Вычисление потока тепла в плоском канале с учетом температуры газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.72

ПОПОВ Василий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 124 научных публикаций, в т. ч. одной монографии, 6 учебных пособий

РУДНЫЙ Дмитрий Алексеевич, ассистент кафедры математики Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 5 научных публикаций

ЮШКАНОВ Александр Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета. Автор 294 научных публикаций, в т.ч. 6монографий

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТОКА ТЕПЛА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ

С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ ГАЗА

В рамках кинетического подхода вычислен поток тепла в плоском канале с параллельными бесконечными стенками при наличии параллельного стенкам градиента давления. В качестве основного уравнения используется обобщение эллипсоидально-статистической модели кинетического уравнения Больцмана на случай учета вращательных степеней свободы молекул газа, а в качестве граничного условия - модель диффузного отражения. Показана зависимость значения потока тепла в канале от температуры газа.

Течение разреженного газа в канале, кинетическое уравнение Больцмана, модельные кинетические уравнения, модели граничных условий, точные аналитические решения

Введение. Задача о вычислении потока тепла в плоском канале с бесконечными параллельными стенками при наличии параллельного стенкам градиента давления неоднократно рассматривалась ранее различными авторами с использованием как численных, так и аналитических методов [1-8]. В [1-8] в рамках кинетического подхода показано, что в случае каналов, толщина которых П соизмерима со средней длиной свободного пробега молекул газа , возможен перенос тепла за счет градиента давления в отсутствии

© Попов В.Н., Рудный Д. А., Юшканов А. А., 2011

градиента температуры. Такой поток тепла получил название изотермического потока тепла [9]. При увеличении толщины канала величина изотермического потока тепла стремится к нулю и

при [У » данный эффект не наблюдается.

Полученные в [1-8] результаты относятся одноатомным бесстуктурным к газам, число Пранд-тля которых постоянно и близко к 2 / 3. Однако для реальных газов значение числа Прандтля существенно отличается от приведенного выше и, кроме того, зависит от температуры газа [10].

Цель представленной работы состоит в построении решения, позволяющего учесть влияние температуры газа на значение изотермического потока тепла в канале. Для этого в работе построено обобщение ЭС-модели уравнения Больцмана на случай учета вращательных степеней свободы молекул газа. Отметим, что ранее данная процедура применялась в [11-14] для анализа процессов испарения на границе твердой плоской поверхности. В качестве граничного условия на стенках канала используется модель диффузного отражения.

Если описание состояния простого (одноатомного) газа полностью исчерпывается заданием функции распределения, как функции координат центров инерции молекул Г и их скоростей V, то в случае молекулярного газа необходимо учесть зависимость функции распределения от вращательных и колебательных степеней свободы молекул газа. Описание колебательных степеней свободы молекул газа всегда носит квантовый характер. Однако для достаточно широкого диапазона температур (порядка 10 -И 000° К) можно считать, что колебательные степени свободы не возбуждены и молекулы газа находятся в основном энергетическом состоянии [15]. Для описания вращательных степеней свободы молекул газа можно использовать подход, основанный на результатах классической механики.

Используя результаты [7] и [9], обобщение ЭС-модели кинетического уравнения Больцмана на случай молекулярных газов, когда описание вращательного движения молекул газа основывается на результатах классической механики, а колебательные степени свободы «заморожены», будем искать в виде

уУг./(г\ у,ш) = ^[ФаДг', V,со) - /(г’, V,СУ)] . (1)

Здесь У0 - столкновительный параметр модели, ф (г', V, Ю ) ~~ локально-анизотпопное гауссовское4 распределение [9], /(г',У,ф) ~ функция распределения молекул газа по координатам и скоростям поступательного и вращательного движений,

Ф (г',у,а») = и(г')

2лквт

1-І

Ж),1

3/2

X

(Щ)

с1е1(Л)1/2 х

хехр

1

I -

і,М

(2лквТш(т'))

'”(У, -і/Дг'Жу, -»,(г')) 2квТ,(г')

(2)

ЗіЩ

/^(Г1) |] Л,(.г’>- локально-равновесные температуры поступательного вращательного движений, кв - постоянная Больцмана,

и(г')= \/{г',у,со)^у^со,

и(г') = /у/(г',у,<у)^3уЛ,

п{г)

Т, (г') = ————-1/(г',у,о>)(у - и(г’))2 сI

\/{г (Iі \ с!

со.

