CC BY
17
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНО-ЭФФЕКТИВНАЯ БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОЛТОВ
Богданов Дмитрий Валериевич
аспирант кафедры информационных технологий РЭУ им. Г. В. Плеханова. Адрес: ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова», 117997, Москва, Стремянный пер., д. 36. E-mail: bogdv@rambler.ru.
В условиях нынешнего финансового кризиса становится особенно актуальным анализ корреляции дефолтов. В статье рассмотрены примеры применения биномиальной модели распределения дефолтов в некоторых частных случаях. Сформулирована и доказана теорема о виде соотношений для решения задачи о нахождении функции распределения вероятностей дефолтов в общем случае. Разработанная методика позволяет получать вектор элементарных вероятностей по известному набору предельных вероятностей дефолта каждой фирмы и предельным парным вероятностям дефолта взаимосвязанных фирм как решение систем линейных и линейно-логарифмических уравнений. Предложены способы упрощения изучаемой математической модели системы. Полученные результаты могут быть использованы как для управления рисками, так и для кредитных деривативов в целом.
Ключевые слова: биномиальная модель, корреляция дефолтов, торическая модель, модель Изинга, диверсификация рисков.
COMPUTER-EFFICIENT BINOMINAL MODEL OF DEFAULT DISTRIBUTION
Bogdanov, Dmitry V.
Post-Graduate Student of the Department for Information Technologies of the PRUE. Address: Plekhanov Russian University of Economics, 36 Stremyanny Lane, Moscow, 117997, Russian Federation. E-mail: bogdv@rambler.ru.
The analysis of default correlation is especially acute in conditions of the current finance crisis. The article discusses examples of using the binominal model of default distribution in certain cases. The author formulated and proved the equation about types of correlations to solve the task of finding the function of distribution of default possibilities in the general case. This methodology can provide an opportunity to get the vector of elementary possibilities through the known set of max default possibilities of each company and max pair possibilities of default of interconnected companies as a solution for the system of linear and linear-logarithmic model of the system. The author offers ways to simplify the model of the system. The findings can be used both for risk management and credit derivatives in general.
Keywords: binominal model, default correlation, torical model, Ising model, risk diversification.
Кредитный риск касается оценки и хеджирования ценных бумаг, имеющих возможность дефолта. Поскольку инвесторы практически всегда используют целый набор финансовых инструментов, связанных с разными фирмами, успешное моделирование взаимосвязи риска дефолта для нескольких фирм имеет решающее значение как для управления рисками, так и для кредитных деривативов в целом. Анализ корреляции дефолтов особенно актуален в условиях финансового кризиса.
Существуют различные подходы к моделированию корреляции дефолтов. В качестве примеров можно привести модели на основе корреляции процессов интенсивности [2] или так называемые модели цепной реакции [5]. Все эти модели не лишены недостатков [1]. Альтернативой может служить однопериодическая модель, в основе которой лежит суммирование случайных величин с биномиальным законом распределения [3; 4].
Модель корректна в следующем смысле: она может представлять любое заданное предельное распределение вероятностей для отдельных фирм и попарную корреляционную матрицу. Для изучения предложенной модели, доказательства корректности и построения уравнений в явном виде используются методы алгебраической геометрии.
Рассмотрим ненаправленный граф С = (V, Е) с М вершинами и определим его множество вершин V = {1, ..., М}. Множество ребер Е является подмножеством из
{ м)
возможных попарных связей между
V 2 )
всеми парами вершин, т. е.
Е с {(и, и): 1 < и < V < м}.
Каждая вершина графа с номером г е V связана с соответствующей фирмой и имеет бинарное случайное значение Х;, где Х[ = 1 для фирмы, объявившей дефолт, и Х1 = 0 для работающей фирмы. Совместное распределение вероятностей случай-
ной величины X = (Х1, ..., ХМ) имеет следующий вид:
1 (
Рт(П) = р(х = т) = -ехр 2+ 2П
г
№ +, .
VгеV (и^)еЕ
М
где т = (^, ...,шм)е{0,1}М; скаляры е Я и Цш е Я - параметры; 2 - нормировочная
константа:
г = 2 ехр| 2 Пгтг + 2 П^титV
те{0,1}М ^ (и^Е
Вероятностные модели вида (1) также известны как марковские модели случайных полей, как модели Изинга в физике или графические модели в информатике и статистике. В контексте финансов было доказано [4], что выбранная модель (1) является корректной для моделирования корреляции дефолтов: для каждого набора предельных вероятностей Р1 и парных линейных корреляций дефолтов рио существует уникальный набор параметров п*, Цио, соответствующий этой информации. Данные о предельных вероятностях дефолта и парных линейных корреляций эквивалентны следующим наборам М + | Е | достаточной статистики:
- отдельные предельные узлы Р1 = Р(Х = 1) для всех г е V;
- двойные предельные узлы
Рио = Р(Хи = Хо = 1) для всех (и, V) е Е.
