CC BY
38
УДК 539.385:539.196:539.63:518.61
С. Н. Коробейников1, А. В. Бабичев2
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) 1, Институт геологии и минералогии
СО РАН (Новосибирск) 2
ВЫПУЧИВАНИЕ НАНОТРУБКИ ПРИ ВНЕЗАПНОМ ПРИЛОЖЕНИИ ПОСТОЯННОЙ ОСЕВОЙ НАГРУЗКИ
Abstract
Numerical solution procedures for problems of dynamic deformation and buckling of nanostructures based on nonlinear equations of the molecular mechanics are used for determination of critical times and buckling modes of a short single-walled carbon nanotube under axial step loading. PIONER code is used to obtain numerical solutions. The criterion of stability loss of dynamic motion of nanotube according to which this motion becomes unstable at appearance of quasibifurcation points on an integral curve is used. It is shown, that use of this criterion allows to determine a critical time and the buckling mode of nanotube compressed by axial step loading. The postcritical deformations of nanotube are determined by injection of external force perturbations in its motion equations fitted to the buckling modes obtained in quasi-bifurcation points.
Выпучивание наноструктуры при динамическом деформировании, как правило, приводит к качественной смене форм ее равновесных конфигураций и может инициировать процесс ее разрушения. Поэтому при компьютерном моделировании процессов динамического деформирования наноструктур желательно определять статус полученных решений относительно устойчивости. В настоящей работе для решения задачи деформирования и выпучивания нанотрубки, внезапно сжатой постоянной осевой силой, используется метод молекулярной механики (ММ) [1-9], который содержит информацию о статусе решения относительно устойчивости в матрице касательной жесткости, получаемой при формулировке уравнений движения в приращениях.
Мы рассматриваем достаточно широкий класс задач деформирования наноструктур при действии внешних сил, не изменяющих своего направления во все время их приложения (мертвых нагрузок). Для определения критического момента времени Tcr такого, что на интервале времени t е (0, Tcr) решение задачи о динамическом деформировании наноструктуры устойчиво, а при времени t > Tcr
решение неустойчиво, мы применяем критерий устойчивости решений нелинейных ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений) второго порядка, предложенный в [10-12]. В соответствии с этим критерием решение системы уравнений устойчиво на том интервале времени, на котором квазибифуркация этого решения отсутствует. При квазибифуркации фундаментальное (исследуемое на устойчивость) решение становится неустойчивым. Возмущенное решение при T«Tcr резко отклоняется от
фундаментального решения и далее следует по боковой квазиветви, на которой форма деформирования наноструктуры близка к форме выпучивания, полученной в точке квазибифуркации фундаментального решения. В [11, 12] показано, что для системы нелинейных ОДУ квазибифуркации решения соответствует тот момент времени, при котором матрица касательной жесткости вырождается, т.е. условием динамической потери устойчивости решения уравнений движения дискретной системы является потеря свойства положительной определенности этой матрицы, а формы ее выпучивания определяются формами собственных колебаний предварительно нагруженной системы с нулевыми частотами. В [11] показано, что этот критерий потери устойчивости динамических движений можно применять для определения
критических времен и форм выпучивания дискретных систем при действии внезапно приложенных постоянных нагрузок.
В [13] критерий потери устойчивости решений нелинейных ОДУ использован для определения форм выпучивания, углов закручивания и критических времен динамического деформирования нанотрубки при ее кручении на торцах с постоянной скоростью. Цель настоящего исследования состоит в применении упомянутого выше критерия потери устойчивости для определения критических времен и форм выпучивания короткой углеродной однослойной нанотрубки при действии внезапно приложенной постоянной осевой силы. Показано, что определение точек квазибифуркации интегральной кривой позволяет получать критические времена и формы выпучивания при динамическом деформировании нанотрубки. Закритические формы деформирования определяются введением возмущений в уравнения движения нанотрубок, при этом возмущения согласуются с формой выпучивания, полученной в точке квазибифуркации.
Уравнения динамического деформирования наноструктур
Векторное уравнение движения наноструктуры с заданными начальными условиями имеет вид [14]
Ми + F(U) = ^ и(0) = и0, V(0) = У0 ^, и, К,и0 ,У0 шд, M ш^. (1)
Здесь и, F, R - векторы перемещений и векторы внутренних и внешних сил наноструктуры соответственно; ио, У0 - векторы заданных начальных перемещений и
скоростей атомов соответственно; М ^ 0 - диагональная матрица масс с массами атомов наноструктуры на диагонали; точка над величиной обозначает частную производную этой величины по времени; NEQ - общее число независимых степеней свободы наноструктуры, т.е. число скалярных уравнений движения в системе (1). Рассматриваем класс задач, в котором вектор внешних сил R не зависит от векторов перемещений и скоростей наноструктуры.
Мы предполагаем, что все межатомные связи наноструктуры имеют потенциальные законы взаимодействия. Обозначая через V(и) потенциальную энергию наноструктуры, имеем
F = V
Ш
Для определения вектора внутренних сил F используем технику метода конечных элементов [1-3, 14].
В настоящей работе рассматриваются два типа элементов, составляющих наноструктуру: N атомных пар и L стержневых элементов, т.е. М = N + L (рис. 1). Атомные пары предназначены для учета потенциальной энергии растяжения связи атомов/молекул наноструктуры, а стержневые элементы - для учета потенциальной энергии изменения угла 9 между соседними связями (рис. 1,а). На рис. 1,б показан шестиугольник, представляющий типовую ячейку углеродной нанотрубки, а на рис. 1,в
- моделирование этого шестиугольника предлагаемыми элементами наноструктуры (атомными парами и стержневыми элементами). Потенциальная энергия внутренних сил наноструктуры равна сумме потенциальных энергий всех ее элементов, т.е.
N Ь
V=1 у п (?„)+1V; (е,),
п=1 п=1
где V П (гп) (1 < п < N) - потенциальная энергия п-й атомной пары, а V/ (е г) (1 < I < £)
- потенциальная энергия 1-го стержневого элемента; тп - расстояние между атомами в
атомной паре, а в 1 = {г1 - г® )/ г® - деформация стержневого элемента ( гД г{ -
начальное и текущее значения длины стержневого элемента). Обозначим через Уа (г ) потенциальную энергию центральных сил взаимодействия атомов некоторой атомной пары, а через ^(е) потенциальную энергию деформаций некоторого стержневого элемента, аппроксимирующую потенциальную энергию изменения угла между соседними связями.
/ \
Г / \ /
ч/ \/
/ч /\
Кб0=27і/3 . \ _/_ Л
/
Рис. 1. Типы элементов, моделирующих нанотрубку: (а) элементарный представитель нанотрубки, состоящий из двух атомных пар (сплошные линии) и стержневого элемента (штриховая линия); (б) типовая ячейка углеродной нанотрубки;
(в) моделирование типовой ячейки атомными парами и стержневыми элементами
Для потенциальной энергии центральных сил взаимодействия атомной пары выбираем функцию Морзе
Уа(г) = Де~2а(г-ге) -2е~а(г-Ге)], (2)
где D - глубина потенциальной ямы, Ге - расстояние между атомами, соответствующее минимальной потенциальной энергии центральных сил взаимодействия атомов, а а - заданный параметр, определяющий форму потенциала.
Для стержневого элемента выбираем потенциальную функцию энергии деформаций линейного упругого материала, т. е.
(3)
Здесь к - модуль жесткости стержневого элемента (к = ЕА, где Е - модуль Юнга материала стержневого элемента, а А - площадь поперечного сечения этого элемента).
Роль стержневого элемента состоит в учете вклада энергии изменения угла между соседними связями элементарного представителя наноструктуры (см. рис. 1,а) в энергию внутренних сил наноструктуры [5, 15]:
(4)
где 90 =0(0) - начальное значение угла 9 (при ^ = 0). Можно показать [15], что при малом изменении угла 9 (9 - 90 «1 рад)при деформировании элементарного
представителя наноструктуры (см. рис. 1,а) энергия (4) изменения угла между соседними связями нанотрубки приближается энергией деформации стержневого элемента (3) с модулем жесткости к = 12кв/г0 .
Введем матрицу касательной жесткости ансамбля атомов наноструктуры
К = -^, (5)
аи шш
0
т.е. эта матрица является матрицей Гессе, откуда следует ее симметрия. Матрица К определяется ассемблированием матриц касательных жесткостей всех элементов наноструктуры [14].