(=1

А=\\м=

Г-х8у+{\-Г-')р-хР^т')

Ру = \/(г’,У,СО)(У' -М((г'))(уJ

т и Ji (/ = 1, 2 ,3) - масса и главные моменты инерции молекулы газа, Ш. - проекции скорости вращательного движения молекулы на ее главные оси инерции [16], Р..(г’)- тензор вязких

напряжений. Значения V и у выберем таким образом, чтобы при переходе к гидродинамическому пределу (1) приводило к истинному значению числа Прандтля для многоатомных газов.

Рассмотрим случай, когда Тч(г') = 7Ш(г1) = Т(г') . Физически эта модель соответствует ситуации, когда за одно столкновение между молекулами наступает равновесие, как по поступательным, так и вращательным степеням свободы с единой температурой [7]. Локально-равновесную температуру Гу(г’) = Гы(г') = Дг') в этом случае будем вычислять следующим образом

Будем считать относительный перепад макропараметров газа на длине свободного пробега

X

молекул газа I малым. Тогда решение (1) можно искать в виде

/(г', V, (О) = /0 (V, <у )[1 + И(г, С, V)].

Здесь /0^,йэ) - абсолютный максвеллиан,

С ^ II 1',. !>: - безразмерные скоро-

сти поступательного и вращательного движений

молекулы газа, /?р - тИк.!2квТ§,

г = і/0Д}/2г', Т0

динат,

температура газа в начале коор-

3/2 Л ОІ/2

/0(\,со) = и0Д,

вд

/=1

X

х ехр

2 3 т 2-

т\

2квТ0 і=) 2квТ0

Линеаризуя (2) относительно абсолютного максвеллиана, приходим к уравнению

дг ^ дг + с дг

ду 1 дг

(3)

Сх — + Су — + Сг — + И(г,С,у) =

' дх ■ "

= л~ъ }схр(-С -ИЩС>;С>’Щг,С\у')</ С'

с ядром

А:(С,^;С,,у') = 1 + 2СС'+^(С2 + у2-3)(С'2+у'2-

+20-г1) -^с2|с;с; -±^С’2

Предположим, что в газе поддерживается постоянный градиент температуры V Т • Тогда если систему координат выбрать таким образом, чтобы ее ось 02 была направлена в направлении движения газа, вызванного градиентом температуры, а ось Ох в направлении перпендикулярном ему, то непосредственной подстановкой легко убедиться, что решение (3) имеет вид

(4)

Здесь <?У = АПг (х) / (к и Ст = (1 / Т0 )<ГГ{2) / сЬ - безразмерные градиенты массовой скорости

газа и его температуры. В этом случае отличная от нуля компонента тензора вязких напряжений и поток тепла запишутся в виде

Ра = [ехр(-С2 - V2)И(Х, 1,С) X

Р0Я ■'

X СхС1<РСй\ = ——Є,у.

(5)

2Д

Ч-. =

О /3

2р0 я

|ехр(-С2 -у2)С, х

х(С + у2 -\)Ь{х,т,С)СхаъС(1\ =

- л ст.

Ро!2 Г

Учитывая, что в гидродинамическом прибли-

жешш а, . аг ...

р--п1^’ <6) после перехода к безразмерным величинам находим значение числа Прандтля, к которому приводит после линеаризации уравнение (1)

П 1 т

Рг = с„ — =-----СУ.

р к 4 кв р

Здесь //. к и Ср - коэффициенты динамической вязкости, теплопроводности и удельной теплоемкости газа при постоянном давлении. Для газа с классическим вращением молекул и невозбужденными колебательными степенями свободы с не

зависит от температуры газа и равна

ср = 4кв/ш

[15]. Отсюда у = Рг. Переходя далее в (6) к раз-р.

мерным величинам = ^ и сравни-

вая с (7), находим У0 — Рг р ! Г) . Соответственно безразмерные координаты определяются вы-

ражениями х — Рг х' { /е, х — Рг г’ / ]0 Здесь

1е=Ро1,2Г1/Р - средняя длина свободного

пробега молекул газа, р - давление газа. Таким образом, обобщение ЭС-модели уравнения Больцмана построено и можно перейти к решению основной задачи.

1. Постановка задачи. Построение функции распределения молекул газа. Рассмотрим течение разреженного газа в плоском канале, толщиной п , стенки которого расположены в плоскостях х' =±d' прямоугольной декартовой системы координат (d' = П'/2). Предположим, что в канале поддерживается постоянный градиент давления, параллельный его стенкам. Направим ось Огдекартовой системы координат вдоль градиента давления (см. рисунок).

Выбор системы координат Будем считать, относительный перепад давления на длине свободного пробега молекул газа I^ малым. Тогда задача допускает линеаризацию, и функцию распределения молекул газа по координатам и скоростям можно представить в виде

Здесь = (\1р)<3р1ёх - безразмерный

градиент давления. С учетом (3) и (4) для нахождения ( /л = Сх) приходим к уравнению

Ы

V— + 2(х,ц)+\ =

дх

і

хр(-г )[1 + 2(1-Рг )/лт]2(х. Общее решение (7) имеет вид [2]

т)с1т

(7)

Z(x,ц)= Ргх2 -2/их + 2/и2 +

+ Лц + Л|(дг-РГ1 ц)+ \е*Р(—)Р(гі,ц)а(ті)(іті,

—<В

Р(п,») = -±=тіР—

ЛІЯ п~н

+ схр(т]2)Ці])5(п-^і),

(8)

Л(2)=1 ' Лее<-у!>*,

V* Д Я-г

Р(1/ 2) - распределение в смысле главного значения при вычислении интеграла от7/г, д(г) - дельта-функция Дирака, А0 , А1 И а(т])- неизвестные параметры и функция, подлежащие дальнейшему определению. С учетом модели диффузного отражения граничные условия на верхней и нижней стенках канала записываются в виде

Z{±d,+^л) = 0, // > 0. (9)

Сучетомсимметриизадачидолжно выполняться равенство 2(-с!-ц) = [9] В силу это-

го необходимо положить Ах = 0, а(-Г]) = а{т]}-Учитывая сказанное выше и подставляя (8) в (9), приходим к интегральному уравнению 1 +hb(71-d)dr1 ^

./Г 3

Т1~Ц

+ ехр (/и2)Ь(/и,^)Л(/и) = /(я), ц>0,Дц) = -ус!2-2ц2-Ао--24 'ГМ*

* ТГ 3

(10)

Ь(г/,х) = ехр---------а(гі).

Л

/

Решение (10) ищем с использованием методов теории краевых задач функций комплексного переменного, представленного в [17]. На этом пути получаем

А^ = —у d2 + 2^ + 2с/0 +

+ -^= |г,¥(-г)а(г)ехр^- —

а для нахождения коэффициентов а (п)приходим к уравнению Фредгольма второго рода

(П)

Здесь 01 =-1.01619 и £>2 =-1.26632 - интегралы Лойалки [6]. Решение (11) ищем в виде ряда по степеням X

>0.

а(ц) = ^Лкак(іи),

к = -

к= О

2у[к

. (12)

Подставляя (12) в (11) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, приходим к системе рекуррентных соотношений, из которых находим

а0(т) = И(тШ-т-О/2],

8(г1т-П-П/2Ут1

Г/ + Т

і

а2(т) = И(т)

0

о ^+г

И(т) =

М+г1

Х(-т) (

ехр

Я+(г)|

V

-г*-° 2г

л

/ Ол

, ч г А'2 -г Г 2

I 1 + / м2 ЄХР ~Г----------

|Я+(т)|2 I Гу

Х(г) = — ехр

1 ™Жт)-к]с1 т

К

ГІМП-^

I г-

.. . к Я(г)ехр(г )

в(т) =-------агсс/& 4 ^——

2 УІ7ІГ

Таким образом, неизвестные параметры у40 , функция ). входящие в (12), найдены и функция распределения молекул газа по координатам и скоростям построена.

2. Вычисление потока тепла. С учетом построенной функции распределения вычислим поток тепла JQ в направлении оси Ог', приходящийся на единицу ширины канала. Учитывая (8), находим

?>') =

= |у [V - и(г')] IV - и(г*) I2 /(Г', V) V = пквТ , л 1 ф

=~гіг‘іЛх)-т- ■

л]/3 Р <ь

Здесь qz(x)Qc^ь безразмерная 2-компонента вектора плотности потока тепла. Тогда согласно [3]

2

I

О7

=

3/2

-ья

к, *

V Л" 0 0

(13)

п+и

I +30 4-ю

К2=~г кСлМм (V* ; о

*(»?) <*Т) Ъ(гт-т-012]<1т

I

£00 =

схр(-

ехр

Т+1}

О

Значения «Уд , рассчитанные согласно (13) для углекислого газа, приведены в таблице. Как следует из приведенных в таблице результатов, увеличение температуры газа от 0 до1200С при толщине канала п = 0.11 приводит к увеличению Уд на 5,3%, при П'равной \^, 10^, 100^ соответствующее увеличение равно соответственно 8,2, 154 и 19,4%.