Элементарные вероятности определяются следующим образом:
Рт = Рт1 ... тм = Р(Х1 = ®1/ ■ ■ ■/ ХМ = тМ\ т = (®1, ..., ®м)е{0,1}М
Предельные вероятности дефолта в терминах элементарных вероятностей ра могут быть определены следующим образом:
Рг = 2 агт Рт ,
т е {0,1}М
где ат е {0,1}.
Определим бинарную матрицу Ас с элементами содержащую 2М столбцов и
M + | E | + 1 строк. Столбцы Ag индексируются элементарными вероятностями pa. Все строки, кроме последней, индексируются предельными вероятностями Pi для
i e V и Puv для (u, v) e E. Записанные в этих строках коэффициенты используются в разложении предельных вероятностей в терминах pa. Последняя строка Ag имеет все элементы, равные единице, что соответствует вычислению тривиальной предельной вероятности Sc e{o,i}M Pc = 1. Рассматриваемая графическая модель может быть представлена в виде торической модели, определяемой соответствующей матрицей Ag, где матрица Ag является линейным отображением, преобразующим вектор элементарных вероятностей в вектор предельных вероятностей.
Для соответствия алгебраической литературе заменим параметры модели на их экспоненты, получая таким образом новые положительные параметры:
0i = exp(^i ) для i eV;
0uv = eXP(n„v ) для (u, v)e E.
Модель параметризации (1) имеет следующий мономиальный вид:
Pc=7 -п 0;
Z i eV
■ п 0av
(u,v)e E
(2)
где элементарные вероятности - это мономы, соответствующие столбцам из Ас. По-
1
следняя строка Ас вносит множитель —.
Модель является подмногообразием, полученным как пересечение (2м - 1)-мерного вероятностного симплекса и гиперповерхностей, заданных биномиальными уравнениями вида
П PC;T "П Pi™ = 0,
СО А А г со со со
(3)
M
где векторы С и V е N такие, что Ас С = Ас- В.
Пусть имеются наборы векторов
)îa eA и {^l eB . Сформулируем
кажем необходимые и достаточные условия существования уравнения (3) для произвольного значения м.
Теорема 1. Биномиальное уравнение гиперповерхности в (2м - 1)-мерном вероятностном симплексе, описывающее биномиальную модель распределения дефолтов,
п Рс(«)-П Pjb)= 0
a eA
b eB
(4)
должно удовлетворять следующим условиям:
S c(a)= s c(b),
a eA
b e B
S c(a)c(a)= s c(b)c(b )
a e A
b e B
(5)
(6)
для всех 1 < I < М и 1 < и < V < М.
Доказательство. Согласно модели параметризации (2) каждому мультииндексу ®1 в уравнении (4) соответствует сомножитель вида ^ ', а каждой паре мультиин-дексов (®и, ©V) соответствует сомножитель вида 0 для всех 1 < I < М и 1 < и < V < М. Учитывая, что не имеется иных сомножителей, равенство выполняется лишь при равных наборах рассмотренных сомножителей.
Определим вектор ^ = 1, ..., ^м)е См,
при этом = 1 • • • М . Тогда условия (5)
и (6) эквивалентны следующим дифференциальным условиям:
— S r(a)
ÔÇaeA
=W s ^1
/ \ ÔÇ. b e B
Ç = (i.....i) Ç1
-S Ç
ÔÇuÔÇv aeA
„(a)
Ô 2
Ç = (1.....1) ÔÇ u ÔÇ vb S B
для всех 1 < i < M и 1 < u < v < M.
Ç=(i.....i)
(b )
Ç = (i.....i)
и до-
Замечание 1. Для задания полилинейного уравнения, содержащего все 2м элементарные вероятности р©, необходимо и достаточно, чтобы все сомножители р© с четной и нечетной суммой мультииндек-
2
сов 2гМ1 Ч располагались в разных мономах уравнения (4).
Используя данное замечание, на языке Visual C++ нами была разработана программа, позволяющая представить модель как в параметрическом виде (2), так и в терминах элементарных вероятностей (4) для произвольного значения M.
Пример 1. Пусть G - граф с вершинами V = {1, 2, 3} и сторонами E = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}. Матрица Ag имеет следующий вид:
Рооо Pool Рою Рои Р\00 Р\0\ Р\\0 Р\\\
Р
P2 Р Pl2
Рз Р„
(7)
Модель параметризации (2) приводит к следующему:
(pooo, pool, polo, poll, ploo, pi01, pi10, plll) = = (l, 83, 02, 0203023, 0l, 0l030l3, 0l020l2, 0!02030!20!3023).
