Вычисление интегралов от функций некоторого класса с вероятностной интерпретацией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519. 213.2; 517.382

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРОГО КЛАССА С ВЕРОЯТНОСТНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИЕЙ

М.С.Токмачев

EVALUATION OF INTEGRALS FOR SOME CLASS OF FUNCTIONS WITH PROBABILISTIC INTERPRETATION

M. S. Tokmachev

Институт электронных и информационных систем НовГУ, tokm@mail.natm.ru

На основе вычисления моментов случайных величин, имеющих распределение типа гиперболического косинуса, представлены значения интегралов для некоторого класса функций. Указанное трехпараметрическое распределение с параметрами |,p,m eR ; m>0, рф0 является обобщением известного двухпараметрического распределения Майкснера.

Значения моментов вычисляются путем дифференцирования характеристической функции, а соответствующие интегралы возникают как начальные моменты, выраженные через функцию плотности распределения вероятностей. В общем случае в структуре четырехпараметрической подынтегральной функции кроме степенного сомножителя имеется бета-функция комплексно-сопряженных переменных аргументов. В частных случаях при me N действительные подынтегральные функции, в зависимости от параметров вероятностного распределения, состоят из комбинаций функций: степенной, показательной, гиперболических косинуса или синуса и многочленов-сомножителей. Представлены многочисленные примеры вычисленных интегралов. Ключевые слова: распределение типа гиперболического косинуса, характеристическая функция, функция плотности, бета-функция, моменты

The integrals for a definite class of functions are derived on the basis of calculations of moments for random variables having a distribution of the hyperbolic cosine type. This three-parameter distribution with parameters |,p,m eR ; m>0, pф0 is a generalization of the well-known two-parameter Meixner distribution. The values of moments are calculated by taking derivatives of the characteristic function and the corresponding integrals are given as raw moments expressed via the probability density function. In general case the four-parameter integrated function contains not only the power function as a multiplier but also a beta-function of complex-conjugate variables. In the particular case of me N the real-valued integrated functions contain a combination of functions depending on the probability distribution parameters: power, exponential, hyperbolic cosine and sine and polynomial functions-multipliers. Some numerous examples of evaluated integrals are also presented.

Keywords: distribution of the hyperbolic cosine type, characteristic function, density function, beta function, moments

Используя формулы связи начальных моментов с производными характеристической функции, в [4] найдены аналитические выражения для вычисления моментов распределения типа гиперболического косинуса при произвольных допустимых параметрах распределений. В [5] получены формулы плотности распределения типа гиперболического косинуса, в общем виде выраженной через бета-функцию с комплексно-сопряженными переменными аргументами. При meN, Р>0 функция плотности оказывается [6] произведением показательной функции, гиперболических секанса или косеканса и некоторых многочленов. При вычислении моментов в подынтегральную функцию добавляется степенной сомножитель

xn. Аналитически вычисление интегралов от такой комбинации функций с различными параметрами весьма затруднительно. В данном случае значения этих интегралов, взятых по всей числовой прямой, как моменты распределения уже вычислены по характеристической функции. В работе представлены многочисленные примеры, в которых кроме общих формул приведены и значения конкретных интегралов с подынтегральными функциями рассматриваемого типа.

Введение

Трехпараметрическое вероятностное распределение с характеристической функцией

/ У) = { Л р г- £ ¡дД г

^ т р т

где £,р,т е^ т>0, р^0, i=7-1, (1)

названное автором распределением типа гиперболического косинуса, получено при решении задачи ха-рактеризации распределений свойством постоянства регрессии квадратичной статистики на линейную статистику для независимых одинаково распределенных случайных величин [1,2]. Данное распределение является обобщением двухпараметрического распределения с характеристической функцией

/(0=(с^-iQsЫym, где m,6еR; т>0; /'=7-1, (2) известного [3] как распределение Майкснера (т=р,

р=0). Указанные распределения при ц=0 (соответственно для распределения Майкснера, 6=0), т=1 сводятся к широко известному однопараметрическому распределению гиперболического косинуса (секанса).

