2с

1а

Л + 2ц ,

р'Ар'.

С учетом (13) последнее выражение перепишется в виде

р " = 1 - Рт а2 - шк, 2 Л + 2И

2с2

1 с2

х(Ф ')2 -1 Ро (УФ ')2.

2

(19)

После подстановки в (19) выражения (15) полу-

чаем следующее выражение для р :

1 +'

( а2(Л + 2ц)2Л

р" =

2 4

Ро с

2Рос

(р')2 -2РоIV'|2. (2о)

С учетом (2о) выражение (8) для вязкой жидкости преобразуется к виду

—М Г =

V Рос у

квадрат волнового числа продольных волн

= -.М-Ро^ 'шс • V 'х ) + « -с- (Р 'тс Р\ )

V V Ро

= -|(Ро^ 'тс -У) V 'х + ( V 'х •У)V '„с +

V

Л У-V' + V' У-VV )dV.

тс х х 1„с i

dV =

+V'

(21)

Здесь а = 1 +

а2(Л + 2ц)2

2 4

Ро с

. Тогда выражение, ана-

логичное выражению (9) для идеальной жидкости, в случае вязкой жидкости имеет вид

Из уравнения неразрывности (5) получаем

\&РУ = РоУ- V' = Ро Ар'. (18)

Преобразуем выражение (1) для случая вязкой жидкости при условии, что оценивается составляющая средней силы, вызванная только взаимодействием волн при пренебрежении акустическими течениями, т. е. для случая оценки радиационного давления по терминологии работ [Ю-12]. Если пренебречь влиянием акустических течений на среднюю силу, то тензор напряжений вязкой жидкости второго порядка малости ал'' может быть принят равным акк''« -р "Зй . Здесь р'' — величина давления второго порядка малости. В работе [13] без учета акустических течений получено выражение для р":

ГИ=-П а— У—-—:) +

V V Ро

+ Ро ( V 'тс У- V 'х + V 'х У-V 'тс )) dV. (22)

Далее раскроем первое слагаемое под интегралом в (21). Для этого воспользуемся выражениями (16а) и (18).

а— У(Р'тс Р\) =

Ро

= а — У (Р 'тс )Р\ + Р ',пс УР \ = Ро

=а

с ( 1Ро к12 . , „ , 1Ро к1

а

^ тс Р х + Р

2

V

тс г х г тс х

а

J

= -а

с ( Рок1 „I „I , „I Рок1

а

2 V тс1аР х + 1аР

2

V'

тс 2 х

а

х

2

2

2

с

ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЙ.

Ю5

с2

= —а 2 к2 ( V 'гпс роЛ Р \ + РоV • V 'гпс V 'э ) =

а

1 +

а2(Л + 2/)2

2 4

Ро с

а

; к12 ( V 'гпс РоЛ Р \ + Ро V• V 'гпс V 'э ) =

1+

а2(Л + 2/) Ро с

22

с а

22 а с

1+

1

а2(Л + 2/)2

2 4

Ро с

1 + га

Л + 2/

Рос" )

( V 'гпс РоЛ Р \ + РоV• V 'гпс V 'э ) =

(л Л + 2/ 1 + га-2-

Рос )

( V 'гпс РоЛР \ + Ро^ V 'гпс V 'э )!

!—Ро ( V 'гпс Л Р \ +V• V 'гпс V 'э ).

(23)

А1е-гш1Л2в-гш1 =

1 т

-{( А1е-га' + ДУ")( Ае~ш + А2*ега') dt =

т

= - Re ДА,*.

2 1 ^

цы в выражении для к12 (17) в числитель. На 8-м шаге использован тот факт, что для реализации волнового процесса в вязкой жидкости необходимо выполнение условия [7, с. 23]

Л + 2и

а-<< 1,

Рос

вследствие чего в выражении 1 + га

Л + 2/ Рос"

мни-

мой составляющей можно пренебречь.

Подставляем итоговый результат (23) в (22), получаем

) = —{(—Ро V 'гпс Л Р \ + Ро V 'гпс V • V) dV :

= —Ро I V

{V 'гпс (Л + к2 ) Р \dV.

(24)

На 2-м шаге последовательных эквивалентных преобразований (23) использовано выражение (16а), кроме того, на 3-м шаге заменен знак на противоположный вследствие следующего факта. Пусть А1 и А2 — амплитуды стационарных гармонических сигналов А1е'га( и А2е^"м (здесь временно для наглядности возвращен временной фактор е~"м). Тогда легко проверить, что имеет место равенство

(—га А1е-гш') А2е-гш' = — А1е~ш (—га А2е—а ),

аналогичное равенствам во временной области, приведенным после выражения (1о). Кроме того, для двух процессов А1е^га' и А2е^га' имеет место общее равенство для среднего их произведения по

т 2п периоду т = — : а

Здесь по умолчанию реальное включение заменяется точечным, а рассеянное поле во всем объеме V, исключая эту точку, удовлетворяет уравнению Гельмгольца (13), и, следовательно, вне этой точки справедливо равенство Лр=—к12 р. Таким образом, мы пришли к исходному выражению для идеальной среды [1, выражение (11)], но для гармонического процесса и в вязкой среде.