Критерий выпучивания наноструктуры
Для исследования устойчивости динамических процессов деформирования наноструктур используем определение устойчивости решений ОДУ на конечном интервале времени (т.е. непрерывной зависимости решений этих ОДУ от начальных данных). Суммируя результаты исследований, представленных в [10-12], получаем следующее правило определения интервала (0, Тсг) устойчивого динамического движения наноструктуры.
Пусть в начальный момент времени г = 0 матрица касательной жесткости К положительно определена (К у 0) и остается таковой на интервале времени (0, Тсг), в момент времени г = Тсг эта матрица становится положительно полуопределенной (К у 0), а при г > Тсг матрица К не определена (К у 0). Тогда решение уравнения (1) устойчиво на интервале времени (0, Тсг). При г = Тсг устойчивый режим деформирования сменяется неустойчивым режимом, т.е. таким, что в одном или более возмущенных движениях выделяется неосциллирующая форма движения, соответствующая форме собственных колебаний предварительно нагруженной наноструктуры с нулевой частотой, полученной при решении обобщенной задачи на собственные значения:
(К - |мМ)Ф = 0 1бе г = Тсг
Поскольку матрицы К и М симметричные, то собственные значения этой задачи вещественны. В силу того, что М у 0, К у 0, все собственные значения неотрицательны, и мы их располагаем в возрастающем порядке
0 = М*1 = • • • = Мк < Мк+1 — Мк+2 — • • • (6)
где кратность К нулевого собственного значения равна дефекту матрицы К .
Пусть Фг, г = 1,...,NEQ - М-ортонормированные собственные векторы [16].
Расположим собственные пары (м г, Фг), г = 1,...,NEQ в соответствии с нумерацией
собственных значений в (6): (м1, Ф1), (м2, Ф2), •••,(мк, Фк) (мк+1, Фк+1 )• Если
решение и уравнений движения наноструктуры с возмущениями параметров представить в виде разложения по собственным формам [ 16]
__ NEQ
и =£а,Ф,, (7)
г=1
то пары (м1, Ф1), (м2, Ф2), •••,(мк, Фк )в окрестности времени Тсг определяют
неосциллирующие (дивергентного типа) составляющие решения и в (7), а пары
(м к+1, Ф к+1), (Мк+2, Ф к+2 )>■■■, (М NEQ, Ф NEQ ) определяют вклад в это решение
осциллирующих составляющих с частотами ш г = , г = к +1,..., NEQ .
В соответствии с представленным анализом формы (форму) собственных колебаний предварительно нагруженной наноструктуры Ф1, Ф 2, •Фк с нулевой частотой называем (по аналогии с квазистатическим анализом [1, 3, 17]) формами (формой) выпучивания наноструктуры, а ситуацию, при которой матрица К вырождается и, следовательно, существует возмущенное решение (7) с ненулевым
вкладом в это решение форм (формы) выпучивания Фг, г = 1, — , к -
квазибифуркацией фундаментального решения [10, 11].
Процедуры численных решений задач динамического деформирования
и выпучивания наноструктур
Мы решаем уравнение движения (1) пошаговым интегрированием следующим образом. Предполагаем, что динамическое равновесие наноструктуры в момент времени г известно, т.е. векторы перемещений ги и внутренних сил гГ = Г(ги) (следуя [16], здесь и далее левым верхним индексом для некоторой величины обозначаем тот момент времени, в который эта величина рассматривается), а также векторы скоростей г и и ускорений перемещений г и известны. Тогда уравнение (1) в момент времени г становится тождеством
Мг и + = Я. (8)
Обозначим через Дг приращение времени г (шаг по времени), а через Ли -приращение вектора перемещений
Ли =г+Дг и -г и.
Из (1), (5), (8) получаем линеаризованное уравнение движения
М г+Дг и + г КДи = г+Дг R - г Г . (9)
Используя метод Ньюмарка [16], решение системы ОДУ (9) приближаем решением системы линейных алгебраических уравнений вида
г КДи = г+Дг R, (10)
где г К - эффективная матрица касательной жесткости, а г+Дг Я. - эффективный вектор внешних сил.
