CC BY
8
12
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 3
Вычисление парамагнитной восприимчивости редкоземельных соединений на основе контурного интегрирования и метода функций Грина
A.M. Савченко1", Е.М. Сорокина2
1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой статистики и теории поля. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: "[email protected]. 2Московский государственный университет приборостроения и информатики, кафедра высшей математики
Статья поступила 30.11.2008, подписана в печать 03.01.2009.
На основе микроскопической теории сложных соединений исследуется парамагнитная восприимчивость соединений редкоземельных металлов типа Hr i_.v I 1(Ь Шц В.). Показано, что обратная статистическая восприимчивость таких систем подчиняется закону Кюри-Вейсса, причем температура Кюри определяется обменным взаимодействием в самосогласованном приближении. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными.
Ключевые слова: парамагнитная восприимчивость, контурное интегрирование, метод функций Грина. УДК: 530.10. PACS: 75.20.^g.
В работе [1] была предложена микроскопическая теория сложных соединений редкоземельных металлов. Данная теория в дальнейшем нашла свое продолжение во флуктуационной теории магнитных систем, развитой в работах [2-5]. Из построенной микроскопической теории следует, что фазовые переходы между соответствующими состояниями оказываются фазовыми переходами второго рода. Однако в теории не были учтены длинноволновые термодинамические флуктуации, которые нарастают вблизи точек фазовых переходов. Вблизи линий фазовых переходов флуктуации сверхпроводящей компоненты возрастают, так как вместе со сверхпроводящей компонентой флуктуируют и волны спиновой плотности.
В настоящей работе показано, как данная теория может быть использована для вычисления восприимчивости сложных магнитных систем, в частности редкоземельных соединений. Рассмотрим флуктуации спиновой и зарядовой плотности, которые определяют поведение системы как в парамагнитной, так и в упорядоченных фазах [3]. Будем исследовать модель коллективизированных электронов, которые взаимодействуют между собой, а также с кристаллической решеткой и полем неупорядоченной системы электронных спинов Ар(х) [5].
В парамагнитной фазе магнитный порядок отсутствует, и спины электронов распределены хаотично. Так как электроны в нашей модели предполагаются коллективизированными, то пространственное распределение их спинов непрерывно меняется. Следовательно, можно предположить, что неупорядоченная система спинов флуктуирует и поэтому поле Ар — А^ ААр описывает также флуктуации неупорядоченной системы спинов. В рассматриваемой модели распределение спинов электронов связано с пространственным распределением их зарядов. Тогда это означает, что флуктуации спиновой плотности (Л/1,.) неразрывно связаны с флуктуациями зарядовой плотности.
Гамильтониан рассматриваемой модели коллективизированных электронов, взаимодействующих с полем Апи и с кристаллической решеткой, имеет вид [1]
U=MTr
dx
лТе
(|г А„ dx,/)
с„(х)—Рх:с„(х) ■
7)gph(x) Y^ е?^+:(х)1:(х)Ьи:(х)ф+(х)фа(х)
х —fe(§T К äx.)
Af
M'WSs,
•JßV
-/(г) Шг)
-.V Ti-
li* dx'
N
Те(§тА"ах")ф+(х)ф+(х') x
x V(x - х')с ,(х')с.,(х)—/Ге^: л dx»)
где Av = j Y1 t'AI + AAv, f' — матрицы Паули,
7=1
Фа(х)> фа(х), bfK(x), blK(x) — операторы рождения
и уничтожения электронов и фононов, PXv = — \AV, ],
В(Т) = jjte^r ~A"dx"\— вариационная производная
по приращению площади контура Г.
Введем функции Грина электронов и фононов
Са13(х,т\Г\х',т') = (Tr.Ax.r)TrB(V)r Лх'.т')). 0Шкк,(х,т\Г\х',т') = (tblK(x, т) Тг Ё(Г)Ь+Ы (дг\ г'))• Используя уравнения движения для функций Грина и полевого оператора Ё(Т) [1], можно записать выражение для полной плотности заряда в системе
4ттрил(х) = ¡Л/"2 dx'0 S(x - х') х
Г+к
Рк 2irC
-к€Г
4-Л/"2 lim 4 X, т-> х' ,т'
(ТгВ(Г) ТтВ(к)) - (ТгВ(Г + к))
Du (г.
х e«
-к€Г
Jdx'v, p0i,,{k]
(Trß(r + к)) - (Trß(r) ТтВ(к)) ,
из которого следует интегральное соотношение для обратной диэлектрической проницаемости системы
Т
С'(Р|Г) = 1 + 2— (сЬ(тг1кр±о))р(р±0) х £р
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
13
X (1 — (.¥«[1 -/Ы])р(«)) - ^{сЦк1кР±о))р(р±0) X ^ / йк 1 /т Ь/ чХ21тК4ж(ИК1))\ ,п — «1 €1
где ук= (3[ик(р) + р,к(Ар0г/)}, /3= 1/Т, ик(р) — частота электронного спектра, ¡(ук) = (\-\-еУк)~х, р,к(Аро„) — эффективный химический потенциал, учитывающий флуктуации плотности спина и заряда. Выражение (1) позволяет вычислить диэлектрическую проницаемость системы £к(р|Г) в парамагнитной области, на основе которой удается определить парамагнитную восприимчивость системы
х^{рЮ=\А(_ЩЫ_\ Г1*
Г]__1 ц1 / Л(Г|е/г)д(е/г) \
Х [ (р)2 ХоЛ [1 +А(Т\ер)В(р\Т)]2 /рМ +
17/ А(Т\еР)Я(еР) \ 1 ™ (РУ2 ТСо \ [1 + )5(р|Г)]2 )(М\ ■ { '
В этом выражении Л(Г|е^) = (ТгВ(Г))2(сЬ(7г/кр^о))/,(Р±0) х х ь,(ер)[[ук(£р)], и(ер) — плотность состояний на поверхности Ферми. Тогда хо« = Р'1(А(Т\ер)) р(к) — восприимчивость Паули коллективизированных электронов, находящихся в поле Ар, при этом С}(ер) = ^фр , при
этом аЦр)2 = (¡й(х1 ~ -
обменный радиус корреляции флуктуаций в системе электронных спинов [5]. В(р\Г) = У(р|Г)С(р|Г), где 1/(р|Г) — эффективный кулоновский потенциал, а С(р|Г) — функция, которая определяется обменно корреляционными эффектами в электронной подсистеме и взаимодействием электронов с кристаллической решеткой. Из формулы (2) можно легко видеть, что обратная статистическая восприимчивость системы подчиняется закону Кюри-Вейсса [6], причем величина ТСо представляет собой затравочную температуру Кюри, определяемую обменным взаимодействием 7(х\ —Д^Г*,^) в самосогласованном приближении. Истинная же температура Кюри определяется из условия %-1(0|Г) = 0.
Выражение (2) может быть использовано для объяснения экспериментальных данных, полученных при исследовании температурной зависимости восприимчивости сложных соединений редкоземельных металлов, типа Hr i_.v I lo.v Rh i В i [7, 8]. Действительно, в области достаточно высокой концентрации ионов Но, х и 0.8 ч- 1.0, Хехр — 0.5 ч- 1.5 численные значения Xtheor составляют вблизи точки фазового перехода при Т > Тс величины
0.585. 0.8, 1.13, что близко к экспериментальным значениям.
Интересно отметить, что в данной области температур величина диэлектрической проницаемости системы £к(р|Г) оказывается отрицательной, что позволяет оценить восприимчивость системы при Т <Тс в упорядоченной фазе, которая при х = 0.813 оказывается порядка Хехр ~ —0.9, Xtheor ~ —0.8, что также близко к экспериментальному значению.
Следовательно, предложенная микроскопическая теория позволяет описывать поведение сложных магнитных систем не только в упорядоченных фазах, но и в парамагнитной области, что свидетельствует о сильном влиянии флуктуаций на физические свойства системы во всех фазах. Этот вывод совпадает с результатами феноменологической теории фазовых переходов в сложных соединениях редкоземельных элементов.
Списож литературы
1. Savchenko МЛ., Stephanovich A.V. // Sol. State. Commun. 1981. 39. P. 725.
2. Савченко МЛ., Стефанович A.B. Флуктуационная сверхпроводимость магнитных систем. М., 1986.
3. Sadovnikov В.1., Savchenko A.M. 11 Physica A. 1999. 271. P. 411.
4. Sadovnikova M.B., Savchenko A.M., Scarpetta G. // Phys. Lett. A. 2000. 274. P. 236.
5. Savchenko M.A., Stefanovich A.V. Fluctuational Superconductivity of Magnetic Systems. Springer-Verlag, 1990.
6. Johnston D.C., Fertig W.A., Maple M.B. // Sol. State. Commun. 1978. 26. P. 141.
7. Ku H.C., Braun H.F., Acker F. 11 Physica C. 1981. 108. P. 1231.
8. Chang L.J., Tomy C.V., Paul D.M. 11 Phys. Rev. B. 1996. 54 P. 9031.
Rare-earth compounds paramagnetic susceptibility calculations based on the contour integration and Green function method A.M. Savchenko , E.M. Sorokina2
1 Department of Quantum Statistics and Field Theory, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
2 Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Instrument Engineering and Informatics, Stromynka Str., Moscow 107996, Russia.
E-mail: "[email protected].
The paramagnetic susceptibility of magnetic systems is calculated with the help of the microscopic theory of complex magnetic systems Eri-jHo^RtuB^ It is shown that inverse static susceptibility will comply with the Curie-Weiss law and the Curie temperature is defined by exchange interaction in self-consistent approximation. These results are compared to the experimental data.
Keywords: paramagnetic susceptibility, contour integration, Green function method.
PACS: 75.20.-g.
Received 30 November 2008.
English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2009).
Сведения об авторах
1. Савченко Александр Михайлович — к.ф.-м. п., доцент, ет. преподаватель; e-mail: [email protected].
2. Сорокина Елена Михайловна — к.ф.-м. п., доцент; тел.: 155-32-33.
7 ВМУ. Физика. Астрономия. № 3
