ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ОБРАТНОГО ПРОЦЕССА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В ИСКУССТВЕННОЙ СТРУКТУРЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ция и образование: границы коммуникаций (INFO'15): сборник научных трудов № 7 (15). - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2015. - C. 342-344.

6. Статников, И. Н. Планирование вычислительного эксперимента в задаче многокритериального синтеза зубчатого редуктора / И. Н. Статников, Г. И. Фирсов // Информация и образование: границы коммуникаций (INFO'19): сборник научных трудов № 11 (19). - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2019. -C. 99-101.

7. Statnikov, I. N. Using sobol sequences for planning experiments / I. N. Statnikov, G. I. Firsov // Journal of Physics: Conference Series. - 2017. - P. 1-3.

8. Соболь, И. М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И. М. Соболь, Р. Б. Статников. - Москва : Дрофа, 2006. - 175 с.

9. Генкин, М. Д. Об отстройке собственных частот планетарного редуктора методом-ЛП-поиска / М. Д. Генкин, В. К. Гринкевич, Н. Ф. Овчинникова // Динамические процессы в механизмах с зубчатыми передачами. - Москва : Наука, 1976. - С. 66-72.

УДК 519.958

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ОБРАТНОГО ПРОЦЕССА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В ИСКУССТВЕННОЙ СТРУКТУРЕ COMPUTATIONAL ALGORITHMS FOR THE REVERSE HEAT TRANSFER PROCESS

IN ARTIFICIAL STRUCTURE

Байшемиров Ж. Д., Ph.D., и. о. ассоц. профессора Казахский национальный педагогический университет имени Абая, Институтинформационных и вычислительных технологий КН МОН РК, Марат Нуртас, Ph.D., ассоц. профессор Международный университет информационных технологий, Утепова К., магистрант Казахский национальный педагогический университет имени Абая, Токмухамедова Ф., магистрант Международный университет информационных технологий, Казахстан, г. Алматы zbai.kz@gmail.com

Аннотация. В данной работе разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы для обратного процесса. Формулирование одномерной обратной задачи коэффициента для одномерного уравнения теплопередачи в искусственной структуре и применение итерационных формул дает возможность реального расчета коэффициента теплопроводности среды, в котором также управляются параметры вычислительного процесса, определение скорости движения нефти в трубопроводе.

Ключевые слова: математическая модель, обратный процесс, температура жидкости, скорость жидкости, транспортировка нефти.

Abstract. In this article, we developed and implemented algorithms for computing the inverse process. The formulation of the one-dimensional inverse coefficient problem for the one-dimensional heat transfer equation in the artificial structure and the use of iterative formulas enables real calculation of the thermal conductivity of the medium, which also controls the parameters of the computational process, and the determination of the speed of oil in the pipeline.

Key words: mathematical model, inverse process, fluid temperature, fluid velocity, oil transportation.

Введение

В настоящее время известны ряд методов транспортировки нефти. Но современный опыт постановки и решения задач разработки на основе использования вычислительной техники и методов моделирования не решены в замкнутом виде и требуют дальнейшего совершенствования. Проблемы транспортировки нефти и газа давно привлекают внимания не только нефтяников, но и специалистов других отраслей [1-4]. Математические модели сложных задач предназначены, в первую очередь, для детального исследования механизмов транспортировки нефти и очень полезны для теоретического анализа новых технологий. В то же время, моделирование реальных процессов разработки с применением строгих постановок математических задач сопряжено со значительными затратами машинного времени и не всегда используются в задачах проектирования и анализа, где требуется выполнение многовариантных расчетов [5-10]. В практике проектирования и анализа разработки широко распространены инженерные или полуинженерные модели расчета процессов транспортировки нефти п отрубопроводу, получаемые из тех же математических постановок задач в результате ряда упрощающих предположений и физических допущений. Обладая свойством простой и быстрой реализуе-

мости, инженерные модели описывают процессы в исскуственном сооружении с достаточной для решения практических задач точностью.

