Вычисление коэффициентов диффузии бинарной системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 541.5

А. Ш. Бикбулатов, А. А. Усманова

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФУЗИИ БИНАРНОЙ СИСТЕМЫ

Ключевые слова: коэффициент диффузии, активность компонент, кинетические уравнения, диффузионная скорость,

плотность потока массы.

Проведено совместное решение кинетических уравнений, записанных относительно каждой из компонент бинарной смеси. Приводится выражение для бинарного коэффициента диффузии реальных систем, тождественное ранее полученному.

Key words: diffusion coefficients, nonideal liquid solution, modification kinetic theory, activity coefficient,chemicalpotensial.

In This article were reported about results of calculated values of diffusion coefficients. It will be seen, that the kinetic theory hart spheres may be used for described only for ideality liquid mixtures and it is impossible to use for described nonideal systems. It may be used modification kinetic theory.

В работах [1,2] на основе совместного решения кинетических уравнений модели твердых сфер для плотных систем и термодинамики необратимых процессов для модели идеального ассоциированного раствора были получены выражения для коэффициентов диффузии в реальных многокомпонентных растворах

nÏÏimi\ кТ

m,

2/77!

'до

(1)

h*k

ы

дп.

где ni — число частиц в единице объема; yi —

коэффициент активности; ml - масса молекулы; к-

постоянная Больцмана; T0 К - температура C>h -

коэффициенты разложения по полиномам Сонина;

¡Лк - химический потенциал. Определив в этих

выражениях коэффициенты разложения по полиномам Сонина через интегральные скобки, полученные в результате интегрирования столкновительного члена кинетических уравнений, были определены бинарные коэффициенты диффузии [3,4,5]. При этом были установлены связи между бинарным коэффициентом диффузии и коэффициентами диффузии, получаемыми из решения кинетических уравнений, записанных относительно каждой из компонент, называемыми в литературе как парциальные, истинные коэффициенты диффузии, а также коэффициентами активности. Эти связи являются общими, справедливыми для реальных растворов, и от них можно осуществить переход к аналогичным, но частным существующим зависимостям, получаемым в кинетической теории разреженных и плотных газов. В данной работе приводится другой метод определения выражения для бинарного коэффициента диффузии путем совместного решения кинетических уравнения, записанных относительно каждой из компонент двух компонентной смеси в приближении только одного полинома в разложении Сонина.

Решение кинетических уравнений первого приближения модели твердых сфер плотных систем для случая переноса массы выполняем для термодинамической модели идеального

ассоциированного раствора, выбирая в качестве системы сравнения идеальный раствор.

Неравновесную функцию распределения (^ )

отыскиваем через функцию возмущения 0 i :

^ =/^°(1 + 0/). При этом равновесную функцию

распределения в отличие от обычно

используемой при решении кинетического уравнения нулевого порядка, зависимости Максвелла, справедливую для идеальных сред, определяем в общем виде как:

= nj;

kT

/77,

2лкТ

(2)

•expl -

2кТ

Величину химического потенциала |Лi в выражении [2] определяем через активность компонент niyi, вычисляемую по зависимости Льюиса = ц° (Г, p) + ^ 1п п , относительно

выбранной системы сравнения идеального раствора, т. е. системы обладающей только собственным

объемом частиц. В этом выражении получается

из решения кинетического уравнения нулевого порядка, а плотность числа частиц, соответственно, определяется через активность компонент, и согласно условию нормировки имеем

п, =

где vi - линейная скорость молекулы. В этом случае

кинетические уравнения для случая переноса массы в бинарных системах будут иметь вид [1]:

2

fjr0c¡ = 2> ¡а ■

■ |]7~о|0'/+ 0/.— s?'— ,.0'y)

■ (( ■ к kftkdv¡

(З)

d¡ = —!—V /7,

n

S¡ +

x_ r

r¡ дx¡

дß дп,-

Л

д

д

Здесь с/, - вектор возмущения; -равновесная радиальная функция распределения; и^ -параметр взаимодействия; ^ - безразмерная скорость; С, -

