Вычислительный алгоритм для моделирования микрополярных тонких пластин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетнеескцие чтения. 2015

УДК 539.37

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ

ТОНКИХ ПЛАСТИН*

М. П. Варыгина

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: vmp@icm.krasn.ru

Для исследования динамических процессов в микрополярных пластинах и оболочках, широко применяющихся в аэрокосмической промышленности, разработаны эффективные алгоритмы для численной реализации математических моделей несимметричной теории упругости, учитывающих вращательные степени свободы частиц материала.

Ключевые слова: микрополярная теория упругости, динамика, пластины и оболочки.

NUMERICAL ALGORITHM FOR MODELING MICROPOLAR THIN PLATES

M. P. Varygina

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: vmp@icm.krasn.ru

To research dynamic processes in micropolar plates and shells widely used in aerospace industry effective numerical methods are developed for numerical implementation of mathematical models of nonsymmetric elasticity theory taking into account rotational degrees of freedom of particles.

Keywords: micropolar elasticity theory, dynamics, plates and shells.

Введение. Тонкостенные конструкции, такие как пластины и оболочки, широко используются в авиакосмической промышленности в качестве основных структурных элементов. Структура - один из важнейших показателей качества материалов, непосредственно влияющий на их прочностные характеристики. В зависимости от типа материала и масштаба исследований в практических задачах требуется учитывать структуру нано-, микро- или мезоуровня. Классическая теория сплошных сред не учитывает микроструктуру материала, для ее описания необходимо построение и внедрение новых математических моделей микрополярных сред.

Вопросы численной реализации моментной модели в плоском и пространственном случаях рассматриваются в работах [2; 3]. В настоящей работе приводится вычислительный алгоритм для моделирования микрополярных тонких пластин.

Математическая модель. В модели микрополярной среды кроме поступательного движения рассматриваются независимые малые повороты частиц, а наряду с тензором напряжений вводится несимметричный тензор моментных напряжений. Полную систему уравнений, учитывающую малые повороты частиц, составляют уравнения движения, кинематические соотношения и обобщенный закон линейной теории упругости [1]:

р v = Vt, j ra = Vm - 2ст х, л = уу + ю, М = Vrara, ст = Х (I: Лs)I + 2цЛs + 2аЛа, m = ß(I:Ms)I +2yMs + 2еМа

(1)

где V - скорость движения среды; ю - угловая скорость; с - тензор напряжений; т - тензор моментных напряжений; р - плотность среды; ] - постоянная, характеризующая инерцию частицы; X, д, а, в, у, е - феноменологические параметры упругости. Верхние индексы 5 и а служат для обозначения симметричной и антисимметричной частей тензора, через сх обозначен вектор антисимметричной составляющей тензора с.

Систему уравнений, описывающих поведение тонкой микрополярной пластины, полученную из системы уравнений (1) на основе метода гипотез, разработанного в [4; 5], в предположении малости толщины пластины h, можно привести к симметричной форме

л ди=В1 ди+в 2 ди+ди,

dt

dxj

дх2

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00130).

относительно вектор-функции и, включающей в себя компоненты линейных и угловых скоростей частиц, а также компоненты силовых и моментных напряжений. Матрицы коэффициентов системы А, В1, В2 симметричны, матрица д антисимметрична. Матрица А положительно определена, и система уравнений является гиперболической по Фридрихсу. Для такой системы выполняется закон сохранения энергии

Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

д(UAU) _ d(UBlU) + d(UB2U)

dt

dx1

дх2

из которого следует корректность постановки задачи Коши и краевых задач с диссипативными граничными условиями.

Вычислительный алгоритм. Алгоритм численного решения задачи основан на методе двуцикличе-ского расщепления по пространственным переменным и времени. Процедура расщепления состоит из пяти этапов, приводящих к решению одномерных систем:

dU1 dt _ B1 dU . dx1 , U 1(t, x) _ U(t, x),

dU2 dt _ B2 dU2 dx2 -, U2(t,x) _ U 1(t + t/2,x),

dU3 dt _ QU3, U\t,x) _ U2(t + t/2,x),

dU4 dt _ B2 dU4 dx2 -, U4(t + t/2,x) _ U3(t + t,x),

dU5 dt _ B1 dU5 dx , U5(t + t/2,x) _ U4(t + t,x).

Искомое значение и^ + т, х) = и + т, х). На первом этапе решается одномерная задача в направлении XI на интервале времени (/; t + т/2) с помощью явной монотонной разностной схемы Годунова типа «предиктор-корректор». На втором этапе аналогично решается одномерная задача в направлении х2. На третьем этапе к системе обыкновенных дифференциальных уравнений применяется неявная разностная схема Кранка-Николсон с полным шагом по времени:

A

Um+1 — Un

_ Q

Um+1 + Um

где т - номер шага по времени. Четвертый и пятый этапы - этапы пересчета задачи в направлениях х2 и х\ соответственно на интервале времени ( + т/2; t + т). Рассматриваемый метод двуциклического расщепления обеспечивает устойчивость численного решения при выполнении условия устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви.

Библиографические ссылки

1. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28, вып. 3. С. 401-408.

2. Sadovskii V., Sadovskaya O., Varygina M. Numerical solution of dynamic problems in couple-stressed continuum on multiprocessor computer systems // International Journal of Numerical Analysis and Modeling. Series B. 2011. Vol. 2, no. 2-3. P. 215-230.

3. Варыгина М. П., Киреев И. В., Садовская О. В., Садовский В. М. Программное обеспечение для анализа волновых движений в моментных средах на многопроцессорных вычислительных системах // Вестник СибГАУ. 2009. Вып. 2 (23). С. 104-108.

4. Саркисян С. О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин со свободным вращением и особенности их свободных колебаний // Акустический журнал. 2011. Том. 57, № 4. С. 461-469.

5. Sargsyan S. O. General theory of thin plates on the basis of nonsymmetric theory of elasticity // Mechanics of solids. 2012. Vol. 47, no. 1. P. 119-136.

References

1. Palmov V. A. General equations of nonsymmetric elasticity theory // Applied mathematics and mechanics. 1964. Vol. 28, no. 3, рр. 401-408.

2. Sadovskii V., Sadovskaya O., Varygina M. Numerical solution of dynamic problems in couple-stressed continuum on multiprocessor computer systems // International Journal of Numerical Analysis and Modeling, Series B. 2011. Vol. 2, no. 2-3, рр. 215-230.

3. Varygina M. P., Kireev I. V., Sadovskaya O. V., Sadovskii V. M. Software for the analysis of wave motions in moment media on multiprocessor computer systems // Vestnik SibGAU. 2009. Vol. 2 (23), рр. 104-108.

4. Sargsyan S. O. General theory of micropolar elastic thin plates with independent rotation and particular properties of theirs free oscillations // Acoustic journal. 2011. Vol. 57, no. 4, рр. 461-469.

5. Sargsyan S. O. General theory of thin plates on the basis of nonsymmetric theory of elasticity // Mechanics of solids. 2012. Vol. 47, no. 1, рр. 119-136.

© Варыгина М. П., 2015