Заключение. Итак, в работе в виде ряда Неймана построено решение задачи о вычислении изотермического потока тепла в плоском канале при наличии параллельного стенкам градиента давления. Получено выражение, описывающее поток тепла в газе, приходящийся на единицу ширины канала. Полученные результаты позволяют сделать вывод о зависимости величины потока тепла в канале от температуры газа.

ЗАВИСИМОСТЬ Уд ОТ ТОЛЩИНЫ КАНАЛА П И ТЕМПЕРАТУРЫ ГАЗА ДЛЯ УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА

t°C Pr D'/lg

0,1 1,0 10,0 100,0

0 0,7657387 - 0,75264 - 0,33308 - 0,08239 - 0,00983

100 0,7474714 - 0,75790 - 0,33664 - 0,08400 - 0,01006

200 0,7440811 - 0,75888 - 0,33731 - 0,08431 - 0,01011

300 0,7389645 - 0,76039 - 0,33833 - 0,08478 - 0,01017

400 0,7305666 - 0,76289 - 0,34003 - 0,08555 - 0,01029

500 0,7175989 - 0,76681 - 0,34270 - 0,08678 - 0,01047

600 0,7055089 - 0,77054 - 0,34523 - 0,08796 - 0,01065

700 0,6903732 - 0,77531 - 0,34848 - 0,08948 - 0,01088

800 0,6815522 - 0,77815 - 0,35042 - 0,09038 - 0,01101

900 0,6789143 - 0,77901 - 0,35100 - 0,09066 - 0,01106

1000 0,6647333 - 0,78368 - 0,35419 - 0,09217 - 0,01129

1100 0,6506971 - 0,78841 - 0,35743 - 0,09371 - 0,01152

1200 0,6385759 - 0,79264 - 0,36030 - 0,09509 - 0,01174

Список литературы

1. Шарипов Ф.М., Селезнев В.Д. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах. Екатеринбург, 2008.

2. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий // ЖТФ. 1998. Т. 68, 11. C. 27-31.

3. Barichello L.B., Siewert C.E. A Discrete-Ordinates Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel // Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Physik. V. 50. 1999. S. 972-981.

4. Barichello L.B., Camargo M., Rodrigues P., Siewert C.E. Unified Solutions to Classical Flow Problems Based on the BGK Model // ZAMP. 2001. 52. P. 517-534.

5. Siewert C.E. Poiseuille, Thermal Creep and Couette Flow: Results Based on the CES Model Linearized Boltzmann Equation // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2002. V. 21. P. 579-597.

6. Siewert C.E. The linearized Boltzmann Equation: Concise and Accurate Solutions to Basic Flow Problems // Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Physik. 2003. V. 54. P. 273-303.

7. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитические решения граничных задач для кинетических уравнений. М., 2004.

8. Garcia R.D.M., Siewert C.E. The Linearized Boltzmann Equation with Cercignani-Lampis Boundary Conditions: Basic Flow Problems in a Plane Channel // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009. V. 28. P. 387-396.

9. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М., 1973.

10. ВаргафтикН.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М., 1963.

11. Латышев А.В., Юшканов А.А. Скачок температуры и слабое испарение в молекулярных газах // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. Вып. 3(9). С. 956-971.

12. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Смолуховского в полиатомных газах // ПЖТФ. 1998. Т. 24. 17. С. 85-90.

13. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое вычисление параметров молекулярного газа на поверхности в задаче Смолуховского // ПМТФ. 2001. Т. 42. 3. С. 91-100.

14. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Смолуховского для молекулярных газов с учетом коэффициентов аккомодации поступательной и вращательной энергии молекул // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 5. С. 845-854.

15. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М., 1979.

16. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М., 1972.

17. Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта в плоском канале с бесконечными параллельными стенками // ЖТФ. 2011. Т. 81. № 1. С. 53-58.

Popov Vasily, Rudny Dmitry, Yushkanov Aleksandr

CALCULATION OF THE HEAT STREAM IN THE FLAT CHANNEL WITH ACCOUNT OF GAS

TEMPERATURE

Within the kinetic approach the stream of heat in the flat channel with parallel infinite walls is calculated in the presence of a gradient of pressure parallel to the walls. The generalization of ellipsoidal-statistical model of Boltzmann kinetic equation is used as the basic equation in case of taking into account rotary degrees of freedom of gas molecules, model diffusion reflections being used as a boundary condition. Dependence of the heat stream value in the channel on the temperature of gas is shown.

Контактная информация: Попов Василий Николаевич e-mail: [email protected]

Рецензент - Шестаков Л.Н., доктор физико-математических наук, профессор, первый проректор (проректор по учебной работе) Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова