CC BY
15
УДК 539.3
Д-р техн. наук А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина Государственная инженерная академия, г. Запорожье
ВЫВОД ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРОДОЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЯ ПРИ ПОМОЩИ ДВОЙНОГО УПРОЩЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Предлагается алгоритмизированный способ построения одномерных уравнений продольной деформации стержня при помощи двойного упрощения трехмерных уравнений теории упругости методом асимптотико-группового анализа.
Широко распространенные модели пластин и оболочек базируются на некоторых гипотезах (например гипотеза прямой нормали). А. Л. Гольденвейзер предложил строить подобные модели на основе асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости [1-3]. Однако его подходы ограничивались обоснованием известных уравнений пластин и оболочек, т. е. фактически вновь опирались на какие-то предположения. А. Д. Шамровский предложил алгоритмизированный способ вывода уравнений пластин и оболочек из уравнений упругости при помощи асимптотико-групового анализа [4, 5]. При этом уравнения пластин и оболочек получаются при помощи минимальных упрощений уравнений теории упругости. В данной работе применяется неминимальное (двойное) упрощение уравнений теории упругости, что позволяет прийти к уравнениям стержней.
1 Параметры асимптотического интегрирования
Уравнения теории упругости в декартовых координатах можно записать в форме:
д1СТП + д2СТ12 + д3СТ13 - р52«1 = 0;
51^12 + д2ст 22 + д3ст 23 - рд2и2 = 0; д1ст13 + д2ст23 + д3ст33 - рдг2«3 = 0;
Ед1и1 =ст11 -ЧСТ 22 +ст33 );
Ед2«2 = ст22 -ЧСТ11 +ст33);
Ед3«3 =ст33 -ЧСТ11 +ст22 );
0(дхи 2 + д 2«1 )=СТ!2;
0(р1«3 +д 3«! ) = ст13;
О (д 2«3 + д 3« 2 ) = СТ 23 .
(1)
В работе [4] для оценки весов слагаемых этих уравнений предложено применять преобразования:
д 1 = 8а1 д*, д2 = 8а2д2, д3 = д3;
Яа 3 * = 0 3 «1 , «2
= 8С
<2> "3
5а 5 * = 0 5 «3
ст11 =°а 6 СТ1Ъ ст 22 =°а 7 ст22 , ст 33 =°С8 ст 33;
я а о * яа|0 * *
ст12 = 0 9 ст12 , ст13 = 0 10 ст13 , ст 23 = ст 23 ;
Е = Е*, О = О*, р = р*, д( =8а 11 д* приводящие к соотношениям:
(2)
д* е8*' Ед*«* ~ ст]т (/,у,I,т = 1,2,3). (3)
Подстановка (2) в (1) дает таблицу показателей степени:
а1 +а6, а2 + ао, а^, а3 + 2ац; а1 +а3, а6, а7, а8 ;
а1 +а9, а2 +а7, 0, а4 + 2ац; а2 +а4, а7, а6, а8;
а1 + аю, а2, а5 + 2а^; а5, а6, а7 ;
а1 +а4, а2 +а3, а9; а1 +а5, а3, а^; а2 + а5, а4, 0.
(4)
2 Обобщенное плоское напряженное состояние
Рассмотрим параметры:
4
и
© А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина, 2009
а! = 1, а2 = 1, а3 = -2, а4 = -2; (5)
а 5 = -1, а 6 = -1, а 7 = -1, а 8 = 1;
а9 =-1, а,ю = 0, ац = 1. Им отвечает следующий вид таблицы (4):
0, 0, 0, 0; -1, -1, -1, 1
0, 0, 0, 0; -1, -1, -1, 1 1, 1, 1, 1; -1, 1, -1, -1
-1, -1, -1; 0, - 2,0; 0, - 2,0 (6) и упрощенные уравнения:
д^ц + д2ст^ + дз<з1з -рд= 0; (7)
д^Ь + д2^22 + дзст2з - Рд2"2 = 0; д 1ст1з + д2ст2з + дзст3з - Рд2из =0;
¡73 1 1 1
Ед" =стп -vст 22;
т-з 1 1 1
Ед2"2 =ст22 -уст1Ь
Ед зи3 = -у(стп + ст22);
О(д1"2 + д2"1 )= ст^; дз"1 = 0; дз"2 = 0. Последние два из уравнений (7) показывают, что перемещения ы\ и и2 не зависят от координаты хз. Далее, из вторых уравнений в первой и второй строках (7) и первого уравнения в четвертой строке (7) следует, что при этом не зависят от хз и напряжения
ст|1, ст22, ст|2. Далее рассмотрим первые уравнения в первой и второй строках (7) и второе уравнение в третьей строке (7). Интегрируя и не учитывая констант
интегрирования находим, что функции ст|3, ст!,3 и и1 линейно зависят от хз. Наконец, первое из уравнений в третьей строке (7) показывает, что функция ст33 зависит от хз квадратичным образом. Окончательно получаем:
и1 = и1,Ь и2 = и2,1, ст11 = стП,Ь
ст22 = ст2г,1, ст12 = ст12,1 ;
Все функции в правых частях соотношений (8) зависят только от х1, х2, t. Зависимости от хз выписаны явно. Таким образом, мы вскрыли зависимость напряженно-деформированного состояния от координаты хз. В работе [4] показано, что описанное таким видом напряженно-деформированное состояние соответствует обобщенному плоскому напряженному состоянию пластины.
