Выдавливание слабого слоя из основания фундамента конечной величины Текст научной статьи по специальности «Физика»

Научно-технический и производственный журнал

-------ЖИЛИЩНОЕ ---

СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 621.6.072:624.151

З.Г. ТЕР-МАРТИРОСЯН1, д-р техн. наук, В.В. СИДОРОВ1, канд. техн. наук, А.З. ТЕР-МАРТИРОСЯН1, канд. техн. наук; А.В. МАНУКЯН2, д-р техн. наук

1 Московский государственный строительный университет (129337, г. Москва, Ярославское ш., 26) 2 ООО «Концерн МонАрх» (125284, г. Москва, Ленинградский пр., 31А, стр. 1)

Выдавливание слабого слоя из основания фундамента конечной величины

Приводится постановка и решение задачи о выдавливании слабого слоя из основания фундамента конечной ширины аналитическим и численным (МКЭ) методами. Приводятся формулы для определения начальной критической нагрузки на основание, а также формулы для определения скорости выдавливания слабого слоя и скорости осадки фундамента. В качестве расчетных для слабого грунта рассматриваются вязкопластические модели с незатухающей и затухающей скоростью по закону гиперболического синуса и тангенса, а также упругопластическая модель С.П. Тимошенко. Полученные аналитические решения рассчитываются с помощью ПК MathCAD. В статье решение поставленной задачи рассматривается также численно - с помощью метода конечных элементов. Дается сравнительная оценка аналитического и численного решений.

Ключевые слова: выдавливание, слабый слой, скорость осадки, вязкопластическая модель, касательное напряжение.

Z.G. TER-MARTIROSYAN1, Doctor of Sciences (Engineering), V.V. SIDOROV1, Candidate of Sciences (Engineering), A.Z. TER-MARTIROSYAN1, Candidate of Sciences (Engineering); A.V. MANUKYAN2, Doctor of Sciences (Engineering) 1 Moscow State University of Civil Engineering (26, Yaroslavskoye Shosse, 129337, Moscow, Russian Federation) 2 OOO «Concern MonArch» (31A, Leningradsky Avenue, 125284, Moscow, Russian Federation)

Squeezing of a Weak Layer from Sub-foundation of Finite Size

Formulation and solution of the problem about squeezing of the weak layer from the sub-foundation of finite width using the analytical and numerical methods are presented. Formulas for determining the initial critical load on the sub-foundation as well as formulas for determining the speed of squeezing of the weak layer and the speed of foundation settlement are presented. As design models for the weak soil, visco-plastic models with continuous and fading speeds according to the law of hyperbolic sinus and tangent as well as the elasto-plastic model of S.P. Timoshenko are considered. Analytical solutions obtained are calculated with the help of PK MathCAD. In the article, the solution of the set problem is also considered numerically, with the help of the finite element method. Comparative assessment of analytical and numerical solutions is made.

Keywords: squeezing, weak layer, settlement speed, visco-plastic model, shear stress.

Известно, что при наличии в пределах сжимаемой толщи основания фундаментов конечной ширины слабого слоя конечной толщины возникает необходимость количественной оценки возможного выдавливания слабого слоя и развития чрезмерных осадок основания (рис. 1). Очевидно, что выдавливание слабого слоя зависит от интенсивности нагрузки, приходящейся на фундамент и на слабый слой, а также что выдавливание начинается после достижения начальной критической нагрузки на фундамент Рн*, соответствующей предельному равновесию в определенном заданном участке слоя [1—4]. Выдавливание по всей длине слоя начинается после полной мобилизации сопротивления сдвигу по всей длине слоя, которому соответствует предельная критическая нагрузка на фундамент Рпр* [5-7].

Рис. 1. Принципиальные схемы выдавливания слабого слоя из толщи грунтов основания фундамента: 1 — конечной ширины; 2 — песчаной дамбы; 3 — котлована

Настоящая работа посвящена количественной оценке начальной Рн* и предельной Рпр* критической нагрузки на фундамент, а также осадки фундаментов при выдавливании слабого слоя, обусловленной его выдавливанием. Следует отметить, что аналогичная ситуация возникает в основании земляных дамб и под дном котлована.

