Вычисление вертикальной составляющей притяжения масс однородного цилиндра и конуса Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГЕОДЕЗИЯ

УДК 528.2:528.4

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ МАСС ОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРА И КОНУСА

Юрий Викторович Дементьев

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры высшей геодезии СГГА, тел. (913)901-08-71, e-mail: [email protected]

Анатолий Иванович Каленицкий

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры астрономии и гравиметрии СГГА, тел. (913)906-74-53, e-mail: [email protected]

Впервые разработан алгоритм вычисления вертикальной составляющей гравитационного влияния масс однородного цилиндра, конуса, а также шара в любой точке координатного пространства.

Ключевые слова: вертикальная составляющая, гравитационное влияние, однородный цилиндр, конус, шар.

CALCULATING THE VERTICAL COMPONENT OF ATTRACTION OF MASSES HOMOGENEOUS CYLINDERS AND CONES

Yury V. Dementiev

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph.D., Prof, of Department of Geodesy SSGA, tel. (913)901-08-71, e-mail: [email protected]

Anatoly I. Kalenitsky

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph.D., Prof, of Department Astronomy and Gravity SSGA, tel. (913)906-74-53, e-mail: [email protected]

First developed an algorithm for calculating the vertical component of the gravitational influence of a homogeneous mass of the cylinder, cone, and the ball at any point in the coordinate space.

Key words: gravitational influence, vertical component, homogeneous cylinders, cone, sphere.

3

Геодезия

В работе [1] приведена уточненная формула вычисления вертикальной составляющей притяжения масс однородного цилиндра

SgA = 2жГа„ (Fa +V(Ha - H)2 + а2 Н\ + а2), (1)

где f - гравитационная постоянная;

а0 - плотность масс, заполняющих цилиндр;

Ha - высота результативной точки;

Н - высота цилиндра; а - радиус основания цилиндра,

Н при НА > Н;

II 2 Ha - Н при Н > НА > 0;

- Н к при НА < 0.

Следует заметить, что формула (1) справедлива только тогда, когда результативная точка A расположена на оси цилиндра. При этом высота Ha отсчитывается от уровня, совпадающего с уровнем нижнего основания цилиндра.

Рассмотрим общий случай, когда положение результативной точки A может лежать в любой точке пространства (рис. 1).

4

Геодезия

Здесь приняты следующие обозначения:

т — положение элементарной притягивающей массы в теле цилиндра; l — расстояние от точки m до оси цилиндра;

la — расстояние между проекцией точки A на горизонтальную плоскость и осью цилиндра;

H о — высота нижнего основания цилиндра; r — наклонное расстояние между точками A и т; b — горизонтальное расстояние между точками A и т; z — превышение точки A над точкой т;

h — превышение точки т над нижним основанием цилиндра; а — угол между отрезками la и l;

у — угол между направлением на притягивающую точку и отвесной линией.

Поправка в точке A за влияние притягивающих масс, расположенных внутри цилиндра, определяется известным соотношением [2]

Т

где d т — элементарный объем притягивающей массы. В нашем случае (см. рис. 1) имеем

z

cos у = —; z = HA — H0 — h; dt = Idldhdа; r

r = Vz 2 + b 2 ; b2 = la +1 — 2lal cos а.

r =

Тогда

а=я l=a h =H

—rd a dldh.

r3

(2)

a=0 l=0 h=0

Интегрирование выражения (2) по h приводит к соотношению

где z1 = HA — H0; z 2 = HA — H 0 — H . Вычислим далее интеграл по l.

0 ’

0

5

Геодезия

Имеем

а=%

§ёл = 2/°0 \ Уb2 - 2Ф ~yjb1 - 2Ф + VZ12 + 1 2 -'Iz22 + ll +

a=0

+P ln

( -2ap + a-p)(Vz,2 +1; -p) ( -2aP + a-p)2 +1"-P)

d a.

(3)

Здесь

2/2 2

'a.

b, = z,2 + l] + a2 =(Нл -H0)2 +12 +

b2 = z 2 + 12 + a 2 =( Нл - H 0 - H ) + tl + a 2;

P = la cos a.

Используя простейшую квадратурную форму, численно вычислим интеграл (3). Получим

&ёл = 2/a0 b2 - 2ap -4bl~^api + ^ -4 z2 + ll +

i=0 У-

(b2 - 2aPi + a - Pi ))Z12 + ll - Pi )

+Pi ln

(bi- 2api +a - p)) z(+1<2 - pi)

>Aa,

(4)

л

где n =—; Pi = la cos ai; a0 = 0; ai+1 =ai +Aa.

Aa

Как показали практические расчеты, при вычислении поправки SgA с погрешностью, не превосходящей 0,0005 мГал, достаточно положить Aa = 2'. Если в формуле (4) положить, что la = 0 и Н 0 = 0, то получим

SgA = 2/a0 2{Vz22 + a2 ~4Z12 + a2 + 7^^}Aa

i=0

или, после подстановки значений z, и z 2, имеем

SgA = 2 n/a„ (H + J(HA - H )2 + a2 -^НЛ + a2).