Перед началом интегрирования уравнения (1) решаем вспомогательную задачу по определению частот и форм собственных колебаний наноструктуры
(0 К -мМ)Ф = 0 (11)
где 0 К - матрица касательной жесткости, определенная в момент времени г = 0. Упорядочим собственные значения мг, г = 1,...,NEQ в возрастающем порядке:
М1 — М 2 — ■■■ — М NEQ
Для старта предлагаемого ниже алгоритма решения задач деформирования и выпучивания наноструктуры необходимо, чтобы в начальный момент времени г = 0 наноструктура находилась в устойчивом состоянии равновесия. Устойчивость этого
состояния обеспечивается условием 0 К у 0 [17]. Необходимым и достаточным
условием положительной определенности матрицы К является выполнение
неравенства ц1>0. Далее полагаем, что условие ц1>0 выполнено и в результате решения вспомогательной задачи (11) определены собственные пары
(ш1, Ф1), (ш2, Ф2),...,(ш 1, Ф1) с частотами шг = д/М7, г = 1,-1 =у[мг, г = 1,- , I и
соответствующими М-ортонормированными формами Фi собственных колебаний, где
I — NEQ - число собственных форм, вклад которых в решение задачи о деформировании наноструктуры желательно воспроизвести при пошаговом интегрирования уравнения (1). Для достаточно хорошего воспроизведения высшей из выбранных I нижних собственных форм (период колебаний этой формы в окрестности начального момента времени г = 0 равен Т1) шаг интегрирования по времени Дг оценивается следующим образом [16]:
Дг * ^/10, TL = 1/шL , шг =шг/2л, I = 1,...,NEQ. (12)
Для каждого дискретного значения момента времени г при интегрировании уравнения (1) проводятся факторизации симметричных матриц г К и г К [16]:
г К = £МТ, г К = ЬБЬТ, (13)
где Ь и Ь - нижние треугольные матрицы, а Б и Б - диагональные матрицы. Первая факторизация в (13) требуется для численного интегрирования уравнения (1) при решении системы алгебраических уравнений (10), а вторая факторизация проводится в том случае, если одновременно с решением задачи деформирования наноструктуры проводится анализ устойчивости полученного решения. Цель второй факторизации в (13) состоит в отслеживании изменения знаков диагональных элементов матрицы Б для дальнейшего определения свойств матрицы К в силу следующих эквивалентных утверждений, справедливых для симметричной матрицы К :
К у 0 о dii > 0, г = 1,. , NEQ;
К у 0 о dii > 0, г = 1,. , NEQ, djj = 0 для некоторого у, 1 — у — NEQ ;
К у 0 о djj < 0 для некоторого у, 1 — у — NEQ .
В соответствии с этими утверждениями при пошаговом интегрировании
уравнения (1) определяем такой сегмент времени [г1, г2 = г1 + Дг ], на котором один или
более элементов dj, 1 — у — NEQ, матрицы Б становятся впервые неположительным
— 0). Отметим, что в предположении об устойчивости равновесной конфигурации наноструктуры в начальный момент времени (г = 0) должны выполняться неравенства dii > 0, г = 1,...,№^ В соответствии с критерием выпучивания наноструктуры (см. п. 2) полагаем Тсг е [г1, г2] , т е. точка квазибифуркации впервые встречается в этом сегменте времени.
Для определения форм выпучивания, соответствующих нулевым собственным значениям, решаем обобщенную задачу на собственные значения
(г1 К -ш 2 М)Ф = 0 (14)
Если точка квазибифуркации встречается впервые в истории деформирования наноструктуры (т.е. эта точка разделяет устойчивые и неустойчивые режимы деформирования наноструктуры), тогда матрица г1 К, как правило, положительно определена (г‘ К у 0) и, следовательно, нижняя частота колебаний ю1>0. В
практических вычислениях авторы получали следующие соотношения нижних частот колебаний в моменты времени г = 0 и г = г1: ш 1(г1) * ш 1(0^10 ^ ш ^0)/2.
Результаты компьютерного моделирования деформирования и выпучивания однослойной углеродной нанотрубки
Элементы атомной пары и стержня введены в библиотеку элементов пакета PЮNER [18]. Кроме того, в пакет добавлена возможность определения критических значений внешних сил и/или моментов времени выпучивания наноструктур при их динамическом деформировании в соответствии с процедурой, описанной в п. 3. Результаты численных решений задач, представленные в этом пункте, получены с помощью этого пакета.
Рассмотрим однослойную углеродную нанотрубку типа зигзаг с индексами хиральности (10, 0) радиусом R = 0,38475 нм и длиной Ь = 0,9035 нм, состоящую из 100 атомов (на торцах трубки по кольцу расположены равномерно 10 атомов). Константы потенциальных функций (2), (4) для нанотрубки имеют следующие значения [19]:
ге=0,139 нм, а=26,25 нм1, D = 0,603105 нНнм,
к9 = 0,9 нНнм/рад2, та = 0,00202912 нНпс2/нм
где та - масса атома углерода.
Нанотрубка нагружается силами Р, приложенными к атомам на ее верхнем торце, при этом общая осевая сила F, сжимающая нанотрубку, равна 10Р. Задаются следующие значения перемещений компонент атомов, исключающие движение нанотрубки как жесткого целого: атомы нанотрубки фиксируются на нижнем торце, а на верхнем торце (там, где заданы осевые силы) ограничиваются их движения в плоскости, нормальной к оси нанотрубки.
Следуя подходу к оценке шага по времени Дг при решении задач динамического деформирования наноструктур, предложенному в п. 3, решаем вспомогательную обобщенную задачу (11) по определению собственных частот и форм собственных колебаний нанотрубки. Из (12) получим верхнюю оценку шага интегрирования по времени Дг (полагаем 1=12):
ш 1 = 17,66 ОАо, Т1 = 1/ ш 1 = 0,0567 т , Дг = Т1 /10 = 0,0056 т .
Рассмотрим нанотрубку, внезапно сжатую постоянной осевой силой F. Интегральные кривые решений будем представлять в виде зависимости абсолютной величины вертикального перемещения w одного из атомов на верхнем торце нанотрубки от времени г. Отметим, что при квазистатическом нагружении нанотрубка выпучивается при значении Fcsг = 24.2 нН [20]. Рассмотрим различные значения
внезапно приложенной постоянной силы F, как меньшие, так и большие значения Fcsг с целью определения того, возможно ли выпучивание нанотрубки при выбранных значениях осевой силы F. Рассматриваем три значения F: 5 нН (< FcS), 10 нН (< FcS), 25 нН (>FcS). Для определения закритических деформированных конфигураций в
процесс деформирования нанотрубки вносим малое возмущение, согласованное с формой выпучивания, полученной в точке квазибифуркации решения задачи о деформировании нанотрубки внезапно приложенной постоянной силой F=25 нН. При этом ко второму сверху слою атомов прикладывались силы, действующие в плоскости, ортогональной оси нанотрубки. Роль этих сил состоит в выводе нанотрубки из режима «осесимметричного» деформирования. Далее под решением задачи без возмущений понимаем решение, полученное при определении начальных положений атомов нанотрубки с использованием арифметики с двойной точностью (числа представляются 16 значащими цифрами). Под решением задачи с возмущением типа 1 понимаем решение, полученное при определении начальных положений атомов нанотрубки с точностью до пяти первых значащих цифр, а под решениями задач с возмущениями типов 2, 3, 4 понимаем решения задач с величинами возмущающих сил 0,001Р; 0,01Р и 0,1Р соответственно. Расчеты для всех трех случаев задания силы F , приведенные на рис. 2-7, проводились на сегменте времени [0; 1] пс. Горизонтальная штриховая линия на рис. 2, 5 соответствует значению w, полученному в решении статической задачи о сжатии нанотрубки вдоль оси.
Случай 1: F=5 нН. Пошаговое интегрирование уравнения (1) проводилось с шагом по времени Дг = 0,001 пс. В этом решении точек квазибифуркации не обнаружено. Получены решения задач как без возмущений, так и с возмущениями всех четырех типов. Кривые зависимости «тн'-г» для всех расчетов сливаются в одну кривую на рис. 2,а в согласии с устойчивостью фундаментального решения (т.е. решения задачи без возмущений), следующей из выполнения критерия устойчивости (К у 0, V г е[0; 1] пс). Кривая решения соответствует устойчивым колебаниям нанотрубки около состояния статического равновесия при F=5 нН.
