Вычисление неопределённого интеграла дробно-рациональной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.421

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ1

© С. М. Тарарова

Ключевые слова: дробно-рациональные функции, интеграл дробно-рациональной функции.

Рассматривается задача вычисления неопределённого интеграла дробнорациональной функции. Предлагается метод, который позволяет избежать приближённых вычислений и получить точный ответ.

Теория интегрирования дробно-рациональных функций известна с XIX в. При традиционном подходе знаменатель функции раскладывается на линейные множители, используя вычисление всех корней знаменателя в поле комплексных чисел. Полученные корни являются приближёнными. В результате получается неопределённый интеграл, в котором присутствуют приближённые числа.

Однако во многих случаях можно избежать приближённых вычислений. Опишем способ вычисления неопределённого интеграла дробно-рациональных функций, который позволяет получить точное решение, если оно существует.

Пусть f(x) = , где q(x), r{x) Е Q[.i], deg q(x) < deg r(x), правильная дробно-

рациональная функция.

Разложим полином г{х) на неприводимые множители г(х) = г”1 (ж)гз2 (ж).. ,г^к(х) в Q[.x]. Тогда функцию f(x) можно представить в виде суммы правильных дробей

h Tii / \

/<*>-£ ЕШ

ttU Гг(Х)

где qij G Q[x], Гг е Q[:c], deg qij < deg rt, гДх) - неприводимые полиномы, j = 1, i = 1,. ..,к.

Таким образом, задача сводится к интегрированию правильных дробей вида , где г(х) — неприводимый полином.

Так как г(х) и г'(х) — взаимно простые, то существуют полиномы а в Q[.x], b € Q[x], удовлетворяющие соотношению ar + br' = 1 [1]. Тогда

f£dx = f dx = f ^dx + f^dx = f J^dx + f (^1^1 - dx =

qb/(n-1) , Г qa+(qb/(n-1))' j rn-l i J rn-l

Продолжим аналогичные преобразования получившегося интеграла до тех пор, пока в знаменателе подинтегральной дроби получим г1. Тогда

[±, дпЬ/(п-1) qn-ib/(n — 2)_________дкЬ/(к - 1)______q^b [ ft _

J rn Х у-п—1 у.п-2 fk— 1 j- J V

1 Работа выполнена при поддержке программы «Развитие потенциала высшей школы» (проект

2.1.1/1853)

где

Чп = ч,

Чк = -(Чк+Лак + Ь0 + д'к+1Ь), к = п - 1,..., 1,

ч'к — Чк+\[ка' + Ь") + ц'к+1{ак + 2 Ъ') + д'к+1Ь).

Итак, получили интеграл от правильной дроби, в знаменателе которой стоит неприводимый полином в первой степени.

Если с/1 = сг', то искомый интеграл равен

/

—dx = с 1п(г). г

Если с не является константой, то исходная функция неинтегрируема без алгебраических расширений. Следовательно, можем найти только приближённое значение интеграла, если он существует [2]. Например, даже такой интеграл

/

Мх + N , М. |2 , 2N-Mp ,

dx = —In | x + px + q | -+- In

x2+px + q 2 2уУ - Ц

2x + p — -\/p2 — 4g

+ C

вычисляется в расширении поля Q.

Описанный метод позволяет как можно дольше выполнять действия в поле рациональных чисел и только при необходимости перейти в поле действительных чисел или, если это необходимо, в поле комплексных чисел.

ЛИТЕРАТУРА

1. Панкратьев Е.В. Элементы компьютерной алгебры (Конспекты спецкурса). - М.:Механико-математический факультет МГУ. - 2007.

2. Дэвенпорт Д., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра: Пер с франц. - М.: Мир,1991.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.

4. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. - СПб.: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002.

5. Малашонок Г.И. О проекте параллельной компьютерной алгебры. Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Том 14, вып. 4, 2009. С.744-748.

Tararova S.M. Calculation of integral of the fractional-rational function. The problem of calculation of integral of the fractional-rational function is considered. The method which allows to avoid the approached calculations and to receive the exact answer is offered.

Key words: fractional-rational functions, integral of fractional-rational functions.

Поступила в редакцию 20 ноября 2009г.