Полученное выражение полностью совпадает с известной формулой (,).

6

Геодезия

Рассмотрим теперь методику вычисления вертикальной составляющей притяжения масс конуса. Представим его набором одинаковых по толщине АН цилиндрических пластин, как это показано на рис. 2.

Рис. 2. Представление конуса цилиндрическими пластинами

Заметим, что если b ф 0, то мы имеем дело с усеченным конусом.

Величина 8gA, вычисляемая по формуле (4), есть функция высоты результативной точки На , высоты нижнего основания цилиндра Н0, вертикального размера цилиндра Н и радиуса основания цилиндра а, то есть

^а = §8а ( На , Ho, Н, a). (5)

Общее количество дисков

Н

m =----.

АН

Изменение радиуса Аа каждого из последующих дисков определяется соотношением

Аа =

АН

Н

(а - b)

а - b m

Счет дисков будем вести от нижнего к верхнему. Радиус нижнего диска примем равным а1 = а - Аа/2, а последующего - at = at-1 - Аа. Высота нижнего основания первого диска равна Н 0 = Н 0, последующих - Н 0 = Н 0-1 + АН.

7

Геодезия

Суммарное гравитационное влияние всех дисков определит общую величину bgkA вертикальной составляющей притяжения материальной точки A массами усеченного конуса:

i=m

SgA =ZsgA ( Ha , h0, ah , a). (6)

i=1

Рассмотрим теперь величину вертикальной составляющей притяжения материальной точки A однородным телом сферической формы (рис. 3).

Рис. 3. Представление шара цилиндрическими пластинами

Обычно вместо сферического тела для пространства, внешнего по отношению к его поверхности, принимается материальная точка с массой, равной массе шара, расположенная в его центре [2, 3]. Формула для вычисления вертикальной составляющей притяжения шара в обозначениях, принятых на рис. 3, имеет вид

Sg.I = 4 R3------Нл ~ Ho П3/ . (7)

3 [ Ч+(НЛ - hо у f

Очевидно, что это выражение непригодно для случая, когда исследуемая точка расположена внутри сферы.

8

Геодезия

Общую формулу для вычисления величины SgШ можно получить, представляя однородный шар набором цилиндрических пластин одинаковой толщины АН, но разных радиусов а,. Согласно рис. 3 имеем

ai =VR 2 -h ,

где i = 1,2,..., к; к = 2 R/ АН ; h1 = R -АН/2; hi = ht-1 -АН.

При этом

Н0 = н0 - R; Н0 = Н0-1 + АН.

Воспользуемся выражением (5) и по аналогии с (6) окончательно запишем:

8g.: =fl&gA (Нл, НО, АН, а,). (8)

i=1

Практические расчеты показали, что для результативных точек, расположенных во внешнем пространстве относительно сферы и на ее поверхности, значения гравитационного эффекта, рассчитанные по формулам (7) и (8), полностью совпадают. Однако, для точки, лежащей внутри сферы, справедлива только формула (8). Достоинство выражения (8) состоит еще и в том, что зна-

о

чение величины ogA можно вычислить не только для однородного шара в целом, но и для любой его части, ограниченной горизонтальными плоскостями с высотами Н1 и Н 2 (рис. 4).

9

Геодезия

В этом случае переменные оператора (5) примут вид

at =VR2 - h2 ,

где i = 1,2,...,к; к = (H2 - Hl)/AH; \ = Hx +AH/2; ht = ht-x + AH.

При этом

H‘ = H i; H0 = H'0~l + AH.

Таким образом, полученные формулы (4), (6) и (8) позволяют рассчитать величину вертикальной составляющей притяжения масс однородного цилиндра, конуса и шара в любой результативной точке координатного пространства.

Данная статья является продолжением цикла работ [1, 4, 5, 6] по исследованию и учету гравитационного влияния масс, заключенных в заданных объемах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дементьев Ю. В., Каленицкий А.И. Об уточнении формул для вычисления вертикальной составляющей величины притяжения масс сферического или плоского слоя // Геодезия и картография. - 2010. - № 3. - С. 7-9.

2. Шимбирев Б. П. Теория фигуры Земли: учебник. - М.: Недра, 1975. - 432 с.

3. Андреев Б. А., Клушин И.Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий: учебник. - Л.: Недра, 1965. - 495 с.

4. Дементьев Ю. В. Зависимость поправок за плоский и сферический слои в неполной топографической редукции от толщины слоя и радиуса учитываемой зоны // Вестник СГГА. - 2010. - Вып. 2 (13). - С. 13-17.

5. Дементьев, Ю. В. О возможности и необходимости определения аномалий силы тяжести в полной топографической редукции // Вестник СГГА. - 2011. - Вып. 3 (16). - С. 3-14.

6. Дементьев Ю. В., Каленицкий А. И., Черемушкин А. В. Выбор и обоснование оптимальных условий линейной интерполяции топографической редукции за влияние масс промежуточного слоя внешней области // Вестник СГГА. 2012. - Вып. 4 (20). - С. 18-26.

Получено 13.03.2013

© Ю.В. Дементьев, А.И. Каленицкий, 2013

10