Решение поставленной задачи рассматривается аналитическим и численным (МКЭ) методами с помощью ПК MathCAD и Р1_АХ^ в рамках плоской задачи (плоская деформация).

Постановка и решение задач аналитическим методом

Допустим: слой грунта ограниченной толщины 2h находится в пределах сжимаемой толщи грунтов между двумя сравнительно жесткими слоями в основании фундамента конечной ширины В = 2а на глубине ^ на фундамент действует равномерно распределенная нагрузка р (рис. 2); известны физико-механические свойства грунтов слабого слоя и основания по всей глубине сжимаемой толщи. Требуется определить: начальную критическую нагрузку Р *нач под фундаментом; величину и скорость выдавливания, а также осадку слабого слоя и соответствующую заданной интенсивности нагрузку на фундамент.

Подземное строительство

------ЖИЛИЩНОЕ ---

СТРОИТЕЛЬСТВО

Научно-технический и производственный журнал

р(кПа) В ггггггггт С

коэффициентом рассеивания нагрузки az, а| мостью вида:

Ь' Ь

где d - толщина верхнего слоя 2 (рис. 2). Тогда получаем:

L=2l=2(a+dtgX).

(2)

Примем, что массив грунта в пределах ABCDx1 м (рис. 2) жестко смещается вниз в процессе выдавливания слабого слоя в стороны от центра. При этом на участках АВ и CD происходит взаимное смещение грунта в слое 2 и возникают касательные напряжения + с, где

у - удельный вес слоя (2); г - расстояние от дневной поверхности, причем тотальная сдвиговая сила

Td=yd2-tg^-+cd.

(3)

При выдавливании слабого слоя на контакте с верхним и нижним жесткими слоями также возникают касательные на-

пряжения т^, которые в центре (х = 0) равны нулю из-за отсутствия перемещения слоя, причем они растут до конечного максимально значения при х = ±/. В первом приближении примем, что эти напряжения растут от центра прямолинейно:

т(±й, х)=Кпх,

(4)

У///////////////У У///////////////////////А

Рис. 2. Расчетная схема основания фундамента конечной ширины, в составе которого находится слабый слой (1) конечной толщины 2h и длины L=2l (Ь>>2.И)

Отметим, что такая постановка задачи отличается от известной постановки задачи Прандтля и других [8-12] тем, что в них на границах слабого слоя (у = +И) задана скорость уменьшения толщины слабого слоя, причем нормальные напряжения распределены по треугольнику, а в работе [12] - по параболе. В настоящей работе принимается, что касательные напряжения распределены по треугольному закону 1х=Кн х. Кроме того, в качестве расчетной для грунтов слабого слоя рассматривается упруговязкопластическая модель с пределом двухпараметровой теории прочности Мора-Кулона (трение ф + сцепление с).

На рис. 2 представлена расчетная схема основания фундамента конечной ширины (Ь), в составе которого на глубине d находится слабый слой конечной толщины (2И) и большой длины (7=21), причем 7>>2И.

Исходные положения и уравнения

Длина слабого слоя 7 конечной толщины 2Н<<Ь может быть определена в первом приближении через угол распределения напряжений X (рис. 2), который связан с табличным

—' зависи-

где Кй - коэффициент прямой пропорциональности, кН/м3.

Отметим, что в задаче Прандтля [9-10] при выдавливании пластического слоя между двумя жесткими плитами принимается т(±й, х)=соп81. В аналогичной задаче о выдавливании идеально-вязкого слоя Надаи [12] принимает прямолинейную зависимость вида (4).

В качестве расчетной для слабого грунта Прандтль принимает однопараметровую теорию прочности Шлей-хера-Мозеса, когда предел прочности хТ=с=сТ/2, где От - предельное значение интенсивности напряжений о,-; с - сцепление грунта.

В настоящей работе в качестве расчетной для слабого слоя принимается нелинейный закон вязкопластического течения с пределом прочности, описываемым двухпараме-тровым уравнением Мора-Кулона в виде:

■ з)

в"1 Ф = 77-ч. -п т (5)

где ф, с - параметры теории прочности Мора-Кулона.

Или в виде:

Т^ = Ог^ф + С. (6)

Из условия несжимаемости слабого слоя ёх+Ег=0 следует, что ох=ог=^ в любом сечении х < ±1. Кроме того, из условия равновесия элементарной длины слоя dx (рис. 3) следует, что:

x(±h,x)-h[§-[

(7)

В предположении треугольного распределения касательных напряжений (4) в сечениях x = const из (7) следует:

rdq

, dx

x*z =

(8)

Интегрирование (7) с учетом (4) приводит к выражению:

Л

~ (9)

2й

где С - постоянная интегрирования, определяемая из условия q(+l)=yd. Тогда получаем:

Ко а7 -А I К012'

q(x) = ^(l2-x2)+yd=-2h

/2

+yd. (10)

При х = 0 получаем максимальное значение qmax(x) в виде:

2

q(0) = ^-+yd. (11)

Из (10) следует:

q'(x) = -K0f

Подставив это значение q'(x) в (8), получим: tzx = -K0z-T-.

(12)

(13)

Научно-технический и производственный журнал

Рис. 3. Расчетная схема для определения условия равновесия элементарной длины слабого слоя dx (1) с указанием значений tz и u(x, z) в сечениях x = const

Из условия равновесия массива ABCD (рис. 1) без учета ^(х±1) следует:

1 \ К 1

pb+2ydl=2jq(x)dx=2 п

2Кп1ъ

2 h

1-

iL

312

+у-d-l\ =

Отсюда получаем неизвестное К0: _ ЪкрЬ

Лп — -з ■ 21

Подставляя это значение К0 в (13) получаем:

тхг =

Ър-bx-z.

q(x)

_ Ър-Ь 41

21

Л

+ y-d.

(14)

(15)

(16) (17)

xz

-3 pbh 2l2 .

(18)

. , 3р' ■ bh yrftg(p+c = 2h/2 .

(19)

, (yrftgcp+c)-2r

P H = —

Рис. 4. Конечно-элементная деформированная модель после приложения нагрузки

Определение начальной и предельной критической нагрузки на фундамент

Из приведенного решения поставленной задачи следует, что максимальное значение касательного напряжения возникает в слабом слое в крайних точках с координатами

X = ±1, у = ±Н\

Сравнивая это напряжение с предельным значением касательного напряжения в точках х = ±1, у = ±h по формуле (6), с учетом д(х)=стг(х) получаем:

Отсюда следует, что начальная критическая нагрузка будет равна:

(20)

ъън

Для определения предельной критической нагрузки следует полагать, что по всей горизонтальной поверхности слабого слоя 21 х1 м полностью мобилизовано сопротивление сдвигу грунта, т. е. оно равно:

Рис. 5. Изополя горизонтальных перемещений массива грунта после нагружения

Однако такое состояние может возникнуть лишь на определенном участке х<х<1, так как в (21) правая часть больше левой. Для определения х следует приравнять левую и правую части уравнения (21). Подставив значения д(х) из (17), получим квадратное уравнение относительно х:

ЪрЪ ЪрЬ ( уТ\

-^JT■x■h = -^-\l—^J■të^p + yd■të^? + c. (22)

Подставляя полученное значение х в исходное уравнение (22), можно получить значение максимальной нагрузки д(х).

Нахождение скорости выдавливания слабого слоя связано со значительными трудностями. Это обусловлено билинейной зависимостью скорости угловой деформации Бингама:

у = (х-х*)/Л. (23)

Поэтому для определения скорости выдавливания удобнее воспользоваться другими моделями.

Определение скорости выдавливания слабого слоя с незатухающей скоростью

Рассмотрим случай вязкопластического течения слабого грунта с незатухающей скоростью по закону гиперболического синуса:

у = у0-5Й(т/т0), (24)

txz(y = ±h) = q(x)-tgq> + c.

(21) где т0 и у0 - экспериментальные параметры.

Подземное строительство

------ЖИЛИЩНОЕ ---

строительство

Научно-технический и производственный журнал

а б

ш ^ К

к

РИам: {Л5р|агатгпЬ Ри:, (■,)1п! ир 5,П1} -или)

мастит *аие = ОЛ-Ч:: т МЩтип \'г]|и* ■ 0г0743б т

сагъезкт (ка1ес! ир огогоо итег)

Мастит Уа1це = к^/т3 РФШтит уа1ие = -?5,05 кн/т1

Рис. 6. Эпюры перемещений и напряжений в слабом слое по оси г: а — эпюра изменения горизонтальных перемещений (и) в слабом слое по высоте (ось г); б — эпюра изменения касательных напряжений тг (в программе обозначение — аху) в слабом слое по высоте (ось г)

Рис. 7. Эпюра касательных напряжений тхг (в программе обозначение — аху) и напряжений в слабом слое вдоль оси Х

Эта зависимость представляет гладкую кривую и не приводит к образованию твердого ядра в середине выдавливаемого слоя. Однако учитывает переменность скорости выдавливания слоя по Хи по Z, так как хХ1=/(х, (16). Подставляя значение т^ из (18) в (24), получим:

ЧхГЧъ'8к

2/3-т

(25)

О У

Подставив это значение у^ в известное соотношение,

й(х)=-у йг,

получаем:

ЪрЬх-1

ч 2/4 у

/к.

Значение этого интеграла известно [10] и равно:

м=-Уо"

2/4

ЪрЬх

•ей

ЪрЪхг

+ С,

(26)

(27)

(28)

где С - постоянная интегрирования, определяемая из условия при г = И, й(.г=0) = 0. Тогда получаем:

и = -

Уо-2Г-т0

ЪрЬх

, ЪрЬхк , ЪрЪх£ сп —5— - сп

2/3-хп

2/3-хп

(29)

10 ы 10 у

Максимальную скорость получим при г =0. Среднюю скорость выдавливания в любом сечении 0<х<1 можем определить по формуле:

ь

— 1

й(z)=J|й(z)dz =

1 Уо • 2/3 т '

ЪрЬх

Иск

ЪрЬхИ 21 -х0 ЪрЪхЬ.

ъ — _ , * Sfl -

2/-т„ 3 рЬх

2/3-т„

(30)

Средняя скорость сокращения толщины слабого слоя по длине 21 равна:

(31)

Выражение (31) может быть решено с помощью математических программ типа MathCAD.

Для определения скорости осадки слабого слоя у(х), которая равна скорости осадки фундамента Sf, следует воспользоваться равенством скоростей горизонтальной и вертикальной деформаций ех = ег, тогда получаем:

или

= и(х)- (А//), 5>=й (*)(*//).

(32)

(33)

Определение скорости выдавливания слабого слоя с затухающей скоростью

В случае вязкопластического течения с затухающей скоростью по закону гиперболического тангенса:

(34)

у = у0-й(т/т0)

получим:

21 -т„

где С - постоянная, определяемая из условия м=0 при z=h, т. е. получаем:

Уо • 21 х г

ЪрЬх

1п ей

Ъpbxz / ^ ЪрЬхк

2/

21-х

о -I

(36)

Средняя скорость выдавливания слабого слоя в этом случае можно определить вычитанием интегралов с помощью MathCAD:

2/Ч?

Ьей^/ей3^ . 21 -т0/ 21 -х0.

(37)

Определение осадки фундамента с учетом выдавливания слабого слоя и упругопластических свойств грунта

Рассмотрим случай, когда слабый слой обладает упру-гопластическими свойствами, описанный в уравнении С.П. Тимошенко в виде:

*

т„

_ А*. _

'Х?

у _ _

Х7 £ ' т

т

хг ж

(38)

где определяется по (6), а т,^ по (16).

Научно-технический и производственный журнал

-------ЖИЛИЩНОЕ ---

строительство

Ч

1 S,

\

\ -

\

\

\

\

\

Chart 1 S

— Н19773(C) \ \

\

\

1мя«е(]

Рис. 8. Графики вертикальных перемещений точек на кровле слабого слоя: т. А — в центральной части, т. С — в краевой точке

СМЗ ШНЭТСЕ

-

>

М В1 О J 4 i Si u ij U и и

ГМ?эдг []

Рис. 9. Графики горизонтальных перемещений точек на крайней поверхности слабого слоя: т. В — в центральной части по глубине, т. С — в краевой точке по глубине

В этом случае можем определить величину смещения слабого слоя и(х) и соответствующую осадку фундамента в зависимости от приложенной нагрузки. Горизонтальные перемещения в сечениях 0<х<1 определяем по формуле:

где

. _3pbx

!_ г Azdz Bz

21

3-, B=A/[q(x)Xg4 + id-Xg4 + c\

Интегрирование (39) дает:

(39)

(40)

(41)

где С - постоянная интегрирования, определяемая из условия и(х, г) = 0 при z=h:

Среднее перемещение в сечениях 0<x<l равно:

(42)

™ " Z В2

2В В

ЧШ"1}^-1»

.А.

hG

1

¿К-в-h

в

2В

(43)

— 1 — u(x) = -r\u(z)dx.

1 о

(44)

Sf=v(x)=ii(x)(h/l).

(45)

Выдавливание упрочняющегося слабого вязкого слоя

В этом случае скорости угловой деформации слабого слоя будут определяться зависимостью вида:

г«(0=т«/л(0,

(46)

где т|(?) - изменяющаяся во времени вязкость слабого слоя.

В случае упрочнения слабого слоя в процессе выдавливания можем принять, что вязкость меняется во времени по зависимости вида:

п(0=л„Ч

(47)

где Т10 - вязкость при t = tl» 0.

Подставляя значение у^ в (26), после интегрирования:

(48)

Подставляя значения А и В из (40) в (43), получим выражение для среднего перемещения в любом сечении 0<х<1. Интегрируя среднее перемещение, можем определить й(х) средние перемещения по длине слабого слоя 0<х<1:

Отсюда следует, что при z = 0 и(х,.г) = «г , а при Z=h й(х,г) = 0.

Интегрируя это уравнение по времени t:

2 ГЦ о 1

Объем выдавливаемого слоя через кратные сечения слабого слоя (х = ±1) можно определять интегрированием (49) в пределах г =

(49)

n(t\-2 Pbh 11, t

(50)

Через объем вытесненного грунта можно определить осадку слоя и равную ей осадку фундамента:

Величину осадки фундамента в этом случае можно определить по формуле:

5/(0 =

<2(0

(51)

где 0(0 - объем выдавливаемого слабого слоя, определяемого по (50).

Подземное строительство

------ЖИЛИЩНОЕ ---

строительство

Научно-технический и производственный журнал

Напряженно-деформируемое состояние (НДС) основания фундамента конечной ширины при наличии слабого слоя в сжимаемой толще численным методом (МКЭ)

Для количественной оценки НДС основания фундамента конечной ширины с учетом слабого слоя в составе сжимаемой толщи численным методом (МКЭ) воспользуемся ПК PLAXIS 2D в рамках плоской задачи (плоская деформация) и в соответствии с расчетной схемой, представленной на рис. 1. В качестве расчетной для слабого несжимаемого грунта применяем упругопластическую модель Кулона-Мора, а для верхнего и нижнего слоев линейно-деформируемую модель.

На рис. 4-9 представлены результаты численного моделирования НДС основания в соответствии с расчетной схемой (рис. 1), а также другие результаты для различных точек на вертикальных и горизонтальных границах слабого слоя. На рис. 6 представлены эпюры горизонтальных перемещений и касательных напряжений в слабом слое, которые имеют схожий характер с принятыми в аналитическом решении (рис. 3).

Для моделирования процесса просадки массива в рамках ABCD (рис. 1) использована поверхность скольжения по линиям АВ и CD, полагая, что при скольжении реализуется остаточная прочность, от пиковой прочности. Для этого используются интерфейсные элементы, которые позволяют в различной степени моделировать остаточную прочность. Это позволяет учитывать степень мобилизации сил трения по этим поверхностям на развитие процесса сдавливания слоя и осадки фундамента в зависимости от интенсивности нагрузки на фундамент.

Выводы.

Аналитически получены выражения для определения скорости и величины выдавливания слабого слоя из основания с учетом упругопластических свойств, изменяющейся вязкости.

Приведены зависимости для определения начальной критической и максимальной нагрузок на кровлю слабого слоя в основании с учетом наличия в основании слабого слоя.

Принятые в аналитических решениях формы перемещений слабого грунта и распределения напряжений в нем соответствуют формам, полученным методом конечных элементов в ПК PLAXIS 2D.

Список литературы

1. Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов. М.: АСВ, 2009. 550 с.

2. Тер-Мартиросян З.Г. Реологические параметры грунтов и расчет оснований сооружений. М.: Стройиздат, 1990. 200 с.

3. Ухов С.Б. Механика грунтов, основания и фундамента. М.: Высшая школа, 2007. 561 с.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. СПб.: ЛАНЬ, 2009. 608 с.

5. Тер-Мартиросян З.Г., Тер-Мартиросян А.З., Сидоров В.В. Начальное критическое давление под пятой круглого фундамента и под пятой буронабивной сваи круглого сечения // Естественные и технические науки. 2014. № 11-12 (78). С. 372-376.

6. Тер-Мартиросян З.Г. Напряженно-деформированное состояние в грунтовом массиве при его взаимодействии со сваей и фундаментом глубокого заложения // Вестник МГСУ. 2006. № 1. С. 38-49.

7. Тер-Мартиросян З.Г., Тер-Мартиросян А.З., Абдул Малек А.С.М. Напряженно-деформированное состояние двухслойного основания с преобразованным верхним слоем // Вестник МГСУ. 2008. № 2. С. 81-95.

8. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов. М.: Высшая школа, 1978. 447 с.

9. Гоффман О., Закс Г. Введение в теорию пластичности для инженеров. М.: Госиздат машиностроительной литературы, 1957. 279 с.

10. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

11. Маслов Н.Н. Основы инженерной теории и механики грунтов. М.: Высшая школа, 1982. 511 с.

12. Надаи А.А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Мир, 1969. Т. 2. 863 с.

References

1. Тег-Martirosyan Z.G. Mekhanika gruntov [Mekhanik of soil]. M.: ASV, 2009. 550 p. (In Russian).

2. Ter-Martirosyan Z.G. Reologicheskie parametry gruntov i raschet osnovanii sooruzhenii [Rheological parameters of soil and calculation of the bases of constructions]. M.: Stroyizdat, 1990. 200 р. (In Russian).

3. Ukhov S.B. Mekhanika gruntov, osnovaniya i fundamenta [Mechanics of soil, basis and base]. M.: Vysshaya shkola,

2007. 561 p. (In Russian).

4. Bronstein I.N., Semendyaev K.A. Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashchikhsya vtuzov [The reference book on mathematics for engineers and pupils of technical colleges]. Sankt-Peterburg: LAN', 2009. 608 p. (In Russian).

5. Ter-Martirosjan Z.G., Ter-Martirosjan A.Z., Sidorov V.V. Initial critical pressure under the heel of the round foundation and bored piles under the heel of round section. Estestvennye i tehnicheskie nauki. 2014. No. 11-12 (78). pp. 372-376. (In Russian).

6. Ter-Martirosjan Z.G. Stress-strain state in a ground massif and its interaction with the pile and deep foundations. Vestnik MGSU. 2006. No. 1. pp. 38-49. (In Russian).

7. Ter-Martirosyan Z.G., Ter-Martirosyan A.Z., Abdoul Whitebait A.S. M the Intense deformed condition of the two-layer basis with the transformed top layer. Vestnik MGSU.

2008. No. 2, pp. 81-95. (In Russian).

8. Vjalov S.S. Reologicheskie osnovy mehaniki gruntov [Rheological basics of soil mechanics]. Moscow: Vysshaja shkola. 1978. 447 p. (In Russian).

9. Goffman O., Zaks G. Vvedenie v teoriyu plastichnosti dlya inzhenerov. [Introduction to the theory of plasticity for engineers]. M.: Gosizdat mashinostroitel'noi literatury, 1957. 279 p. (In Russian).

10. Kachanov L. M. Osnovy teorii plastichnosti. [Bases of the theory of plasticity]. M.: Nauka, 1969. 420 p. (In Russian).

11. Maslov N. N. Osnovy inzhenernoi teorii i mekhaniki gruntov [Bases of the engineering theory and mechanics of soil]. M.: M.: Vysshaya shkola, 1982. 511 p. (In Russian).

12. Nadai A.A. Plastichnost' i razrushenie tverdykh tel. [Plastichnost and destruction of solid bodies]. M.: Mir, 1969. V. 2. 863 p. (In Russian).