3 Еще одно обобщенное плоское напряженное состояние
Мы рассмотрели обобщенное плоское напряженное состояние в плоскости х1, х2. Аналогичным образом можно рассмотреть обобщенные плоские напряженные состояния в плоскостях х1, хз и х2, хз. Остановимся на плоскости х1, хз. Рассмотрим значения параметров:
а1 = 0, а2 = -1, аз = -1, а4 = 0; а 5 = -1, а 6 = -1, а 7 = 1, а 8 = -1;
а9 = 0, аю =-1, ац = 0. Соответствующий вид таблицы (4) будет: -1, -1, -1, -1; -1, -1, 1, -1;
0, 0, 0, 0; -1, 1, -1, -1;
-1, -1, -1, -1; -1, -1, -1, 1;
0, -2, 0; -1, -1, -1; -2, 0, 0. Упрощенные уравнения:
д1ст|1 + д 2ст|2 + д зст1з - рд ¡и = 0;
д1ст12 + д2СТ22 + дзст2з - Рд2и1 = 0;
д1ст13 +д2ст2з +д3ст33 -Рд2и3 = 0;
1-Я 1 1 1
Еди = ац - уст з
зз
(9)
(10)
ст1з = x3ст13,1, ст23 = х3ст23,1, из = хзиз,1, стзз = 2(х3 )2 ст3з,1 +ст3з,2 .
Ед 2и2 =-у(ст11 +ст3з);
Ед3и3 = ст33 -устп;
д 2и11 = 0; о(д1и1 + д3и11 ) = ст13; д2и1 = 0. (11)
Этим уравнениям отвечает следующая структура решения:
1 _ 1 1 _ 1 1 _ 1 и1 = М1,Ъ и3 = и3,Ъ ст11 =ст11,1,
ст3з = ст3з,1, ст13 = ст13,1 ;
1 11 111 ст12 = х2ст12,1, ст 23 = х2ст 23,1, и 2 = х2и 2,1,
ст22 = \ (х2 )2 ст22,1 +ст2
22,2
(12)
Все функции в правых частях соотношений (11) являются аргументами х1, х3, t. Зависимость от х2 выписана явно.
4 Комбинация двух ортогональных обобщенных плоских состояний
Выполним теперь одновременно упрощения, приводящие к уравнениям (7) и к уравнениям (10). С этой целью сложим параметры (2) и (9), получая:
а1 = 1, а 2 = 0, а3 = -3, а 4 = -2; а5 = -2, аб = -2, а7 = 0, а8 = 0;
а9 = -1, аю = -1, ац = 1.
(13)
Таблица (4) будет:
В уравнениях (15) такого баланса нет. Например, для одной величины и11 имеется два уравнения (первые два уравнения в четвертой строке (15)), а для некоторых из других величин уравнений, соответственно, не хватает.
Выйдем из этой ситуации следующим образом. Уравнения (15) получились в результате двойного упрощения исходных уравнений (1). В случае каждого из двух упрощений, составляющих двойное упрощение, мы имеем структуры искомых величин от некоторых из аргументов (8) и (12). Т. е. первое из упрощений позволило выявить зависимость искомых величин от х3, а второе - от х2. Объединим эти результаты, выявляя, при помощи (8) и (12), зависимость искомых величин одновременно и от х3 и от х2.
Из (8) следует, что и\ не зависит от х3, а из (12) -что не зависит от х2. Следовательно, зависит только от хх и t.