Наконец, выражение (24) может быть записано в удобном для вычислений виде, аналогичном полученному ранее для идеальной среды [14, выражение (1)]:

Г(К)=— Рт! V 'гпс ((Л + к2) Р \ )* dV + к.с. (25)

4 V

Исходя из (2) и (2о) выражение для квадратичной составляющей рд может быть записано так:

Г'=-Я|- РV э;+

Ро

2

а | , |2

—I РА

2Рос

5 к +

+ Ро ^^ + V*Vk)nk

) п } dS,

г = 1,3.

Учитывая, что а «1, последнее выражение для вязкой жидкости записывается идентично выражению (2) для идеальной жидкости:

*' V.!2+2р

Л

2Рос

5 к +

На 4-м шаге (23) использовано тождество (18). На 6-м шаге использован перенос мнимой едини-

+ Ро(VV'эк + V'эк )}пкАБ, г = 1,3, (26)

а в волновой зоне в точности совпадает с выражением (2а) для идеальной среды.

с

X

X

X

X

X

ВЫВОДЫ

Таким образом, в работе приведен подробный вывод полученных ранее выражений для перекрестной и квадратичной составляющих радиационного давления в идеальной среде. Получены выражения для составляющей радиационного давления в вязкой среде, обусловленной взаимодействием первичной и рассеянной волн. Эти выражения оказались по форме совершенно аналогичны выражениям для идеальной среды. Этот факт позволяет экстраполировать всю наработанную для идеальной среды технику на случай вязкой среды в части, касающейся оценки упомянутой составляющей радиационного давления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Горьков Л.П. О силах, действующих на малую частицу в акустическом поле в идеальной жидкости // Доклады АН СССР. 1961. Т. 140, № 1. С. 88-91.

2. Курочкин В.Е., Шарфарец Б.П. Связь радиационного давления с амплитудой рассеяния сложных включений в идеальной жидкости // ДАН. 2008. Т. 419, № 3. С. 324-327.

3. Settnes M., Bruus H. On the forces acting on a small particle in an acoustical field in a viscous fluid. 2011. URL: (http://arxiv.org/pdf/1110.6037.pdf).

4. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975. 288 с.

5. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. Киев: А.С.К., 1998. 350 с.

6. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости (обзор). I // Прикл. механика. 2000. Т. 36, № 1. С. 2552.

7. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. 384 с.

8. Шарфарец Б.П. Амплитуда рассеяния упругого шарика в вязкой изотропной жидкости // Научное приборостроение. 2012. Т. 22, № 2. С. 90-97.

9. Doinikov A.A. Acoustic radiation pressure on a rigid sphere in a viscous fluid // Proc. R. Soc. Lond. A. 1994. V. 447. P. 447-466.

10. Данилов С.Д. Средняя сила, действующая на малую сферу в поле бегущей волны в вязкой жидкости // Акуст. журн. 1985. Т. 31, № 1. С. 45-49.

11. Данилов С.Д. Средняя сила, действующая на малое тело в осесимметричном звуковом поле в реальной среде // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1986. № 5. С. 161-169.

12. Danilov S.D., Mironov M.A. Mean force on a small sphere in a sound field in a viscous fluid // J. Acoust. Soc. Am. 2000. V. 107, N 1. P. 143-153.

13. Гузь А.Н., Жук А.П. О гидродинамических силах, действующих в акустическом поле в вязкой жидкости // ДАН. 1982. Т. 266, № 1. С. 32-35.

14. Данилов С.Д., Миронов М.А. О силе радиационного давления, действующей на малую частицу в звуковом поле // Акуст. журн. 1984. Т. 30, № 4. С. 467-473.

Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург

Контакты: Шарфарец Борис Пинкусович, [email protected]

Материал поступил в редакцию 4.04.2012.

DEDUCTION OF EXPRESSIONS FOR CROSS AND QUADRATIC COMPONENTS OF RADIATION PRESSURE IN CASES OF THE IDEAL AND VISCOUS FLUID

B. P. Sharfarets

Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint Petersburg

The detailed deduction of the earlier expressions for calculation of radiation pressure in perfect fluid was made. The deduction of earlier missing corresponding expressions for a component of radiation pressure in a viscous medium caused by interaction of impinging and diffused waves was also realized. These expressions, being similar in shape with the expressions for perfect medium, will allow to use all techniques developed for the calculations of radiation pressure for perfect medium.

Keywords: radiation pressure, cross component, quadratic component, perfect liquid, viscous liquid