Выпуклые продолжения полиномов на комбинаторных множествах и их приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Z f (k) *

=* *ij(k)

к=k0 Pj(k) *

к = k0 =V P; (k) *

к = k.

k = k0 * 0 65

0 (15)

где ко — некоторые значения переменных к, определяющих значения соответствующих функций принадлежностей.

Учитывая (13), (14) и ограничения (15), согласно утверждениям 3 и 4, переход 1 не является разрешенным в связи с тем, что условие (12) не выполняется, так как

F~ (k) Х1

k = kg

< Ft (k) * і

k = kg

и

F~1 (k) k = k0 < F~i (k)'

k—k0

Выводы

1. Сформулирована постановка решения комплекса задач анализа, моделирования и модификации процессов принятия решений и управления, которые можно представить в виде отношений типа “условие-действие”, в сложных технологических объектах, характеризующихся существенной нечеткостью.

3. Сформулирован комплекс утверждений, определяющий подходы к решению поставленных задач с использованием НСМ. Определено, что НСМ является основой построения эффективных методов моделирования, анализа, построения и модификации процессов реальных технологических объектов.

Литература: 1. Дмитриев А.К., Мальцев П.А. Основы теории построения и контроля сложных систем. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1988. 192 с. 2. Вейцман К. Распределение системы мини- и микроЭВМ: Пер. с англ. / Под ред. Васильева Г.П. М.: Финансы и статистика, 1983. 362с. 3. Мурата Т. Сети Петри: Свойства, анализ, приложения// ТИИЭР, т.77, №4, апрель 1989г. С.41-85. 4. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 264с. 5. Lipp H.-P. The application of fuzzy Petri net for controlling complex industrial process // Fuzzy Inf., Knowledge Represented and Decis. Anal. Proc. ШЛС Symp., Marseille, 19-21 July 1983, Oxforde a.,1984. P.471-477. 6. Управление ГПС: модели и алгоритмы / Под общ. ред. С.В. Емельянова. М.: Машиностроение, 1987. 368с. 7. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с франц. М.: Радио и связь, 1982. 432с. 8. Pedzycz W, Gomide F. Л generalized Fuzzy Petri Net Model // IEEE Trans. of Fuzzy System. Vol.2, №4. 1994. P.295-301. 9. Кучеренко Е.И., Фадеев В.А. Инструментальные средства моделирования процессов управления в сложных технологических комплексах //Авиационно-космическая техника и технология. Харьков, Государственный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского “ХАИ”, 2000. Вып. 14. С. 166-168.

2. Для решения поставленных задач предложена эффективная нечеткая сетевая модель, построенная с использованием аппарата теории расширенных интерпретированных сетей Петри и теории нечетких множеств. Сформулированы правила интерпретации и условия разрешенности нечетких переходов НСМ.

Поступила в редколлегию 17.03.2001

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Гриб О.Г.

Кучеренко Евгений Иванович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, доцент кафедры искусственного интеллекта ХТУРЭ. Научные интересы: вычислительная техника, системы управления и системный анализ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572)-409-337.

УДК 519.85

ВЫПУКЛЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ ПОЛИНОМОВ НА КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

ВАЛУЙСКАЯ О.А., ПИЧУГИНА О.С.,

ЯКОВЛЕВ С.В.

Предлагается ряд способов нахождения выпуклых продолжений полиномов с евклидовых комбинаторных множеств в евклидово пространство. Дается сравнительный анализ эффективности каждого из них, показывается, что один из предложенных способов дает кубическую оценку числа арифметических операций.

В работах [1,2] был предложен подход к конструктивному доказательству существования выпуклого продолжения на множестве перестановок, поэтому задача оптимизации числа операций, объема памяти ЭВМ и т.п. не ставилась. Вместе с тем существует

широкий класс задач оптимизации с целевой функцией в виде полиномов на множествах комбинаторной природы. Среди них можно назвать такие задачи: про балансировку лопаток на диске турбины; про оптимизацию взвешенной длины связывающей сети линейного расположения прямоугольных элементов; про центр тяжести дискретно распределенных масс [3,4]. Перечисленные задачи относятся к задачам квадратичной, кубической и т.п. полиномиальной оптимизации. Нахождение выпуклых продолжений [2] позволяет применять методы выпуклой оптимизации [5] к решению данных задач. Поэтому возникает необходимость построения оптимальных, по числу операций, способов нахождения выпуклых продолжений полиномов.

В данной работе предложен способ поиска выпуклых продолжений, дающий кубическую оценку числа арифметических операций, в то время как ранее опубликованный способ [1,2] давал комбинаторную оценку такого типа.

РИ, 2001, № 2

121

Будем рассматривать E — евклидово множество пространства Rn (е-множество), т.е. множество, элементы которого содержат n компонент и отличаются составом компонент или порядком их следования (в случае одинакового состава), такое, что:

E = vert(conv(E)). (1)

Примером такого множества является рассматриваемое далее множество полиперестановок.