В настоящее время на основе теории системного анализа сформулированы условия оптимальности программного управления (задачи анализа), сравнительно полно исследованы условия технологических объектов, описывающих уравнениями в частных производных, разработан ряд численных методов их решения. Основной задачей теории и практики управления является построение математической модели объекта, т.е. формализация закономерностей функционирования объекта, на основе которой определяются структура и параметры системы, закон управления, выбираются технические средства реализации. При этом важное значение имеют математические модели объектов и процессов при создании системы управления, а также при изучении закономерностей изменения физических процессов функционирования объекта. Это связано с повышением роли математического моделирования и проведением вычислительного эксперимента для открытия этих закономерностей и изучения сложных явлений.

1 Формулировка задачи

Стационарный процесс теплопередачи в искусственном сооружений (например, трубопровод) описывается дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка в цилиндрической системе координат:

где ф(г ) = Ср

■ г

Г / ч2 \

1-Вт,

,, ^дв дв\ 1 а Г дв^

ф(г)— = —\ Хг— 1 +--X—

дх дг ^ дг) г дф\ дф

■V ■ cos| ф\, а также здесь V - скорость жидкости в трубе; Ср - коэффици-

(1)

ент теплоемкости жидкости; X - коэффициент теплопроводности,

ккал

м

; в(х,г,ф) - температура жидкости;

Для уравнений ставятся следующие граничные условия:

в х=0 = Т0 (Г,ф)

м ■ час ■ град

; Я - радиус трубы,

дв дг

г=0

= 0, х-дв дг

= -h(в-Та(х,ф))Г=Я, в(х,г,ф)= в(х,г,ф + 2п)

(2)

(3)

г=Я

Для решения коэффициентной обратной задачи используется дополнительные условия. Мы будем использовать измеренные значение температуры на доступной границе х = Я , т.е. Тё (х,ф).

В дальнейшем будем изучать одномерный модель транспортировки нефти трубопроводом. Считаем, что температура не зависит от полярного угла ф, т.е. в(х, г,ф)= в(х, г). В силу того, что

д

— = 0 система (1)-(4) принимает следующий вид:

дф

{г )дв = Ц х в

дх дг

дг

_т дв = Т

=0

дг

г=0

= 0, х-дв дг

= - ^в - Та (х)) г=я .

(4)

(5)

г=Я

Дополнительные условия на поверхности трубы при х = Я записывается в виде Тё (х), х е (0,1), где I

- длина трубы.

2 Разработка метода расчета скорости жидкости V.

Скорость движения жидкости V определяется итерационным методом. В начале задается начальные приближение Vn. Следующее Vn+1 приближение определяется из монотонности функциона-

ла

I

J(V) = ^(в(х,Я)-Тё (х))2dx, где п - номер итераций. Для итераций п соответствует решение

за-

дачи

(1)-(5)

в„ (х, г )

,дв

8

Vn+lФ(г^ = ^\Хг^ |, ф(г) =

дх дг

дв

дг

(

для п + 1

2\

■ Ср, Vnф(г)

соответствует

двп+х д | „ двп

■ = —\Хг

дх дг

дг

вп+1 (х г ), т.е.

Отнимая получим

равенство

в

х

а

ф(гуя ^ + ф(г)аг= АГягдАв

дх г к 7 дх дг ( дг ) где Ав — 0„+1 (х, г)- вп (х, г)

Граничные условия для п и и + 1: вп+1\ = Т0, вп| = Т0, отсюда

I х—0 I х—0

Ав 0 — 0.

1х—0

Граничные условия для г — 0 :

дв

п+1

дг

— 0,

двп

г—0

дг

— 0. Следовательно

г—0

дАв

дг

— 0.

(6)

(7)

(8)

г—0

Аналогично из условия Робина X

дв

п+1

дг

— - Н(вп+1 - Та ) г—д , Х

дв

г—R

дг

— - Квп - Та )

г—R

а Лг—R'

следует равенство

X

дАв

дг

— - ИАв\

г—R'

(9)

г—R

I Я

3 Составление сопряженной задачи В области Q — (0,1)х (0,Я) введем скалярное произведение ^dxJ f (х,г(х,г)dг — (/,g).

0 0

Формулы интегрирования по частям записывается в следующим виде, где

I I Я

_ ^ кг),

V—Я

1 I Я

я) г—Я — |/^ г )g (x, г Ух. | dx | f (х, г)

дг

^г —

00

I Я

-1[/(х, Я)g(х, Я)- /(x,0)g(х,0)]йх -1 dx| g(х, гdг.

лг)

00

/ • |и/. я)

г—Я

дг

(/, я )г—0 | дг ' Я

Формула интегрирование по частям по переменной х принимает следующий вид

/ • — /, я)

х—I

-(/, я) х—0-|/> я

(10)

(11)

Я

где (/, Я ) х—0 — |/ (х г (x, г Vх.

Умножаем уравнение (6) скалярно на произвольную функцию ^(х, г) в области

Q — (0,1)х (0,Я) и получим (ф(г)Гп д^,^ + (ф(г)АГ Применяем формулы (10) и (11), тогда

(Ав,ф • Уп¥)х—I -(Ав,ф • Уп¥)х—0-^ф-У„ • Ав,^ =

дв

п+1

дх

¥ | —

( д (, дАв^ ^

—\ Хг-|,¥

дгI дг )

(. дАв

г—Я

-\ Хг дАв ,¥

дг

г—0

дАв „ д¥ Хг

дг

дг

Положим, что ¥ х—1 — 0 и учитываем граничные условия (7) и (9). Тогда

ф(г )АГ в^)-^ К )——-Я*,) г—я-(^Х

Еще раз применяем формулу интегрирование по частям

'ф(г)АУ д-^,¥у[Ав,ф{г)■ Уп ^)-

= -hR{^в,W} г=R-\ЯАв, дЩ

г=R

+ 1 Ав,Яг

дщ дг

(

+

г=0

дг I дг

Принимаем граничное условие

дг

и собираем подобных величин

г-0

ф{г )АУ двп±1 дх

¥

Ав,ф(г)-Уп ¥ + АГ Яг ¥)) + ( Ав, к¥ +

- + дх дг

дг

дг

г=R

= 0.

В итоге этих преобразований составлена сопряженная задача.

ф■ Уп ¥+д-{яг ¥\-0.

дх дг ф\=, = 0, дф

дг

== 0, (Ь¥ + ) = 2(в - Г, )

г-0 V ) г=R

\х=L ' дг

После этого получается интегральное соотношение

2(Ав,вп - Т,)

Мг=я

8^г = ^ 1 дх

ф(г ),щ)-\аУ двф(г ),¥\.

(12)

(13)

(14)

Рассмотрим функционал для итерации п и п + 1:

I I

J(Уn+1 ) = j{вn+1 (х,R)-Т,(х))2дх, J(Уn) = j{вn(х,R)-Т,(х))2дх. Отнимая, получим равенство

0 0

I I

J(Уn+1)-J(Уn)= 2^Ав(х,R)вп(х,R)-Т,(х)дх + |(Ав(х,R))2дх. Подставляя (14) выводим, чт

00

I

J(Уп+1)-J(Уп) = -[аУ вФ,¥\-[аУдАвф,¥\ + ^(Ав(х,R))2дх.

0

J(У). Поэтому должно выполнятся неравенство J(Уn±1)-J(Уп)< 0. Отсюда следует, что

Мы ищем минимум функционала

АУ - Ип

'в

дх

ф,¥ \, или

Уп + 1 = Уп + Ип

двп

I R

п+1 = Уп + Ип \ ~-х~ ф,¥ Ь Уп+1 = Уп + Ип | дх | Ф

| дх j-вL ф(г )щ(х, г )дг. (15)

00

4 Алгоритм решения обратной задачи

1-шаг. Входные данные I, Я, Ср, ф(г), Та (х), Т' (х).

2-шаг. Задается начальное приближение Уп.

дв

3-шаг. Решается прямая задача (5)-(8) и определяются в(х,г), в(х,R), —.

дх

4-шаг. Проверяется неравенство J(Уп)<е. Если да, тогда 7-шаг. Если не выполняется, тогда 5-шаг.

5-шаг. Решается сопряженная задача (16)-(18) и определяется щ(х, г).

6-шаг. Вычисляется следующее приближение Уп+1. по формуле (20).

7-шаг. Задача решена с точностью е. Выводится массивы Уп, J(Уп).

8-шаг. Анализ расчетных данных.

5. Заключение

Формулирование одномерной обратной задачи коэффициента для одномерного уравнения теплопередачи в искусственной структуре и применение итерационных формул дает возможность реального расчета коэффициента теплопроводности среды, в котором также управляются параметры вычислительного процесса, определение скорости движения нефти в трубопроводе.

Библиографический список:

1. Рабинович, Н. Р. Инженерные задачи механики сплошной среды в бурении / Н. Р. Рабинович.

- Москва : Недра, 1989. - 270 с.

2. Султанов, С. А. Опыт разработки Бавлинского месторождения / С. А. Султанов, Г. Г. Вахитов.

- Казан ь: Таткнигоиздат, 1981. - C. 163.

3. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Д. Андерсон, Дж. Таннехил. -Москва : Мир, 1990. - 384 с.

4. Hassanizadeh, S. M. Toward an improved description of the physics of two-phase flow / S. M. Hassanizadeh, W. G. Gray // Adv. Water Res. -1993. - № 16. - Р. 53-67.

5. Tien-Mo Shih. Numerical heat transfer / Tien-Mo Shih. - Hemisphere Publishing Corporation, 1988.

6. Rysbaiuly, B. Collection of applications for higher mathematics with decisions / B. Rysbaiuly, 2009.

7. Олейник, О. А. О задачах Стефана / О. А. Олейник, С. Л. Каменомосткая // Математический сборник. - 1961. - № 53 (4). - С. 489-514.

8. Freiedman, A. One dimensional Stefan problems with non monotone free boundary / A. Freiedman // Trans. Amer. Math. Society. - 1968. - № 132. - Р. 89-114.

9. Bear, J. Dynamics of Fluids in Porous Media / J.Bear // American Elsevier Publishing Company,

1972.

10. Ozi§ik, N. Boundary Value Problems of Heat Conduction / N. Ozi§ik // DoverPublications, 2013. УДК 517.5

МЁБИУСОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В Rn MOBIUS TRANSFORMATIONS IN Rn

Тулина М. И., канд. физ.-мат. наук, доцент Раенко Е. А., канд. физ.-мат. наук, доцент Туртуева Т. А., канд. физ.-мат. наук, доцент Давыдкин И. Б., канд. физ.-мат. наук, доцент Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск aniram.ru@googlemail.com, raenko_elena@mail.ru, kergyl@gmail.com, davydkin_ivan@mail.ru

Аннотация. Мёбиусовы преобразования широко используются в различных областях современной математики: в теории функций комплексного переменного, в гиперболической геометрии, в метрической топологии и т.д., а также в прикладных областях, таких как общая теория генных сетей, теорий обработки сигналов и т.п.

Ключевые слова: мёбиусовы преобразования, ангармонические отношения, аполлониевые точки для трех различных точек z1, z2 и z3 на комплексной плоскости.

Abstract. Mobius transformations are widely used in various fields of modern mathematics: in the theory of functions of a complex variable, in hyperbolic geometry, in metric topology, etc., as well as in applied fields such as the general theory of gene networks, signal processing theories, etc.

Key words: Mobius transformations, anharmonic relations, Apollonium points for three different points z1, z2 and z3 on the complex plane.

Большой вклад в изучение мебиусовых преобразований внесли следующие ученые: Ф. Клейн, А. Пуанкаре, Э. Гурса, Р. Неванлинна, Р. Л. Форд, В. В. Голубев, Л. Альфорс, А. Бердон, У. Терстон, И. Кра, С. Л. Крушкаль и др.

На плоскости мёбиусово отображение реализуется либо дробно-линейным отображени-

ем + й либо комплексно сопряженным к нему. Важность мёбиусовых преобразований в

пространстве связана с тем, что все конформные отображения в пространстве размерности исчерпываются мёбиусовыми (теорема Лиувилля).

Определение. Сферой 8(а, г) в точке а с радиусом г в Рп будем называть множест-

в05(а, г) = {т е В? : \х - а\ = г}. где хеК» и г> 0.

Определение. Отражение (или инверсия) относительно S(a, г) есть функция^ определенная

формулой: