Высокодобротные оптические резонаторы полного внутреннего отражения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЫСОКОДОБРОТНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ ПОЛНОГО ВНУТРЕННЕГО ОТРАЖЕНИЯ

Владимир Владимирович Чесноков

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,

ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры физики, тел. (383)361-08-36, e-mail: [email protected]

Дмитрий Владимирович Чесноков

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,

ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой наносистем и оптотехники, тел. (383)361-08-36, e-mail: [email protected]

Александра Сергеевна Сырнева

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,

ул. Плахотного, 10, ассистент кафедры физики, тел. (383)361-08-36, e-mail: aleksandra-syrneva@yandex. ru

Исследуется аналитическая модель оптического резонатора бегущей волны с зеркалами полного внутреннего отражения. Показана возможность многократного увеличения числа отражений от зеркал без затухания световой волны в сравнении с резонаторами Фабри - Перо; обсуждаются пути преодоления «краевых эффектов» и конструктивные решения по компенсации угловых погрешностей изготовления резонатора.

Ключевые слова: оптический резонатор, явление полное внутреннее отражение.

HIGH Q-FACTOR OPTICAL RESONATOR OF FULL INTERNAL REFLECTION

Vladimir V. Chesnokov

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plahotnogo, Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of Physics department, (383) 361-08-36, e-mail: [email protected]

Dmitry V. Chesnokov

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plahotnogo, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Chair of Nanosystems and optical engineering department, (383) 361-08-36, e-mail: [email protected]

Alexandra S. Syrneva

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plahotnogo, Assistant Lecturer of Physics department, (383) 361-08-36, e-mail: [email protected]

The analytical model of the optical resonator of a running wave with mirrors of full internal reflection is investigated. Possibility of repeated increase in number of reflections from mirrors without attenuation of a light wave in comparison with Fabri-Perot's resonators is shown; overcoming ways of "edge effects" and design arrangement on compensation of angular manufacturing errors of the resonator are discussed.

Key words: optical resonator, the total internal reflection phenomenon.

В работе рассматриваются вопросы создания интерференционных устройств типа оптических узкополосных фильтров, использующих среды с полным внутренним отражением в качестве не поглощающих зеркал. Основанные на таких зеркалах многолучевые интерферометры, подобные интерферометрам Фабри-Перо, рассмотрены в работах [1-3, 8]. В монографии [4] приведён подробный теоретический анализ полноотражающих фильтров, основанный на классической модели многолучевых интерферометров Фабри-Перо. Предполагалось, что отсутствие потерь в зеркальных прослойках может обеспечить высокую прозрачность фильтров и узкую спектральную полосу пропускания, однако, практических устройств такого качества создать не удалось. В работах [5-7] разработана теория, объясняющая причины малой прозрачности оптических фильтров полного отражения и основывающаяся на выявлении роли краевого резонансного дифракционного процесса, имеющего место при вводе излу-

Рис. 1. Схема оптического резонатора полного внутреннего отражения

чения в слоистую структуру ограниченных размеров. При наклонном падении волн на плоско-слоистую структуру увеличение амплитуды колебаний в световой волне, распространяющейся вдоль структуры, и тем самым, увеличение прозрачности структуры, происходит постепенно, на длинах, на много порядков больших длины волны света, что требует применять структуры очень больших, до метровых, размеров [6]. В статье [9] приведены расчёты характеристик полноотражающих светофильтров терагерцового диапазона, выполненные

с использованием анализа [4].

В настоящей работе, являющейся продолжением [10], предлагается резонансный элемент структуры выполнить в виде резонатора бегущей волны типа «шепчущей галереи» с замкнутой траекторией волны (рис. 1). Излучение вво-

дится в кубический прозрачный резонатор через призменный элемент связи, расположенный от него с воздушным зазором, позволяющим волне туннелировать в кубик. Волна испытывает на гранях кубика полное внутреннее отражение, при угле преломления 0 = п /4 траектория волны замкнутая; излучение выводится из резонатора через призму ввода, а также через вторую призму, также расположенную с возможностью туннелирования волны в неё. Волны выходят из резонатора в одном и том же месте его грани; если траектория имеет замкнутый характер, то нет смещения волн, и накопление электромагнитной энергии при резонансе не требует увеличения протяжённости зеркальной структуры. Ниже показано, что устройство может иметь вполне компактные размеры и обеспечивать существенно лучшие характеристики, чем известные по литературным данным.

Если к прозрачному кубику присоединена одна призма ввода излучения, то

/

Рис. 2. Развертка хода луча в кубическом резонаторе

слой с полным внутренним отражением между призмой и резонатором является одновременно входным и выходным зеркалами с нарушенным полным внутренним отражением, излучение входит в кубик и выходит из него через один и тот же полноотражающий диэлектрический слой. В результате отраженная от фильтра и пропущенная им световые волны в пространстве совпадают и направлены в одну и ту же сторону.

Амплитуда прошедшей полноотражающий слой волны равна:

амплитуда отражённой

А = тАо,

Ак = ,

(1)

(2)

где г - коэффициент отражения полноотражающего слоя, т - коэффициент пропускания слоя, А0 - амплитуда падающей на слой волны. Прошедшая волна движется в резонаторе по замкнутой траектории, испытывая на гранях резонатора полное внутреннее отражение, и, вернувшись к поверхности входа в резонатор, снова делится по амплитуде, давая отраженную внутрь резонатора и прошедшую волны. Резонатор подобен многолучевому интерферометру Фабри-Перо, у которого входное и выходное зеркала совмещены в одном слое с полным внутренним отражением; что позволяет воспользоваться методикой анализа процессов в двухзеркальном интерферометре, приведённой в [3]. Предполагаем, что элементы интерферометра не поглощают излучение. Развёртка хода луча в резонаторе показана на рисунке 2.

Прошедшая в резонатор волна совершает многократное движение по замкнутой траектории и при каждом отражении от зазора частично туннелирует через него, давая ряд пучков с убывающей амплитудой А' , А", А'"...., составляющих прошедший через фильтр луч. Для результирующей амплитуды вышедшей волны можно записать

А„„ = (А + А; + л:+ ...) = гУ'Ч (1 + re’3 + rV‘3 +...)

(З)

Здесь 3 =—Ln - набег фазы световой волны за проход по замкнутой траЛ

ектории (разность фаз двух выходящих друг за другом из фильтра световых волн). В набег фазы дает вклад не учитываемая здесь в связи с малостью фазовая задержка волны при полном внутреннем отражении.

Амплитуда волны, падающей изнутри на полноотражающий слой, в резонаторе также является суммой убывающих амплитуд отраженных от полноот-ражающего слоя и прошедших по замкнутой траектории волн:

А = (А" + А"+А" + ...) = те’3 А (l + re’3 + r 2e2’3 +...) (4)

Отношение результирующих амплитуд волны в резонаторе и результирующей волны, вышедшей из резонатора, равно:

An I Aout = 1IT . (З)

Отношение интенсивностей излучения в резонаторе и вышедшего получим в виде:

4 I Iut = (An I Аt )2 =(1!т)2 = 1ID (б)

Здесь D - энергетический коэффициент пропускания полноотражающего слоя.

Учитывая (3) и отбрасывая не существенный постоянный фазовый множитель e 3, найдём коэффициент пропускания по амплитуде фильтра с резонатором:

то =

А, IА =т2(1 + re3 + rV3+...) (7)

Выражение в круглых скобках является бесконечной убывающей геометрической прогрессией со знаменателем q = гв'8 . Пользуясь формулой

„=о 1 - q

находим

ад 1

I q"=т^ (8)

„=п 1 — q

т2

Т0 = Aout / Ao =---is (9)

1 — re

Пропускание фильтра по интенсивности Df (S) = [Д / A Г определяется формулой [3]:

? т4

D,(S) = |Aou,, / ДоГ = ^^Г =

11 s

— re |

. (10)

т4 т4 _ Da

1 + r2 — 2^ (i — r)2 + 4rSin2 S (i — ^)2 + ^т2 S

Здесь Df (S) - пропускание фильтра (пропускание по интенсивности волны 1, падающей на зазор со стороны призмы и вышедшей по направлению волны 4), Da, Ria - пропускание и отражение по интенсивности полноотражающего слоя.

Пропускание и отражение тонкого слоя в условиях полного внутреннего отражения рассмотрено в работе [1]. Пропускание и отражение света для различных поляризаций при наклонном падении света различно и при достаточно толстом полноотражающем слое t (t|cos02|>X/п2) для s- поляризации и при отсутствии поглощения определяется формулами:

"2"2COS20, Icos012 .