Теоретическое обоснование В частных случаях (частично представленных в [6]),

п г,п при те N для функции плотности получаем сле-

Согласно 141, для вычисления начальных мо- ^ ' ^

дующие формулы

ментов справедливо утверждение:

Теорема. Для распределения типа гиперболического косинуса с характеристической функцией (1)

f СО=Гл — t - i Ц sh—t "1 , где ц,Р,даеR;

1 т р т )

т > 0, РФ 0, I =7—1, формула для вычисления моментов п-го порядка име- Рт(Х) = ет вид:

м(-X")=т -.(т.Ц)=(¿Щип*.!>т[Р| =

п п п

= ££и (п; к, у)

к=0 у=0

рп--Vу

п-к

п=0,1,2,...,

(3)

где {и(п;к,у)} — система целочисленных коэффициентов, связанных соотношениями:

и (0;0,0)=1, и (0;к, у)=0 для любых к, у ф 0, и (п +1;к, у)=и (п;к-1, у-1)+(у-1)и (п;к, у-1)+ +(у +1)и(п;к,у +1) при п=0,1,2...; Р (т,Ь), п=0,1,2,... — полиномы двух аргументов:

Рп(т,Ь)=Ци (п;к, у)ткЬ.

к=0 у=0

Для полиномов Рп(т,Ь) справедливо рекуррентное дифференциальное соотношение

яр (т Ь)

Рп+\(т,Ь)=тЬРп(т,Ь)+(1+ Ь2)-^^, п=1,2,....,(5)

также позволяющее находить моменты распределения, исходя из первого равенства в (3).

При этом Р0(т,Ь)=1, р(т,Ь)=тЬ, Р2(т,Ь) =

=(т2 +т)Ь2 +т=т(1+Ь2)+т2Ь2, Р3(т,Ь)=(т3+3т2 +2т)Ь3 +

+(3т2 + 2т)Ь=2т(Ь +Ь3) +3т2(Ь +Ь3) + т3Ь3, ... .

Согласно [5], при р> 0 функция плотности распределения типа гиперболического косинуса рт (х) имеет вид:

Рт (х) = ^ ^ ® Л = ^

и Р Ц и Р 1т Л—t - ^s^t I т р т

= 2т 2трт 1 (Р-г'ц! 2р В(т тх т тх 1 (6)

= (а 2 2т ^Р^ + Ж/ ( )

я(р2 + Ц 2 )2

где I =л/—1, В(р;д) — бета-функция, ц,Р,да еR; т > 0, Рф 0.

Можно показать, что сомножитель

Р-Ц Р+/>

с

комплексной структурой равен действительному числу:

2РЦ

а^^Г

А Чр+ш) =1

е р-Ц при Р2-ц2 >0

. 2РЦ аг^ +я slgn ц

Р2-Ц2 при Р2-Ц2 <0, (7)

г5^ Ц о2 2 п

е2 при Р -ц = 0.

Р1(х) =

А2р

2Л/р^Ц2Л яр

; р2(х)=

2хАр

; (8)

т

тх т—1

а2Р ^

ятх

2(р2 +ц2)2 (т-1)! Л^р при нечетных т=3,5,7,...;

^[(25-1)2р2 + т2х2] (9)

тх т

Рт(х) ="

т2х

А 2Р П (452Р2 + т2х2) (10)

I -> -л- и %тх - -

2(р2+ц2)2 (т-1)!

при четных т = 4,6,8,....

Основной результат

Используя определение начальных моментов (4) как функции плотности и формулу (3) для их вычисления, в общем виде при п=0,1,2,... получаем

М (Хп) = |хпрт (х)ск=

= Г х-

т-2т от-1 тх п 2 тр т них т них | , п У А 2РВ| ---^тг^=

т

я(р2 + Ц2 ) 2

2 2Р '2 2Р

=1 ^ I Р.| тЛ 1 =

т

ку 4 у к=0 у=0

Рп-]Ц

=Ци (п;к, у)

к=0 =0

т

В частности, из (11) следует: М (X0) = 1, т.е.

т

'тх =л(р2 +Ц2) т,

Г т тх т шх | ,

1А 2РВ[ г- ж; 2 + -ж Ух='

-ОТ

М(X)=Ц , т.е.

2т-2трт-1

(11)

(12)

+ м тх . . /о

] ^ 2 2Р '2 2р 1 2т тр

—да

М (X 2) =р2 + (т + 1)Ц 2 =1 (Р2 +Ц2 )+Ц2.

т

т.е.

тх , х

Íг т тх т тх 1 ,

х2А 2рВ| ----—-^- Idx =

1 2 2Р '2 2Р )

= Л|З2 + ц2) 2 (Р2 + (т +1)ц2). (14)

2т-2т2 рт—1 ;

М (X 3) (2Р2ц + 2ц3 )+—(3цР 2 + 3(т +1)ц3 )— 2ц3

т.е.

т

тх

т Iтх т Iтх 1 , гс(р2 +ц2 )2 х3А 2рВ|—^ +—^тр |й?х = %

1 2 2Р '2 2Р ) 2т-2 т рт-1

(2Р2ц + 2ц3)+—(3цР2 + 3(т +1)ц3)— 2ц3 |; (15) т т )

х

х

п

т

п

к

я

М (X 4) =-1- (2р4 +8р2ц2 +6ц4 )+ т

+_!(зр4 +14р2£2 +11ц4)+1 (бру + 6ц4)+ц4, т.е.

I ^ 2рв[т - т; т+т Ух=

тх \ь=жр+ц2) 2 х

2 2р ' 2 ' 2р Г 2т-2т рт-1 (2р4 +8р2ц2 +6ц4 )+-!- (зр4+14рУ +11ц4)+

+т(бр2Ц2 +6ц4)+ц4) . (16)

Соответствующие формулы, исходя из (11), можно выписать и для последующих моментов.

Рассматривая (11) для различных т, те N приходим к важным частным случаям.

При т=1 получаем, учитывая выражение для Л(х) в (8):

М (X") = | х"р1(х)йх =|;

А2р

-йх=

=Т^и("';к,^)р"-V , "=0,1,2,.... (17)

к=0 ]=0

При т=2 получаем, учитывая выражение для

Р2(х) в (8):

М (X") = I х"р2(х)йх = I х"+1

-ад -ад

" " р"-],, ] =^^и(";к,])р ц

2А

2

(р2 +ц2^ ^

"=0,1,2,...

-йх=

(18)

к=0 ] =0

При т=3,5,7,... получаем, учитывая выражение для рт (х) в (9):

+ад

I = Г-"-

I х"рт (х)йх=

тх т-1

А 2р

/ . жтх ^ -

2(р2 + ц2)2(т-1)!

к=0 ] =0

"-к

"=0,1,2,.... (19)

При т = 4,6,8,... получаем, учитывая выражение для рт (х) в (10):

I =

| х"рт (х)йх=

тх т

2(р2 + ц2)2(т-1)! §Ь~2р~ " " я"-]'и ]

(";k, ]) Р]

к=0 ] =0

л 2р 2 ,

А - ПИ2 + т2х2)й

"=0,1,2,.... (20)

т

Поделив обе части в каждом из соотношений (17)-(20) на числовой множитель, можно записать формулы вычисления интегралов с указанной структурой подынтегральной функции. Приведем соотношения при ц,р,т еR; т>0, р>0; А вида (7); "=0,1,2,... для интегралов.

+ад тх , х

т / пч Г " т тх т тх \ ,

1"(т,ц,р) = I х"А 2рв( у-ж;у+ ж )йх=

ж(р2 +ц2)2 , .лр"-т+1-У

"-к+1

(21)

к=0 ]=0

+ад

"(1,ц,р) = I.

х

А ^ ■"—-йх =

Л

жх 2р

= 27р2 + ц2(";к,]')р"-]'ц':

к=0 '=0

в частности, при "=0,4 получаем

х

А ^

10(1,ц,р) = [ йх = 2^

0 ; , п

-ад Ш^т,-

52 +ц2;

2р

х

А2

11(1,ц,р) = I х—жх йх = 2^р2 +ц2

—

2р

(22)

(23)

(24)

+ад А 2р I-/ Ч

2(1,ц,р) = I х2——йх = ^р2 +ц2 (р2 + 2ц2); (25)

Л

А (1, ц, р) = I х3-А~— йх = 2л/р2 +ц2 (5р2ц+6ц3) ;(26) 3 J , жх 4 '

-ад Л—-

2р

2р

+ад

4 (1, Ц, р) = I х

4 А 2^ ■ йх =

ch

жх 2р

22

ПП [(2^-1)2р2 + т2х2]йх = далее

=2^ р2 +ц2 (5р4 + 28р2ц2 + 24ц4 ).

+ад

1"(2,ц,р) = I

(27)

, А р = I х"+1^—йх=

2.2 " "

р2+Ц " 2

sh-

.р"-'ц1

"-к

(28)

к=0 '=0

в частности, при "=0,4 получаем

!с(2,ц,р) = I

-ад

+ад , А р

/г(2,ц,р) = I 2 А

+ад Ар , р2 +ц2

= | х-йх = „

, жх 2

= , х2^йх = ^ , жх 2

(р2 +ц2).

(29)

X

т

т-2

2

т

I

х

I

х

х

I

т

"

=х

р

х

2

т

р

-(2,ц,р) = J х-

dx = (p-vip-iV).

При m = 4,6,8,... получаем следующие выражения

sh

nx

(31)

mx m

+ш А "2Р / \

(т,ц,Р) = J x"+1 птх П^Р- + m2х2)dx=

, nmx sh «=1

+ш

3(2,ц,р) = J x

4 аР dx = (2PV3ц3) ; (32)

2P

sh

nx

P

m

= 2(32 +ц- )2(m-1)!

("k j)

к=0 j=0

P"- V1

• (41)

m

4(2,Ц,Р) = J

= , x-.jl_dx= (P2 +r)2P4 +'5PV-.(33) , nx 4

В частности,

При m=3,5,7,... получаем следующие выражения:

mx m-1

+ш / - - Y2

10(4,ц,р) = J x(4P- +16x-)dx = + ^ ; (42)

-ш sh^^-

(m^P) = Jx"~nmx П[(2s-1)-p- +m-x-ldx = Л(4,ц,р) = 1 x-4^(4P- +16x-)dx = У ;(43)

-ш ch^T s= 1 -Ш sh-^ 4

-P

m

_2(p- +ц- )T(m-1)!

^ -Im

В частности,

YZu (";к, j)

к=0 j=0

p"- V1

pmA • (34)

m

3x 3

!,(«) (3- + 9x2)dx = ;

-ш Ch 2P

3x 3

/:(3,ц,Р) = J x^ (P- + 9x-)dx = ;

-ш ch^,-

(35)

(36)

-P

+ш

2(3,Ц,Р) = J

3x

= +Ш x- А 23

ch

3л x

Ж

(p- + 9x- )dx=

= 4(3- + ц- )- (3- + 4ц- ).

= 9 ;

5x

" 2p

(37)

10(5,ц,Р) = J A5nx (3- + 25x-)(9P- + 25x-)dx=

-ш ch^,-

2P

5

= 48(3- + ц-)2.

5x

/1(5,ц,Р) = J x^A-Px (P- + 25x-)(9P- + 25x-)dx=

-ш ch^,-

3- + . .-1

T

- i '"»C,..-Vflft- ,

2P

5

= 48ц(р- + ц-)2 . 5

2(5,Ц,Р) = J^

5x

A 23

ch

5 л x

Ж

(p- + 25x- )(9P- + 25x- )dx=

= 48(p- + ц- f (p- + 6ц- ) = 25 •

-x

A "P"

/2(4,ц,Р) = J x3—— (4P- +16x- )dx= -ш sh p

= 3(p- +ц-)-(з-+5ц-) . 16 ;

3x

(44)

+ш дР

10(6,ц,Р) = J x—— (4P- + 36x- )(16P- + 36x- )dx=

-ш sh^,—

= 20(p- +Ц-)3 .

(45)

3x

11(6,ц,Р) = J x- А3ЛЛ x (4P- + 36x-)(16P- + 36x-)dx=

-ш sh^,—

_ 20ц(р- + ц-) .

(46)

3x

A "P"

12(6,ц,Р) = J x3 —— (4P- +36x- )(16P- +36x- )dx=

-ш sh^,—

P

(47)

(38) =1o|2V№±V)

9 .

Все представленные интегралы при произвольно выбранных конкретных значениях параметров численно проверены с использованием программного обеспечения Maple. Основание А показательной функции в интегралах согласно (7) может быть запи-

(39) сано в виде e.

Отметим, что, несмотря на вероятностную интерпретацию, интегралы (11)-(47) и другие того же типа могут найти и иные приложения в различных разделах математики.

1. Токмачев М.С. Характеризация распределения типа гиперболического косинуса свойством постоянства регрессии // Деп. в ВИНИТИ 21.06.94. № 1542 - В94. 11с.

I

4

I

P

x

I

2

m

x

I

3

I

3

2

I

2. Токмачев М.С. Постоянство регрессии квадратичной статистики на линейную статистику // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 1995. №1. С.139-141.

3. Lai C.D. Meixner classes and Meixner hypergeometric distributions // Aust. J. Stat. 1982. V.24. Р.221-233.

4. Токмачев М.С. Вычисление кумулянтов и моментов распределения Майкснера // Вестник НовГУ. Сер.: Физ.-мат. науки. 2013. №75. Т.2. С.47-51.

5. Токмачев М.С., Токмачев А.М. Распределение типа гиперболического косинуса // Вестник НовГУ. 2001. №17. С.85-88.

6. Токмачев М.С. Прикладной аспект обобщенного распределения гиперболического косинуса // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2005. №34. С.96-99.

References

1. Tokmachev M.S. Kharakterizatsiia raspredeleniia tipa giper-bolicheskogo kosinusa svoistvom postoianstva regressii [Characterization of a distribution of the hyperbolic cosine

type by the constancy of regression toward the mean]. Dep. in VINITI 21.06.94. № 1542 - B94. 11 p.

2. Tokmachev M.S. Postoianstvo regressii kvadratichnoi sta-tistiki na lineinuiu statistiku [The constancy of regression of quadratic statistics on linear statistics]. Vestnik NovGU -Vestnik NovSU, 1995, no. 1, pp. 139-141.

3. Lai C.D. Meixner classes and Meixner hypergeometric distributions. Aust. J. Stat., 1982, vol. 24, pp. 221-233.

4. Tokmachev M.S. Vychislenie kumuliantov i momentov raspredeleniia Maiksnera [Calculating the cumulants and moments of the Meixner distribution]. Vestnik NovGU -Vestnik NovSU, 2013, no. 75, vol. 2, pp. 47-51.

5. Tokmachev M.S., Tokmachev A.M. Raspredelenie tipa giperbolicheskogo kosinusa [Distribution of the hyperbolic cosine type]. Vestnik NovGU - Vestnik NovSU, 2001, no. 17, pp. 85-88.

6. Tokmachev M.S. Prikladnoi aspekt obobshchennogo raspre-deleniia giperbolicheskogo kosinusa [Applications of the generalized hyperbolic cosine distribution]. Vestnik NovGU - Vestnik NovSU, 2005, no. 34, pp. 96-99.