CC BY
37
УДК 533.6.011.72
А. Л. Адрианов
ВЫДЕЛЕНИЕ РАЗРЫВОВ В ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЯХ НЕВЯЗКОГО И ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА
В рамках модели идеального совершенного газа моделируются стационарные течения с множественными взаимодействиями газодинамических разрывов между собой и с физическими границами области, для чего применяется метод выделения множества разрывов на сетке, несогласованной с ними, который обладает высоким разрешением и эффективностью.
В рамках модели вязкого теплопроводного совершенного газа при больших числах Рейнольдса рассмотрена стационарная задача о взаимодействии скачка уплотнения со сдвиговым слоем. Скачок при этом также выделяется, а фактор вязкости - теплопроводности учитывается в обычных и в дифференциальных соотношениях на нем. Строится аналитическое (врасширенном смысле)решение задачи о проникновении скачка в сдвиговый слой. Вычислительным путем показано, что для возмущенного течения в сдвиговом слое возможно существование двух различных режимов: автомодельного и диффузионного.
Специфической особенностью задач, связанных со сверхзвуковым движением газа в каналах, соплах и струях, является наличие развитых ударно-волновых структур (УВС), а также существование зон относительной непрерывности течения. Образующаяся система волн, как правило, интенсифицирует теплообмен на стенках каналов (на преграде) и влияет на устойчивость течения в целом. Наибольший интерес к указанному классу задач возник с появлением сверхзвуковых летательных аппаратов и двигательных установок, использующих сверхзвуковые сопла и воздухозаборники. К этому же классу задач можно отнести задачу о движении газа в резонаторе сверхзвукового газодинамического лазера, особенностью которой, как и в случае воздухозаборника, является наличие большого числа взаимодействующих между собой разрывов. Теоретические аспекты интерференции стационарных газодинамических разрывов всех типов, включая локальное определение их формы до и после взаимодействия, рассмотрены в [1_3].
В этой работе основное внимание сосредоточено на практической стороне вопроса, связанной с расчетом (моделированием) течений, содержащих разрывы.
Существенным моментом, упрощающим численное моделирование сверхзвуковых течений, когда среда находится в условиях, близких к нормальным, является то, что большую часть области течения занимает невязкий поток, а ударные волны, пограничные и сдвиговые слои оказываются локализованными. Во внутренних газодинамических течениях такая разделенность сохраняется в сравнительно коротких и гладких каналах. Вышесказанное позволяет применять на практике зональный подход, в рамках которого вся область течения разбивается на подобласти со специфической моделью течения в каждой из них. Данный подход при численном моделировании допускает, в частности, независимое совершенствование математических моделей в соответствующих подобластях такого течения. Что касается ударных переходов, то информацию о применимости тех или иных моделей для их описания можно найти, например, в [2]. Для большинства практических приложений детальное описание тонкой структуры ударной волны не является необходимым, в связи с чем под нее не выделяют специальной подобласти, схематизируя ее математической поверхностью.
При расчете указанного класса течений (точнее - их невязкого ядра), общепринято использование модели идеального совершенного газа, динамика которого в непрерывной части течения описывается классическими решениями уравнений Эйлера.
Численное моделирование разрывных течений идеального совершенного газа представлено двумя самостоятельными направлениями: методом сквозного счета (МСС) и методом выделения газодинамических разрывов (МВР), различать которые проще всего по наличию или отсутствию выделяемых поверхностей (ВП) в расчетной области. Разумеется, выделение поверхностей разрывов в той или иной задаче не является самоцелью, а продиктовано как физическими представлениями о фактической толщине ударного перехода, так и чисто математическими [4]. Введение в вычислительный процесс ВП приводит к существенному усложнению логики алгоритма, тем более если допускается взаимодействие их между собой и с границами расчетной области (как в этой статье).
Основное достоинство МСС - относительная простота конструирования численного алгоритма и его программной реализации и, как следствие этого, некоторая надежность. Фактическая точность, получаемая при использовании МСС, в большинстве случаев является удовлетворительной, в связи с чем данное направление активно развивается. Требования, предъявляемые к разностной схеме (РС) сквозного счета, противоречивы: с одной стороны, точное воспроизведение гладкой части решения, для чего, как правило, необходима глобальная интерполяция, с другой - правильная передача возмущений в случае разрывов параметров и (или) производных от них. Очевидно, что одинаково хорошо удовлетворить этим противоречивым требованиям невозможно, в силу чего универсального МСС не существует.
Ниже кратко описан один из представителей семейства МВР - маршевый метод расчета двумерных (плоских, осесимметричных) стационарных сверхзвуковых течений идеального совершенного газа с множеством разрывов [3], а также приведены результаты численного моделирования на его основе. Основу этого метода составляет оригинальный алгоритм, объединяющий достоинства МСС и МВР на основе адаптированной к газодинамическим особенностям комбинированной сетки с динамически изменяю-
щейся структурой, что делает возможным массовое выделение возникающих в моделируемом течении УВС из сильных и слабых разрывов, выявляя детальное устройство потока в соплах, каналах и струях.
Метод численного моделирования невязких сверхзвуковых течений. Сетка (полная сетка) состоит из комбинации двух подвижных компонентов: регулярного (R)
- разностной решетки и нерегулярного (N) - динамического (лагранжевого) (фрагмент такой сетки представлен на рис. 1). Первый компонент (R) образуется равномерным разбиением пространственного слоя (x = const; где x - временно-подобная (маршевая) координата) и согласован с положением внешних границ расчетной области (свободная и (или) твердая поверхность, ось или плоскость симметрии). Второй компонент (N) появляется при пересечении пространственного слоя траекториями выделяемых поверхностей. Решение в узлах данного компонента определяется уже парой векторов газодинамических переменных, поскольку допускаются разрывы величин. Узлы компонента N в общем случае движутся по отношению друг к другу и узлам решетки независимо и могут в процессе движения слипаться, разъединяться, перемещаться группами, в свою очередь группы могут проникать одна в другую. При этом всюду предполагается упорядоченность компонента N по координате у, которая при реализации алгоритма достигается своевременной послойной сортировкой.
Одиночный узел, соответствующий Группа узлов, соответствующая
i-й особенности m-й особенности
X ‘
У
2Д-узел
- ' ’ *
-о © СН& О О—^
° — компонент сетки (решетка) R Ф — компонент N
Группа узлов, соответствующая &й особенности
Рис. 1
Выделяемыми поверхностями могут являться фактические разрывы (сильные и слабые) всех существующих типов и направлений, а также фиктивные разрывы (просто характеристики) соответствующих семейств. По этой причине узлы компонента N кроме основной - порядковой, имеют дополнительную индексацию, определяющую как их принадлежность к той или иной группе узлов (группа может состоять и из одного представителя), так и класс (фактический или фиктивный разрыв) соответствующей данному узлу ВП.
Это позволяет отследить любые комбинации взаимодействий ВП и определить по маршевой координате х не только отдельные газодинамических разрывы, но и особенности, например, центрированных волн разрежения (ВР). При этом точное решение, справедливое для произвольного неравномерного течения лишь в центре такой ВР, проектируется в малой о-окрестности центра (о ~ h 2, где h =Ау - шаг решетки в физической плоскости (х,у)) на конечную группу равноотстоящих узлов N:
(Я/ },=1Х . = Я с N, и Я = N ,
1 № где к - количество лучей (ВП) в группе (например, в секторе разрежения), имеющей порядковый (по списку) но-
мер особенности, равный j (см. рис. 1, где j принимает значения i, т, к, а К - соответственно 1, 3, 3).
Число К зависит от интенсивности ВР, количества узлов решетки (компонента К), а также от желаемой степени разрешения внутренней структуры ВР. Известно, что первая (г = 1) и замыкающая (г = К) характеристики ВР являются слабыми разрывами (СЛР), поэтому соответствующие им ВП имеет смысл отделить от остальных ВП в данном секторе, например изначально присвоив им в качестве дополнительного индекса не порядковый номер особенности j, как остальным узлам в данной группе, а -j. Индексное множество 3 есть множество номеров (по ходу расчета) особенностей, образующих в текущий момент расчета нерегулярный компонент сетки. В связи с инициированием в ходе расчета новых особенностей, а также возможной фильтрацией существующих второстепенных ВП как 3, так и К динамически изменяются, при этом К (; фиксировано) может только уменьшаться. Для одиночных ВП К = 1, а дополнительный индекс может принимать как отрицательные, так и положительные значения в зависимости от того, является ли данная ВП фактическим или фиктивным разрывом соответственно.
Для нерегулярных узлов расчетного слоя (см. рис. 1) выписать дополнительные индексы для соответствующих ВП, располагая лишь информацией, представленной на рис. 1, невозможно, поскольку начальные сведения о тех или иных разрывах (ВП) потеряны, точнее на рис. 1 не присутствуют. Для одиночной в потоке центрированной ВР, возникающей на кромке сопла, естественная (начальная) расстановка дополнительных индексов может нарушиться уже после отражения первой характеристики ВР от противоположной границы расчетной области.
Следствием положения о несогласованности ВП с разностной решеткой является независимость координат ее узлов от положения разрывов (ВП), что в свою очередь позволяет независимо (в малом) интегрировать основные уравнения в подобластях, где решение является гладким, и в подобластях, содержащих разрывы (ВП). С этой целью, выбрав в качестве условной РС для расчета гладкой части течения класс явных симметричных трехточечных РС, выделим среди узлов решетки (К) узлы, в которых с помощью данной РС можно найти решение на следующем слое по маршевой координате х. Потребуем, чтобы шаблон условной РС не содержал ВП. Другими словами, выделим узлы решетки, имеющие слева и справа на сетке в качестве ближайших узлов регулярных «соседей». Узлы выделенного таким образом множества назовем дважды регулярными (2К) (см. рис. 1, второй узел слева). Заметим, что при реализации алгоритма такой послойный анализ узлов решетки проводится автоматически.
В качестве фактической РС для расчета газодинамических параметров в гладкой части течения (в 2К-узлах) может быть взята любая явная устойчивая РС второго порядка точности с шаблоном, вкладывающимся в шаблон условной РС. Поскольку в [3] подробно описано использование подобных РС для интегрирования газодинамических уравнений (уравнений Эйлера) в гладкой части течения, то дальнейшее его изложение считаем излишним.
В результате анализа узлов решетки с помощью условной РС на полной сетке появляется орнамент [3], со-
стоящим из регулярных узлов, не являющихся дважды регулярными (сюда могут быть причислены и граничные узлы), и собственно нерегулярных узлов (на рис. 1, по причине крупного разбиения области, орнаментом охвачен почти весь слой). Символически множество узлов, составляющих орнамент (окрестности ВП), можно записать как {(Я I 2К) + Щ}. Выбор РС для расчета газодинамических параметров в узлах данного множества, включая определение формы элементов ВП (в пределах шага Т по координате х; т = Ах), должен основываться в большей степени на требовании точности вычислений, чем на экономичности. Это положение можно обосновать следующими соображениями: а) желанием сохранить точность вычислений в окрестностях разрывов, в противном случае выделение разрывов было бы не актуальным; б) удельный вклад множества {(Я I 2Я) + Щ} по отношению к общему количеству узлов сетки ({Я + Щ}) на слое сравнительно невелик и уменьшается с измельчением разностной решетки для конкретной задачи.
С этой точки зрения, оптимально локальное применение сеточно-характеристического метода (СХМ). Форма элемента ВП может определяться как на основе дифференциальных условий динамической совместности (ДУДС) на разрывах [3], так и с помощью того же СХМ [1; 3]. Детальное описание этих процедур содержится в [3]. Там же подробно описан процесс выбора шага по маршевой координате х с учетом положения ВП, решение локальной задачи об интерференции разрывов (ВП) различного типа, а также механизм фильтрации второстепенных ВП в ходе расчета.
Моделирование газодинамических течений с разрывами. Представим численный расчет осесимметричной задачи о движении (торможении) газа (у = 1,4 для воздуха) в кольцевом сужающемся канале, имеющем излом верхней образующей в начальном сечении (рис. 2). Расчет выполнен на разностной решетке с 21 узлом как в случае использования МВР (рис. 2, а, б), так и МСС (рис. 2, в, г) применяется РС Лакса-Вендроффа).
Сделаем замечание, справедливое и для этого, и для других расчетов, приведенных ниже. Моделируемое те-
чение изображается на рис. 2 в виде линий уровня значений газодинамических величин (функций): —101о§ (давления), числа Маха, угла наклона линий тока к оси х и полного давления, причем маркировка линий уровня соответствует отрезку натурального ряда, если отсутствует дробная часть числа в маркере. Для удобства сопоставления результатов вычислений при расчетах, выполненных разными численными методами (МВР и МСС), линии уровня строятся в одном общем для обоих расчетов масштабе данной величины, при этом важно, что интерполяция значений величин через ВП (для МВР) не делается. Траектории ВП на рис. 2 представлены дискретно в виде последовательности точек, соответствующих расчетным слоям по маршевой координате х. Над расчетной областью выполнено аффинное преобразование (как правило, сжатие по оси х) с целью ее оптимального размещения в пределах рамки рисунка. По тем же соображениям внутренний цилиндр для осесимметричных кольцевых течений отсутствует. Для левых половинок ось у направлена от центра влево, для правых - от центра вправо. Ось х совпадает с осью (либо лежит в плоскости) симметрии течения и направлена снизу вверх таким образом, что начальное сечение (слой) располагается всегда внизу изображения.
Стационарная постановка задачи о торможении газа в подобном кольцевом осесимметричном канале вполне корректна и хорошо демонстрирует возможности методик МВР и МСС. Параметры в начальном сечении цилиндрического канала следующие: число Маха втекающего равномерного потока М = 3,0, нижняя граница в начальном сечении располагается на расстоянии 0,5 входного калибра от оси симметрии течения, верхняя - на расстоянии 1,5 входного калибра. Излом верхней стенки в начальном сечении Д0 = -5°. Для исключения режима маховско-го отражения скачка уплотнения цилиндр размещается на оси симметрии течения. Расчет автоматически останавливается при достижении моделируемым течением хотя бы в одной из точек сечения местной скорости звука.
Анализируя приведенные на рис. 2 расчеты, можно утверждать, что МВР обеспечивает на порядок более
высокое качество разрешения внутреннего устройства канального газодинамического течения, чем МСС. Дополнительные временные затраты на выделение одной изолированной ВП при этом сопоставимы со временем расчета нескольких регулярных точек слоя. Кроме того, решение, полученное МСС на более мелкой разностной решетке (201 узел, в данной статье оно не приводится), сводится к решению, представленному на рис. 2, а, б (МВР, 21 узел). Заметим, что в плоском случае точное решение данной задачи получается с помощью МВР уже на одной (!) ячейке разностной решетки. Если не принимать во внимание всплески, вызванные немонотонностью используемой в МСС схемой Лакса - Вендроффа, то результаты, полученные по обеим методикам, хорошо согласуются между собой. Исключение составляет значение полного давления (энтропии) (см. рис. 2, г, где присутствует чернота вдоль границы справа) на верхней граничной линии тока вследствие программной ошибки (в случае скачков выбирался не тот знак перед радикалом при нахождении корней алгебраического уравнения).
Однако данная ошибка остается локализованной и практически не влияет на конечный результат, получаемый МСС.
Приведем расчеты сверхзвуковых струй (рис. 3): плоской (рис. 3, а, б) и осесимметричной кольцевой (рис. 3, в, г). Все расчеты сделаны только МВР. Исходные параметры плоской струи: число Маха в выходном сечении профилированного сопла, дающего равномерный поток, М = 4,0; показатель изэнтропы газа у= 1,3. Струя истекает в затопленное пространство с нерасчетностью п = 10 (струя недорасширенная). Расчет выполнен на разностной решетке с 61 узлом. В расчете применялась фильтрация ВП и, поэтому «жизнь» внутренних характеристик (не СЛР) центрированной ВР ограничена моментом их касания противоположной границы расчетной области. Момент перехода первой характеристики ВР, являющейся СЛР, в сильный разрыв (с последующим увеличением его интенсивности) после ее отражения от плоскости симметрии и взаимодействия с последней характеристикой (также СЛР) и границей струи хорошо отслеживается по профилю полного давления.
ПЯККЛЯ СТРУЯ ПЛОСКАЯ СТРУЯ
Для осесимметричной кольцевой струи (см. рис. 3, в, г), истекающей из конического кольцевого сопла в затопленное пространство, исходные параметры следующие: нижняя граница (цилиндр) в начальном сечении располагается на расстоянии 0,5 входного калибра от оси симметрии течения, верхняя - на расстоянии 1,5 входного калибра. В начальном сечении распределение газодинамических параметров соответствует течению от источника с углом полураствора а = 10°. Расчет выполнен на разностной решетке с 201 узлом (хотя на самом деле необходимости в таком количестве узлов не было). Можно заметить, что в отличие от предыдущего случая сжатый слой струи формируется скачком уплотнения, образовавшимся из последней характеристики (СЛР) центрированной ВР.
В ходе всех расчетов контролировалась интегральная (по расходу массы) ошибка при переходе от одного расчетного слоя к другому, которая во всех случаях не превышала 0,05 %.
Выделение скачка уплотнения в вязком теплопроводном газе при больших числах Рейнольдса. В рамках модели вязкого теплопроводного совершенного газа при больших числах Рейнольдса рассмотрим задачу о взаимодействии скачка уплотнения (СУ) со сдвиговым слоем [6.. .8]. К данной задаче можно прийти, если в предыдущую задачу, связанную с множественными взаимодействиями газодинамических разрывов, добавить малую вязкость и теплопроводность среды. Тогда при больших числах Рейнольдса скачки можно по-прежнему рассматривать как разрывы непрерывности в газовой среде и идеализировать их математическими разрывами первого рода, в отличие от тангенциальных разрывов, которые должны рассматриваться уже как непрерывные сдвиговые слои с соответствующим их представлением на расчетной сетке. Таким образом, базовой (главной) и одновременно модельной задачей в этом случае будет задача о взаимодействии СУ со сдвиговым слоем, которая к тому же должна решаться быстро и эффективно (без привлечения полных уравнений Навье - Стокса). Более того, на этой задаче может быть изучен и общий механизм взаимодействия ударной волны с произвольными неоднородностями типа сдвигового и (или) температурного слоя.
кесипме7РИ*ия колиеат струя оаснгхтгмя колмсвля струя
Фактор вязкости - теплопроводности при решении данной задачи будем учитывать как в обычных, так и в дифференциальных соотношениях для СУ Кратко опишем применяемый в данной работе подход [6.. .8] и приведем результаты математического моделирования на его основе.
Приведем компактную запись обобщенных асимптотических дифференциальных соотношений для СУ в приближении сдвигового слоя (ОДСС) [6.8]:
а.
Ф
+е2
Ф
j =1...4
+ biKw + Cj (Фj ) + d(5/ y ) +
+ fj^j) + G = 0,
= (W, 0, p, h)T , i, j = 1k4
Ґ д \
e.. Ф .
¡J J
- V /
(1)
где
5 = 0(1), е2 = (Яе.)"1, Gi =£
Здесь
Н = h + № / 2; h = у / (у-1)р / р; у = ср/су
ц / ц^ = (h / hж)“, 1/2 < ю < 1 X / ср= ц / Рг
где № - модуль скорости; Н - полная энтальпия; р - давление; р - плотность; X - коэффициент теплопроводности; 0 - угол наклона линии тока к оси ОХ декартовой системы координат ХОУ; п - нормаль к линии тока. Ось ОХ является либо осью, либо лежит в плоскости симметрии течения. Газодинамические параметры (или производные) за СУ обозначаются символом Л. В (1) применено суммирование по повторяющемуся индексуj. Вектор G объединяет нелинейные слагаемые (произведения младших производных и кривизны). Матрицы A_F, зависящие от газодинамических величин по обе стороны СУ являются громоздкими и поэтому здесь не приводятся. Расчет величин за СУ (а следовательно, указанных матриц) может выполняться как с учетом, так и без учета фактора вязкости - теплопроводности с использованием классических условий на косом СУ
Система (1) содержит 9 неизвестных величин: 8 нормальных производных первого и второго порядка от газодинамических величин за СУ и его продольную кривизну К (в отличие от радиальной кривизны 1 /у в осесимметричном случае). Те же производные в невозмущенном сдвиговом слое (до СУ) считаются известными, что не умаляет общности подхода и вполне соответствует постановке задачи: распределение газодинамических величин поперек невозмущенного слоя может иметь либо аналитическое представление, либо подходящую параметризацию. Важно, что система (1) не замкнута: требуется дифференциальное условие за СУ В [6. ..8] показано, что наиболее универсальным из такого рода дополнительных условий за СУ является условие:
а - х =__^ х
т
Рд +,
Г s I
• Р
= 0.
4.
■(»')
м -1
Р'-'- = 0
(2)
где ^ - направление вдоль линии тока; % = ±1 - показатель семейства СУ; М - число Маха. В [7] доказано, что (2) (исключающее условие) с физической точки зрения эк-
вивалентно исключению краевого эффекта за СУ, приносимого догоняющими возмущениями. По отношению к решаемой задаче это допущение не является значимым, при этом упрощения уравнений (1) получаются существенными и позволяют свести задачу к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения (1) с учетом (2) подробно описаны в [8], поэтому перейдем непосредственно к процессу моделирования проникновения СУ в сдвиговый слой.
Моделирование взаимодействия скачка уплотнения со сдвиговым слоем. Представим сравнительные расчеты для плоского модельного сдвигового слоя (рис. 4). В качестве модели слоя бралась сверхзвуковая часть пограничного слоя (ПС) на теплоизолированной пластине с параметрами: Pr = 1, dp / dn = 0, Wn=yi_0 = 0, (dh / dn)n 0 = 0.
При построении профиля энтальпии h использовалось известное точное решение: H=h + W2 / 2 = const = Hro. Поскольку задача о течении в ПС не имеет своего характерного размера, то везде в дальнейшем под Rero будем понимать Re = ^W^ / |j,ro, где x - текущая координата, совпадающая с точкой падения СУ.
Текущие газодинамические параметры в невозмущенной части слоя перед СУ определялись по известным профилю скорости и параметрам равномерного внешнего набегающего невязкого потока, помеченного символом го. Автомодельный профиль продольной компоненты скорости сжимаемого ПС во всех расчетах задавался в виде полинома 4-й степени (метод Польгаузена) с непрерывным переходом по первой и второй производным от параметров указанного невязкого потока. Профиль малой по величине поперечной компоненты скорости (в данном случае угла n) рассчитывался по соответствующей толщине вытеснения.
Одной из целей данной работы являлась оценка действия фактора вязкости - теплопроводности на процесс взаимодействия СУ и слоя. В связи с этим возникла потребность в детальном анализе механизма влияния указанных факторов на окончательный результат. Как параметр (неявно), определяющий поперечные масштаб слоя и компоненту скорости, вязкость присутствует в настоящей математической модели взаимодействия всегда (даже при £2 = 0), в чем и состоит ее главное действие. Кроме этого, в настоящей модели вязкость присутствует (при £2 Ф 0) еще и как коэффициент (явно) в (1), однако соответствующие вязкие члены имеют более высокий, в сравнении с ее неявным вхождением, асимптотический порядок, отвечая лишь за дополнительный вязкий эффект в возмущенной задаче. Но насколько существенен этот вязкий эффект?
Конкретные значения безразмерных газодинамических параметров внешнего потока и значения параметров на плоскости симметрии, совместно определяющие невозмущенный слой, были следующими: Мго = 2,5; р = 1; Wro = 1 при у = 1 и Wy_0 = 9y_o= 0 при у = 0. При этом текущая энтальпия и давление определялись по соотношениям:
h = Нго-W V2, W = W(z), z = z(y), z e (0,1], y e (0,5T], p = pго, h „ = Wi/ [(y- 1)M ],
Hго = Hо = h го + W„72, pго = py=o = proh ro(Y-1) / Y.
В ходе расчетов изменялась величина е2 = (1 / Reгo) = ={0, ., 10-4}, величина начальной интенсивности падающего СУ была выбрана и полагалась постоянной
Т = т Г/100 , о/ -
Т Т * , I = 5 %, измеряемой в процентах от звуко-
вой (М = 1) интенсивности СУ J.
При численной реализации описанных в [8] методов пространственный шаг расчетной сетки полагался равным не более 0,001, что в сочетании со вторым порядком аппроксимации используемых разностных схем обеспечивало достаточную точность вычислений и гарантировало практическую сходимость. Расчет, как правило, останавливался при достижении СУ интенсивности J.
Существенным отличием данной работы от [8] является то, что фактор вязкости - теплопроводности учитывался не только в ОДСС (1), но и в соотношениях функции на разрыве, для чего в каждой точке СУ дополнительно решалась соответствующая нелинейная система методом Ньютона.
Профили скорости
На графиках (рис. 4, а, б) профилей скоростей №(ма-лая по величине поперечная компонента изображена пунктиром) и энтальпий h заметного различия между кривыми, соответствующими разным {го, 104} числам Reгo, не наблюдается. Видны лишь различия профилей этих параметров до СУ (невозмущенное течение) и за ним (кривые, соответствующие разным числам Reгo).
На графиках траектории СУ, углов наклона СУ к линии тока и кривизны СУ (рис. 4, в, г) возмущенные решения, соответствующие разным числам Reгo , также слабо различимы.
На графиках интенсивностей J и углов преломления в (рис. 4, д, е), наоборот, видно уже качественное различие в поведении кривых: Reгo ^ го (е2 = 0, более протяженные графики) и Reгo = 104. Но это существенное различие становится практически незаметным при достаточной (~20 %) интенсивности падающего СУ (эти графики приведены в [8]). Следовательно, с увеличением начальной
Профили энтальпии
Траектория СУ У(х)
У/наклона СУ к л/т. Крибизна СУ Кч7(х)
Профили интенсивности СУ
Профили д/преломления л/тока на СУ
Рис. 4
интенсивности падающего СУ происходит выход возмущенного течения на автомодельный режим, когда определенный выше вязкий эффект практически исчезает. При этом важно, что время расчета невязкого (е2 = 0) и вязкого (е2 = 10-4), более трудоемкого варианта задачи, значительно отличается, особенно при дальнейшем уменьшении числа Рейнольдса.
При малой начальной интенсивности СУ (< 5 %) и значительной вязкости (Reгo < 103) физический процесс проникновения в слой СУ сопровождается его быстрым рассасыванием (диффузией) с последующим вырождением. При этом графики интенсивностей, соответствующие мало отличающимся значениям е2, ведут себя по-разному. В физико-математической литературе такое поведение «соседних» решений принято называть бифуркацией (раздвоением) решений, однако какой-либо потери единственности решения в данном случае не происходит. С учетом того что в качестве Reгo в представленном исследовании выступает Re , данное явление будет иметь место и в случае близкого падения СУ к точке образования слоя при фиксированной физической вязкости потока.
Таким образом, сделаем следующие выводы:
- приведенные расчеты свидетельствуют о высокой разрешающей способности представленного МВР на грубых сетках при численном моделировании двумерных стационарных газодинамических течений с множеством разрывов;
- проведенные исследования показывают, что роль фактора вязкости - теплопроводности (в виде вязкого эффекта) может быть весьма значительной. В возмущенном решении задачи, кроме основной - автомодельной (газодинамической) ветви решения, присутствует еще и диффузионная ветвь, проявляющаяся при малых интенсивностях скачка и числах Рейнольдса. В последнем случае неполноценный (как в вихревой невязкой модели) учет малых вязкости и теплопроводности может привести к принципиально неверному представлению о физических основах процесса взаимодействия скачка со слоем.
Для практики важно, что рассмотренная в данной статье математическая модель позволяет в рамках единого вычислительного алгоритма учесть газодинамическую
и диффузионную стадии эволюции скачка в слое, чем достигается значительная экономия вычислительного ресурса (расчет занимает минуты или даже секунды). Кроме того, в данной постановке задачи сохраняется естественный (бесконечный, в отсутствии других возмущений) порядок гладкости решения в касательном к скачку направлении.
Библиографический список
1. Рождественский, Б. Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. М. : Наука, 1968. 592 с.
2. Гриффитс, У Ударные волны / У Гриффитс // Современная гидродинамика. Успехи и проблемы / под ред. Дж. Бэтчелора и Г. Моффата. М. : Мир, 1984. 501 с.
3. Адрианов, А. Л. Интерференция стационарных газодинамических разрывов / А. Л. Адрианов, А. Л. Старых,
B. Н. Усков. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1995. 180 с.
4. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / Н. Н. Анучина, К. И. Бабенко, С. К. Годунов и др. ; под ред. К. И. Бабенко. М. : Наука, 1979. 296 с.
5. Адрианов, А. Л. Численное исследование взаимодействия сверхзвуковой струи газа с плоской преградой / А. Л. Адрианов, А. А. Безруков, Ю. А. Гапоненко // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 4. С. 106-111.
6. Адрианов, А. Л. Дифференциальные соотношения на скачке уплотнения в вязком газе при больших числах Рейнольдса / А. Л. Адрианов // Математическое моделирование в механике : тр. семинара / ВЦ Сиб. отд-ния Рос. акад. наук. Красноярск, 1996. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 01.04.96, № 1052.
7. Адрианов, А. Л. О модельной кривизне скачка уплотнения в неравномерном потоке / А. Л. Адрианов // Вычислительные технологии. 2000. Т. 5, N° 6. С. 3-14.
8. Адрианов, А. Л. Аналитический подход в задаче проникновения скачка в сдвиговый слой / А. Л. Адрианов // Вестн. Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та им. акад. М. Ф. Решетнева : сб. науч. тр. / под ред. проф. Г. П. Белякова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Вып. 5. Красноярск, 2004.
C. 5-22.
A. L. Adrianov
THE SHOCK WAVE SCHEMATIZATION IN THE 2D INVISCID AND VISCOUS HEAT CONDUCTING FLOWS
Within the framework of model of the ideal perfect gas, the steady supersonic gasdynamicflows with many discontinuities are simulated. The method with not connected grid is applied. The adduced calculations demonstrate the high resolving power and efficiency of the given method.
Within the framework of model of the viscous heat conducting perfect gas (large Reynolds numbers) as main (basic), the steady problem about interaction of a shock wave with a shift layer is considered. The shock (discontinuity) thus also schematized, and the factor of viscosity - heat conduction is taken into account in usual and in differential relations. The analytical solution (in the extended sense) of a problem of penetration of a shock wave into the shift layer is received. Difference in behavior of shock waves of the large and small intensity is shown.
