CC BY
16
Научная статья МЕХАНИКА
DOI: 10.18287/2541-7525-2020-26-3-40-62
УДК 629.7.05 Дата: поступления статьи: 13.03.2020
после рецензирования: 27.03.2020 принятия статьи: 25.05.2020
О.Н. Белова
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Российская Федерация E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4492-223X
Л.В. Степанова
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Российская Федерация E-mail: [email protected]. ORCID: http://orcid.org/0000-0002-6693-3132
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ ВБЛИЗИ ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ. СМЕШАННОЕ НАГРУЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ1
АННОТАЦИЯ
Целью исследования является вычисление коэффициентов асимптотического разложения М. Уильямса полей напряжений и перемещений с помощью данных конечно-элементного моделирования пластины с наклонной центральной трещиной в поле одноосного растяжения. В статье проведено также моделирование нагружения полудиска с вертикальным и наклонным надрезом в условиях трехточечного изгиба. Моделирование проводилось в многофункциональном программном комплексе SIMULIA Abaqus. В работе предложен алгоритм для вычисления коэффициентов. Программа, написанная в системе компьютерной алгебры MAPLE, позволяет вычислить любое наперед заданное количество коэффициентов разложения М. Уильямса (амплитудных или масштабных множителей) и использует в качестве входных данных значения компонент тензора напряжения в точках в окрестности трещины и их координаты. Проведен анализ влияния количества вычисляемых коэффициентов на точность их определения. Даны рекомендации по выбору точек для вычисления коэффициентов.
Ключевые слова: поле напряжений, трещина, смешанное нагружение, коэффициенты разложения М. Уильямса, конечно-элементное моделирование.
Цитирование. Белова О.Н., Степанова Л.В. Вычисление коэффициентов асимптотического разложения поля напряжений вблизи вершины трещины. Смешанное нагружение пластины // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Т. 26, № 3. С. 40-62. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-3-40-62.
Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.
© Белова О.Н., 2020
Белова Оксана Николаевна — аспирант кафедры математического моделирования в механике, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34. ©c Степанова Л.В., 2020
Степанова Лариса Валентиновна — доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математического моделирования в механике, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РФФИ в рамках научного проекта № 19-01-00631).
Введение
Хрупкое разрушение в твердом деформируемом теле и рост трещины в нем определяются полем напряжений вокруг вершины трещины и параметрами, описывающими сопротивление материала росту трещины. Поэтому одной из актуальных задач современной механики хрупкого разрушения является определение напряженно-деформированного состояния у вершины трещины или надреза в линейно-упругом изотропном материале. Несмотря на то что данная проблема линейной механики разрушения относится к хорошо известным задачам, получившим целый класс известных решений для тел с различными конфигурациями и системами нагрузок [1—3], остается еще много вопросов, и сейчас различным аспектам хрупкого разрушения посвящается большое количество исследований [4]. В настоящее время при оценке полей напряжений, деформаций и перемещений вблизи вершины трещины или надреза прибегают к аналитическим, численным и экспериментальным методам. В хрупких материалах, проявляющих линейное упругое поведение, для получения аналитического распределения напряжений и перемещений в телах с дефектами используются методы теории упругости. К таким методам относятся аналитические, такие как методы теории функции комплексного переменного и метод интегральных преобразований. Одной из широко используемых в механике разрушения техник является метод разложения по собственным функциям. Впервые аналитическое решение в рядах было получено М. Уильямсом [5; 6]. Далее, подход, основанный на методе разложения по собственным функциям, получил развитие во многих работах [7-12] и продолжает оставаться часто применяемым методом получения аналитических решений.
В работах М. Уильямса получено асимптотичеиское представление поля напряжений, формально содержащее бесконечное количество слагаемых. Ранее в разложении, как правило, удерживались только первые два слагаемых, в которые входили коэффициенты интенсивности напряжений и Т-напряжения. Однако в целой серии работ показано, что высшие приближения (регулярные слагаемые) играют существенную роль [11; 13-18]. Так, в статье [11] получено разложение асимптотических полей вершины трещины в линейно-упругом анизотропном материале. Особое внимание уделяется первым регулярным членам разложения поля напряжений (выражению для Т-напряжений). Представлено упругое решение задачи для бесконечной анизотропной плоскости, содержащей наклонную центральную трещину, подвергнутую одноосному или двухосному нагружению. При таких условиях получены точные аналитические решения для всех коэффициентов разложения у вершины трещин. Результаты показывают, что Т-член является единственным параметром, зависящим от упругих констант анизотропного материала. Дана оценка зависимости Т-напряжения от свойств материала и показано, насколько существенно члены более высокого порядка, особенно Т-напряжение, и какой вклад они могут вносить в описание поля напряжения вблизи вершины трещины.
Так, в цикле работ [11; 13-18] проведен анализ полей напряжений и перемещений в различных трещинах (нагруженных как в режиме I, так и во II режиме). Основная цель исследования состояла в том, чтобы дать точную оценку полей вблизи вершины трещины, которые впоследствии могут быть использованы, например, в случае квазихрупких материалов для оценки протяженности нелинейной зоны у вершины трещины в целом и зоны процесса разрушения в частности. Значения коэффициентов высших членов степенного разложения, с помощью которых могут быть выражены механические поля, определяются регрессионным методом по результатам численных расчетов. Анализ проведен с использованием 2Б-численных моделей, и используется вычислительная система Л^УБ ЕЕ. Обсуждаются различные аспекты описания полей напряжений и перемещений с помощью разложения Уильямса, в частности, сходимость коэффициентов первых нескольких членов разложения ряда, их абсолютные значения и важность для точной аппроксимации напряжений.
Таким образом, представление поля напряжений с учетом высших приближений - важная задача, решение которой необходимо для правильного и точного описания поля напряжений у вершины трещины в линейно-упругом теле. В последнее время для определения коэффициентов разложения М. Уильямса в ряд используются теоретические методы, экспериментальные и численные, например, метод конечных элементов. В настоящей статье выполнена попытка построения разложения М. Уильямса и определения коэффициентов разложения с помощью МКЭ-моделирования. В статье описана проведенная процедура извлечения коэффициентов высших приближения разложения поля напряжений в ряд в окрестности вершины трещины в образцах с различной геометрией. Компьютерное моделирование процессов разрушения имеет важное инженерное значение как прогностическая способность количественно оценить разрушение материала под различными нагрузками и является весомым фактором при проектировании. Часто целью моделирования является оценка коэффициентов интенсивности напряжения (КИН), которые используются в механике для количественной оценки полей напряжения вблизи трещины в однородном материале. Их значения можно найти с помощью коэффициентов асимптотического разложения М. Уильямса. В случае центральной трещины в пластине, находящейся под нагрузками
моды I и моды II, напряжения вблизи вершины трещины могут быть записаны в виде разложения М. Уильямса, которое имеет вид
'ij
(r, в) =
2 то
Е Е
m=1 k = —то
am I1 ak In
k
Mr k
(1)
полярная система координат с полюсом в рассматриваемой вершине трещины, а'т
,(к)
где (г, в)
коэффициенты, зависящие от геометрии и от типа и величины приложенных нагрузок; (в) —
угловые функции, зависящие от компонент напряжения и типа нагрузки. Аналитическое представление угловых функций приведено в работе [7] и имеет следующий вид:
fiïi(e 1?2)2(в iSke
fui (в
12(Й2)2(в I2fc1)2(e
[(2 + § + (-1)k) cos (f - 1) в - (f - 1) cos (2 - 3) в] [(2 - 2 - (-1)k) cos (2 - 1) в + (2 - 1) cos (2 - 3) в]
I [(2 - 1) sin ( 2 - 3) в - (| + (-1)k) sin ( | - 1) в],
= -2 [(2 + I - (-1)k) sin (2 - 1) в - (2 -1) sin (i - 3) в] = -1 [(2 - I + (-1)k ) sin ( 2 - 1) в + ( 2 - 1) sin ( I - 3) в] = I [(I - 1) cos (2 - 3) в - (I - (-1)2) cos (I - 1) в] .
(2)
Первые члены разложения (1) описывают асимптотическое поведение решения вблизи вершины трещины и играют важную роль в механике разрушения. Зная первые коэффициенты разложения М. Уильямса, можно вычислить значения коэффициентов интенсивности напряжения и Т-напряжения по следующим формулам:
KI = v^ai I1(12)2 (0), KH = v^12(11)2 (0), T = a2 f1^ (0).
112,12(
n2f 1,11(
(3)
Однако в работах [7; 12; 14; 15; 18] показана для целого ряда задач необходимость учета коэффициентов более высокого порядка.
Произвольное плоское нагружение образца приводит к появлению поля перемещений, которое может быть выражено рядами и и и2 соответственно, как
то 2
м1М) = ЕЕ animer,в) =
2=0 2=1
k r 2
E1 1 2
ak 2»
k=0
то k
Е2 r 2 ak 2»
k=0
к+2+(-1)^cos 2в - 2 cos (2 - 2) « -к - 2 + (-1)k) sin -2 в + 2 - 2) в
+
(4)
2
U2M) = ££ amg1|)(r,в) =
E11 2
ak
k=0 k=1 k r 2
k=0
2»
k r 2
E2 r 2 aI 2»
k=0
к - 2 - (-1)2) sin2в+2sin (2 -2)в
К - 2+ (-1)0 cos 2 в + 2co^ 2 - 2) в
+
(5)
где ц — модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона и а™ — коэффициенты разложения полей напряжений и перемещений в ряд, подлежащие определению. Константа Колосова (к) равна 3 — для плоского деформированного состояния или 3 — 4v*, где V* = v/(1 + V), для плоского напряженного состояния.
и
1. Моделирование пластины
В программном комплексе 81МиЫА Abaqus проведено конечно-элементное моделирование роста центральной трещины в пластине. Для реализации смешанного нагружения трещина моделировалась наклонной, при этом к пластине приложена растягивающая нагрузка. Схематически описание модели приведено на рис. 1. Всего было выполнено моделирование 11 образцов. Различие образцов состояло в угле наклона трещины а. Он менялся от 0° до 90° с шагом в 10°. Создан также образец с углом наклона трещины 45°. Ширина пластины Ь = 400 см, высота Н = 800 см, длина трещины а =10 см.
Рис. 1. Описание модели Fig. 1. Description of the model
Свойства материала заданы с помощью констант модуля Юнга и коэффициента Пуассона и приняты 3 • 1011 Па и 0.24 соответственно. Растягивающая нагрузка P приложена к верхней грани пластины и равна 100 Н. Нижняя грань пластины зафиксирована. Трещина задана с помощью типа "Контурный интеграл". Особенность состояния в вершине трещины описывается с помощью сингулярных конечных элементов. Всего разбиение содержало порядки 18 тыс. элементов. Способ разбиения вблизи вершины трещины показан на рис. 2. В результате расчета выводились значения коэффициентов интенсивности напряжений Ki, Kii и Т-напряжение для обеих вершин трещины.
Рис. 2. Способ разбиения сетки модели Fig. 2. Method of mesh partitioning of the model
Для выбора набора точек из окрестности вершины трещины был написан скрипт, сохраняющий значения компонент тензора напряжений ац, а 12 и <22 для точек, лежащих на окружностях с центром в вершине трещины и радиусом от 0.1 см до 4 см с шагом 0.1 см. На каждой окружности равномерно выбрано 72 точки. Таким образом известны координаты каждой точки, где r соответствует расстоянию точки от вершины трещины, а угол в меняется от —п до п. Пример выбора точек показан на рис. 3.
2. Моделирование полудиска
В программном комплексе 81МиЫА Abaqus проведено конечно-элементное моделирование роста трещины в полудиске в условиях трехточечного изгиба. Для реализации смешанного нагружения трещина моделировалась наклонной. Схематически описание модели приведено на рис. 4. Всего
Рис. 3. Выбор набора точек Fig. 3. Selecting a set of points
было выполнено моделирование 6 образцов. Различие образцов состояло в угле наклона трещины а относительно горизонтальной оси. Он менялся от 40° до 90° с шагом в 10°. Радиус Ь полудиска
Рис. 4. Описание модели Fig. 4. Description of the model
равен 4 см, длина трещины а =1.4 см. Свойства материала заданы с помощью констант модуля Юнга и коэффициента Пуассона и приняты 3 • 1011 Па и 0.24 соответственно. Сжимающая нагрузка Р приложена к верхней грани полудиска и равна 100 Н. На нижней грани полудиска смоделированы две точки опоры, находящиеся на одинаковом расстоянии от середины Н = 3.4 см. Трещина задана с помощью типа "Контурный интеграл". Особенность состояния в вершине трещины описывается с помощью сингулярных конечных элементов. Всего разбиение содержало порядки 5 тыс. элементов. Способ разбиения сетки полудиска показан на рис. 5. В результате расчета выводились значения коэффициентов интенсивности напряжений К и Кц и Т-напряжение для обеих вершин трещины.
Рис. 5. Способ разбиения сетки модели Fig. 5. Method of mesh partitioning of the model
Выбор набора точек из окрестности вершин трещины был аналогичен выбору точек в пластине.
3. Алгоритм извлечения коэффициентов разложения М. Уильямса
В работе [20] описан подход оценки параметров разрушения для различных конфигураций трещины с помощью цифрового метода фотоупругости и конечно-элементного моделирования. Используя экспериментальные данные посредством матричных преобразований, были найдены коэффициенты асимптотического разложения М. Уильямса. В данной работе используется эта методика вычисления коэффициентов.
Рассмотрим формулу (1). Из результатов экспериментов или моделирования можно для выбранных точек получить значения компонент тензора напряжений. Следовательно, известны значения в левой части уравнения (1). Так как известны координаты выбранных точек, можно вычислить угловые функции и подставить в уравнение значения r. Пусть будет выбрано M точек и необходимо вычислить N приближений (M > N). Здесь под приближением N понимается вычисление 2N коэффициентов разложения М. Уильямса, то есть, если N = 1, то вычисляются коэффициенты a}, а1,, если N = 2, то вычисляются коэффициенты а} ,а\ ,а\, и т. д. Значения компонент тензора напряжения для каждой точки можно представить в виде вектора-столбца J размерностью 3M х 1. Для построения выбраны три компоненты тензора напряжения — это ^11,^12,^22. Компоненты были пересчитаны в соответствии с новой системой координат, повернутой относительно горизонтальной оси на угол наклона трещины и с центром в вершине разреза.
Искомые значения коэффициентов представим в виде вектора-столбца X размером 2N — 1 х 1. Для избежания появления нулевого столбца в матрице при ее построении пропускаем столбец при f^j. При этом примем значение коэффициента а2 = 0.
Составим матрицу A из угловых функций f^ij (@) и множителя с rk-1. Данная матрица будет иметь размерность 3M х 2N — 1. В итоге уравнение (1) представим в виде
J = AX (6)
С помощью последовательных преобразований найдем
X = (AT A)-1 AT J (7)
Вектор-столбец X и будет содержать найденные значения кэффициентов а™. Алгоритм вычисления коэффициентов был реализован в системе компьютерной алгебры MAPLE. Задача об одноосном растяжении наклонной трещины и задача о нормальном отрыве и поперечном сдвиге горизонтальной трещины — статически эквивалентные задачи [19]. Для задачи растяжения бесконечной пластины с центральной трещиной коэффициенты разложения М. Уильямса могут быть найдены аналитически. Например, в работе [7] аналитически определены коэффициенты разложения М. Уильямса.
При приложении к пластине растягивающей нагрузки коэффициенты вычисляются следующим образом:
a1 = (-1Г+1(2п)! n > 0
a2n+1 = 2-+1 (n!)2(2n-1) a-2 , > 0
a1 = ^222 (y-1) (8)
a2 = 4 ,
a\ = 0, остальные коэффициенты.
При действии сдвиговой нагрузки коэффициенты вычисляют как
a2 = (-1)n(2")! ^22 n > 0
a2n+1 = 2-+i (n!)2(2n-1) an-1 , > 0 (9)
a?k = 0, остальные коэффициенты.
В итоге разложение М. Уильямса принимает вид
2 то
a«M) = £ £ar„+1fi2^1)(0)r"-2, (10)
m=1n=0
Приложенная к пластине растягивающая нагрузка должна быть пересчитана в соответствии с новой системой координат. Таким образом, растягивающая нагрузка в новой системе координат примет вид a22 = Pcos(a)2, а сдвиговая нагрузка - а12 = P sin(2a). Кроме того, коэффициент y в формуле (8) отвечает за поперечное сжатие пластины при растяжении, то есть ац = y°22. При этом коэффициент будет вычисляться по следующей формуле:
sin(a)2 cos(a)2
В данном случае компонента а21 пересчитывается в связи с переходом к новой системе координат следующим образом:
(sin(a))2 — (cos(a))2
Y = CB02 • (11)
pv v ,v v • (12)
2
Таким образом, зная точное решение для выбранной конфигурации, есть возможность сравнить ее с решением, полученным с помощью написанной программы. Поэтому точное аналитическое решение задачи о трещине в бесконечной линейно-упругой пластине использовалось далее для верификации результатов работы алгоритма извлечения коэффициентов разложения М. Уильямса полей напряжений и перемещений. После тестирования алгоритма разработанная программа была использована для вычисления коэффициентов разложения М. Уильямса поля напряжений вблизи вершины надреза в полудиске с вертикальным и наклонным под разными углами надрезом.
4. Результаты вычислений и выводы
Полученные с помощью программы коэффициенты разложения для центральной трещины в пластине приведены в табл. 1-4. В таблицах приведены также результаты аналитического решения (АР) и значения Ki, Кц, T — напряжений из конечно-элементного моделирования (МКЭ). Ниже приведены результаты в зависимости от угла наклона трещины. Угол наклона трещины относительно горизонтальной оси равен 0°, 30°, 45°, 60°. Точки выбраны из круговой области на расстоянии 1 см от вершины трещины.
Таблица 1 _ Table 1
а = 0 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 7 n = 9 АР
Kj 429.24 400.5581 399.092 400.1207 400.1812 400.1861 396.3327
Kn -0.0731 0.4145 1.1088 1.3555 0.9889 0.8865 0
a\ 171.2420 159.7978 159.2147 159.6250 159.6492 159.6511 158.1138
a\ 0.0291 -0.1693 -0.4423 -0.5407 -0.3945 -0.3536 0
a2 -21.4429 -24.1876 -24.4479 -24.5588 -25.0681 -25.1020 -25
a2 0 0 0 0 0 0
a2 6.5993 7.1191 7.0363 7.6125 7.6154 7.9056
a3 -0.0180 0.0642 0.1021 0.1982 0.1207 0
a4 -0.1484 -0.0836 -0.2310 -0.1591 0
a| -0.1540 -0.2242 -0.2007 -0.0851 0
a2 -0.1042 -0.3301 -0.4296 -0.1976
as 0.0183 -0.0660 -0.1299 0
a2 0.1908 0.2392 0
a1 0.1285 0.1038 0
a7 -0.2058 -0.1898 0.0098
a7 -0.0292 0.0393 0
a2 -0.0295 0
as -0.0917 0
a2 0.0395 -0.0006
a9 0.0232 0
МКЭ
-0.02318
25.125
На всех следующих рисунках по горизонтальной оси откладывается угол в на котором находится точка, где —п соответствует точке лежащей на нижней грани трещины, а п — на верхней. По вертикальной оси откладывается значение компонент тензора напряжения а^ • 104 (Па).
На рис. 6, 7, 8 приведено угловое распределение компонент тензора напряжения ац, а22 и а\ч, соответственно построенных с использованием различного количества слагаемых асимптотического разложения М. Уильямса (сплошная линия). Построены также графики компонент тензора напряжения, полученные из конечно-элементного решения (кружочки) и из аналитического решения с теоретически определенными значениями амплитудных, масштабных множителей а™ (кривые показаны пунктирной линией). Точки для вычисления коэффициентов выбирались на расстоянии 1 см от вершины трещины. Трещина расположена под углом 45° к горизонтальной оси.
Из рис. 6 ясно видно, что на выбранном расстоянии от вершины трещины двух слагаемых в разложении Уильямса недостаточно для описания поля напряжений, трехчленное асимптотическое разложение оказывается существенно более близким к теоретическому и численному решению, тогда пятичленное асимптотическое разложение не отличимо от теоретического решения и конечно-элементного решения.
Из рис. 7 следует, что для представления компоненты тензора напряжений а22 на выбранном расстоянии также двух и трех слагаемых недостаточно, необходимо сохранять пять и более членов ряда.
Таблица 2 _ Table 2
а = 30 n = 2 n=3 n = 4 n = 5 n = 7 n = 9 АР МКЭ
Ki 322.486 301.5514 300.8074 303.1392 302.9326 303.0133 297.2495 298.1
Kii 153.594 173.518 173.9591 175.3769 175.8067 175.7748 171.6171 172.9
a } 128.6533 120.3016 120.0048 120.9350 120.8526 120.8848 118.5854
a2 -61.2751 -69.2236 -69.3996 -69.9652 -70.1367 -70.1240 -68.4653
a2 -9.8648 -11.8366 -11.9694 -12.2318 -12.5218 -12.5051 -12.5 12.58
a2 0 0 0 0 0 0 0
a2 4.7941 5.0584 4.8783 5.2001 5.1486 5.9292
a§ -3.4453 -3.3923 -3.1488 -3.1823 -3.2554 -3.4232
a\ -0.0748 0.0746 0.0547 0.1009 0
aj -0.0990 -0.5581 -0.6097 -0.5359 0
a2 -0.2398 -0.4105 -0.4273 -0.1482
a1 0.1336 0.1545 0.1394 0.0855
a2 0.1064 0.0818 0
a} -0.0197 -0.0589 0
a\ -0.0844 -0.0342 0.0074
a"7 -0.0152 0.0038 -0.0042
a2 -0.0190 0
a} -0.0140 0
a9 0.0057 -0.0004
ag -0.0090 0.0002
Таблица 3 _ Table 3
а = 45 n = 2 n=3 n=4 n=5 n=7 n=9 АР МКЭ
Ki 214.5309 200.5673 200.081 201.59 201.4553 201.5023 198.1663 198.2
Kii 177.4279 200.2887 200.6558 202.1449 202.6867 202.6550 198.1663 199.6
a} 85.5854 80.0147 79.8208 80.4230 80.3690 80.3878 79.0569
a} -70.7835 -79.9036 -80.0501 -80.6441 -80.8603 -80.8476 -79.0569
a2 1.8025 0.5026 0.4156 0.2384 0.0587 0.0710 0 0
a} 0 0 0 0 0 0 0
a2 3.1870 3.3594 3.2480 3.4513 3.4192 3.9528
a}} -3.9774 -3.9334 -3.6708 -3.7289 -3.7991 -3.9528
aj -0.0482 0.0501 0.0341 0.0616 0
aj -0.0823 -0.5791 -0.6393 -0.5776 0
a2 -0.1575 -0.2631 -0.2734 -0.0988
a1 0.1478 0.1871 0.1855 0.0988
a2 0.0681 0.0542 0
a1 -0.0467 -0.0882 0
a\ -0.0548 -0.0247 0.0049
a7 -0.0119 -0.0047 -0.0049
a2 -0.0119 0
a1 0.0041 0
a2 0.0041 -0.0003
a29 -0.0152 0.0003
На рис. 8 показано распределение касательного напряжения. Можно было бы предположить, что доминирующее слагаемое, содержащее коэффициент интенсивности напряжений, и Т-напряжения играют ключевую роль. Тем не менее, как видно из рисунка, следует удерживать высшие приближения в разложении в ряд компонент тензора напряжений. Результаты извлечения параметров механики разрушения существенно зависят от выбора точек для расчета. Зависимость параметров механики разрушения от выбранного радиуса концентрической окружности иллюстрируют графики распределения напряжений, приведенные ниже.
Рисунки 9, 10, 11 показывают, как меняются вычисленные значения компонент тензора напряжений в зависимости от расстояния от вершины трещины, на котором выбирались точки. Угол наклона трещины равен 30°, в асимптотическом разложении удерживалось 5 слагаемых.
Таблица 4 Table 4
a = 60 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 7 n = 9 АР
Kj 106.5204 99.5784 99.3300 100.0578 99.9874 100.0063 99.0831
Kn 153.7127 173.4313 173.6869 174.9044 175.3937 175.3693 171.6171
a,\ 42.4955 39.7260 39.6269 39.9172 39.8892 39.8967 39.5284
aj -61.3225 -69.1890 -69.2910 -69.7767 -69.9719 -69.9622 -68.4653
a2 13.4801 12.8472 12.8026 12.7107 12.6285 12.6359 12.5
aj 0 0 0 0 0 0 0
a2 1.5750 1.6629 1.6137 1.7101 1.6952 1.9764
a3 -3.4431 -3.4124 -3.1941 -3.2534 -3.3070 -3.4232
a\ -0.0240 0.0247 0.0148 0.0261 0
aj -0.0572 -0.4713 -0.5236 -0.4819 0
a2 -0.0779 -0.1266 -0.1306 -0.0494
a25 0.1248 0.1661 0.1725 0.0855
a2 0.0330 0.0277 0
a6 -0.0517 -0.0857 0
a^ -0.0269 -0.0142 0.0024
a7 -0.0075 -0.0086 -0.0042
a8 -0.0054 0
a§ 0.0136 0
al 0.0022 -0.0001
a9 -0.0154 0.0002
МКЭ
98.43 172.9
12.61
a б
в г
Рис. 6. Угловое распределение компоненты тензора напряжений ац в зависимости от количества удерживаемых слагаемых разложения. N — число удерживаемых слагаемых в разложении М. Уильямса:
а — N = 2; б — N = 3; в — N = 5; г — N = 7 Fig. 6. Angular distribution of the stress tensor component ац depending on the amount of the retained terms of the decomposition. N is the number of retained terms in the M. Williams expansion: a — N = 2; b — N = 3;
с — N = 5; d — N = 7
\ r \
J I t \
\
\
\
-3-2-10 1 2 3
r V Г \
J r V, i \
\
\
\
4
3: 3=
r —w-
-3-2-10 1 2 3
-3-2-10 1 2 3
Рис. 7. Угловое распределение компоненты тензора напряжений а22 в зависимости от количества удерживаемых слагаемых разложения. N — число удерживаемых слагаемых в разложении М. Уильямса:
а — N = 2; б — N = 3; в — N = 5; г — N = 7 Fig. 7. Angular distribution of the stress tensor component а22 depending on the amount of the retained terms of the decomposition. N is the number of retained terms in the M. Williams expansion: a — N = 2; b — N = 3;
с — N = 5; d — N = 7
■ 7 \\
/ // // II
i
\\ f\
1/
-3-2-10 1 2 3
a
в
г
a
вг
Рис. 8. Угловое распределение компоненты тензора напряжений ai2 в зависимости от количества удерживаемых слагаемых разложения. N - число удерживаемых слагаемых в разложении М. Уильямса:
а — N = 2; б — N = 3; в — N = 5; г — N = 7 Fig. 8. Angular distribution of the stress tensor component символ12 depending on the amount of the retained terms of the decomposition. N is the number of retained terms in the M. Williams expansion: a — N = 2;
b — N = 3; с — N = 5; d — N = 7
-3 -2 -1
-lOO -125
-п
-3 -2 -1
-3 -2 -1 0
-3 -2 -1
-3 -2 -1
Z*4
Г f
1 /jf \
-3 -2 -1
-2-10 1
-3 -2 -1 0
^ю з и
Рис. 9. Угловое распределение компоненты тензора напряжений ац в зависимости от выбора точек на концентрических окружностях с радиусом r: а — r = 0.1 см; б — r = 0.5 см; в — r = 1 см; г — r = 1.5 см;
д — r = 2 см; е — r = 2.5 см; ж — r = 3 см; з — r = 3.5 см; и — r = 4 см Fig. 9. Angular distribution of the stress tensor component ац depending on the choice of points on concentric circles with a radius r: a — r = 0.1 cm; b — r = 0.5 cm; c — r = 1 cm; d — r = 1.5 cm; e — r = 2 cm; f — r = 2.5 cm; g — r = 3 cm; h — r = 3.5 cm; i — r = 4 cm
a
в
д
г
е
На рис. 9 видно, что на расстоянии r = 0.1 см аналитическое решение, показанное пунктирной линией, конечно-элементное решение, показанное кружочками, и восстановленное решение (сплошная линия), основанное на извлечении параметров механики разрушения, существенно отличаются друг от друга. Однако, рассматривая графики, можно заключить, что в окрестности вершины имеется кольцевая область, в которой асимптотическое решение М. Уильямса дает хорошее описание поля напряжений.
На рис. 10 показано распределение компоненты тензора напряжений 022 в зависимости от выбора точек на различных расстояниях от вершины трещины r.
На рис. 11 показаны распределения компоненты тензора напряжений о\2 в зависимости от выбора точек на различных расстояниях от вершины трещины r.
Из рис. 10 и 11 видно, что лучшее совпадение результатов будет при выборе точек из кольцевой области на некотором расстоянии от вершины трещины. При данных условиях наблюдается наибольшее совпадение на расстоянии от вершины трещины от 1 см до 2.5 см.
Сформулированный вывод представляется важным для обработки экспериментальных данных, полученных с помощью интерференционно-оптических методов механики деформируемого твердого
-3 -2-10 1
-3-2-10 1 2 3
-3-2-10 1 2 3
-3 -2 -1 0
-3 -2 -1
Рис. 10. Угловое распределение компоненты тензора напряжений в зависимости от выбора точек на концентрических окружностях с радиусом r: а — r = 0.1 см; б — r = 0.5 см; в — r = 1 см; г — r = 1.5 см;
д — r = 2 см; е — r = 2.5 см; ж — r = 3 см; з — r = 3.5 см; и — r = 4 см Fig. 10. Angular distribution of the stress tensor component a22 depending on the choice of points on concentric circles with a radius r: a — r = 0.1 cm; b — r = 0.5 cm; c — r = 1 cm; d — r = 1.5 cm; e — r = 2 cm; f — r = 2.5 cm; g — r = 3 cm; h — r = 3.5 cm; i r = 4 cm
a
в
д
г
е
з
и
тела, нацеленных на экспериментальное определение параметров механики разрушения, а именно, на экспериментальное определение коэффициентов асимптотического разложения М. Уильямса.
При применении поляризационно-оптических методов с целью извлечения коэффициентов разложения М. Уильямса (методов цифровой фотоупругости, голографической интерферометрии, лазерной спекл-интерферометрии и цифрового градиентного зондирования) зачастую экспериментатор не знает, на каком расстоянии от вершины трещины выбирать точки (экспериментатор, например, в методе цифровой фотоупругости видит всю интерференционную картину изохроматических полос и изоклин: экспериментатор может выбрать точки на любой изохроматической полосе). Если экспериментальные точки выбраны на значительном удалении от вершины трещины, следует понимать, что в асимптотическом разложении М. Уильямса нужно удерживать большее количество слагаемых. К такому выводу независимо друг от друга пришли представители различных научных школ, и в настоящее время анализ поля напряжений в окрестности вершины трещины в изотропном линейно упругом теле всегда осуществляется с учетом регулярных слагаемых в разложении М. Уильямса.
Подобные анализ и построения выполнены для моделей полудисков с вертикальным и наклонным надрезом в условиях трехточечного изгиба. Полукруговой диск с надрезом в последнее время
-2-10 1
-2-10123
-2-10 1 2 3
-- if Л %
\
\
\
-10 12 3
ж з и
Рис. 11. Угловое распределение компоненты тензора напряжений ai2 в зависимости от выбора точек на концентрических окружностях с радиусом r: а — r = 0.1 см; б — r = 0.5 см; в — r = 1 см; г — r = 1.5 см;
д — r = 2 см; е — r = 2.5 см; ж — r = 3 см; з — r = 3.5 см; и — r = 4 см Fig. 11. Angular distribution of the stress tensor component а12 depending on the choice of points on concentric circles with a radius r: a — r = 0.1 cm; b — r = 0.5 cm; c — r = 1 cm; d — r = 1.5 cm; e — r = 2 cm; f — r = 2.5 cm; g — r = 3 cm; h — r = 3.5 cm; i — r = 4 cm
часто используется как образец для изучения вопросов смешанного нагружения в полном диапазоне смешанных форм деформирования от чистого нормального отрыва до чистого поперечного сдвига. В силу указанной причины полукруговой диск был выбран в качестве образца для проведения компьютерного вычислительного эксперимента. Проверенный на примере пластины с центральной трещиной алгоритм был использован для выделения коэффициентов асимптотического разложения М. Уильямса в окрестности вершины вертикального надреза и наклонного под разными углами надреза.
Полученные с помощью программы амплитудные (масштабные) коэффициенты многопараметрического разложения М. Уильямса полей напряжений и перемещений в окрестности вершины надреза в полудиске приведены в табл. 5-10. В таблицах приведены также значения коэффициентов интенсивности напряжений К, Кц и Т-напряжений, полученные из конечно-элементного анализа (МКЭ). Видно, что значения хорошо согласуются между собой.
Ниже приведены результаты для различных значений угла наклона надреза. Угол наклона трещины относительно горизонтальной оси равен 40°, 50° 60°, 70°, 80°. Точки выбраны из кольцевой области на расстоянии 0.7 см от вершины трещины. Для трещины под углом 90° точки выбраны на расстоянии 0.9 см от вершины трещины.
a
в
g
г
е
Таблица 5 Table 5
a = 40 n = 2 n=4 n =10 n =15 n = 20 n = 30 МКЭ
Ki 16.1068 40.7780 42.7034 42.6923 42.6931 42.6992 41.29
Kn -18.7947 -21.0593 -23.7153 -23.6741 -23.6732 -23.6575 -23.53
a\ 6.4257 16.2681 17.0362 17.0317 17.0321 17.0345
a\ 7.4980 8.4014 9.4610 9.4446 9.4442 9.4380
a2 2.6802 5.9665 6.0645 6.0803 6.0794 6.0759 6.095
a\ 0 0 0 0 0 0
a3 -8.9792 -9.4459 -9.4480 -9.4479 -9.4479
a\ 0.3154 0.4168 0.4387 0.4392 0.4437
a\ 0.8619 0.6997 0.6748 0.6753 0.6785
a24 0.1722 1.2230 1.2122 1.2118 1.2092
a5 0.3245 0.3349 0.3352 0.3333
a1 -0.9438 -1.0152 -1.0156 -1.0189
a6 -0.2268 -0.1554 -0.1557 -0.1577
a1 1.0453 1.2005 1.2018 1.2036
a\ -0.2293 -0.3808 -0.3836 -0.3821
a7 -0.2110 -0.3297 -0.3301 -0.3272
a2 0.2939 0.4201 0.4228 0.4240
al -0.0931 -0.1573 -0.1609 -0.1620
a9 2 -0.2694 -0.2501 -0.2419 -0.2434
a29 0.1104 0.3665 0.3710 0.3678
Таблица 6 Table 6
a = 50 n = 2 n=4 n =10 n =15 n = 20 n = 30 МКЭ
KI 25.7909 53.4675 55.3765 55.3771 55.3781 55.3770 54.05
Kii all -17.6345 -21.5479 -24.8201 -24.8198 -24.8179 -24.8107 -24.31
10.2890 21.3304 22.0920 22.0922 22.0926 22.0922
all 7.0351 8.5963 9.9018 9.9016 9.9009 9.8980
al22 1.6922 5.4368 5.0169 5.0117 5.0107 5.0111 5.015
al 0 0 0 0 0 0
a2 -10.1771 -10.2179 -10.2114 -10.2112 -10.2112
all 1.0230 0.9562 0.9576 0.9583 0.9603
a4 1.0661 1.2811 1.2864 1.2874 1.2871
al 0.0231 1.3932 1.3949 1.3945 1.3933
a2 -0.5873 -0.6285 -0.6287 -0.6284
al -1.0325 -1.0452 -1.0464 -1.0479
al62 0.1381 0.2262 0.2250 0.2248
al 0.9708 0.9875 0.9881 0.9888
a\ -0.1847 -0.2813 -0.2817 -0.2820
-0.1119 -0.1034 -0.1008 -0.0992
al2 0.0769 0.0950 0.0982 0.0992
al -0.2114 -0.2632 -0.2661 -0.2664
al92 -0.0090 0.1018 0.1022 0.1021
a29 0.1359 0.1986 0.1933 0.1909
Таблица 7 Table 7
a = 60 n = 2 n = 4 n =10 n =15 n = 20 n = 30 МКЭ
Ki 36.8461 66.8460 68.8858 68.8797 68.8810 68.8805 67.22
Kn -14.7595 -20.7339 -23.0435 -23.0364 -23.0327 -23.0227 -22.55
a,\ 14.6995 26.6677 27.4814 27.4790 27.4795 27.4793
a1 5.8882 8.2716 9.1930 9.1901 9.1887 9.1847
a2 0.4014 4.4061 3.5112 3.5098 3.5083 3.5081 3.51
a\ 0 0 0 0 0 0
a3 -10.9295 -10.6070 -10.6014 -10.6012 -10.6010
a\ 1.4339 1.5194 1.5194 1.5205 1.5233
a,\ 1.0548 1.5850 1.5891 1.5907 1.5910
a\ 0.1262 0.9062 0.9086 0.9081 0.9064
a8 -1.3502 -1.3850 -1.3855 -1.3854
a\ -0.6322 -0.6269 -0.6284 -0.6306
a6 0.4243 0.4882 0.4860 0.4852
a% 0.6773 0.6418 0.6421 0.6430
a\ -0.1952 -0.2432 -0.2428 -0.2431
a7 -0.0246 0.0396 0.0429 0.0454
a8 -0.0021 -0.0233 -0.0184 -0.0163
al -0.1435 -0.19071872-0.1925 -0.1928
a8 0.0795 0.1675 0.1647 0.1647
a9 0.0708 0.0423 0.0342 0.0304
Таблица 8 Table 8
a = 70 n = 2 n=4 n =10 n =15 n = 20 n = 30 МКЭ
KI 47.4895 77.9271 81.1254 81.1201 81.1213 81.1212 79.15
Kii a ll -10.5843 -17.1507 -18.1158 -18.1025 -18.0969 -18.0846 -17.7
18.9455 31.0884 32.3643 32.3622 32.3627 32.3627
all 4.2225 6.8421 7.2271 7.2218 7.2196 7.2147
a2 -1.0035 2.8648 1.7832 1.7820 1.7804 1.7797 1.7785
al 0 0 0 0 0 0
a8 -10.7276 -10.4934 -10.4907 -10.4905 -10.4902
al 1.4218 1.6936 1.6957 1.6973 1.7008
a\ 0.7154 1.3884 1.3935 1.3954 1.3961
al 0.2807 0.2810 0.2817 0.2808 0.2788
a2 -1.6627 -1.6786 -1.6791 -1.6792
al -0.0958 -0.0929 -0.0949 -0.0976
a6 0.4586 0.4703 0.4675 0.4662
2 al 0.2582 0.2286 0.2290 0.2300
a\ -0.1800 -0.1660 -0.1657 -0.1659
a7 0.1271 0.1848 0.1888 0.1920
a8 -0.0355 -0.0689 -0.0621 -0.0591
al -0.1093 -0.1520 -0.1536 -0.1541
a2 0.0859 0.1016 0.0980 0.0978
a9 0.0390 0.01228 0.0026 -0.0025
Таблица 9 Table 9
a = 80 n = 2 n = 4 n =10 n =15 n = 20 n = 30 МКЭ
Ki 55.4695 84.3138 89.9609 89.9535 89.9438 89.9351 87.66
Kn -5.3448 -9.3521 -9.7530 -9.7868 -9.8046 -9.8392 -9.806
a\ 22.1291 33.6363 35.8892 35.8862 35.8824 35.8789
a\ 2.1322 3.7309 3.8909 3.9043 3.9114 3.9252
a2 -2.1672 1.2489 0.2214 0.2350 0.2444 0.2528 0.3082
a\ 0 0 0 0 0 0
a3 -9.6957 -10.0670 -10.0712 -10.0723 -10.0736
a\ 0.9675 1.2434 1.2275 1.2215 1.2116
a\ 0.2107 0.9787 0.9587 0.9486 0.9402
a24 0.1183 -0.1109 -0.1026 -0.0999 -0.0942
a5 -1.6217 -1.5992 -1.5959 -1.5927
a1 0.0558 0.1007 0.1098 0.1183
a6 0.1211 0.1352 0.1484 0.1573
a1 0.0819 -0.0050 -0.0082 -0.0109
a\ 0.0779 0.0307 0.0280 0.0269
a7 0.2409 0.2847 0.2644 0.2528
a2 -0.1006 -0.0793 -0.1079 -0.1232
al -0.2330 -0.1585 -0.1420 -0.1403
a9 2 -0.0149 0.0430 0.0585 0.0608
a29 0.0762 -0.0820 -0.0363 -0.0156
Таблица 10 Table 10
a = 90 n = 2 n=4 n =10 n =15 n = 20 n = 30 МКЭ
KI 46.8648 82.0528 92.3960 92.4072 92.4098 92.4146 90.77
Kii all -0.0069 -0.0034 0.00043 -0.0005 -0.0003 -0.0007 0.0008
18.6963 32.7343 36.8606 36.8651 36.8661 36.8681
all 0.0027 0.0013 -0.0001 0.0002 0.0001 0.0003
al22 -2.5243 0.8738 -0.2647 -0.2678 -0.2707 -0.2746 -0.2782
al 0 0 0 0 0 0
a2 -8.8287 -9.6392 -9.6471 -9.6467 -9.6462
all 0.0011 -0.0002 -0.0006 -0.0005 -0.0006
a4 -0.0858 0.5311 0.5351 0.5376 0.5407
a2A -0.0014 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004
a2 -1.2951 -1.2544 -1.2551 -1.2561
al -0.0027 -0.0015 -0.0015 -0.0015
al62 0.0694 -0.0294 -0.0324 -0.0349
al 0.0026 0.0001 0.0001 0.0001
a\ 0.0240 0.1219 0.1225 0.1228
-0.0021 0.0000 0.0001 0.0000
al2 -0.1879 -0.1962 -0.1907 -0.1874
al -0.0000 -0.0004 -0.0004 -0.0005
al92 0.1344 0.0353 0.0321 0.0315
a29 0.0001 -0.0016 -0.0017 -0.0016
На рис. 12, 13, 14 приведены компоненты тензора напряжения, построенные с использованием различного количества коэффициентов асимптотического разложения М. Уильямса (сплошная линия) и полученные из конечно-элементного решения (черные кружочки). Точки для вычисления коэффициентов выбирались на расстоянии 0.7 см от вершины трещины. Трещина расположена под углом 70° к горизонтали.
-3 -2 -1 о
где
Рис. 12. Угловое распределение компоненты тензора напряжений ац в зависимости от количества удерживаемых слагаемых разложения. N — число удерживаемых слагаемых в разложении М. Уильямса:
а — N = 2; б — N = 3; в — N = 5; г — N =10; д — N =15; е — N = 20 Fig. 12. Angular distribution of the stress tensor component ац depending on the amount of the retained terms of the decomposition. N is the number of retained terms in the M. Williams expansion: a — N = 2; b — N = 3;
с — N = 5; d — N = 10; e — N = 15; f — N = 20
a
в
На рис. 12, 13, 14 изображено угловое распределение компонент тензора напряжений 011,022,^12, соответственно, в зависимости от количества удерживаемых слагаемых разложения N.
Из рис. 12, 13, 14 хорошо видно, что на выбранном расстоянии от вершины трещины необходимо гораздо больше слагаемых в разложении Уильямса для описания поля напряжений, чем в предыдущем случае с пластиной. В отличие от пластины, где необходимо удерживать 5 слагаемых, в полудиске нужно удержать более 10 слагаемых. Десятичленное асимптотическое разложение не отличимо от конечно-элементного решения.
На рис. 15, 16, 17 изображено, как меняются вычисленные значения компонент тензора напряжений в зависимости от расстояния от вершины трещины, на котором выбирались точки. Угол наклона трещины равен 60°, в асимптотическом разложении удерживалось 25 коэффициентов.
На рис. 15, 16, 17 показаны распределения компоненты тензора напряжений 0"и,0"22 ,&12 соответственно, в зависимости от выбора точек на различных расстояниях от вершины трещины г.
На рис. 15, 16 видно, что на расстоянии до г = 0.5 см конечно-элементное решение, показанное кружочками, и восстановленное решение (сплошная линия), основанное на извлечении параметров механики разрушения, существенно отличаются друг от друга.
На рис. 17 различие конечно-элементного и восстановленного решений наблюдается до г = 0.9 см.
В такой постановке модели в окрестности вершины кольцевой области, в которой асимптотическое решение М. Уильямса дает хорошее описание поля напряжений, как было в пластине, не наблюдается. Необходимо продолжить исследование полудиска в условиях трехточечного изгиба.
Таким образом, в работе предложена методика вычисления коэффициентов и проведено сравнение их с результатами конечно-элементного моделирования и аналитическим решением. Приведены вычисленные коэффициенты асимптотического разложения М. Уильямса вблизи вершины трещины в
-3 -2 -1
-3 -2 -1
где
Рис. 13. Угловое распределение компоненты тензора напряжений <22 в зависимости от количества удерживаемых слагаемых разложения. N - число удерживаемых слагаемых в разложении М. Уильямса:
а — N = 2; б — N = 3; в — N = 5; г — N =10; д — N =15; е — N = 20 Fig. 13. Angular distribution of the stress tensor component a22 depending on the amount of the retained terms of the decomposition. N is the number of retained terms in the expansion of M. Williams: a — N = 2; b — N = 3; с — N = 5; d — N =10; e — N = 15; f — N = 20
где
Рис. 14. Угловое распределение компоненты тензора напряжений <12 в зависимости от количества удерживаемых слагаемых разложения. N - число удерживаемых слагаемых в разложении М. Уильямса:
а — N = 2; б — N = 3; в — N = 5; г — N =10; д — N =15; е — N = 20 Fig. 14. Angular distribution of the stress tensor component a12 depending on the amount of the retained terms of the decomposition. N is the number of retained terms in the M. Williams expansion: a — N = 2; b — N = 3;
с — N = 5; d — N = 10; e — N = 15; f — N = 20
a
в
a
в
-3 -2 -1
/ \
Л
Л
1
\ J
/ ^ \J V
-3 -2 -1
где
Рис. 15. Угловое распределение компоненты тензора напряжений ац в зависимости от выбора точек на концентрических окружностях с радиусом r: а — r = 0.1 см; б — r = 0.2 см; в — r = 0.3 см;
г — r = 0.5 см; д — r = 0.7 см; е — r = 0.9 см Fig. 15. Angular distribution of the stress tensor component ац depending on the choice of points on concentric circles with a radius r: a — r = 0.1 cm; b — r = 0.2 cm; c — r = 0.3 cm; d — r = 0.5 cm; e — r = 0.7 cm;
f — r = 0.9cm
-2 -1 0
где
Рис. 16. Угловое распределение компоненты тензора напряжений а22 в зависимости от выбора точек на концентрических окружностях с радиусом r: а — r = 0.1 см; б — r = 0.2 см; в — r = 0.3 см;
г — r = 0.5 см; д — r = 0.7 см; е — r = 0.9 см Fig. 16. Angular distribution of the stress tensor component а22 depending on the choice of points on concentric circles with a radius r: a — r = 0. 1 cm; b — r = 0. 2 cm; c — r = 0. 3 cm; d — r = 0. 5 cm; e — r = 0. 7 cm;
f — r = 0.9 cm
a
в
a
в
a б в
Рис. 17. Угловое распределение компоненты тензора напряжений <12 в зависимости от выбора точек на концентрических окружностях с радиусом r: а — r = 0.1 см; б — r = 0.2 см; в — r = 0.3 см;
г — r = 0.5 см; д — r = 0.7 см; е — r = 0.9 см Fig. 17. Angular distribution of the stress tensor component ai2 depending on the choice of points on concentric circles with a radius r: a — r = 0.1 cm; b — r = 0.2 cm; с — r = 0.3 cm; d — r = 0.5 cm e — r = 0.7 cm;
f — r = 0.9 cm
условиях смешанного нагружения в двух случаях: центральной трещины в пластине под действием растягивающей нагрузки и трещины в полудиске в условиях трехточечного изгиба. Показана эффективность предложенного алгоритма.
Литература
[1] Качанов Л.М. Основы механики разрушения. Москва: Наука, 1974. 312 с.
[2] Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения твердых тел: курс лекций. Санкт-Петербург: Профессия, 2012. 552 с. URL: https://bookree.org/reader?file=1503630.
[3] Kachanov M., Shafiro B., Tsukrov I. Handbook of elasticity solutions. Berlin: Springer, 2003. 324 c. DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-017-0169-3.
[4] Recho N. Fracture Mechanics and Crack Growth. Hoboken, Willey, 2012. 493 c. DOI: http://doi.org/10.1002/9781118387184.
[5] Williams M.L. Stress Singularities Resulting From Various Boundary Conditions in Angular Corners of Plates in Extension // Journal of Applied Mechanics. 1952. V. 74. P. 526-528. URL: https://authors.library.caltech.edu/47672/1/382785.pdf.
[6] Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack // Journal of Applied Mechanics. 1956. Vol. 24, № 1, pp. 109-114. URL: https://authors.library.caltech.edu/47558/1/382747.pdf.
[7] Hello G., Tahar M.B., Roelandt J.-M. Analytical determination of coefficients in crack-tip stress expansions for a finite crack in an infinite plane medium // International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49, № 3-4. P. 556-566. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2011.10.024.
[8] Stepanova L.V., Igonin S.A. Asymptotics of the near-crack-tip stress field of a growing fatigue crack in damaged materials: Numerical experiment and analytical solution // Numerical Analysis and Applications. 2015. № 8(2). P. 168-181.
[9] Hello G. Derivation of complete crack-tip stress expansions from Westergaard-Sanford solutions // International Journal of Solids and Structures. 2018. Vols. 144-145, P. 265-275. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2018.05.012.
[10] Степанова Л.В., Росляков П.С. Полное асимптотическое разложение М. Уильямса у вершин двух коллинеарных трещин конечной длины в бесконечной пластине // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Сер.: Механика. 2015. № 4. C. 188-225. DOI: https://doi.org/10.15593/perm.mech/2015.4.12.
[11] Nejati M., Ghouli S., Ayatollahi M. Crack tip asymptotic fields in anisotropic planes: Importance of higher order terms // Applied Mathematical Modelling. 2021. Vol. 91. P. 837-862. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apm.2020.09.025.
[12] Степанова Л.В. Асимптотический анализ поля напряжений у вершины трещины (учет высших приближений) // Сибирский журнал вычислительной математики. 2019. Т. 22, № 3. С. 345-361. DOI: https://doi.org/10.15372/SJNM20190307.
[13] Sobek J., Frantik P., Vesely V. Analysis of accuracy of Williams series approximation of stress field in cracked body — influence of area of interest around crack-tip on multi-parameter regression performance // Frattura ed Integrita Strutturale. 2017. Vol. 39, № 1, pp. 129-142. DOI: https://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.39.14.
[14] Malikova L. Multi-parameter fracture criteria for the estimation of crack propagation direction applied to a mixed-mode geometry // Engineering Fracture Mechanics. 2015. Vol. 143. P. 32-46. DOI: https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2015.06.029.
[15] Malikova L., Vesely V., Seitl S. Crack propagation direction in a mixed mode geometry estimated via multi-parameter fracture criteria // International Journal of Fatigue. 2016. Vol. 89. P. 99-107. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijfatigue.2016.01.010.
[16] Malikova L., Vesely V. Estimation of the crack propagation direction in a mixed-mode geometry via multi-parameter fracture criteria // Frattura ed Integrita Strutturale. 2015. Vol. 33. P. 25-32. DOI: http://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.33.04.
[17] Malikova L., Vesely V. Influence of the elastic mismatch on crack propagation in a silicate-based composite // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2017. Vol. 91. P. 25-30. DOI: https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2017.03.004.
[18] Vesely V., Sobek J., Seitl S. Multi-parameter approximation of the stress field in a cracked body in the more distant surrounding of the crack tip. // International Journal of Fatigue. 2016. Vol. 89. P. 20-35. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijfatigue.2016.02.016.
[19] Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во "Самарский университет" 2001. 562 с. URL: https://www.studmed.ru/astafev-vi-radaev-yun-stepanova-lv-nelineynaya-mehanika-razrusheniya_260b181a836.html.
[20] Patil P., Vyasarayani C.P., Ramji M. Linear least squares approach for evaluating crack tip fracture parameters using isochromatic and isoclinic data from digital photoelasticity // Optics and Lasers in Engineering. 2017. Vol. 93. P. 182-194. URL: https://doi.org/10.1016/j.optlaseng.2017.02.003.
DOI: 10.18287/2541-7525-2020-26-3-40-62 Submited: 13.03.2020
Revised: 27.03.2020 Accepted: 25.05.2020
O.N. Belova
Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4492-223X
L.V. Stepanova
Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: [email protected]. ORCID: http://orcid.org/0000-0002-6693-3132
DETERMINATION OF THE COEFFICIENTS OF ASYMPTOTIC CRACK — TIP STRESS EXPANSION. MIXED MODE LOADING OF THE PLATE2
ABSTRACT
The aim of the study is to calculate the coefficients of M. Williams' asymptotic expansion of stress and displacement fields using the data of finite element modeling of a plate with an inclined central crack in a uniaxial tension field. In this work, we also simulated the loading of a half-disk with a vertical and oblique
2The study was carried out with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research grant within the framework of the scientific project No. 19-01-00631.
notch under conditions of three-point bending. The simulation was carried out in the multifunctional software SIMULIA Abaqus. The paper proposes an algorithm for calculating the coefficients. The program, written in the MAPLE computer algebra system, allows calculating any predetermined number of M. Williams expansion coefficients (amplitude or scale factors) and uses the values of the stress tensor components at points in the vicinity of the crack and their coordinates as input. The analysis of the influence of the number of calculated coefficients on the accuracy of their determination is carried out. Recommendations on the choice of points for calculating the coefficients are given.
Key words: stress field, crack, mixed loading, expansion coefficients M. Williams, finite element modeling.
Citation. Belova O.N., Stepanova L.V. Determination of the coefficients of asymptotic crack — tip stress expansion. Mixed mode loading of the plate. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 40-62. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-30-40-62. (In Russ.)
Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.
© Belova O.N., 2020
Belova Oksana Nikolaevna — postgraduate student of the Department of Mathematical Modeling in Mechanics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, 443086, Russian Federation.
©c Stepanova L.V., 2020
Stepanova Larisa Valentinova — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Mathematical Modeling in Mechanics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, 443086, Russian Federation.
References
[1] Kachanov L.M. Fundamentals of fracture mechanics. Moscow: Nauka, 1974, 312 p. Available at: https://lib-bkm.ru/13776. (In Russ.)
[2] Pestrikov V.M., Morozov E.M. Fracture mechanics of solids: course of lectures. Saint Petersburg: Professiia, 2012, 552 p. Available at: https://bookree.org/reader?file=1503630.
[3] Kachanov M., Shafiro B., Tsukrov I. Handbook of elasticity solutions. Berlin: Springer, 2003, 324 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-017-0169-3.
[4] Recho N. Fracture Mechanics and Crack Growth. Hoboken, Willey, 2012, 493 p. DOI: http://doi.org/10.1002/9781118387184.
[5] Williams M.L. Stress Singularities Resulting From Various Boundary Conditions in Angular Corners of Plates in Extension. Journal of Applied Mechanics, 1952, vol. 74, pp. 526-528. Available at: https://authors.library.caltech.edu/47672/1/382785.pdf.
[6] Williams M.L. On the Stress Distribution at the Base of a Stationary Crack. (Journal of Applied Mechanics), 1956, vol. 24, no. 1, pp. 109-114. Available at: https://authors.library.caltech.edu/47558/1/382747.pdf.
[7] Hello G., Tahar M.B., Roelandt J.-M. Analytical determination of coefficients in crack-tip stress expansions for a finite crack in an infinite plane medium. International Journal of Solids and Structures, 2012, vol. 49, no. 3-4, pp. 556-566. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2011.10.024.
[8] Stepanova L.V., Igonin S.A. Asymptotics of the near-crack-tip stress field of a growing fatigue crack in damaged materials: Numerical experiment and analytical solution. (Numerical Analysis and Applications), 2015, no. 8(2), pp. 168-181. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995423915020081.
[9] Hello G. Derivation of complete crack-tip stress expansions from Westergaard-Sanford solutions. (International Journal of Solids and Structures), 2018, vols. 144-145, pp. 265-275. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2018.05.012.
[10] Stepanova L.V., Roslyakov P.S. Complete asymptotic expansion of M. Williams near the tips of collinear cracks of equal length in an infinite plane medium. (PNRPU Mechanics Bulletin), 2015, vol. 4, pp. 188-225. DOI: https://doi.org/10.15593/perm.mech/2015.4.12.
[11] Nejati M., Ghouli S., Ayatollahi M. Crack tip asymptotic fields in anisotropic planes: Importance of higher order terms. (Applied Mathematical Modelling), 2021, vol. 91, pp. 837-862. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apm.2020.09.025.
[12] Stepanova L.V. Asymptotic Analysis of the Crack Tip Stress Field (Consideration of Higher Order Terms). (Numerical Analysis and Applications), 2019, vol. 12, no. 3, pp. 284-296. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995423919030078. (English; Russian original)
[13] Sobek J., Frantik P., Vesely V. Analysis of accuracy of Williams series approximation of stress field in cracked body - influence of area of interest around crack-tip on multi-parameter regression performance. (Frattura ed Integrita Strutturale), 2017, vol. 39, №1, pp. 129-142. DOI: DOI https://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.39.14.
[14] Malikova L. Multi-parameter fracture criteria for the estimation of crack propagation direction applied to a mixed-mode geometry. (Engineering Fracture Mechanics), 2015, vol. 143, pp. 32-46. DOI: https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2015.06.029.
[15] Malikova L., Vesely V., Seitl S. Crack propagation direction in a mixed mode geometry estimated via multi-parameter fracture criteria. International Journal of Fatigue, 2016, vol. 89, pp. 99-107. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijfatigue.2016.01.010.
[16] Malikova L., Vesely V. Estimation of the crack propagation direction in a mixed-mode geometry via multi-parameter fracture criteria. (Frattura ed Integrita Strutturale), 2015, vol. 33, pp. 25-32. DOI: http://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.33.04.
[17] Malikova L., Vesely V. Influence of the elastic mismatch on crack propagation in a silicate-based composite. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2017, vol. 91, pp. 25-30. DOI: https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2017.03.004.
[18] Vesely V., Sobek J., Seitl S. Multi-parameter approximation of the stress field in a cracked body in the more distant surrounding of the crack tip. (International Journal of Fatigue), 2016, vol. 89, pp. 20-35. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijfatigue.2016.02.016.
[19] Astafiev V.I., Radaev J.N., Stepanova L.V. Nonlinear fracture mechanics. Samara: Izdatel'stvo "Samarskii universitet 2001, 562 p. Available at: https://www.studmed.ru/astafev-vi-radaev-yun-stepanova-lv-nelineynaya-mehanika-razrusheniya_260b181a836.html. (In Russ.)
[20] Patil P., Vyasarayani C.P., Ramji M. Linear least squares approach for evaluating crack tip fracture parameters using isochromatic and isoclinic data from digital photoelasticity. (Optics and Lasers in Engineering), 2017, vol. 93, pp. 182-194. DOI: https://doi.org/10.1016/j.optlaseng.2017.02.003.
