CC BY
6
3. Sarkar S. and Sim S. M. A deeper understanding of the XOR count distribution in the context of lightweight cryptography // LNCS. 2016. V.9646. P. 167-182.
4. Toh D., Teo J., Khoo K., and Sim S. M. Lightweight MDS serial-type matrices with minimal fixed XOR count // LNCS. 2018. V. 10831. P. 51-71.
5. Gupta K. C. and Ray I. G. On constructions of MDS matrices from companion matrices for lightweight cryptography // LNCS. 2013. V.8128. P. 29-43.
УДК 519.688 DOI 10.17223/2226308X/12/60
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ В КОНЕЧНЫХ ДВУПОРОЖДЁННЫХ БЕРНСАЙДОВЫХ ГРУППАХ ПЕРИОДА 5
А. А. Кузнецов
Пусть B0(2, 5) = {al,a2) — наибольшая конечная двупорождённая бернсайдова группа периода 5, порядок которой равен 534. Для каждого элемента данной группы существует единственное представление вида a^1 ■ a^2 ■ ... ■ aOf4, где (ц £ Z5, i = 1, 2,..., 34. Здесь al и a2 — порождающие элементы B0(2, 5), a3,..., a34 — коммутаторы, которые вычисляются рекурсивно через ai и a2. Определим факторгруппу группы B0(2, 5) следующего вида: B& = B0(2, 5)/{a&+l,..., a34}. Очевидно, что |Bfc | = 5k. На основе проведённых вычислительных экспериментов сформулирована гипотеза о диаметре группы B& для симметричного порождающего множества {al,a-1,a2,a-1}.
Ключевые слова: функция роста группы, группа Бернсайда.
Настоящая работа продолжает исследования, начатые в [1, 2], которые посвящены разработке алгоритмов для исследования роста в конечных двупорождённых группах периода 5. В [1] основной упор сделан на создании алгоритмов минимальной вычислительной сложности, а в [2] разработан ресурсно-эффективный алгоритм, который имеет низкую пространственную сложность и сохраняет вычислительную сложность на приемлемом уровне.
Напомним основные определения [1]. Пусть G = {X}. Шаром Ks радиуса s группы G будем называть множество всех её элементов, которые могут быть представлены в алфавите X в виде несократимых групповых слов длины не больше s. Все элементы одинаковой длины i образуют сферу Pi радиуса i. Единица группы e является пустым
s
словом, длина которого равна нулю. Согласно данным определениям, Ks = (J Pi.
i=0
Для каждого целого неотрицательного i можно определить (сферическую) функцию роста группы F(G), которую будем записывать в виде вектора F(G) = = (F0, Fl,... , Fi,...), где Fi = |Pi|. Пусть Fs0 > 0, но Fs0+l = 0, тогда s0 является
диаметром графа Кэли группы G в алфавите порождающих X, который будем обо__1 so
значать DX(G). Средний диаметр DX(G) равен —— sFs.
| G| s=0
Заметим, что решение некоторых задач теории кодирования и криптографии сводится к исследованию соответствующих графов Кэли. Например, открытая проблема эффективного восстановления вершин в графе Хэмминга является одной из таких задач [3].
Кратко опишем алгоритмы из [1, 2].
Алгоритм 1 вычисляет шар Ks фиксированного радиуса s произвольной конечной группы G, заданной порождающим множеством X. Данный алгоритм имеет низкую
Вычислительные методы в дискретной математике
217
вычислительную сложность, однако при его реализации каждый элемент группы необходимо хранить в памяти компьютера, и если группа имеет большой порядок, то применение алгоритма 1 становится невозможным.
Пусть ^ — гомоморфизм G на группу Q и N — ядро т.е. Q = G/N. По аналогии с группой, для каждого смежного класса qN определим сферу P^q), шар Ks(q) и функцию роста Fi(q):
Pi(q) = {g : g G P и p(g) = q}, Ks(q) = (J Pz(q), Fi(q) = |Pi(q)|.
i=0
Пусть Fd(q) > 0, но Fd+1(q) = 0, тогда d будем называть диаметром смежного класса qN и обозначать DX (qN).
Если Q — сравнительно большая группа, то множество K2s(q) будет значительно меньше, чем K2s(G). Данный факт взят за основу построения алгоритма 2, который, получив на входе шар Ks группы G радиуса s, фактор-группу Q = G/N и некоторый элемент q G Q, возвращает функцию роста F(q) = (F0 (q),... , F2s(q)) для шара K2s(q) смежного класса qN радиуса 2s.
Объединив алгоритмы 1 и 2, получим алгоритм 3, который вычисляет функцию
роста F(G) = F(q) шара K2s фиксированного радиуса 2s произвольной конечной qeQ
группы G, заданной порождающим множеством X.
Пусть B0(2, 5) = (a1,a2) —максимальная конечная двупорождённая бернсайдова группа периода 5, порядок которой равен 534 [4]. При помощи системы компьютерной алгебры GAP легко получить коммутаторное представление данной группы [5]. В этом случае каждый элемент g G B0(2, 5) может быть однозначно записан в виде a^1 ■ a^2 ■ ■... ■ a^l4, где ai G Z5 и i = 1, 2,..., 34. Здесь a1 и a2 — порождающие элементы B0(2, 5); a3,... , a34 — коммутаторы, которые вычисляются рекурсивно через a1 и a2 [4].
Определим фактор-группу Bk = B0(2,5)/(ak+1,... ,a34). Очевидно, что |Bk| = 5k и g = a^1 ■ a^2 ■ ... ■ a^ для всех g G Bk.
Пусть A4 = {a1, a-1, a2, a-1} — симметричное порождающее множество групп Bk.
Отметим, что на сегодняшний день при помощи компьютерных вычислений удалось получить функции роста групп Bk при k ^ 19 [1, 2]. В настоящее время ведутся расчёты функции роста группы B20 = (A4) по алгоритму 3, при этом s = 20, Q = B10 и N = (an,... ,a20).
При суммировании получаемых функций роста F(q) смежных классов qN отмечено, что, начиная с некоторого шага (не более 10% от порядка группы), промежуточные функции роста группы F(B20) сохраняют области возрастания и убывания. Рис. 1 наглядно отражает данный факт. Вычислительные эксперименты в группах Bk при k ^ 19 показали, что и в них промежуточные функции роста ведут себя аналогично. Кроме того, выяснилось, что при k ^ 19 смежный класс eNk всегда включает слова максимальной длины группы, на основании чего можно сформулировать гипотезу для всех 2 ^ k ^ 34:
Гипотеза 1. D^(eNk) = D^(Bk), где |N| - |Qfc| - B|1/2.
1 II __Ii_1___ ' 1 1 1 J 1 /Н ! Il l \ 1 > 11 ' ■■/ 14 i .с1! LL I ' 'i 1 i <! / i ч Ifi
ij i a- -0 11 Il ' ' \
,V / Л ¡6 ф iß Л V "
а I г, Uo- 4- 8 -d - .0-1.-04 L a.-6-jgl 1-Я 1 1 Q t-B-i
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 2Э 30 32 34 36 38 40
Длина
Рис. 1. Промежуточные функции роста Р(В20)
Результаты вычислительных экспериментов в группах Вк при 20 ^ к ^ 25 представлены в таблице.
k 20 21 22 23 24 25
DA4 (eNk ) 38 39 41 44 44 46
Если гипотеза верна, то значения диаметров смежных классов eNk в таблице равны
диаметрам соответствующих групп Bk относительно порождающего множества A4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузнецов А. А. Об одном алгоритме вычисления функций роста в конечных двупорождён-ных группах периода 5 // Прикладная дискретная математика. 2016. №3(33). C. 116-125.
2. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. Ресурсно-эффективный алгоритм для исследования роста в конечных двупорождённых группах периода 5 // Прикладная дискретная математика. 2018. №42. C. 94-103.
3. Константинова Е. В. Комбинаторные задачи на графах Кэли. Новосибирск: НГУ, 2010. 110 с.
4. Havas G., Wall G., and Wamsley J. The two generator restricted Burnside group of exponent five // Bull. Austral. Math. Soc. 1974. No. 10. P. 459-470.
5. Sims C. Computation with Finitely Presented Groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1994. 628 p.
УДК 512.55 DOI 10.17223/2226308X/12/61
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕШЕНИЯ ПСЕВДОБУЛЕВЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ АЛГОРИТМАМИ ИМИТАЦИИ ОТЖИГА, БАЛАША И ВНУТРЕННЕЙ ТОЧКИ
Г. О. Маняев, А. Н. Шурупов
Целью работы является разработка и исследование надёжности релаксационного алгоритма решения псевдобулевых систем линейных неравенств, построенного
