CC BY
18
Рисунок 4
б) г)
Рисунок 5
в блок сравнения и рассчитанное на каждом шаге h значение uc(t) преобразуется в выходное напряжение m(t).
В схеме формирователя величин A(t) и B(t) при настройке нечеткого регулятора перестраиваются граничные значения диапазонов Am = 0max = -0min, Bm = = 0 max = -0 min, Cm = 0 max = -0 min. В блоке нормировки выходной переменной перестраиваются граничные значения диапазона Dm = mmax = -mmin.
ВЫВОД
Изложенные теория и практическая схема нечеткого регулятора с выходными разъединенными треугольными функциями принадлежности и входными треугольными функциями принадлежности дают возможность использовать рассмотренный регулятор в
различных системах автоматического управления и путем настройки параметров регулятора добиваться высокого качества систем.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Гостев В. И. Новый метод проектирования одного класса нечетких цифровых регуляторов / В. И. Гостев // Проблемы управления и информатики. - 2007. -№ 6. - С. 73-84.
Надшшла 13.10.2008
Отримано анал1тичт вираження для керуючих впли-eie на виход1 неч1ткого регулятора при вих1дних роз'ед-наних трикутних функщях приналежноcтi й викладет питання проектування нечШкого регулятора.
Analytical expressions for output control action of a fuzzy regulator at disconnected triangular output functions of belonging were derived. The question of fuzzy regulator design was outlined.
УДК 681.527.2
Е. М. Потапенко, А. Е. Казурова, Е. В. Душинова, Н. В. Ивочка
ВЫСОКОТОЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СКОРОСТЬЮ ДВУХМАССОВОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Рассматривается указанная в названии статьи упругая система с неопределенными параметрами, подверженная действию неизвестной нагрузки и трению с неизвестной моделью и параметрами. Синтезированы наблюдатели для идентификации неопределенных параметров и переменных. Разработан комбинированный ре© Потапенко Е. М., Казурова А. Е., Душинова Е. В., Ивочка Н. В.,
гулятор, обеспечивающий высокую точность управления и заданные показатели качества переходных процессов.
ВВЕДЕНИЕ
Под системой, указанной в названии статьи, понимается механическая система, состоящая из ротора 2009
двигателя постоянного тока (Д) (первая масса), упругой трансмиссии (ТМ) и объекта управления (ОУ) (вторая масса). Предполагаются неизвестными сопротивление якоря Д, жесткость ТМ, момент инерции ОУ, а также нагрузка, возникающая при выполнении технологических операций, и возмущающий момент в виде нелинейного трения с неизвестной моделью. Такой механической системой могут быть радиолокаторы, фрагменты прокатных станов, металлообрабатывающих станков, роботы и т. п. Разработка систем управления описанного объекта имеет длинную историю [1-6]. В указанных работах сопротивление якоря Д, жесткость ТМ, момент инерции ОУ, модель и параметры трения считаются известными и закладываются в алгоритмы управления. Однако, сопротивление якоря в зависимости от температуры в процессе работы может меняться в 2 раза. Жесткость также зависит от температуры. Моменты инерции робота могут меняться в несколько раз. До настоящего времени полностью достоверная модель трения до сих пор не создана. Кроме того, коэффициенты модели трения в процессе работы механизма могут меняться в несколько раз. Поэтому высокоточное управление в условиях описанной неопределенности можно обеспечить только за счет применения робаст-ных алгоритмов управления.
Целью данной работы является синтез алгоритмов, робастных по отношению ко всем вышеперечисленным неопределенностям.
Хорошей робастностью по отношению к неопределенности момента инерции ОУ, модели и параметрам трения, нагрузке обладают системы с переменной структурой (СПС), примененные в работах [5, 6]. Работа этих систем сопровождается скользящими режимами. К сожалению, скользящие режимы вызывают вибрации, которые ухудшают надежность системы, повышают ее электропотребление, вызывают появление акустических шумов. Вибрации еще больше усиливаются при наличии высокочастотных помех. Кроме того, СПС в некоторых случаях могут возбуждать высокочастотную паразитную динамику (упругие колебания) вплоть до потери устойчивости. Хорошей робастностью к неопределенностям, быстрым реагированием на ступенчато изменяющиеся воздействия и одновременно при «мягком» управлении без скользящих режимов обладают комбинированные системы управления с оценкой и компенсацией неопределенностей динамики [7-9]. Поскольку в неопределенности включены и внешние воздействия, то указанные системы, помимо робастности, обеспечивают высокую точность управления. Благодаря отсутствию скользящих режимов, эти системы в меньшей степени возбуждают паразитную высокочастотную динамику. Комбинированная система управления с наблюдателем неопределенности была успешно приме-
нена для позиционного управления двухмассовой упругой электромеханической системой [10]. Ниже в соответствии с названием статьи рассматривается управление скоростью.
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
На рис. 1 схематично изображена двухмассовая упругая электромеханическая система (ЭМС), где приняты следующие обозначения: 1т, 1с - моменты инерции двигателя и объекта управления, <вт, <вС -их угловые скорости, с - жесткость трансмиссии, и -напряжение, прикладываемое к якорной цепи двигателя, f^, fc - моменты нагрузки и трения. ЭМС, показанная на рис. 1, описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
/> с = те - ^ - fu (1)
1т<т = - п1те + Ст1; (2)
те = с(п-<т - юс); (3)
Ы + Кг = и - сетт, (4)
где, наряду с обозначениями к рис. 1, те - момент упругости; г - ток якорной цепи; К, Ы - активное сопротивление и индуктивность якорной цепи; ст, се -моментный и скоростной коэффициенты двигателя; п -
Рисунок 2 - Зависимость трения от скорости
передаточное число редуктора; с - коэффициент жесткости упругой части. В системе (1)-(4) неизвестными являются 1с, fc, fl, с, К, те. Предпо-лагается, что измеряются г, и, < с, < т.
В качестве модели трения использовалась модель ЬиОге [11]. Соответствующая ей зависимость трения от скорости представлена на рис. 2 и описывается уравнениями (5)-(7).
fc = -т при <вс = 0, VIт| < f0, (5)
fc = -f0signm при юс = 0, VIт| >f0, (6)
fc = -Ф(|®с\^п^с пРи N > 0, (7)
где т - сумма всех внешних воздействий на объект, подверженный трению, f0 - максимальный момент трения покоя.
2 СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
2.1 Идентификация сопротивления якоря
двигателя
Идентификацию сопротивления якоря двигателя осуществим с помощью наблюдателя, синтезированного в работе [11] в виде
К 5 = г + 1К2- Ы2,
(8)
г = /К|^г2(2 + Ы^ - г (и - сеРрт) + К0г2^, (9)
К = к0 + К5, (10)
где К, К0, К5 - оценка истинного сопротивления, его номинальное значение и оценка отклонения истинного сопротивления от его номинального значения; 1К -коэффициент передачи наблюдателя.
2.2 Оценка момента упругости и ее жесткости
Из уравнения (2) найдем
у : = те = п(ст,г - 1т<® т) . (11)
Будем полагать, что жесткость упругого элемента -неизвестная постоянная. Тогда можно записать
с = 0.
(12)
Будем рассматривать выражения (3), (12) как динамическую систему, а выражение (11) как ее измерение. Исследуем наблюдаемость переменных те, с в
системе (3), (12) при измерении (11). Для этого в соответствии с теоремой 1.31 работы [12] положим у = те = 0. В этом случае из уравнения (3) при условии
п ®т - <вс ф 0 тождественно
(13)
следует с = 0, что свидетельствует о восстанавливаемости системы при выполнении условия (13). Как видно из уравнения (3), условие (13) означает, что одновременная оценка момента упругости и ее жесткости возможна только при изменении момента упругости. Из сказанного следует, что при выполнении условия (13) по системе (3), (12), (11) можно построить наблюдатель для оценки те и с. Для этого с помощью обозначений
= X,
~те ~х1~
с /2.
А =
0 (п <т - <с) 0 0 _
с = [10]
(14)
запишем систему (3), (12), (11) в пространстве состояний
X = Ах, у = Сх (15)
Для системы (15) наблюдатель имеет вид [12]
X = АХ + Ы (Сх-у), (16)
где Ы = (1т, 1с)Т - матрица коэффициентов передачи наблюдателя.
Уравнение ошибок наблюдателя х = X - х находится вычитанием из уравнения (16) уравнения (15) в видах
х = Ах + ЫСх или х = (А + ЫС)х. (17) С учетом (14)
А + ЫС =
1т (п 1 <т - <с) 1с 0
(18)
После умножения второго уравнения в (17) слева
на х можно записать
^ = хТ(А + ЫС)х, V = ^хТх, (19) аЬ 2
где V - функция Ляпунова. На основании теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости можно утверждать, что для асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (17) достаточно, чтобы
матрица (18) была отрицательно определенной [13]. откуда Для того чтобы матрица (18) была определенно отрицательной, в соответствии с критерием Сильвестра [13] достаточно, чтобы выполнились условия
me = zi + lmnImrnm, c = z2 + lcnImrnm. (29)
lm < 0, lc(n &m - ®c)< 0.
(20)
Для того чтобы наблюдатель был работоспособен вне зависимости от знака выражения (13), примем
lc = lcsign(n~1rnm - mc), lc < 0, (21')
lc = lc sign (nTi(Om - ®c )(| nl <Om - ®c| + 8) \
С учетом выражений (28), (29) уравнения (26), (27) примут вид
z 1 = (z2 + lcnIm®mX«_1®m - ®c) +
+ lm[(z1 + lmnIm®m) - ncmi] ,
z2 = lc[(z1 + lmnIm®m) - ncmi] .
(30)
lc < 0,
(21'')
Для решения системы (30) нет необходимости в дифференцировании скорости ют. Оценка искомых переменных осуществляется по выражениям (29).
2.3 Синтез наблюдателя неопределенности объекта управления
Умножение уравнения (2) на n и последующее
где 0 <8 - малая положительная постоянная, ограниченная снизу разрядной сеткой вычислителя.
Характеристический определитель уравнения (17) сложение с уравнением (1) дают имеет вид
(22)
\Ep - (A + LC)\,
а соответствующее ему характеристическое уравнение для случая (21'') выглядит так:
s - lms - lc = 0.
(23)
Выбор коэффициентов 1т, ¡с осуществим модальным методом [14]. Для этого сопоставим уравнение (23) и стандартное уравнение
/> С + п1т< т = пСтг - /с - //. (31)
Из уравнения (4) найдем
г = Е 1 (и - се<т - Ы). (32)
В (32) вместо неизвестного истинного сопротивления использована полученная выше его оценка. Неизвестный момент инерции объекта управления представим в виде
22 s + a1ro0 s + ю0 = 0,
Ic = Ic0 + Ic8,
(33)
(24)
где 1с0, 1с8 - номинальное (известное) значение момен-где а1 - задаваемый коэффициент, определяющий та инерции и неизвестное отклонение истинного значе-вид переходного процесса, ю0 - частота, характери- ния момента инерции от его номинального значения. зующая быстродействие системы. Приравнивание ко- П°дстан°вка выражений (32), (33) в (31) дает эффициентов при одинаковых степенях 5 в уравнениях (23) и (24) дает следующие значения:
Ic0«> c + nIm(0m = ncmR (u - ce® m - Li) + fc - fe - Ic S<®c
(34)
lm -a1®0, lc -®0
(25)
В уравнении (34) соберем все неизвестные слагае-В скалярном виде наблюдатель (16) выглядит так: мые в неопределенность
те = с(п <т - <с) + 1т[те - п(Ст1 - 1т< т)] , (26)
С = ¡с[т»е - п(Стг - 1т<т)] . (27)
Для устранения необходимости дифференцирования скорости мотора < т вводятся обозначения
¿1 = т е - ¡тШт<т, ¿2 = С- Iс^т« т, (28)
/сЪ = /с + /е + !> с, (35)
с учетом которой уравнение (34) примет вид
1с0<с + П1т<т = ПСтЕ~\и - Се<т - Ьг) - /сЪ. (36)
Из уравнения (36) найдем
/сЪ = - 1с0<т - п1т<т + ПСпЕ~\и - Се<т - Ьг) .(37)
В правой части уравнения (37) собраны известные слагаемые. Поэтому выражение (37) можно рассматривать как измерение неопределенности fcЕ. Выражение (37) содержит производные от измеряемых сигналов. Для устранения необходимости дифференцирования измеряемых сигналов построим наблюдатель неопределенности с таким быстродействием, при котором можно полагать
^е = 0. (38)
Это означает, что за время переходного процесса неопределенность меняется незначительно. Предположение (38) также допустимо, когда правая часть в выражении (35) является кусочно непрерывной. По уравнению (38) с измерением fcЕ построим наблюдатель
^ = к(.ЬЕ - fcъ), (39)
где 1Е - коэффициент передачи наблюдателя, определяющий его быстродействие.
Для получения уравнения ошибки наблюдателя = fcЕ - fcЕ вычтем из уравнения (39) уравнение (38), в результате чего получим
£е = йсъ- (40)
Уравнение (40) имеет решение
= £Е( 0) е'Е\ (41)
где 0) - начальное значение ошибки наблюдателя. Пусть - требуемое время переходного процесса, 8 -коэффициент, показывающий во сколько раз должна уменьшиться ошибка за время переходного процесса. Тогда из (41) следует
1Е = Ь-11п 8 < 0.
Для получения рабочей формы наблюдателя подставим выражение (37) в уравнение (31), в результате чего получим
^Е = 12[ ^Е + 1с0< с + п1т< т - ^тК^ (и - сеЮт - ¿¿)] .
(42)
Для устранения необходимости дифференцирования измеряемых сигналов введем обозначение
Zf = ЬЕ - /Е( 1с0<с + п1т<т - п^К'^Ы) , (43)
откуда
fcz = zf + lz(Ic0mc + nIm- nOmR^Li). (44)
С учетом обозначений (43), (44) уравнение наблюдателя примет вид
Zf = lE[ Zf + lE( Io0®O + nIm®m - nOmR^Li) +nOmR^u].
(45)
Уравнение (45) не содержит производных от измеряемых сигналов.
2.4 Закон управления
Закон управления зададим в виде
u = ui + um + uO, (46)
где ui, um, uO - составляющие закона управления, связанные с токовым контуром, двигателем и объектом управления. Закон управления токовым контуром примем в виде
ui = -R ki, (47)
где ki = const. Тогда уравнение токового контура (4) примет вид
Tei + (1 + kftR^)i = R~\um + uO - oewm), (48)
где Te = LR 1. Предполагается, что оценка сопротивления R точная. Поэтому вместо уравнения (48) будем рассматривать уравнение
Tei + (1 + ki)i = R '(um + uo - Oe®m) , (49)
полученное из (48) в предположении, что R = R. Подстановка i из (49) в (2) дает уравнение двигателя
Im®m = - nXme + CmlR (um + uo - Oe®m) - Tei ], (50) где
Cmi = Om( 1 + ki )-1. (51)
Закон управления двигателем зададим в виде
um = km®m - kn- m eR O^. (52)
В (52) km, k - постоянные коэффициенты. Примечание. Второе слагаемое в выражении (52) искусственно усиливает жесткость трансмиссии.
Подстановка (52) в (50) дает уравнение работы управляемого двигателя в виде
Im® m = - (1 + k) UXme + + Om1 [R~1(uo - (Oe + km)®m) - Tei] . (53)
Компенсатор объекта управления в соответствии с принципом комбинированного управления примем в виде
ис = ис5 + UСС, (54)
Законы стабилизации иС5 и компенсации неопределенности исс задаются в виде
ucs = -kc(®c - ®cp),
= (ncm) R fE,
(55)
(56)
где mcp - программное значение скорости. Вид ucc выбран исходя из того, что в результате последовательной подстановки (56) в (54), а (54) в (36) появится слагаемое f - fE, свидетельствующее о компенсации неопределенности в случае точной работы наблюдателя неопределенности.
Поскольку в реальных системах всегда существует ограничение напряжения, то будем считать, что
u = sat (ui + um + uc). (57)
2.5 Выбор параметров закона управления
При правильном выборе параметров наблюдателей их выходные переменные будут стремиться к их истинным значениям. Поэтому при выборе параметров регулятора будем считать известными все параметры и переменные электромеханической системы и законов управления (47), (52), (54)-(56). Тогда характеристический определитель системы (1)-(4), (47), (52), (54)-(56) будет иметь вид
Ic0s 0 -1 0
0 Is m -1 n -c
c -1 -cn s 0
kcR-X -R- (km - ce) k(ncmX)-X Tes + ( 1 + k4)
с характеристическим уравнением
где
s4 + b1s3 + b2s2 + b3s + b4 = 0,
(58)
b1 = (Ic0ImTe)-1[Ic0Im( 1 + k)] ,
b2 = (Ic0ImTe~i)[ ImTec + Ic0( Tecn~2 + cmR~\ce - km ))], b3 = (Ic0ImTe)-1[Ic0cn ^( 1 + ki + cmc].lk) + Im(c + ki)] , b4 = (Ic0ImTe)-1 [cR^cm(- km + ce)] . (59)
Для синтеза закона управления воспользуемся модальным методом [14], в соответствии с которым характеристическому уравнению (58) сопоставим стандартное характеристическое уравнение
s4 + a1ro0 s3 + a2mls2 + й3щ s + ю0 = 0, (60)
где а1, а2, а3 - заданные коэффициенты, < 0 - частота, определяющая быстродействие системы. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 5, получим систему уравнений для определения коэффициентов закона управления кс, кт, к, ст1, £г, обеспечивающих заданные показатели качества синтезируемой системы управления.
3 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Моделированию подлежит система уравнений (1)-(10), (21), (28)-(30), (44)-(47), (51), (52), (54)-(57) с измерениями г, и, <вс, <т. Неизвестными являются 1С, /с, /¡, с, Е, те. При моделировании принимались следующие параметры: 1с0 = 250 кг • м2, момент инерции считается неизвестным и находится в диапазоне 1С = (0, 5...2) 1с0, 1т = 27 • 10-5 кг • м2, Е0 = 0, 075 Ом, сопротивление принимается равным Е = (0, 67.1, 5)Е0, Ь = 3, 375 • 10-4 Гн, п = 377, с0 = 3 • 105 Н • м • рад-1, ст = 0, 062 Н • м • А-1, се = = 0, 062 В • с • рад-1, /1 = 0.500 Н • м, /с = 200 Н • м, /т = 0 Н • м, пусковой ток 360 А, напряжение питания двигателя 27 В. Для модели трения брались следующие значения: /ш1п = 0, 67/0, ±ш1п = 0, 4 рад/с.
В данной работе применяется адаптивное управление с идентификацией сопротивления Е и жесткости с и комбинированное управление с оценкой неизвестных возмущений, возникающих за счет неопределенности 1С, /с, /¡, и компенсации этих возмущений, а также оценка момента упругости те. Таким образом, собственно управление осуществляется полностью определенным объектом. Самым сложным в данной работе является идентификация параметров и оценка возмущений и неизвестной координаты. Поэтому иллюстративный материал будет ограничен только результатами идентификации параметров и оценки переменных.
На рис. 3 и 4 показаны скорости ОУ и двигателя соответственно. Нагрузка /г = 500 Н • м в виде ступенчатого сигнала прикладывалась на 0,5 с. На рис. 5 представлена разность скоростей, приведенных к ОУ. Изменение тока показано на рис. 6. Сравнение оценок и истинных значений момента упругости и жесткости дано на рис. 7, 8. Сопоставление оценки суммарной неопределенности с ее истинным значением при номинальном моменте инерции ОУ представлено на рис. 9, а при удвоенном - на рис. 10. Рис. 11 иллюстрирует процесс идентификации сопротивления.
u
cc
m
рад с , ш <100
зоо 200 100 о -100 -200 ■300 -400 ■5000
/, щ
02 04 О.Я 08
Рисунок 3
Рисунок 4
Рисунок 5
Нм. т.,,т„
6 ООО
4000 2 ООО
■2 ООО -4000
-6000
1
те
V гг т*
>, с
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0« ОТ
Рисунок 6
Рисунок 7
Рисунок 8
Рисунок 9
0 2 04 0.6 0 в
Рисунок 10
Рисунок 11
Анализ рисунков свидетельствует о высокой точности оценки момента упругости и неопределенности ОУ при изменении момента инерции, нагрузки, модели и параметров трения в широких диапазонах. Сопротивление якорной цепи ротора хорошо оценивается в переходных процессах и при действии нагрузки, так как в этих случаях ток не равен нулю. Это хорошо согласуется с физической сущностью электрических процессов. Поэтому можно рекомендовать при нулевых токах сохранять предыдущие оценки. Оценки момента упругости и жесткости нарушаются в окрестности значения скорости 1С(и-1 тт - <вс) = 0.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной статье, так же, как и в публикациях [16], разрабатываются алгоритмы управления скоростью двухмассовой упругой системы. В отличие от перечисленных работ, в данной статье предполагаются неизвестными сопротивление якорной цепи двигателя постоянного тока, жесткость упругой части механической системы, момент инерции объекта управления, модель и параметры трения, действующего на объект управления. Для оценки сопротивления, жесткости и величины момента упругости синтезированы идентификаторы в виде наблюдателей, доказана их
сходимость и получены зависимости, позволяющие оптимизировать наблюдатели. Часть инерционного момента, обусловленная неопределенностью момента инерции, объединена с моментами нагрузки и трения в неопределенность, которая оценивается с помощью наблюдателя и компенсируется комбинированным управлением. За счет перечисленных мероприятий достигается высокая точность управления. Характерно то, что задачи обеспечения высокой точности и заданных показателей качества переходных процессов решаются независимо. Другой особенностью разработанной системы управления является отсутствие необходимости знания модели трения и ее параметров. Численное моделирование подтверждает работоспособность синтезированных алгоритмов.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Башарин А. В. Управление электроприводами / Башарин А. В., Новиков В. А., Соколовский Г. Г. - Ленинград : Энергоиздат, Ленинградское отделение, 1982. - 392 с.
2. Егоров В. Н. Динамика систем электропривода / Егоров В. Н, Шестаков В. М. - Ленинград : Энерго-атомиздат, Ленинградское отделение, 1983. - 216 с.
3. Борцов Ю. А. Автоматизированный электропривод с упругими связями / Борцов Ю. А., Соколовский Г. Г. -2-е изд., перераб. и доп. - СПб. : Энергоатомиздат, Санкт-Петербург. отд-ние, 1992. - 288 с.
4. Акимов Л. В. Синтез упрощенных структур двухмассо-вых электроприводов с нелинейной нагрузкой / Акимов Л. В, Долбня В. Т., Клепиков В. Б., Пир 1 -жок А. В. - Харьков : НТУ «ХПИ» ; Запорожье : ЗНТУ, 2002. - 160 с.
5. Волянский Р. С. Оптимальное управление двухмассо-вым асинхронным электроприводом с люфтом / Волянский Р. С., Садовой А. В. // Электротехника. -2004. - № 6. - С. 11-14.
6. Горелов П. В. Релейно-модальное управление двухмассо-выми электромеханическими системами / Горелов П. В., Мотченко А. И., Морозов Д. И. // Вюник На-цюнального техшчного ушверситету «Харювський пол1техшчний ¡нститут». - 2008. - № 30. - С. 120-123.
7. Потапенко Е. М. Сравнительная оценка робастных систем управления с различными типами наблюдателей / Потапенко Е. М. // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1995. - № 1. - С. 109-116.
8. Потапенко Е. М. Робастные комбинированные системы управления с наблюдателями / Потапенко Е. М. // Проблемы у правления и информатики. - 1995. -№ 2. - С. 36-44.
9. Потапенко Е. М. Исследование робастности систем управления с наблюдателями / Потапенко Е. М. // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1996. -№ 2. - С. 104-108.
10. Потапенко Е. М. Высокоточное управление упругой электромеханической системой с нелинейным трением / Потапенко Е. М., Казурова А. Е. // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы. - 2008. - № 1(21). - С. 118-125.
11. C. Canudas-de-Wit. A new model for control of systems with friction / C. Canudas-de-Wit, H. Olsson, K. J. Astrom, and P. Lischinsky // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1995. - Vol. 40. - Pp. 419-425.
12. Квакернаак X. Линейные оптимальные системы управления / Квакернаак X., Сиван Р. - М. : Мир, 1977. - 650 с.
13. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения / Меркин Д. Р. - М. : Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1971. - 312 с.
14. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / Кузовков Н. Т. - М. : Машиностроение, 1976. - 184 с.
Надшшла 18.07.2008
Роэглядаеться вказана у назв1 cmammi пружна система з невиэначеними параметрами, яка эаэнае dim не-вiдомого навантаження та тертя э невiдомими моделлю та параметрами. Синтеэовано спостережники для iден-mифiкaцi'i невиэначених пaрaмеmрiв та эмiнниx. Роэроб-лено комбiновaний регулятор, який эабеэпечуе високу mочнicmь керування та эадат покаэники якоcmi пе-реxiдниx процеciв.
The elastic system with undermined parameters, which is subjected to influence of uncertain load and friction with unknown model and unknown parameters was considered. Observers for identification of uncertain parameters and variables were synthesized. Combined regulator, ensuring high precision control and prescribed control performance indexes was developed.