RS = 1 —16 "—2----e e (11)

/ 2 2\2 v ’

("1 — "2 )

Здесь

D- = 16 "Г"2_°*20.М2Р e- (12)

("2 — "2 )2 ( )

8= —t"2 |cOS02| , (13)

X

cos0 = /|cos02| = — 1 — —sin20 , (14)

Рис. 3. Спектр пропускания кубического резонатора

0і и 02 - угол падения волны на полноотражающий слой и угол преломления

в этом слое (последний имеет мнимое значение), п и п2 - показатели преломления призмы и полноотражающего слоя (щ ^п2).

Для исследования световых волн, пропускаемых оптическим фильтром с резонатором, используется дополнительный элемент оптической связи, который может быть размещён на другой грани кубика. Однако, призма ввода излучения в приведённой на рис. 1 конфигурации устройства при этом не теряет функцию вывода, что уменьшает накапливаемую в резонаторе световую энергию.

Проделанные аналогичные представленным выше вычисления показали подобие формул для пропускания фильтра с выводом излучения и через первую призму - элемент вывода излучения из резонатора, и через вторую призму. На рис. 3 показан график спектра пропускания кубического резонатора.

Распространение световой волны в резонаторе квадратного сечения подобно распространению звука в «шепчущей галерее», волна последовательно обегает все грани резонатора. Такая траектория волны является неустойчивой, так как случайное изменение угла приводит к тому, что траектория перестаёт быть замкнутой, и место падения луча на грань кубика с каждым циклом траектории смещается к ребру кубика, при этом нарушаются условия полного внутреннего отражения, волна излучается в окружающее пространство.

Пока место падения световой волны находится в пределах грани кубика, по аналогии с интерферометром Фабри - Перо [3] ширину полосы пропускания резонатора можно представить в виде:

5Я = -

Я2

2 Nэф1п

(15)

Двигаясь по траектории, волна не затухает (вследствие отсутствия поглощения), и коэффициент пропускания фильтра в максимуме пропускания должен быть равен единице. Однако вследствие «краевого эффекта» [5 - 7], который заключается, в нашем случае, в уходе волны из резонатора после конечного числа проходов траектории вследствие неидеальной геометрической формы резонатора и эффектов дифракции световой волны при отражениях и преломлениях на гранях волна затухает, число эффективных отражений волны от зеркальных

слоёв ограничено. В применении к резонатору эффективным числом отражений мэф можно считать число замкнутых траекторий, которое совершит световая

волна до смещения места её падения на ребро кубика. За один оборот по траектории место падения луча на грань сместится на , где х = 10“5 -10-4 рад - оценочное значение суммарного отклонения плоскостей граней кубика от математически точного положения. Если пренебречь шириной фронта световой волны и принять, что место её входа в кубик расположено на одном краю грани и по мере обегания волной резонатора смещается к другому краю, можно получить:

= = 1,8'10 - 1,8'104’ (16)

ф 2хЬ 5,656X

что позволяет вычислить эффективный коэффициент отражения граней кубика за один проход волны по траектории, граничащей с призмой:

гг

К, * 1-----= 0,998 - 0,9998 (17)

эф N

эф

Если расходимость падающей на фильтр световой волны дифракционная, угол расходимости можно оценить по формуле:

а

в

Я / а (18)

где а - начальный поперечник падающего светового пучка. Для оценок примем, что «утечка» волны произошла, когда её поперечник в ходе многократного обега-ния резонатора сравнялся вследствие расходимости с размером грани резонатора:

с = авМ’эфЬ = ХМ’эфЬ / а . (19)

Здесь N Эф - эффективное число траекторий волны, которые она прошла к моменту завершения утечки. Учитывая, что при угле преломления падающей волны 0 = п /4 отношение Ь / с = 2,828, и преобразуя (19), получим:

= са = _^. (20)

эф ХЬ 2,828Х 4 7

Принимая X =0,5 мкм, а =5 мм, получим Щф « 3,5 • 103.

При нахождении свободной спектральной области кубика следует учесть, что отличие в фазе последующей волны от предыдущей определяется только оптической длиной замкнутой траектории волны в кубике и не включает, как это имеет место в многолучевом двухзеркальном интерферометре при наклонном падении волны на интерферометр, отрезков пути вне пластины интерферометра; в этом особенность эффекта «шепчущей галереи» в кубике. Для кубика величина свободой спектральной области равна:

;2

ЛХ = Х (21)

2пЬ У 7

Уравнение максимумов интерференции проходящего кубик монохроматического излучения имеет вид:

2L (в) n = тА.