Пусть Jn = {1,2,..., n}, іП = Jn U {0} .

Рассмотрим P(x) — произвольный многочлен степени s є N . P(x) представим суммой функций вида:

h r(l) r(l)

P(x) = Ё blfl(x), где fl(x) = alx ((l) ... x (Д ,

l=1 ‘1 'mj

j є Js, Vj є J l ,bl > 0, al = {0,+1}, Vl є Jh .

Пусть

f(x) = axjj •••xrm , rj є N, Vj Є Jm, (2)

где (x1,,xn) є E є Rn , n > m , E- е-множество вида (1),

a = +1. (3)

Задача: построить выпуклую функцию F(x), совпадающую на элементах Е с f(x), т.е.

F(x)=f(x) x є E

или, иначе,

F(x) = f(x). (4)

Функция F(x) называется выпуклым продолжением f(x) на E [2]. Задача: построить выпуклое продолжение f(x) на E вида (1).

Введем обозначения:

fj(x) = xj Vj Є Jm , (5)

тогда f (x) = af 1 (x)... f m (x) = +f 1 (x)... f m (x).

1. 1-й этап: построение разложения A.

Введем обозначения:

Fj _ afi •••fj, G'l = af; ...fi+1-1,

тогда

f(x) = F1m = Gjm . (6)

Покажем принцип действия алгоритма на примере разложения функции

F't,‘ < j,t є N . (7)

Если i = j, то в случае a > 0 задача решена, в противном случае переходим на 2-й этап.

Если l = j - i +1 > 1, то после представления Fit в

виде Fjt = af'f", где f1=Fip, f" = F(p+1)j, i < p < j, в зависимости от знака a (см.(4)) произведение функций Fit = af'f" заменяем представлениями:

f'f"

- f'f"

i(f'+f")2 _f'2_f"2 , 2

_^(f'_f")2__f'2_f"2

2( ) .

(8)

(9)

В полученном представлении просматриваем все функции вида (7) и повторяем процедуру замены. Отметим, что (8) применяем в случае, если в

текущее представление функция Fit входит со знаком “+”, (9)— в противном случае. Замены продолжаем до тех пор, пока в этом представлении

найдутся функции Fij, i < j. После этого переходим на 2-й этап.

Обозначим N(Fj) — количество слагаемых в окончательном представлении функции Fit (далее называем его разложением A), в том числе стоящих в скобках. Применение (8), (9) обеспечивает, очевидно, то, что количество таких слагаемых не зависит от знака функции, т.е.

N(Fj) = N(-Fj). (10)

Помимо этого, N(Fj не зависит отстепени t є N, т.е.

Vt є N,N(Fj) = N(Fij);

N(Ey) = N(Fi'j'), если j - i = j'-i'.

Таким образом, N(Fy) является функцией только числа l сомножителей, входящих в Fj . l определяется по формуле:

l = j - i +1 (11)

(если l определяется по (11), то выполнено:

Fij = Gil), (12)

и для N(Fj) в дальнейшем будем применять обозначение Nl:

Nl = N(Fit) . (13)

Далее приводится три способа разбиения Fit в произведение Fit = af'f". Для первого и третьего из них дается точное число слагаемых (с учетом стоящих в скобках) в представлении а (обозначение N(I), N(III) , где l определяется по (11)), для второго — верхняя и нижняя оценки этого числа, обозначенного n(II) : 1-й способ состоит в том, что на следующем шаге в f" включается один сомножитель, в f' — все остальные; 2-й способ основывается на разложении l > 2 по степеням числа 2, отнесении в f' числа сомножителей, равного максимальной такой степени, в f" — всех остальных сомножителей; 3-й способ состоит в том, что на следующем

122

РИ, 2001, № 2

шаге в f" включается

2

сомножитель, в f' — все

J k J

х 2 1 =Е (mi.i-mj) =mi.1 - mj Vi,J є Jq :i <J. (17)

l=i l=i

остальные (

1 + 1

2

), т.е. число сомножителей делит-

ся пополам, в случае нечетного их числа в f включается на один сомножитель больше, чем в f".

Далее показано, что число слагаемых разложения a для функции вида (6) f (x) = Fim , с учетом стоящих в скобках, Nmm), имеют порядок - 2m , m2

соответственно, N(mi) существенно зависит от m и колеблется в пределах [m2,2m2).

Слагаемые будут входить в разложение A со знаком “+” либо со знаком “-”. Как видно из (8), (9), в зависимости от знака функции (от a (3)) количество тех и других слагаемых отличается, обозначим их

число Nm(a), Nm(a), . Сумма же их, согласно (10), от a не зависит, т.е. справедливо:

Nm = N m (1) + Nm (1) = Nm (-1) + N m (-1). (14)

Как будет показано ниже, в окончательное разложение (F(x)) входит число слагаемых, существенно зависящих от Nm(a), поэтому для третьего способа даны формулы вычисления Nm(a), Nm(a).

