Вычислительные свойства функциональных апостериорных оценок для стационарной задачи реакции-диффузии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.632.4 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 1

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ АПОСТЕРИОРНЫХ ОЦЕНОК ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ*

М. А. Чурилова

С.-Петербургский государственный политехнический университет, Российская Федерация, 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29

Рассматривается задача с условием типа Дирихле на границе:

-^(АУи) + р2и = f в П,

и = ио на дП,

где П — ограниченная связная область в К2 с границей дП, непрерывной по Липшицу, р2 — коэффициент реакции, правая часть f € Ь2(П), ио € W1(П), граничное условие понимается в смысле оператора следа. Матрица А = {aij }^з=1,2 симметричная, ее коэффициенты могут терпеть разрыв в рассматриваемой области. Также предполагается, что существуют положительные константы а1 и а2, такие что

а1 |п|2 ^ Ап • п < а2 |п|2, ^ € К2-

Функциональные мажоранты оценивают энергетическую норму погрешности |[и - ^]|2 := |||У(и - V)|||2 + ||р(и - ^)||2,

где

|||У(и - V)|||2 = j АУ(и - V) • У(и - V) ¿ж, О

а ||р(и - V)! —стандартная норма в пространстве Ь2(П). Приближенное решение задачи V € ио + Уо, где Уо = 2(П) —подпространство функций из пространства Соболева W1(П), обращающихся в ноль на границе области в смысле оператора следа.

Рассматриваемая комбинированная оценка вычисляется по формуле

|[м-г)]|2 = (1 +/3)\\\АУу - у\\\1 + |

О

и справедлива для любого у € У := Н(П, Шу) и в > 0, где

Н(П, Шу) = {д € £2(П, К2) € Ь2(П)}. За гп^, у) обозначено выражение го^, у) = f - р^ + divy, норма

|||у|||? = | А-1у • у^ж.

О

Константа С представляет собой постоянную в известном неравенстве

|И| ^ С|||Уад|||, € Уо

и может быть оценена с помощью константы из неравенства Фридрихса.

В статье доказаны основные вычислительные свойства комбинированной функциональной апостериорной оценки в). Доказана сходимость последовательности оценок, вычислен-

ных на последовательности конечномерных подпространств, к энергетической норме погрешности. Обоснован выбор индикатора погрешности, необходимого для реализации адаптивных алгоритмов. Библиогр. 10 назв.

Ключевые слова: функциональные апостериорные оценки, стационарное уравнение реакции-диффузии, адаптивные алгоритмы.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00531-а).

Введение. На рубеже ХХ-ХХ1 веков сформировалось отдельное направление исследований, ориентированное на получение явно вычисляемых глобальных оценок погрешности приближенных решений и на анализ локального распределения ошибки по расчетной области. Эти данные существенны при построении адаптивных алгоритмов в методе конечных элементов. Хотя исследования ведутся достаточно интенсивно, теоретическое обоснование большинства разработанных за это время подходов проведено в предположениях об особых свойствах приближенного решения (см., например, [1-3] и цитируемую там литературу).

В данной работе исследуется более универсальный функциональный подход, который возник в середине 1990-х годов. Он позволяет вычислять гарантированную оценку энергетической нормы погрешности для широкого круга краевых задач (см. [2] и [4]). Подход основывается, в частности, на преобразовании интегральных тождеств, лежащих в основе обобщенной постановки задачи. Вычисляемая мажоранта погрешности является функционалом, зависящим от приближенного решения задачи, исходных данных (геометрия области, правая часть, коэффициенты и т. п.) и свободных переменных, правильный выбор которых позволяет повысить качество оценки. Функциональная оценка применима к произвольным приближенным решениям; единственным требованием является конформность аппроксимации.

В данной работе подробно рассматриваются функциональные апостериорные оценки для стационарной задачи реакции-диффузии, полученные в работе [5]. Доказываются вычислительные свойства наиболее универсальной комбинированной оценки, обосновывается выбор индикатора погрешности. Теоретические результаты хорошо согласуются с численными экспериментами, в том числе для задач с разрывом первого рода в коэффициентах уравнения, опубликованных в статье [6].

1. Функциональные апостериорные оценки для стационарной задачи реакции-диффузии. Рассмотрим задачу с условием типа Дирихле на границе:

Г -^у(АУи) + р2и = / в П, I и = ио на дП,

где П — ограниченная связная область в М2 с границей дП, непрерывной по Липшицу, р2 —коэффициент реакции, правая часть / € Ь2(П), ио € '¡(П), граничное условие понимается в смысле оператора следа. Пространство Лебега Ь2(П) —пространство функций, суммируемых с квадратом в области П. Матрица А = {а^ 1^=1,2 симметричная, ее коэффициенты могут терпеть разрыв в рассматриваемой области. Также предполагается, что существуют положительные константы «1 и «2, такие что

а.1 |п|2 < Ап ■ п < «2|п|2, Уп € М2. Обобщенное решение задачи и € V = ио + Уо определяется интегральным тождеством

J(АУи ■ V— + р2ию) йх = J йх, У— € Уо, (2)

п п

где Уо = '2(П) —подпространство функций из пространства Соболева '¡(П), обращающихся в ноль на границе области в смысле оператора следа. Согласно теореме Лакса—Мильграма обобщенное решение и задачи (2) существует и единственно.

Исследуемые функциональные мажоранты энергетической нормы погрешности приближенного решения для задачи (2) были получены в работе [5] и подробно описаны в монографии [2]. Мажоранты оценивают энергетическую норму погрешности

|[и - VII2 := ||№ - V)|||2 + ||р(и - «)||2,

где

|||У(м - V)11|2 = J ЛV(u - V) ■ У(м - V) 3,х,

п

а ||р(и - V)! —стандартная норма в пространстве Ь2(П). Приближенное решение задачи V может быть получено любым способом, обеспечивающим конформность, т.е. принадлежность V € ио + Уо. Имеются две оценки

|[М - «]|2 < м*(у,у) = (1 + т\АУу - у\\\1 + (1 + ±)<С2|Ы^)||2, (3)

р

|[и - V]|2 < М2>,у) = |||ЛVv - у|||2 + справедливые для любого у € У := И(П, ё1у) и в > 0, где И(П, ё1у) = {з € Ь2(П, М2) | € Ь За тп(ги, у) обозначено выражение гп^, у) = / - р2v + ё1уу, норма

||2 = I Л-1у ■ уйх. п

(4)

Пространство И(П, div) —гильбертово со скалярным произведением, порождающим норму вида

||у|и = (||у||2 + ||ё1уу||2)1/2, а константа С представляет собой постоянную в известном неравенстве

|И| < С|||^|||, Уад € У0,

и может быть оценена с помощью константы из неравенства Фридрихса. Мажоранта М2 также была получена в [7] с помощью вариационного подхода. Если взять в качестве свободного поля у элемент р := AVu, то мы получим равенство

M22(v,ЛVu) = |[и - V]|2,

т.е. оценка является точной. Оценка (3), напротив, имеет «зазор» между левой и правой частью. Если коэффициент реакции мал, то в М2 при втором слагаемом стоит большой множитель, а значит, оценка будет чувствительна к величине невязки гп^, у). Мажоранта М1, в свою очередь, к величине р не чувствительна. Таким образом, обе мажоранты имеют свои преимущества и недостатки. В связи с этим в работе [5] была получена третья оценка, сочетающая в себе положительные качества первых двух:

II«-«]!2 < МЦу, у, /?) = (! +т\А^-у|||2+ / + ? Л(у,у)с1х. (5)

С2р2(1 + в)+ в п

2

Заметим, что

|[и - V]|2 < Ы М32(«,у,в) < Ы М32(«,АУм,в) = |[и - «]|2,

в>0

т.е. у оценки (5) также нет «зазора». Вдобавок мажоранта М|(-у, у, в) не чувствительна к малым значениям параметра реакции р. При р = 0 оценка (5) превращается в функциональную оценку для уравнения диффузии, полученную в [7].