(22)

При использовании падающего на интерферометр расходящегося лазерного излучения малое изменение угла преломления 80 приведёт к возникновению максимума на длине волны Л+8'Л:

где

2L (в+5в) n = тА ( А + 5'А)

(23)

L (в + 5в) = L + 5L = ■

2с

cos

(0 + 50)' (24)

Здесь 8Ь - изменение длины траектории волны в резонаторе вследствие изменения 80 угла преломления волны (рисунок 2).

Преобразуем полученное уравнение:

L + 5L = ■

2с

cos 0 cos 50 - sin 0 sin 50

Рис. 4. Схема пьезоэлектрической компенсации суммарных угловых погрешностей положения зеркал в кубическом резонаторе

L + 5L =

Здесь при в » ж 14 cos в » sin в, поэтому

2с (1 + 5в)

2 с

2 с

cos в( cos 5в- sin 5в) cos в(1 -5в) cos в

учитывая, что L = 2c / cos 0, получим:

SL * 280 (25)

cos0

Учитывая (22), (23) и (24), можно найти:

80 = 8'А/ А (26)

Подставим в полученное уравнение вместо 8А величину свободной спектральной области кубика (21):

80m =ЛА/ А = А (27)

2nL

Здесь 80т - угловое расстояние между направлениями внутри кубика на соседние максимумы интерференции монохроматического излучения, иначе

говоря, угловая величина порядка интерференции. Угловая величина фт порядка интерференции в вышедшем на воздух из кубика излучении равна:

ф = п80 = —

Фт т ^

(28)

Расстояние между интерференционными полосами в фокальной плоскости линзы на рис. 2 равно:

x =ф / =

m гт^

—I

2L

(29)

Данные таблицы 1 показывают очень малое значение линейных величин порядка интерференции xm и полосы пропускания 5* фильтра, сложность их прямого измерения.

Таблица 1

Параметры оптического фильтра в виде кубического резонатора

Ь мм —мкм /, п N эф —, А—, 5—, 5х Фт , Хт ,

мм нм нм нм мкм рад мкм

28,28 0,5 50 1,5 3,5 -103 2 • 10“3 2,95 -10~3 8,4-10“7 8,8-10~6 0,45

Рассмотрим требования, накладываемые на точность изготовления кубического резонатора. Использование резонатора в качестве узкополосного фильтра предполагает настройку интерферометра на интерференционную полосу бесконечной ширины, погрешности изготовления приведут к уменьшению интенсивности проходящего света. Допустимое отклонение от параллельности зеркал двухзеркального многолучевого интерферометра определяется формулой [8]:

Ак

< ■

1

— 2Ы.

(30)

эф

где 1/ (2Иэф) имеет смысл изменения порядка интерференции на 0,5 вследствие

погрешности изготовления одного зеркала. В случае кубического резонатора формула (30) также применима. Если погрешность сводится к не параллельности зеркал, то в случае кубического резонатора под величиной Ак / — необходимо понимать результат суммарного воздействия на световую волну погрешностей всех зеркал резонатора с учётом знаков погрешностей. Подсчёт требуемой точности для кубического резонатора при использовании данных таблицы 1 иллюстрирует сложности его изготовления.

На рис. 4 показана конструкция кубического резонатора с возможностью пьезоэлектрической компенсации суммарной угловой погрешности положения зеркал. На этом рисунке 1 и 2 - прозрачные призмы, образующие кубический

резонатор, 3 - слой иммерсионной жидкости толщиной е между диагональными гранями призм, 4 - пьезоэлементы. Пьзоэлементы имеют индивидуальное управление и позволяют изменять угловое расположение граней в произвольных направлениях. Наличие между диагональными гранями иммерсионной жидкости практически исключает влияние зазора на ход световой волны в резонаторе и позволяет юстировать резонатор, добиваясь компенсации угловых погрешностей расположения внешних граней резонатора.

Рассматриваемый метод компенсации ошибок в значениях углов между гранями резонатора не позволяет исправлять влияние локальных неровностей поверхностей граней, поэтому технология для реализации полных возможностей кубического резонатора должна обеспечивать высокую плоскостность граней, до тысячных - сотых долей длины волны.