Случай 2: ,Р=10 нН. Так же, как и для первого случая, в расчете использовался шаг по времени Дґ = 0,001 пс. Точка квазибифуркации решения задачи без возмущений (рис. 2,6) со сменой положительных значений на отрицательные двух элементов диагональной матрицы D обнаружена на сегменте времени [0,036; 0,037] пс. Собственные частоты и формы колебаний предварительно нагруженной нанотрубки, полученные при решении обобщенной задачи на собственные значения (14), представлены на рис. 3 (кратные формы, отличающиеся поворотом трубки как жесткого целого, не приведены). Для достаточно большого интервала времени (1 пс) кривые решений задач без возмущений и с возмущениями типов 1, 2, 3 сливаются на рис. 2,6 в одну кривую, соответствующую фундаментальному (с «осесимметричным» деформированием) решению в виде колебания нанотрубки около состояния статического равновесия. Только решение с возмущением типа 4 почти сразу за точкой квазибифуркации сменило колебательный режим деформирования на дивиргентный тип движения с последующими наложенными колебаниями (рис. 2,6). Деформированные конфигурации, соответствующие решениям задач статического и динамического деформирований (в последнем случае рассматриваются различные моменты времени при решении задачи с возмущением типа 4), приведены на рис. 4. Видно, что решение статической задачи «осесимметрично», а решение динамической задачи при закритическом деформировании не «осесимметрично».
__д_без возмущений
а б
Рис. 2. Кривые зависимости <т~Ь> в задаче о деформировании нанотрубки под действием внезапно приложенных сил F: (а) 5нН; (б) 10нН
Случай 3: F=25 нН. В отличие от первых двух случаев в настоящем расчете сила F, действующая на верхний слой атомов, превышает критическую силу FcS выпучивания нанотрубки при квазистатическом деформировании. Пошаговое интегрирование уравнения (1) проводилось с шагом по времени Дt = 0,001 пс (таким же, как и для первых двух случаев нагружения). На рис. 5 приведены результаты расчетов задачи без возмущения параметров и с возмущениями параметров типов 1-4. На рис. 5,а приведены кривые зависимости «м~Ъ> на интервале времени 1 пс, а на рис.
5, б эти кривые показаны на выделенном интервале времени деформирования, равном 0,2 пс. Точка квазибифуркации (отмеченная знаком «*» на рис. 5,б) получена на сегменте времени [0,005; 0,006] пс. На этом сегменте времени сменили знак три диагональных элемента матрицы D. Для уточнения сегмента времени, в котором заключена точка квазибифуркации, задача без возмущений параметров решалась до конечного значения по времени 0,2 пс с шагом Дt = 0,00005 пс. В этом расчете точка
квазибифуркации на фундаментальном решении (отмеченная знаком «х» на рис. 5,6) получена на сегменте времени [0,0034; 0,0035] пс. На этом сегменте времени меняет знак только один элемент матрицы D. Частоты и формы собственных колебаний предварительно нагруженной нанотрубки, полученные при решении обобщенной задачи на собственные значения (14) в расчете с шагом по времени А/ = 0,00005 пс, представлены на рис. 6 (отметим, что при решении задачи с шагом по времени А/ = 0,001 пс также получены близкие значения частот и собственных форм). Таким образом, форма выпучивания нанотрубки в точке квазибифуркации соответствует форме собственных колебаний с нижней частотой со = 2,145 ТГц (рис. 6). Из анализа графиков, представленных на рис. 5, следует, что на сегменте времени [0; 1] пс все полученные численные решения не совпадают с фундаментальным («осесимметричным») решением с выполнением следующей закономерности: чем меньше величина возмущения параметров задачи, тем дольше по времени решение задачи следует близко к фундаментальному решению. Отметим, что на сегменте времени [0; 0,2] пс на рис. 5,6 кривую решения задачи без возмущений параметров можно отождествить с кривой фундаментального решения. Деформированные конфигурации, соответствующие точкам, отмеченным цифрами на кривых в момент времени / = 1 пс (рис. 5,а) для каждого из проведенных расчетов, представлены на рис. 7.
а=4.265
й>=5.003
<в=6.464
ю=6.539
«>=6.570
ю=7.496
Рис. 3. Частоты со (ТГц) и соответствующие формы выпучивания колебаний нанотрубки в точке квазибифуркации, отмеченной знаком « *» на рис. 2,6
статика
^ 0.08 ре 1= 0.36 ре 1= 0.4 ре
^ 0.64 ре 1= 0.998 ре
_ ооооо
Рис. 4. Деформированные конфигурации в задаче об осевом сжатии нанотрубки внезапно приложенной постоянной силой F=10 нН (конфигурации соответствуют
решению задачи с возмущением типа 4)
■ без возмущений
. возмущение типа 1
■ возмущение типа 2
(нм)г
0.06 -
0.04 -
—*— без возмущений —я— возмущение типа 1 —□— возмущение типа 2 —л— возмущение типа 3 —•— возмущение типа 4 ф точка квазибифуркации (Лг=0.001) X точка квазибифуркации (Д*=0.00005)
0.02 -
і, (пс)
0.04 0.08 0.12 0.16
б
Рис. 5. Кривые зависимости <^~Ъ» в задаче о деформировании нанотрубки под действием внезапно приложенных силы F=25 нН на интервалах времени: (а) [0; 1] пс;
(б) [0; 0.2] пс
6з=2.145 ю=5.676 й=5.795 ю=7.458 6з=7.683 ю=9.288
Рис. 6. Частоты о (ТГц) и соответствующие формы выпучивания предварительно нагруженной нанотрубки в точке квазибифуркации, отмеченной знаком «х » на
рис. 5,б
ьО
Рис. 7. Деформированные конфигурации в момент времени ї = 1 пс, полученные в решениях задачи об осевом сжатии нанотрубки внезапно приложенной постоянной силой F=25 нН без возмущений и с возмущениями типов 1-4 (см. рис. 5,а)
Процедуры численных решений задач динамического деформирования и выпучивания наноструктур, развитые на основе нелинейных уравнений ММ, применяются для определения критических времен и форм выпучивания короткой однослойной углеродной нанотрубки, внезапно сжатой постоянной осевой силой.
Компьютерное моделирование деформирования нанотрубки проведено с использованием пакета PIONER. Показано, что использование критерия потери устойчивости динамического движения нанотрубки позволяет определять критическое время и форму выпучивания нанотрубки, сжатой внезапно приложенной постоянной осевой силой. Закритическое деформирование нанотрубки определяется введением в уравнения ее движения возмущений во внешних силах, согласованных с формами выпучивания, полученными в точке квазибифуркации.
Из проведенных расчетов следует, что: при внезапно приложенной постоянной нагрузке выпучивание нанотрубки происходит при значениях сжимающей силы, меньших по абсолютной величине критического значения сжимающей силы, полученной при решении задачи квазистатического деформирования; интегральные кривые, соответствующие решениям задач с возмущениями параметров, близки до достижения точки квазибифуркации к интегральным кривым фундаментального решения; чем больше величина возмущения, тем раньше по времени возмущенное решение отклоняется от фундаментального решения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05-08-01395) и Программы фундаментальных исследований РАН на 2008 г. (проект 4.12.2).
Библиографический список
1. Коробейников С.Н. Применение метода конечных элементов к решению нелинейных задач по деформированию и потере устойчивости атомных решеток / С.Н. Коробейников. - Новосибирск, 1997 (Препринт/ РАН. Сиб. отд-ние. Институт гидродинамики; № 1 - 97).
2. Dluzewski P. Numerical simulation of atomic positions in quantum dot by means of molecular statics / P. Dluzewski, P. Traczykowski // Arch. Mech. - 2003. - Vol. 55. - №. 56. - P. 393-406.
3. Korobeinikov S.N. The numerical solution of nonlinear problems on deformation and buckling of atomic lattices / S.N. Korobeinikov // Int. J. Fracture. - 2004. - Vol. 128. -№. 1. - P. 315-323.
4. Liu B. The atomic-scale finite element method / B. Liu, Y. Huang, H. Jiang, S. Qu, K.C. Hwang // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. - 2004. - Vol. 193. - №. 17-20. -P. 1849-1864.
5. Гольдштейн Р.В. Дискретно-континуальная модель нанотрубки / Р.В. Гольдштейн, А.В. Ченцов // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 4. - С. 57-74.
6. Liu B. Atomic-scale finite element method in multiscale computation with applications to carbon nanotubes / B. Liu, H. Jiang, Y. Huang, S. Qu, M.-F. Yu // Phys. Rev.
- 2005. - Vol. B. - №. 72. - Paper №o. 035435.
7. Leung A.Y.T. Postbuckling of carbon nanotubes by atomic-scale finite element / A.Y.T. Leung, X. Guo, X.Q. He // J. Appl. Phys. - 2006. - Vol. 99. - Paper № 124308.
8. Sears A. Buckling of multiwalled carbon nanotubes under axial compression / A. Sears, R.C. Batra // Phys. Rev. - 2006. - Vol. B. - №. 73. - Paper № 085410.
9. Korobeynikov S.N. Determination of equilibrium configurations of atomic lattices at quasistatic deformation / S.N. Korobeynikov // CD ECF16 full papers: The 16-th Eur. Conf. of Fracture. Alexandroupolis. / Ed. E.E. Gdoutos. 2006. Sect. IT2 'Failure Mechanisms'.
10. Lee L.H.N. On dynamic stability and quasi-bifurcation / L.H.N. Lee // Intern. J. Non-Linear Mechanics. - 1981. - Vol. 16. - №. 1. - P. 79-87.
11. Kleiber M. Numerical analysis of dynamic quasi-bifurcation / M. Kleiber, W. Kotula, M. Saran // Engineering Computations. - 1987. - Vol. 4. - №. 1. - P. 48-52.
12. Kratzig W.B. Fundamentals of nonlinear instabilities and response analysis of discretized systems / W.B. Kratzig, P. Nawrotzski, P. Wriggers, S. Reese // Nonlinear Stability of Structures (Theory and Computation Techniques): CISM Courses and Lectures, № 342 / Eds. A.N. Kounadis, W.B. Kratzig. - 1995. Wien: Springer-Verlag. - P. 245-415.
13. Аннин Б.Д. Компьютерное моделирование выпучивания нанотрубки при кручении / Б.Д. Аннин, С.Н. Коробейников, А.В. Бабичев // Сиб. журн. индустриальной математики. - 2008. - Т. 11. - № 1. - С. 3 - 22.
14. Korobeynikov S.N. Nonlinear equations of deformation of atomic lattices / S.N. Korobeynikov // Arch. Mech. - 2005. - Vol. 57. - №. 6. - P. 457-475.
15. Odegard G.M. Equivalent-continuum modeling of nano-structured materials / G.M. Odegard, T.S. Gates, L.M. Nicholson, E. Wise // Composites Science and Technology. -2002. - Vol. 62. - №. 14. - P. 1869-1880.
16. Bathe K.-J. Finite element procedures / K.-J. Bathe - New Jersey: Prentice Hall. -
1996.
17. Korobeynikov S.N. Buckling criteria of atomic lattices / S.N. Korobeynikov // CD ICF 11 full papers: The 11-th Int. Conf. on Fracture. Turino / Ed. A. Carpinteri. - 2005. -Sect. 30 'Nano- or Micro-scale'. - ID 5597.
18. Korobeinikov S.N. The general purpose nonlinear finite element structural analysis program PIONER / S.N. Korobeinikov, V.P. Agapov, M.I. Bondarenko, A.N. Soldatkin // Proc. of Int. Conf. on Numerical Methods and Applications / Eds. B. Sendov et al. Sofia: Publ. House of the Bulgarian Acad. of Sci. - 1989. - P. 228 - 233.
19. Belytschko T. Atomistic simulations of nanotube fracture / T. Belytschko, S.P. Xiao, G.C. Schatz, R.S. Ruoff // Phys. Rev. - 2002. - Vol. B. - №. 65. - Paper №. 235430.
20. Korobeynikov S.N. Numerical simulation of dynamic deformation and buckling of nanostructures / S.N. Korobeynikov, A.V. Babichev // CD ICF Interquadrennial conference full papers: Moscow, Russia, 7-12 July, - 2007 / Ed. R.V. Goldstein. - M.: Institute for Problems in Mechanics. - 2007.
Получено 05.07.2008