Модель является гиперповерхностью в семимерном вероятностном симплексе, заданной уравнением (все условия теоремы 1 выполнены):
pooo poll plol pllo = pool polo ploo plll. (8)
Матрица Ag имеет rank Ag = 7. Разрешим линейную подсистему (7) относительно предельных вероятностей Pi, Puv и элементарной вероятности дефолта трех фирм puli
pooo = l - Pl - P2 - P3 + Pl2 + Pl3 + P23 - plll, pool = P3 - Pl3 - P23 + plll, polo = P2 - Pl2 - P23 + ... + plll,
ploo = Pl - Pl2 - Pl3 + plll, poll = P23 - plll, plol = Pl3 - plll,
pllo = Pl2 - plll.
Справедливость полученных соотношений легко проверить с помощью диаграмм Эйлера - Венна. Из соотношения (8) выразим pm:
_ Р000Р011Р101Р110 Р111 ~ .
Р001Р010Р100
Подставляя найденные соотношения для других элементарных вероятностей, окончательно получим кубическое уравнение относительно pm:
Р111 ~
(l Рг P2 P3 + P12 + P13 + P23 pl1lXP23 pl1lXP13 pl1lXP12 Plll)
(P3 - Pl3 - P23 + plll)(P2 - P12 - P23 + pl11)(P1 - P12 - P13 + pl11)
(9)
S
Аналитическое решение данного уравнения может быть получено с помощью известных формул Кардано, однако ввиду его громоздкости в данной статье не приводится.
Вычислим элементарные вероятности ра и построим функцию распределения случайной величины У = {0, 1, 2, 3}, равной количеству обанкротившихся фирм в случае следующего набора исходных данных: Р1 = 0,1; Р2 = 0,2; Рз = 0,3; Р12 = 0,05; Р13 = 0,07; Р23 = 0,12.
Решая уравнение (9), получим следующие значения рш:
рш = 0,0644385 ± 0,0472122г;
рш = 0,042123.
В контексте данной задачи имеет смысл лишь третье решение рш = 0,042123. Подставляя р111 в выражения для других элементарных вероятностей, получим:
Р000 = 0,597877; Р001 = 0,152123;
Р010 = 0,072123; рк» = 0,022123;
р011 = 0,077877; р101 = 0,027877; р110 = 0,00787703.
Условие нормировки выполнено, так как
0,597877 + 0,152123 + 0,072123 + 0,022123 + + 0,077877 + 0,027877 + 0,00787703 + + 0,042123 = 1.
Вычислим значения функции распределения f (Y) (рис. 1):
f (0) = pccc = 0,597877; f (1) = pccx + pcxc + ^100 = 0,152123 + 0,072123 +
+ 0,022123 = 0,246369; f (2) = p0u + p101 + pu0 = 0,077877 + 0,027877 + + 0,00787703 = 0,113631; f (3) = pm = 0,042123.
Математическое ожидание M[Y] и дисперсия D[Y] соответственно равны:
M[ Y = 0,597877 • 0 + 0,246369- 1 + + 0,113611- 2 + 0,042123 • 3 = 0,6; D[Y = 0,597877- (0 - 0,6)2 +
+ 0,246369- (1 - 0,6)2 + 0,113611- (2 - 0,6)2 + + 0,042123- (3 - 0,6)2 = 1,53.
Рис. 1. Функция распределения f (У)
Пример 2. Пусть С - граф (рис. 2) с вершинами V = {1, 2, 3, 4} и сторонами Е = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}}.
Матрица Ag имеет 16 столбцов и 11 строк (из-за громоздкости в явном виде не приводится). Параметризация (2) приводит к гиперповерхности в пятнадцатимерном вероятностном симплексе, заданной следующим уравнением:
Р0000 Р0011 Р0101 Р0110 Р1001 Р1010 Р1100 Р1111 =
= Р0001 Р0010 Р0100 Р0111 Р1000 Р1011 Р1101 Р1110.
Учитывая, что линейная подсистема, заданная матрицей Ag, содержит только 10 линейно независимых строк, для нахождения шестнадцати неизвестных pffl их недостаточно. Легко убедиться, что приведенные ниже уравнения также удовлетворяют условиям теоремы 1:
Р0001 Р0010 Р0100 Р0111 - Р0011 Р0101 Р0110 = 0;
2 2 _ п
Аналогичным образом можно записать необходимое количество уравнений для определения неизвестных Ра. При помощи логарифмирования предложенная ториче-ская подсистема приводится к линейной системе относительно lnpffl, задаваемой матрицей
T =
tu t
12
t
121 t
22
Vtm1 t12
1k
2 k
Л
t
(10)
mk J
Рис. 2. Графическая модель системы
где каждый столбец соответствует уравнению вида
п р! - п ра ' = 0, ) = 1, ..., к.