тепловая скорость; - мольная доля; к - единичный вектор. Решение уравнений [3] проводится обычными методами. Функция возмущения для бинарной смеси записывается как

Л=1

где

Щ =

]2кТ

Уравнения для функций С^ при исключении зависимого градиента

— С^ )1тУ2 = ! -С?220

и с учетом дополнительного условия позволяют определять коэффициенты разложения

Со — С2 для бинарной смеси в виде [2]:

(0 )

r¡m^лЦ

\2

(4)

' m¡_т n ¡r¡(m\n\r\ +ГП2П2Г2) Средняя диффузионная скорость j- ой компоненты

Cj=— [ffCjdv,

вычисляется как (5)

Подставляя в формулу [5] выражение для функции возмущения, исключая при этом зависимый градиент и используя разложение функций по полиномам Сонина, получим

=

(кТ\ ^

m¡

К J У

(Cj0— Cj)

(kTЛ 2

/77;

fa Г 2)П/д^дП/ [Uj0 — oy°i -

кТ дпу дг

(б)

( кТ\72

КУ КУ

(^J-0

— C/0)SI

X, дп

r

д

д ~д?

Плотность потока массы определяется как

Л = ППт!% =—Ц°Ит1Ц=Т (7)

¡фгп

Сопоставляя зависимости [4-7], получим выражение для бинарного коэффициента диффузии

\2 ^

2пкТ(т\ + т2 )

\2

\2

(8)

Г\Г2

д(| n rn;r))

(\Г\2 +П2Г22 )\/2

па

д

-"12

Данное выражение, как и следовало ожидать, соответствует формулам, полученным ранее и приведенным в работах [1,2]. Установленные соотношения между коэффициентами диффузии, характеризующими перенос каждой из компонент в бинарной смеси под действием собственного градиента концентрации и бинарного

коэффициента позволяет определять величины этих коэффициентов, проводить анализ влияния различных параметров, свойств веществ на явление переноса массы в реальных системах. В тоже время использование этих соотношений позволяет получить другой вид выражения для бинарного коэффициента диффузии.

Литература

1. Бикбулатов А.Ш. Усовершенствованный коэффициент диффузии для неидеальных систем /А.Ш. Бикбулатов, А.А. Усманова//. Вестник Казанского технол. ун-та. -2012.-№18.-С.7.

2. . Бикбулатов А.Ш. Бинарные коэффициенты диффузии реальных жидких систем /А.Ш. Бикбулатов, А.А. Усманова//. Вестник Казанского технол. ун-та. -2013.-т.19.-№18.-С.7.

3. Ферцигер Д. Математическая теория процесса переноса в газах./ Д.Ферцигер, Г.Капер . - М. 1976. - 554с.

4. Tham M.K. Kinetic Theory of Multicomponent Dense Fluid Mixtures of Rigid Spheres/ M.K. Tham, K.E. Gubbins//. -1971. -Vol.55.-№1. -p. 268-279.

5. Lebowits J.L., Rowlinson J.S. Thermodynamic Properties of Mixtures of Hard Spheres/ J.L Lebowits., J.S. Rowlinson// J. Chem. Phys. -1964.-Vol.41. - №1. -P.133-138

6. Бикбулатов А.Ш. Концентрационная зависимость коэффициентов вязкости неидеальных растворов/А. Ш. Бикбулатов, А.А. Усманова//. Вестник Казанского технол. ун-та. -2011.-т.19.-№18.-С.7.

© А. Ш. Бикбулатов - к.т.н., доц. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ; А. А. Усманова - к.т.н., доц. каф. САУТП КНИТУ, sautp@yandex.ru.

© A. Sh. Bicbulatov - Ph.D., Associate Professor, Processes and apparatuses of Chemical technological Department, KNRTU, A. A.Usmanova - Ph.D., Associate Professor, The Systems of automatic and management of technological processes Department, KNRTU, sautp@yandex.ru.