Способ 1. Функции вида F^ , где 1<j<m, представляем в виде: Fj = ff", где f = F1(j-1) , f” = Fjj = fj:

f = F1m = F1(m-1)fn = ~(F1(m-1) + fm)2 _ F1(m-1)2 _ fim = = ~(2(F1(m-2) + fm-1)2 _ F1(m-2) _ fni-1 + fm)2 +

+ ~(F1(m-2) _fim-1)2 _F1(m-2) _fin-1 _fni = -А

Nm = 2(Nm_1 +1) = 2(2(Nm _2 +1) + 1) =

= 2(2(2(Nm_3 +1) + 1) +1) = ... =

2m-1 _ 1

= 2m_1 + (2 + 22 + ... + 2m_1) = 2m _1 + 2—-.

2 -1

Таким образом, для первого способа имеем:

N£0 = 2m + 2m-1 - 2.

Способ 2. Разложим m по степеням числа 2:

m = 2k1 + 2k2 + ... + 2kq , (15)

где k1 >k2 >...>kq.

Поскольку m > 2, то, очевидно, k1 > 1, q > 1. Обозначим m0 = m, mi = - 2ki, Vi є Jq , откуда

2ki = mi-1 - mi, Vi є Jq. (16)

Из (16) также следует:

Рассмотрим сначала случай, когда m — степень двух, т.е. в (15) q = 1, m = 2k1 . Тогда на каждом этапе функцию вида Fj, представляем в виде

Fj = f f", где f = f 1 f” = F 1 , 1 определяется

i(i+-/ (i+-+1)j

по (11), т.е. делим сомножители, входящие в Fj, напополам. Очевидно, что если на данном шаге число сомножителей в Fj было 1 = 2Г, то на следующем шаге функции, входящие в следующее разложение, также содержат число сомножителей,

являющееся степенью 2-х (1 = 2Г _1).

Результат 2-х шагов:

f = F1m = F m F( m 1) =

^ (T+1)m

= — (F m + F m )2 -F2 - F2

2 ^ (^2+1)m 1Ш (m +1)m

2 2 2 2

22

-T (T(Fm + Fm

m )2 - F2 - F2

1^ Є+1)^ 1Ш (ш+1)m

4 4 2

4

4 2

+V,

2

4 3m + F3m

(—+1)--- (-----+1)m

2 4 4

)2 - F2 - F2 )2 +

m 3m 3m

(—+1) ( +1)m

2 4 4

+ -(F2 -F2 )2 -F4 -F4 +

2 1m (m+1)m 1m (m+1)m

4 4 2 4 4 2

+t(F

2

- F2

2 ' ,m „3m ,3m

2 (—+1) (-------+1)m

)2 - F4

- F4 m 3m 3m

(—+1) ( +1)m

2 4 4

На первом шаге имеем 4 слагаемых, на втором шаге каждое из этих слагаемых дает по 4 слагаемых, а они, в свою очередь, на следующем шаге дают по 4 слагаемых и так далее, т.е.

Nm = N2k1 = 4Nm = 4N2k1_1 = 42N2k1_2 =

2

= 43N2k1_3 = ... = 4k1N1 = 4k1 = (2k1)2 = m2. Результат:

^!) = N2k1 = m2 . (18)

Введем обозначение для разложения A, получающегося в случае, когда число сомножителей— степень 2-х.

Так, если рассматривается:

а) f = Fj = G* 1 , то представление A для нее обозна-J i21

чим + ;

i2l

б) f = -F = -Gl 1 , то A для нее обозначим Rl 1 .

i2l i2l

2ki + 2ki+1 = Ші_1 - mi + mi - mi+1 = mi_1 - mi+b Vi є J 1

Теперь рассмотрим случай произвольного m . Результат двух шагов разложения (с учетом (17)):

РИ, 2001, № 2

123

f - Fim - G17k1G(_kl - Gi(mo.mi)G(mo.mi +i)m1= на рис.1, граница N® - m2 при других m не

12^ (2*н +1)m1

= "2(G12k1 + G(m0-m1+1)m1) _ G2k1 _ G(mo-m1+1)m1 =

достигается.

—A(R1+ + G G )2 + R2_ —

212G + G(m0-m1+1)2k2G(m0-m2+1)m2) + ^12k1

-G2 k G.2 ^ =—(R1+k + -(R1+ k +

(m0-m1+1)2k2 (m0-m2+1)m2 ^ 12k1 2 (m0-m1+1)2k2

1 g )2 + R2- — G2 )2 + R2_ +

G(m0 -m2+1)m2) (m0-m1+1)2k2 G(m0-m2 +1)m2) R12k1

,— (G 2 _ G 2 )2 _

2 (G(m0-m1 +1)2k2 G(m0-m2+1)m2 )

- G

4

- G

4

(m0-m1+1)2k2 (m0-m2+1)m2

k 2 + G(

_ _^(R 1+ 1 _^(R 1 +

2K 12k1 2K (m0-m1 +1)2 k 2 ' '^J(m0-m2 + 1)m2

’ 2 1, _ — + R

12

R(m0-m1 + 1)2k2 G(m0-m2 + 1)m2)2 + R^2k1 +

I ^(R 2 + _ g2 )2 +

+ 2(R(m0-m1 + 1)2k2 G(m0-m2 + 1)m2) +

і r 4 _ _ g 4

(m0-m1 + 1)2k2 G(m0-m2 +1)m2'

Определим число Nm . На первом шаге имеем 4

слагаемых, два из которых содержат число сомно- , ,,„4

~ формула (20) может быть уточнена:

жителей, являющееся степенью 2-х одного числа - г j \ / j

Рис. 1. Сравнение числа слагаемых в разложении А (способ 1)

На рис. 1 виден скачкообразный характер функции y = ^!) при переходе от отдельных m к m +1. Самые характерные скачки и самые существенные )2 + приближения графика к графику 2m2 видны при

переходе от m = 2k1 к m = 2k1 +1.

Рассмотрим данный случай:

пусть q = 2 , m = 2k1 +1 = 2k1 + 2k2, k2 = 0, тогда, согласно (19), Vm є N \ {1},

Nm = 2(4k1 + 4k2) = 2((m -1)2 +1) = 2(m2 - 2m + 2) < 2m2. Таким образом, для рассматриваемых нами m > 2

m

2 < NGmi) < 2(m2 - 2) < 2m2 .

2k1 , остальные два содержат по одному числу сомножителей (m1), т.е. в общее разложение добав- Способ 3. Функцию вида (12), где 1 < i < j < m ,

ляют, согласно (13), равное число слагаемых Nm1 , представляем следующим образом: Fij = ff", где

и так далее. Значит, справедливо: Nm = Nm„ =

f = G Г1+11 f = G 2

1+1

2

(21)

m _ x'm0 _ 2(N2k1 + Nm1 ) _ 2(N2k1 + 2(N2k2 + Nm2 )) :

= ... = 2(N k, + 2(N k2 + 2(...2(N k , + N k )•••) = lопределяется по (11). Заметим, что формулу (21) 2 1 2 2 2 q 1 2 q

можно переписать в виде:

= 2(4k1 + 2(4k2 + 2(_2(4kq _1 + 4kq)...) =

= 214k1 + 224k2 + ... 2q_1(4kq_1 + 4kq).

В результате для 2-го способа имеем:

Nm!) = 2q _14kq + £ 2i4ki.

i =1

(19)

f- Gi(1/2+A)= f"'— G(i+(1/2+A))(1/2-A), (22)

> II О II ю

где Д = ^,1 = 2p +1. 2 (23)

С учетом (22), (23) покажем шаг получения разло-На рис. 1, 2 графически дан сравнительный анализ жения A:

чисел NGm), Nm!):

1- Nmmi), 2- m2, 3- 2m2, 4- N? , 5- Nmn).

Как видно на них, NGm) > NGII) Vm є N \ {1} .

Кроме того, из рис. 1 видно, что при m < 200 спра ведливо:

m2 < NliI) < 2m2 .

f F1m G m Gm m , (G m +

1(—+A) (—+A+1)(——A) 2 1(^2+A)

2

2

+ G )2 - G2 - G2

(f+A+1)(f-A) 1(І2+Д) (І2+Д+1)(І2_Д)

(24)

Утверждение 1. Число слагаемых в разложении a , получаемом по третьему способу, определяется по (20) формуле:

Как было показано, нижняя граница m2 достигает

NIn) = (m -5)(m + 25),

(25)

ся (см. (18)) дёя чисёа m - степени 2-х. Как видно где S = m- 2k1, k1 определяется из (15).

124 РИ, 2001, № 2

Рис. 1. Сравнениє числа слагаемых в разложении А (способ 2)

Доказательство. Заметим, что для вычисления kj применима формула

ki = [log2 m]. (26)

Кроме того, если m = 2p +1, то

[log2 m] = [log2(m -1)] = [log2 2m2 1 ]. (27)

m

Пусть k = [log2 —], тогда, очевидно, k' = [log2 m] -1. Учитывая (27), это означает, что для нечетных m :

[log2(-2 - А)] = [log2(-2 + Д)] = [log2(-2)] = k1 -1 .(28)

Для четных m имеем: д = 0 , и справедливость (28) очевидна.

Доказательство проводим индукцией по m .

Для m = 2 имеем:

k1 = [log2 m] = [log2 2] = 1,8 = 2 - 21 = 0.

Из (24) N(T = n2!II) = (2 - 0)(2 + 0) = 4 .

В данном случае разложение а получается в результате однократного применения (8) или (9), в котором получается 4 слагаемых, т.е. формула (25) при m = 2 справедлива.

Пусть для всех m'< m (25) справедлива. Докажем ее для m' = m .

Из (24), учитывая (10), (13), получаем:

Nm = 2(Nm + Nm д )

—+Л -----А .

2 2

По предположению индукции, для

mm m' = — + Д, m"=-Д

2

2

1

(28)

формула (25) справедлива, так как | А ^ — |. Тогда (28) можно переписать:

m

m

Nm = 2((— + Д-51)(— + Д + 251) +

2

2

+ (m -Д-5 2)(m -Д + 25 2)). 2 2 2

Формулу (25), справедливую Vm'e Jm_1, применяя (26), перепишем в виде:

Nm' = (m'-(m'-2[log2 m] ))(m'+2(m'-2[log2 m])) = = 2[log2m ](3m'-2[log2 m]+1), Vm'e Jm-1;

Nm = 2((y + Д_81)(— + Д + 251) +

+ (m -Д-5 2)(m -Д + 25 2))

2 2 2 ’

где 51 =

m , „l°g2(AT+A)

—+Д-2 2 ,

2

s 2 = m 2,o82<” ~41.

22

С учетом (28), (29) последняя формула переписывается так:

[log2^+A)] m [log2(-+A)]+1

Nm = 2(2 2 (3(— + Д) - 2 2 ) +

[log2(m-A)] m [log2(m-Л)]+1

+ 2 2 (3(- -Д) - 2 2 )) =

= 2 • 2

[log2~]

m

((6.2 _ 2.2[log2T]+ ) = 2[log2m]((3m - 2[log2m]+1) = Nm.

Утверждение 1 доказано.

Заметим, что разложения, получаемые вторым и третьим способами для случая, если m — степень 2-х, не отличаются. Вопрос точного сравнения

чисел , Nmn) не ставился, на рис. 1, 2 графи-

чески дан сравнительный их анализ. Как видно на них, Nm1) > Nmn), Vm є N \ {1} .

Статистическое сравнение n^ , NmiII) при m < 200 показало, что в 14,36% случаев Nm,1) = NmiII), в остальных Nmmi) > Nmmii).

Утверждение 2. Для N^III) справедлива оценка:

m2 < Nmni) < -5m2 . (30)

Доказательство. 1) Покажем, что m2 < Nmn). Используя (25), неравенство переписывается:

m2 < N<miI) = (m - 5)(m + 25) = m2 + m5 - 52,

m5-52 =5(m-5) > 0 . (31)

Из формулы для 5 :5 = m - 2[log2m] видно, что

0 < 5 < m , (32)

поэтому неравенство (31), очевидно, справедливо. Неравенство (32) доказано.

Заметим, что из (32) также следует, что m2 = Nmn) тогда и только тогда, когда 5 = 0, т.е. если m -степень 2-х.

2) Покажем, что Nmn) < -5 m2 ;

РИ, 2001, № 2

125

mS-S 2

2 2

(m-5)2 + — < — . 2 4 4

Данное неравенство обращается в равенство, если х m

только о = — .

2

mm Однако о < —. В самом деле, если бы о = — , тогда

2kl = m-5 = m

log2m = ki +1, т.е. приходим к

2

противоречию, что ki — наибольшая степень 2-х, такая, что 2kl < m, 2kl > m .

Таким образом, имеем:

N<T = m2 + m5-52 < m2 + — m2 = 5m2 m 4 4'

Утверждение 2 доказано.

Статистический анализ при m < 200 показал, что,

как и в случае N^, число Nmn) максимально

приближается к своей верхней границе (в данном 5 2 k

случае к — m ) при 5 = 2k1 -1, с увеличением m это приближение сильнее (так, для

m = 127 = 64 + 63 = 26 + (26

1),

_8_

m

0,496 ).

На рис. 1, 2 графически сравниваются числа Nm , получаемые всеми тремя способами. Из рис .2 видно, что при m < 3 все три предложенных способа дают равное число функций в разложении а, но при больших m (m > 3) предпочтение следует отдавать 2му и 3-му способам, лучше 3-му.

Вывод: в разложение а входят функции в различных степенях, но уже нет произведений функций fi(x)fj(x),i * j,i,j є Jm .

2-й этап состоит в том, чтобы перейти к разложению, содержащему только выпуклые функции с произвольными знаками.

2. 2-й этап: построение разложения Б.

Если функции fj (x), Vj є Jm выпуклые, т.е. в формуле (5) rj = 1 или rj = 2pj, Vj є Jm, то разложения A и Б совпадают.

В противном случае 3j є Jm : fj(x) - невыпуклая. В (5) это означает, что rj = 2pj +1. В разложение а функция fj(x) входит в степенях 1,2,22,...2qj , где q'j зависит от способа разложения и полностью определяется номером j є Jm . Все степени, в которых входит в A функция fj(x), кроме первой, четные, поэтому только для слагаемых с fj(x) в первой степени принимаем:

f'=

2И/2] f" _

f" = x.

j

(33)

и применяем (8) либо (9), в зависимости от знака а в (3). Функции (33) — выпуклые, таким образом, после данной замены для всех невыпуклых среди (5) функций, разложение Б построено. Число слагаемых в разложении Б , полученных для функции (2), обозначим Nm .

Заметим, что f(x) из (2) представима в виде произведения константы и выпуклых функций. Для этого достаточно перед началом 1-го этапа невыпуклые функции представить произведением двух выпуклых вида (33). Тогда по окончании 1го этапа сразу будет построено разложение Б .

Покажем целесообразность осуществления 2-го этапа. Пусть среди функций (5) есть ц невыпуклых

(ц є Jm ). Тогда после представления f(x) в виде произведения выпуклых каждая из ц таких функций задается двумя выпуклыми функциями. Тогда общее число функций перед началом 1 -го этапа - m + ц . Обозначим число слагаемых в разложении A, получаемых в данном случае, N"m+)X .

Сравним числа Nm , N"m+ц, используя оценку (30).

Число Nm определяется числом Nm , вычисляемым по (25). Нетрудно видеть, что функции (5) в первой степени в разложение а будут входить единственный раз. Действительно, это может произойти в одном из 3-х случаев:

1 2

j«і„ад. ± fffj= fn ± fi>2 -- ff)2 - f2

j€ J„\{1}. ±ff f ±fj)2 -j -fj2;

jeJm_1. ±fjfj+1 = j2(fj+fj+1)2-fj-fj2+1.

Как видно, каждая из функций (5) в первой степени остается один раз и каждая из них на 2-м этапе заменяется четырьмя слагаемыми. Таким

образом, Nm = (Nm - ц) + 4ц = Nm + 3ц.

m

Как было показано выше, 8 < —. Кроме того,

8 є N0 , поэтому 8 <

m -1 2

В случае четного и

нечетного m это неравенство принимает вид: m 2

m -1

S<

I 2

-1, m = 2p, m = 2p +1.

(34)

Учитывая (34), неравенство (30) можно уточнить: m2 s N<“0 s m2

,2 < N<?» < m2 +-4(m-1)2. (35)

' '212 Nm оценим сверху: Nm ^ m + — (m -1) + 3ц.

126

РИ, 2001, № 2

" 2 N''m+ц оценим снизу: Nm+^ > (m + ц) .

Осуществление 2-го этапа будет заведомо целесообразным (Nm < N"m+)X), если выполнено:

m2 + -4(m-1)2 + 3ц< (m + ц)2. (36)

Выясним, при каких ц є Jm (36) выполнено:

3 1 / 2------------

ц є (-да, — m — V5m2 - 14m +10] U 2 2

U [— - m + —-\/5m2 - 14m +10, да).

2 2

m

Учитывая то, что ц є j0

— - m + — V5m2 - 14m +10 < m, Vm є N .

имеем:

цє [[-3 - m + -3V5m2 - 14m +10 + 0.999],m], Vm є N.

(37)

Если m — четное, то, с учетом (34), неравенство (35) уточняется:

m2 + (m -1)2 + 3ц < (m + ц)2.

Решение неравенства для ц є jJ^:

цє [[— -m+—V5m2 - 16m +13 + 0.999],m],

2 2 (38)

m = 2p, Vp є N.

Статистический анализ решений (37), (38) показал, что при малых m оба неравенства выполняются: Vp є jjm , а при больших m (10 < m < 200) выполняется неравенство: Nm < N"m+^ , если ц > ц0 , Р0 составляет в зависимости от m :

- от 11,76 до 16,67% m для нечетных;

- от 11,11 до 15,0% m для четных m .

На рис. 3 показаны графики функций P0(m) для четных и нечетных m .

---m-нечетное....m-четное

Рис.3. Зависимость m0 от m

Вывод: если m невелико (m < 10) либо в (5) значительное число функций — невыпуклые (не менее 11% от числа m ), то целесообразно проводить 2-й этап.

3. 3-й этап: построение выпуклого на Е продолжения F(x).

Осуществление данного этапа зависит от типа е-множества вида (1). Отметим, что к множествам данного типа относятся перестановочные множества (перестановки и полиперестановки), отдельный класс общего множества размещений и полиразмещений.

Осуществим его для полиперестановочного множества E , которое можно определить следующим образом: рассмотрим систему k мультимножеств

G1 = {^...^ЕІО1 |= n(l),Vi є Jk .

Образуем k множеств перестановок Pi из элементов Gi, Vi є Jk . После погружения их в Rni [6], Vi є Jk получим k евклидовых перестановочных множеств Eb Vi є Jk .

Определим евклидово полиперестановочное мно-

k о

жество E є Rn , где n = £ n(i), как декартово про-

i=1

изведение перестановочных е-множеств Ei, Vi є Jk: E = Ej ® E2 ® ... ® Ek .

Введем обозначения:

■ n(i) (i) .

S(i) = H (g(i))J, Vi є Jk ;

1=1

j n(i) (i)

X(i) = z (x(i))J , X(i)i, = X(i) - (x(i))J, Vi є Jk .

Для точек E справедливо: x( i) = s(1) , т.е. X(i) = S(i), поэтому для всех функций вида - x| определяем группу i Є Jk , к которой относится переменная xt, порядковый номер которой в данной группе 1(i). После замен для функций вида - xt по формуле

- xt=-(x(i)))J =-S(i) + X( i)i(i) (39)

получаем искомую выпуклую функцию (4)- F(x). Число слагаемых, которыми заменяется - xt, равно n(i), функции вида x| замене не подвергаются, поэтому число слагаемых, с учетом стоящих в скобках, в F(x), существенно зависит от числа отрицательных таких слагаемых: N m(a), a = +1.

Утверждение 3. Число положительных и отрицательных слагаемых в разложении A, полученных третьим способом, определяется по формулам:

Nm (1) = f (Nm - 1) , Nm (1) = j(Nm + 2) ; (40)

Nm(-1) = 3(2Nm +1) , Nm(-1) = -3(Nm - 1). (41)

Доказательство проводим индукцией по m .

Для m = 2 разложение А получается однократным применением (8) или (9).

РИ, 2001, № 2

127

Покажем справедливость (40). Как видно из (8),

_ 2 2 N2(1) = 2 = -(N2 -1) = -(4-1),

N| (1) = 2 = -3(N2 + 2) = -3(4 + 2),

т.е. для m = 2 (40) справедлива.

Покажем справедливость (41). Как видно из (9),

N2(-1) = 3 = j(2N2 +1) = -3(2 • 4 +1),

N| (-1) = 1 = З (N2 -1) = ^(4 -1),

т.е. для m = 2 (41) справедлива.

Предположим, что формулы (40), (41) справедливы для всех m' < m , докажем это для m' = m .

Из (24) видно, что

Nm(1)=n m+1 (1) + N m (1) + N m+1 (-1) + N m

2 2 2 2

Nm < Nm(a) + Nm(a) • n0 = max(3(Nm + 2) +

2 11

+ "(Nm -1) • n0,^(Nm -1) + 3 (2Nm +1) • n0) =

= max(^Nm(1 + 2n0) + 3(1 - n0),-Nm(1 + 2n0) +

+ |(-1 + n0)) = -3Nm(1 + 2n0) + |(n0 -1). Используя (35), получаем окончательную оценку:

_ 1 r\

Nm < 3 Nm (1 + 2n0 ) + з(п0 - 1) <

< 3(m2 + -(m -1)2)(1 + 2n0) +

34

+ | (n0 -1) = ^ (m(5m- 2)(1 + 2n0) + 10n0 - 7)

(42)

= 3m(m- 0.4)(n0 + 0.5) + -1(10n0 -7). 6 12

Как видно, Nm оценивается сверху величиной,

Учитывая, что для всех слагаемых правой части справедливы (40), (41), имеем:

2

5 2

имеющей порядок 3m n0 :

n m(1)=3(n m+1 -1)+^ m -1) + 3(2N m+1

2 2 2

1-m2, 2

2 2- 1

+ -(2Nr 3 Г

24

+1) = —+-(Nr ,-,+ N т) =

7 - - v m+1 ™ 7

3 3

4

m

3- Nmmii), 4- n mw, 5- Nm(1).

На рис.4 показан график функции y = Nmn). Проводится сравнение его с графиками m2 и 3 m2, тем

2

2 2 2

= -- + TN„ = -<Nm -1)

Из (14) имеем:

Nm (1) = Nm - Nm (1) = Nm - (3 (Nm - 1) = 3 (Nm + 2) .

Справедливость (40) для произвольного m доказана.

самым демонстрируется оценка (30). Также приведены графики функций yj = Nm (a), y2 = N m (a), суммой которых является y = N miII), для a = 1 (см. формулу (40)). Графики функций y3 = Nm(a), y 4 = Nm(a) для a = -1 (см. формулу (41)) при больших m практически не отличаются от y 1, y 2 , поэтому они не приведены.

Аналогично проводится доказательство (41). Формулы (40), (41) могут быть уточнены зависимостью от числа рє Jm в случае, если разложения

A и Б отличаются (см. 2-й этап). Однако уже эти формулы позволяют определить порядок числа

слагаемых в выпуклом продолжении F(x). Действительно, число слагаемых в разложении A, заменяемых в F(x) по формуле (39) , имеет порядок

21 3 N m , остающихся без изменения - порядок 3 N m .

Обозначим Nm — число слагаемых, с учетом стоящих в скобках, в F(x); тогда для случая, когда

A и Б совпадают, Nm можно оценить следующим образом:

разложении А (способ 3)

Для того чтобы получить оценку, зависящую только от размерности пространства n, числа k перестановочных множеств во множестве полиперестановок, заметим, что число элементов в каждом из них не меньше 2-х. Если это не выполнено, т.е. Зі є Jk : n(l) = 1, то множество E1 вырождено в точку. Можно перейти в пространство размерности n -1, заменив функции вида (5), определенные на

128

РИ, 2001, № 2

этом множестве, константой (это делается перед началом построения выпуклого продолжения). Таким образом, всегда можно считать, что

(k -1) • 2 + n0 < n .

Используя (42), получаем (далее оценка (43)):

Nm

< - m(m - 0.4)(n - 2k + 2.5) + — (10(n - 2k + 2) - 7) 6 12

= - m(m - 0.4)(n - 2k + 2.5) + — (10n - 20k +13). 6 12

(43)

Кроме того, m < n, поэтому справедливо:

Nm < ■5-n(n - 0.4)(n - 2k + 2.5) + ^(Юп - 20k +13). (44)

Как видно из (44), число слагаемых в выпуклом продолжении функций вида (2) оценивается величиной порядка n3 . Заметим также, что Nm существенно зависит от k; в частности, если n = 2k (это случай, когда n — четное, все перестановочные множества — перестановки из 2-х элементов), то (44) принимает вид:

— 25 1

Nm <— n(n - 0.4) +—(10n - 20k +13). 12 12

Таким образом, в данном случае Nm оценивается величиной порядка n2.

Каждое выпуклое продолжение, построенное для функций вида (2), входящих в состав многочлена P(x) (всего таких функций q), содержит число слагаемых, оцениваемое формулой (44).

Вывод

В данной работе предложен ряд новых идей в вопросе построения выпуклых продолжений полиномов на комбинаторных множествах, совпадающих с множеством вершин соответствующих комбинаторных многогранников. Приводится три способа построения таких продолжений, два из которых дают полиномиальную оценку числа арифметических операций. В третьем использована идея ранее опубликованных работ по этому направлению [1,2], в которых была дана комбинаторная оценка. Доказана невозможность совершенствования данного подхода до получения для него полиномиальной оценки. Для одного способа получены оценки числа слагаемых в выпуклом продолжении полинома, в том числе верхняя оценка (кубическая —относительно размерности пространства, линейная — относительно числа слагаемых в полиноме).

Литература: 1. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Побудова опуклих і угнутих функцій на перестановочному многограннику// Доп. АН УРСР. Сер. А. 1988. №5. С.66-68. 2. Яковлев С.В. Теория выпуклых продолжений функций на вершинах выпуклых многогранников// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. Т. 34, №7. С. 1112-1119. 3. СтоянЮ.Т., Яковлев С.В., Паршин О.В. Оптимізація квадратичних функцій на множині перестановок, відображеній у Rn // Доп. АН УРСР. Сер. А. 1989. №5. С. 73-78. 4. Стоян Ю.Г, Яковлев С.В., Паршин О.В. Квадратичная оптимизация на комбинаторных множествах в Rn// Кибернетика и системный анализ. 1991. №4. С. 97-104. 5. ПшеничныйБ.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. 320 с. 6. Стоян Ю.Г. Некоторые свойства специальных комбинаторных множеств. Харьков, 1980. 22 с. (Препринт АН УССР/ Инт проблем машиностр.; № 85).

Выпуклое продолжение многочлена P(x) — сумма

Поступила в редколегию 04.04.2001

всех выпуклых продолжений q этих функций. Число слагаемых в нем N(P(x)) оценивается величиной:

N(P(x)) < q(-n(n - 0.4)(n - 2k + 2.5) + 6

—(10n - 20k +13)), 12

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Савенко Р.Г.

Валуйская Ольга Алексеевна, канд. физ.-мат. наук, и. о. доцента кафедры прикладной математики и математического моделирования Полтавского государственного университета им. Ю. Кондратюка. Адрес: Украина, Полтава, ул. Ю. Кондратюка, 3, кв. 94, тел. 3-71-03.

т.е. величиной порядка n3q .

Все оценки 3-го этапа даны в предположении, что все функции вида (5), входящие в (2) — выпуклые. Если это не выполнено, аналогично могут быть получены оценки, зависящие от числа невыпуклых функций (см. результаты 2-го этапа).

Пичугина Оксана Сергеевна, канд. физ.-мат. наук, и. о. доцента кафедры прикладной математики и математического моделирования Полтавского государственного университета им. Ю. Кондратюка. Адрес: Украина, Полтава, ул. Энгельса, 25, кв.2, тел. 18-47-64.

Яковлев Сергей Всеволодович, д-р физ.-мат. наук, профессор, начальник факультета управления и информатики, начальник кафедры прикладной математики Университета внутренних дел. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Р. Ролана, 7, кв. 40.

РИ, 2001, № 2

129