г. Ь- >0 1 г. Ь-<0 1
ч ч
Предложенные выше уравнения логарифмируются следующим образом:
lnp0001 + lnp0010 + lnp0100 + lnp0111 - lnp0011 - lnp0101 - lnp0110 = 0; 2lnP0001 + lnP0010 + lnP0111 + lnP1011 + lnP1100 - 2lnP0011 - lnP0101 - lnP1001 - lnP1110 = 0 •
Соответствующая матрица Т имеет шестнадцать строк и два столбца (из-за громоздкости в явном виде не приводится). Решение подсистем, задаваемых матрицами Ас и Т, может производиться как под-
ходящими аналитическими, так и численными методами.
Как показывают вышеприведенные примеры, вычисление вектора элементарных вероятностей р© по известным набо-
рам предельных вероятностей Р* и Рио сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Поэтому имеет смысл рассматривать не каждую фирму в отдельности, а лишь взаимосвязанные секторы экономики.
Также необходимо отметить, что на практике количество ребер графа С значи-
Г М)
^ , т. е. граф С не являет-
тельно меньше
V у
ся полным. При моделировании корреляции дефолтов могут вычисляться не элементарные вероятности рш, а некоторые их
линейные комбинации. Например, с помощью предложенной методики можно определить вероятность дефолта не менее половины всех фирм. При разработке специального математического аппарата для решения систем вида (10) и соответствующего программного обеспечения моделирование корреляции дефолтов на основе биномиальной модели может оказаться полезным инструментом для решения широкого круга практических задач математической экономики.
Список литературы
1. Китова О. В., Колмаков И. Б., Дьяконова Л. П. Система гибридных моделей вариантного краткосрочного прогнозирования показателей социально-экономического развития России / / Вестник Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова. -2ol4. - № 12 (78). - С. 88-Ю3.
2. Bielecki T., Brigo D., Patras F. Credit Risk Frontiers: Subprime Crisis, Pricing and Hedging, CVA, MBS, Ratings, and Liquidity. - Hardcover, 2oll.
3. Das S. R., Duffie D., Kapadia N., Saita L. Common Failings: How Corporate Defaults are Correlated // The Journal of Finance. - 2oo7. - Vol. 62. - N 2. - P. 93-ll7.
4. Evans S. N., Hening A. Nonexistence of Markovian Time Dynamics for Graphical Models of Correlated Default // Queueing Systems. - 2oll. - Vol. 69. - N 3-4. - P. 293-3l2.
5. Filiz I. O., Guo X., Morton J., Sturmfels B. Graphical Models for Correlated Defaults // Mathematical Finance. - 2ol2. - Vol. 22. - N 4. - P. 62l-644.
6. Gu J.-W., Ching W.-K., Siu T.-K. A Markovian Infectious Model for Dependent Default Risk // International Journal of Intelligent Engineering Informatics. - 2oll. - Vol. l. - N 2. -P. l74-l95.
References
1. Kitova O. V., Kolmakov I. B., D'yakonova L. P. Sistema gibridnykh modeley variantnogo kratkosrochnogo prognozirovaniya pokazateley sotsial'no-ekonomicheskogo razvitiya Rossii [The System of Hybrid Models of Variant Short-Term Forecast of Social and Economic Development in Russia]. Vestnik Rossiyskogo ekonomicheskogo universiteta imeni G. V. Plekhanova [Vestnik of the Plekhanov Russian University of Economics], 2014, No. 12 (78), pp. 88-103. (In Russ.).
2. Bielecki T., Brigo D., Patras F. Credit Risk Frontiers: Subprime Crisis, Pricing and Hedging, CVA, MBS, Ratings, and Liquidity. Hardcover, 2011.
3. Das S. R., Duffie D., Kapadia N., Saita L. Common Failings: How Corporate Defaults are Correlated. The Journal of Finance, 2007, Vol. 62, No. 2, pp. 93-117.
4. Evans S. N., Hening A. Nonexistence of Markovian Time Dynamics for Graphical Models of Correlated Default. Queueing Systems, 2011, Vol. 69, No. 3-4, pp. 293-312.
5. Filiz I. O., Guo X., Morton J., Sturmfels B. Graphical Models for Correlated Defaults. Mathematical Finance, 2012, Vol. 22, No. 4, pp. 621-644.
6. Gu J.-W., Ching W.-K., Siu T.-K. A Markovian Infectious Model for Dependent Default Risk. International Journal of Intelligent Engineering Informatics, 2011, Vol. 1, No. 2, pp. 174-195.