Ниже рассматривается методика измерения спектральных параметров фильтра в виде кубика путём сканирования фильтром излучения узкополосного непрерывного гелий-неонового лазера.

Сканирование излучения лазера производится путём пьезоэлектрического управления положением призмы ввода излучения, закреплённой на грани кубика (рис. 5).

Рис. 5. Оптическая схема измерения спектральной полосы пропускания кубического резонатора

Одна сторона призмы при сканировании остаётся неподвижной, вторая сторона может перемещаться, при этом призма поворачивается на угол 5а, угол выхода 5р падающего на катетную грань призмы излучения изменяется на 5р = 5а / п. Указанное перемещение вызвано реакцией пьезоэлемента при подаче управляющего напряжения, которое вычисляется по формуле:

к = ё^,и~

31 а

Здесь а31 - значение пьезомодуля, и - управляющее напряжение, — -

а

отношение длины пьезопреобразователя к его толщине. Уравнение для определения изменения угла преломления волны в призме можно найти в виде:

5р = — = (32)

пс пей

Вычисления показывают, что при —=10, й31 = 10-10 Кл/Н для изменения угла

й

падения брп излучения на величину углового значения интерференционного порядка в кубике необходимо управляющее напряжение и * 100В.

Как представляется авторам, рассматриваемый оптический резонатор может быть применен и в качестве резонаторов лазерных излучателей, так как отсутствие потерь в зеркалах резонаторов позволит увеличить выводимую через зеркала мощность генерируемого излучения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Розенберг Г.В. Оптика тонкослойных покрытий / Г.В Розенберг. - М.: Физ.-мат.лит. 1958. - 570 с.

2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Гл. ред. физ-мат. лит., Наука, 1970. - 855 с.

3. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика: Учебник - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. - 656 с.

4. Кард, П.Г. Анализ и синтез многослойных интерференционных пленок / П.Г. Кард. -Таллин.: Валгус, 1971. - 233 с.

5. Иогансен Л. В. Резонансная дифракция волн в слоисто-неоднородных средах. ЖЭТФ, т. 40, вып.6, 1961.

6. Иогансен Л. В. Теория резонансных электромагнитных систем с полным внутренним отражением. Т. ХХХ11. Вып.4, 1962.

7. Иогансен Л. В., Ю.В. Глобенко. Теория резонансных слоисто-неоднородных систем электромагнитных систем с полным внутренним отражением. Известия вузов. Радиофизика. Т. Х1Х, №2, 1976.

8. Скоков И.В. Многолучевые интерферометры в измерительной технике. - М.: Машиностроение. 1989, - 256 с.

9. Сырнева А.С. Краевой эффект в фильтрах терагерцового диапазона, использующих нарушенное полное внутреннее отражение // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 4, ч. 1. - С. 214-220.

10. Чесноков В.В., Сырнева А.С., Чесноков Д.В. Оптические резонаторы полного внутреннего отражения с бегущей волной // ГЕ0-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 4, ч. 1.

- С. 130-133.

11. Чесноков В.В., Чесноков Д.В. Микромеханические устройства субпиксельного микросканирования ИК-диапазона спектра // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Специализированное приборостроение, метрология, теплофизика, микротехника, нанотехнологии» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т.2. - С. 110-115.

12. Чесноков В.В., Чесноков Д.В., ^ірнева A.C., Михайлова Д.М. Интерференционные газовые спектроанализаторы // Интерэкспо ГЕО-Cибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Cпециализированное приборостроение, метрология, теплофизика, микротехника, нанотехнологии» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: CrrA, 2012. Т.1 . - C. 152-159.

13. Чесноков В.В., Чесноков Д.В., Райхерт ВА. Пьезоэлектрическое возбуждение упругих изгибных волн в свободных тонкоплёночных структурах // ГЕО-Cибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: CrrA, 2011. Т. 5, ч. 2. - C. 55-63.

14. Михайлова Д.С, Чесноков Д.В., Чесноков В.В. Многолучевой трехзеркальный интерферометр // ГЕО-Cибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: CrrA, 2011. Т. 5, ч. 2. - C. 166-168.

© В.В. Чесноков, Д.В. Чесноков, А.С. Сырнева, 2013