2. Свойства комбинированной оценки. Докажем ряд утверждений относительно вычислительных свойств комбинированной мажоранты М|(-у, у, в), предполагая, что для коэффициента реакции справедлива двусторонняя оценка

0 < Р1 ^ р(х) ^ р2, Ух € О.

Доказательства основаны на подходах, использованных в [2], [8] и [9] для уравнения Пуассона.

Теорема 1 Если последовательность конечномерных подпространств {Удпредельно плотна в У, то

Нт ] М!(«,у*,в) I = |[и - «]|2.

к^то У к еук

I в>о )

Доказательство. По определению предельной плотности Уе > 0 существует ке > 0 : У к > ке найдется рд € УД такое, что ||р — рд ^ е. Подставим в мажоранту уд = рд и получим

М2(«,уй,в) < М2(«,рй,е)

У к еУк в>0

\\\АУу-рд\\\1 < |||У(М - ^Щ2 + -2е + - ) е = - «)1Н2 (7)

= (I + £)\\\АУу - рд\\Ц + I (6)

п

Оценим первое слагаемое в правой части (6). Из неравенства треугольника следует, что

1 2

чС1 с1'

где

/ 1 2

\С1 С1

Для второго слагаемого из правой части (6) имеем

Г с2(1 + е) 2 1

' (-с11ур + р2г( - р2у + сЦурд) (¿ж < ||,о(г( --у)||2 + —е2 + 2||м --у||е.

У С2р2(1+ е) + еч ^ -п^ /п р2

п

(8) 71

Объединяя (7) и (8),

р2

МЦу,Рк,£) < (1+е) (||| У {и - у)\\\2 + ^) + \\р(и-у)\\2 + —+2£\\и-у\\ = \ [и-у] |2+0(е),

р1

получаем двустороннюю оценку

|[и - v]|2 < М2КуЙ,в) < |[и - V]!2 + О(е),

У к в>0

что доказывает утверждение. □ Рассмотрим величину

М32к = Ы М32^,ук ,в) при к = 1, 2,...

Ук еУк в>0

Из теоремы 1 следует, что последовательность мажорант М|д, сходится к квадрату энергетической нормы погрешности. Поскольку при у = AVu и в = 0, оценка (5) превращается в равенство; докажем, что при вычислении мажоранты на последовательности конечномерных подпространств свободная переменная у стремится к AVu. Для доказательства используется лемма 1, а также вариационная постановка задачи (2) и двойственной к ней, а именно

Задача Р: найти элемент и € У, такой что J(и) = М J(V), (9)

где

J(v) = J {^AVv ■ Vv + ^p2v2 - fv^j dx.

Задача P*: найти элемент p G И(П, div), такой что I*(p) = sup I*(q), (10)

q£H(Q,div)

I*(q)= J ^-q + q-^uo-^idivq + ff+divquo^j dx.

где

Q

Известно, что решения задач P и P* существуют (см. [10]). Задачи (9)-(10) можно переписать в виде

Задача P: найти элемент u G V, такой что J(и) = inf sup L(v, q); (11)

veVqeH(Q,div)

Задача P*: найти элемент p G И(П, div), такой что I*(p) = sup inf L(v, q),

q£H(Q,div) veV

(12)

где Лагранжиан

L(v,q) = —— J A 1q-qdx-\- J q ■ Vv dx + — J p2v2 dx — j fvdx.

Q Q Q Q

Из постановки (11) и (12) следует, что J (и) ^ I*(p). Заметим, что

I *(p) > I *(AVu) = J (и), а следовательно, J (и) = I *(p) и p = AVu. 72

Лемма 1 Пусть у в минимизирует мажоранту М|(-у, у, в), V € V и в > 0,

тогда

|||ув -p|||* < Св ||div(ye -p)ll < Св.

Доказательство. Для любого V € V и в > 0 мажоранта М| (V, у, в) — непрерывный, выпуклый и коэрцетивный в И(П, ё1у) функционал, следовательно существует единственный минимайзер у в, удовлетворяющий уравнению Эйлера—Лагранжа

(1 + в) / (А-1ув - Vv) • г ¿ж + I С(р, в)^ув + / - р^^г ¿ж = 0, Уг € И(О, ё1у),

(13)

где

С(р,в) =

C2(1 + в)

С2р2(1 + в)+ в' Можно показать, что для любого V € V

J(v) - J (и) = J {^AVv ■ Vv + ^p2v2 - fv^j dx-n

— J AVu ■ Vw + 2<°2г(2 — dx = — — v]

Распишем разность:

J(v) - J(u) = J(v) - I*(p) = J(v) - sup I*(q) = inf (J(v) - I*(q)),

qeH(n,div) qeH(n,dlv)

1

J(v)-I*(q) = - iiiv«-^!!!^

-(divq + f -p2v) P

Таким образом,

|[u - v]|2 = |||V(u - v)|||2 + ||p(u - v)||2 = = inf (|||Vv - A-1q|||2 +

qeH(n,div) \

— (di vq + f-p2v) P2

т. е. q = p минимизирует функционал

F(q) = |||Vv - A q|||2 +

— (di vq + f-p2v) P2

Запишем уравнение Эйлера—Лагранжа для функционала ^:

! {А~1р-Уу) ■ ! {&\ур +I - = 0, \/д еЯ(П,<Иу). (14)

п п

Вычтем из (13) выражение (14), умноженное на (1 + в), и положим ц = ув - р. В результате получим равенство

2

2

2

2

(1 + e)|||ye -p Г в

|2 +

p2(C2p2(1 + в) + в)

-div(y/3 -£>)

(div(ye - p) • div(ye - p) + (f - P2v + divp)div(ye - p)) dx.

Оценим правую часть с помощью неравенства Гёльдера:

(1 + в)|||Ув-

+

<

-di v(yß-p) <

c2p\{l + ß)+ß

-div(yß - p)

+ l|p(u - v)

—div(yia - p)

Так как в ^ 0 и в > 0, можно считать в < (p2C2)/2, а следовательно

-div(yß -р) Р

<

в

Р?С2

-div(yß -р) Р

С помощью последнего неравенства получаем

Докажем теперь, что у ^ р = AVu в пространстве У = И(П, ё1у).

Теорема 2 Пусть последовательность конечномерных подпространств {Укпредельно плотна в У. Имеется последовательность пар (вк,ук), минимизирующих М| (V, у, в) на М+ х Ук, и вк -► 0, тогда ук

AVu в Y.

Доказательство. Обозначим M|k(v) = Mf(v,yk, вк)• Из теоремы 1 следует ограниченность последовательности {M|k(v)}, поэтому

||ук|| < C, ||divyk|| < C, и ||yk||div < C,

где за C обозначена некая положительная константа. Выделим из ук слабосходящу-юся подпоследовательность

Ук ^ У в Y при k ^ то. Оценим энергетическую норму:

|[u - v]|2 = |||V(u - v)|||2 + ||р(и - v)||2 = klim Мз2к >

к

> |||AVv|||2 - 2У Vv • у dx + |||y|||2 + ||pv||2 +

-(di vy + J)

- 2 J v(f + divy) dx.

Неравенство (15) преобразуется в

2

2

2

2

|||AVu|||2 - 2 j AVu • Vvdx + J p2u2 dx - 2 j p2uvdx >

-(divy+ /) P

- 2J fvdx + |||y|||2 - 2J (Vv • y + divy v) dx.

Подставим AVu = p и pu = (divp + f )/p, так как для (v - uo) £ Vo верно равенство j(Vv • y + divy v) dx = j(Vu0 • y + divy u0) dx;

получаем

2

* 2

-(divp + /)

+ y"(Vuo • p + divpuo),dx ^

2

* 2

-(divy + /)

P

+ J(Vuo • y + divy uo) dx,

т. е.

I*(р) < I *(у).

Так как решение задачи Р* единственно, у = р. □

3. Индикация погрешности. Для реализации алгоритма адаптации расчетной сетки необходим индикатор погрешности — числовая характеристика, отнесенная к элементам разбиения, исходя из которой будет производится отбор элементов для измельчения. Построим индикатор погрешности, основанный на мажоранте М|(V, у, в). Ее можно разбить на два слагаемых: М|(V, у, в) = + ш3г, где

«4Ы = IIIAV^-ylH^ J^rl(v,y)dx,

mir(У,в)= в l|||AVv - y|||2 - f

p2(C2p2(l + в)+ в)

(v,y) dx I •

В предположениях теоремы 2

*3i

i (Уй)

3r

(yfc )

0,

поэтому в качестве индикатора погрешности разумно использовать первое слагаемое. Обозначим за т его подынтегральное выражение:

l

т(х) = А-1 (AVv(x) - у(х)) • (AVv(x) - у(х)) + (divy(x) + /(ж) - p2(x)v(x))2

а за тд (x) функцию т при y = уд .За v (x) обозначим подынтегральное выражение энергетической нормы ошибки, а именно

v(x) = AV(u(x) - v(x)) • V(u(x) - v(x)) + p2(u(x) - v(x))2.

2

2

l

2

2

l

2

2

2

> iu — v

Для заданных т и v и любого положительного S определим множество

Qs(т) = {ж G Q | |т(ж) - v(x)| > S} .

Теорема 3 В предположениях теоремы 2 для меры Лебега данного множества имеем

meas(^(тк)) -> 0.

k—

Доказательство. Представим разность следующим образом:

Тк{х) - v{x) = А-Хук ■ ук - 2Vv ■ ук + AVv ■ Vv + -\(divyk + f- p2v)2 - AVu ■ Vw+

P2

+ 2AVu • Vv - AVv • Vv - p2(u - v)2 = A-1yk • yk - A-1p • p + 2(p - yk) • Vv+

1 2 + (div(yfc -p) + p2(u - v)) -p2(u-v)2 = A-1{yk-p) ■ (yk -p)+2A-1p-(yk-p)+

12

+ 2(p - yk) • Vv + -r (div(yk - p)) + 2div(yfc -p){u-v) = P2

-1 1 2 = A (yk-p)-(yk-p) + 2(yk-p)-V(u-v) + 2div(yk-p)(u-v) + ^j(div(yk - p)) ,

P2

и оценим по модулю:

|Tk(ж) - v(x)| < |A-1(yk -p) • (yk -p)| + 2|(yk -p)x

12

x V(u - v)| + 2|div(yfc —p)\\u — v\ + — (div(yk - p)) .

P2

По лемме 1

|||yk -p|||* < Cpk, ||div(yk -p)|| < Cpk,

/|Tk (ж) - v(ж)| dx -> 0.

k—

Q

j |Tk(ж) - v(x)| dx ^ j |Tk(ж) - v(ж)| dx ^ S meas(^(Tk)),

Q Q^ и meas(^(Tk)) -> 0. □

^fc—TO

Если приближенное решение v получено методом конечных элементов, можно рассмотреть галеркинскую аппроксимацию uh — приближенное решение, полученное на сетке Th с характерным размером h. Мажоранта M| (uh, в, у) вычисляется как сумма локальных вкладов на каждом элементе T разбиения Th, а в качестве индикатора погрешности можно взять

П2 (uh,e,y) = j T(ж) dx.

T

следовательно

Таким образом,

Заключение. В данной работе рассмотрены основные вычислительные свойства комбинированной функциональной апостериорной оценки для задачи реакции-диффузии. Доказана сходимость последовательности оценок, вычисленных на последовательности конечномерных подпространств, к энергетической норме погрешности. Обоснован выбор индикатора погрешности, необходимого для реализации адаптивных алгоритмов.

Литература

1. Braess D. Finite Elements. Theory, fast solvers and applications in solid mechanics / 3rd. ed. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007. xvii. 365 p.

2. Repin S. I. A Posteriori estimates for partial differential equations. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2008. 316 p.

3. Babuska I., Whiteman J.R., Strouboulis T. Finite elements. An introduction to the method and error estimation. Oxford: Oxford University Press, 2011. xii. 323 p.

4. Neittaanmaki P., Repin S.I. Reliable methods for computer simulation — Error control and a posteriori estimates. Amsterdam: Elsevier, 2004. 305 p.

5. Repin S. I., Sauter S. Functional a posteriori estimates for the reaction-diffusion problem // C. R., Math., Acad. Sci. Paris. 2006. Ser. 343. N5. P. 349-354.

6. Чурилова М. А. Применение функционального подхода к адаптивному решению эллиптических задач // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия Физико-математические науки. 2012. №4(158). С. 64-69.

7. Repin S. I. A posteriori error estimation for variational problems with uniformly convex functionals // Math. Comp. 2000. Vol.69. N230. P.481-500.

8. Frolov M., Neittaanmaki P., Repin S. On the reliability, effectivity and robustness of a posteriori error estimation methods // Numerical methods for scientific computing. Variational problems and applications. Barcelona. CIMNE. 2003. P. 153-175.

9. Repin S.I., Sauter S., Smolianski A. A posteriori error estimation for the Dirichlet problem with account of the error in the approximation of boundary conditions // Computing. 2003. Vol. 70, N 3. P. 205-233.

10. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с. Статья поступила в редакцию 24 октября 2013 г.

Сведения об авторе: Чурилова, Мария Александровна — аспирант; m_churilova@mail.ru

COMPUTATIONAL PROPERTIES OF FUNCTIONAL A POSTERIORI ESTIMATES FOR STATIONARY REACTION-DIFFUSION PROBLEM

Maria A. Churilova

St.Petersburg State Polytekhnical University, Polytekhnicheskaya ul., 29, St. Petersburg, 195251, Russian Federation; m_churilova@mail.ru

A Dirichlet problem for the stationary reaction-diffusion equation is considered

-div(AVu) + p2u = f in Q

u = uo on dQ

where Q is a bounded connected domain in R2 with Lipschitz continuous boundary dQ, p2 is a reaction coefficient, right-hand side f € L2(Q), «о € W2(Q). Matrix A = {«¿j}i,j=i,2 is symmetric, coefficients may have a first kind discontinuity in the domain. It is assumed that there are positive constants ai and «2, such that

a1 |n|2 < An • П < a2 |n|2, Vn € R2.

Functional a posteriori majorants estimate the error energy norm

|[u - v]|2 := |||V(u - v)|||2 + ||p(u - v)||2,

where

|||V(u - v)|||2 = J AV(u - v) • V(u - v) dx, О

and ||p(u — v)|| is a standard L2(Q) norm. Approximate solution v € uo + Vo, where Vo = W2(Q) is the subspace of functions from the Sobolev space W^(Q) that vanish on the boundary of the domain in the sense of the trace operator.

The combined estimate is considered

\[u-v]\2 < Ml(v,y,p) = (l+mAVv-y\\\l + f -rl(v,y)dx,

n

which is true for any y € Y := H(Q, div) and 3 > 0, where

H(Q, div) = {q € L2 (Q, R2) | divg € L2(Q)j.

For rn(v, y) is denoted rn(v, y) = f — p2v + divy and the norm

|||y|||? = / A-1y • ydx. n

Conctant C is taken from a well known inequality

||w|| < C|||Vw|||, Vw € Vo

and can be estimated with a constant in the Friedrichs inequality.

In the article computational properties of combined majorant M| (v,y, 3) are proved. Including convergence of the sequence of estimates calculated on a sequence of finite-dimensional subspaces to the error energy norm. The choice of error indicator necessary for the implementation of an adaptive algorithm is justified. Refs 10.

Keywords: functional a posteriori error estimates, stationary reaction-diffusion problem, adaptive algorithms.