Далее, (8) показывает, что и\ не зависит от х3, а (12) дает явную зависимость от х2. Продолжая рассуждать таким же образом, получаем:
и о — х9 и
2И2,Ь
и-1 — х-} и
3И3,1 =
-1, -1, -1, -1; -2, -2, 0, 0;
ст11 — ст11,1, ст22 - "7 (х2 )2 ст22,1 + ст22,2 ;
0, 0, 0, 0; - 2, 0, - 2, 0;
0, 0, 0, 0; -2, 0, -2, 0;
-1, - 3, - 1; - 1, - 3, - 1; - 2, - 2, 0. (14) Упрощенные уравнения примут вид:
д1ст11 +д2ст12 +д3ст1з -Рд2и1 =0;
д 1ст 12 + д2СТ22 + дзСТ23 - рд2и2 = 0; д 1ст1з +д 2ст 23 +д 3ст 33 -Рд 2и3 = 0;
Еди1 = стц
ст3з = \(х3)2ст3з,1 + ст3з,2, ст12 = х2ст12,1;
ст1з = х3ст1з,1, ст23 = х2х3ст23,1 •
(16)
Здесь все функции в правых частях соотношений зависят только от х1 и t. Зависимости от х2 и х3 выписаны явно.
Подставляя (16) в (15), получаем:
д1ст11,1 + ст12,1 + ст1з,1- Рд 2и1,1 =0;
д1ст12,1 + ст22,1 + ст23,1 - Рд2и2,1 = 0;
д1ст13,1 + ст23,1 + ст33,1 - Рд2и3,1 = 0;
Ед2и 2 = ^стц ; Ед3и3 = -уст1
11
Ед1и1,1 =ст1и; Еи2,1 =-уст11,1;
д 2 и11 = 0; д 3 и1 = 0; д 2 и 3 +д 3 и 2 = 0. (15)
Структура уравнений (15) достаточно существенно отличается от структуры уравнений (7) и (11). В указанных уравнениях имелся баланс количества уравнений и числа искомых величин. Это позволило выполнить последовательно ряд интегрирований (по х3 в уравнениях (7) и по х2 в уравнениях (11)) и выяснить зависимости искомых функций от х3 или х2.
11 Еи 31 =-уст
11,1 ■
(17)
Здесь выписаны шесть уравнений; остальные три удовлетворились тождественно. Эти шесть уравнений содержат одиннадцать искомых величин, входящих в правые части (16). Следовательно, необходимы еще пять уравнений. Получим их из граничных условий.
На рис. 1 изображен стержень с прямоугольным поперечным сечением - И2 < х2 < Н2, - к3 < х3 < к3.
Рис. 1. Стержень с прямоугольным поперечным сечением
На продольных поверхностях стержня заданы нормальные и касательные напряжения. В соответствии с (16) имеем: при х2 = (2
2((г2)2ст22,1 + ст22,2 = 92, h2ст12,1 = т+1, h2х3Ст23,1 = х3Т +3 ; при х3 = И3
2((г3)2ст33,1 +ст33,2 = 9+ , (3ст13,1 = Т+Ъ
(18)
х2(3Ст23,1 = х2т+2 .
(19)
Обратим внимание на то, что напряжения ст 23 изменяются в поперечных, по отношению к продольным сторонам стержня, направлениях. В угловой точке х2 = (2, х3 = (3 справедлив закон парности касательных напряжений:
(3Т+3 = (2Т+2
(3
^ т+ = -3 т+
132 , 23 •
(2
(20)
В итоге мы получаем необходимые пять добавочных уравнений:
1 ((г2 )2 ст122,1 +ст122,2 = 9+ ■
2 ((3 )
21
33,1 +ст 33,2 = 93
(2ст1г,1 = Т+Ъ (3ст13,1 = ТЗЪ (2ст23,1 = т +3. (21)
Условия на остальных боковых поверхностях и в угловых точках не рассматриваются, поскольку они симметричны рассмотренным условиям.
Выразим из (21) продольные касательные напряжения на боковых поверхностях:
т
-2^ СТ1 = -Т3-
; '13,1 , (2 (3
(22)
и подставим в первое из уравнений (17), получая:
дст11,1 +^21 + р д2«1,1 = 0
(23)
дх1 Й2 (3 дг1 Площадь поперечного сечения стержня равна:
Е = 4(2(3 . (24)
Поскольку нормальное напряжение ст[11 равномерно распределено по поперечному сечению стержня, то суммарное продольное усилие равно:
т=*ст;и.
Умножая (4.11) на Е получаем:
дТ + + д 2«|1 -+ 4(3т+1 + 4(2 т+1 - рЕ-11 = 0.
(25)
дх1
дг2
(26)
Касательные напряжения т+1 и т+1 равномерно распределены поперек соответствующих продольных сторон стержня. Поэтому произведение 2(3т+1 дает полное касательное усилие вдоль стороны х2 = (2 (для заданной координаты х1). Такое же усилие действует и на противоположной стороне х2 = -(2. В сумме вдоль двух противоположных сторон действует усилие 4(3т+1. Аналогично, вдоль сторон х3 = ± (3 действует суммарное продольное усилие 4(2т+1. Полное продольное усилие, действующее на стержень вдоль боковых сторон, равно:
т = 4 (3 т + + 4 (2 Т +1.
Вводя обозначения:
«11 = «, Х1 = х .
(27)
(28)
получаем, с использованием второго из уравнений (17):
Т = ЕЕ
д« дх
ЕЕ
д 2 « дх 2
- рЕ
д 2«
• = -т.
дг2
(29)
Обычно для подобных задач находятся только величины « и Т. В данном случае мы можем указать все ком -поненты напряженно-деформированного состояния.
Величины ст111, ст121, ст^ 1,ст1231 легко находятся из соотношений (25) и (21) соответственно
+
ст
12 ,1
1 T T
=—=
• СТ1 =Т21 F 12,1 й2
„1 _т31 „1 _т23 h3 h2
(30)
и далее считаются известными.
Из вторых уравнений второй и третьей строки (17) следует:
1 _ 1 _ V 1 u2,1 = u3,1 =~ °11,1-E
(31)
Учитывая найденные в (31), (30) и (24) величины, из оставшихся уравнений в (17) получим:
ст22,1 =-1рН52T -h3 ' d1T21 -h2 23;
ст3з,1 = 4Е|д2Г- А2 • д1т31 -Ъ3 •т23 . (32)
Выводы
Таким образом, приведенный выше метод построения уравнений продольной деформации стержня путем их вывода из трехмерный уравнений теории упру-
гости дает возможность получить достоверные результаты путем выполнения четкой последовательности действий без опоры на какие-либо предположения и гипотезы.
Отметим также, что получена полная картина распределения напряженно-деформированного состояния по поперечному сечению стержня.
Перечень ссылок
1. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости / Гольденвейзер А. Л. // ПММ - 1962. - Т. 26, вып. 4. - С. 662-686.
2. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости / Гольденвейзер А. Л. // ПММ - 1963. - Т. 27, вып. 4. - С. 593-608.
3. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек / Гольденвейзер А. Л. - М. : «Наука», 1976. - 510 с.
4. Шамровский А. Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости / Шамровский А. Д. - Запорожье : изд-во ЗГИА, 1997. -169 с.
5. Шамровский А. Д. Асимптотическое интегрирование статических уравнений теории упругости в декартовых координатах с автоматизированным поиском параметров интегрирования / Шамровский А. Д. // ПММ - 1979. -Т. 43, вып. 5. - С. 859-868.
Одержано 24.04.2009
nponoHyembcx amopumMi3oecnuu cnoci6 no6ydoeu odnoMipnux pieuxub no3doe:rnnboi defyopMc^i cmpuwnie 3a допомогоm пoдeiunoгo cnpo^enuM mpuMipnuxpieuxub meopii npywnocmi MemodoM асимптотико-гpупоeого cncM3y
The algorithmic method of construction of one-dimensional equalizations for the longitudinal strain of the bar through the double simplification of the three-dimensional equalizations of elasticity of theory using the method of asymptotic-group analysis is offered.
УДК 669.15-198
А. С. Петрищев, д-р техн. наук С. М. Григор 'ев Нацюнальний техшчний ушверситет, м. Запорiжжя
ДЕЯК1 ТЕРМОДИНАМ1ЧН1 ЗАКОНОМ1РНОСТ1 ВУГЛЕЦЕВОТЕРМ1ЧНОГО В1ДНОВЛЕННЯ ВАНАД1ЙВМГСНО1
МЕТАЛООКСИДНО1 СИРОВИНИ
Проведен вiдповiднi розрахунки рiвноваги в системi У-О-С та виконаний аналгз термодинамiчних законом1рностей вуглецевотермiчного вiдновлення, який свiдчить про велику iмовiрнiсть паралельного протжання реакцiй карбiдоутвоерння. Така ж mенденцiя зберiгаeться при вiдновленнi ванадiю з оксидiв моноксидом вуглецю, що пiдmверджуe мiзерно малу вiрогiднiсmь одержання безвуглецевого продукту в цих системах. Одержан результати е достатньо вагомим теоретичним тдгрунтям для розробки меmодiв уmилiзацil ванадшмюног металооксидног сировини при вигоmовленнi марок сmалi, де немае жорстких обмежень щодо вуглецю.
© А. С. Петрищев, С. М. Григор'ев, 2009
