CC BY
74
УДК 517.382
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПУАССОНА, БЕЗ ИСПОЬЗОВАНИЯ
ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
О. В. Новоселов, Д. С. Опокин
*
Научный руководитель - Е. И. Яковлев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: yei@ngs.ru
В настоящей заметке, с помощью формулы Валлиса, не прибегая к помощи двойного интеграла, вычисляется интеграл Эйлера-Пуассона. Опираясь на этот результат, получается формула для плотности многомерного нормального распределения.
Ключевые слова: формула Валлиса, интеграл Эйлера-Пуассона, многомерное распределение Гаусса, ковариационная матрица.
THE CALCULATION OF THE POISSON INTEGRAL, WITHOUT THE USE
OF DOUBLE INTEGRAL
O. V. Novoselov, D. S. Opokin, Scientific Supervisor - E. I. Yakovlev
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
E-mail: yei@ngs.ru
In this note, using the formula of Wallis, not resorting to double integral, calculate the integral of Euler-Poisson. Based on this result, it turns out the formula for the density of multivariate normal distribution.
Keywords: formula of Wallis, the integral of the Euler-Poisson, multivariate Gaussian distribution, covariance matrix.
Вся техника, которая отправляется на орбиту, обязана соответствовать самым высоким критериям надежности. В теории надежности распределение Гаусса используют для описания постепенных отказов, когда распределение времени безотказной работы в начале имеет низкую плотность, затем максимальную и далее плотность снижается. Для нормального распределения важную роль играет следующий интеграл
x Ax2 Г!
J e~dx = Jf. (1)
—x
С. Д. Пуассон предложил весьма простой приём для вычисления этого интеграла. Впервые же этот интеграл был вычислен в 1729 году Л. Эйлером, поэтому называется также интегралом Эйлера-Пуассона.
Имеется несколько путей вычисления интеграла Пуассона (см., например, [1; 2]. Рассмотрим два интеграла:
п/2 1
Im = J sinmxdx = J tm (1 — 12)—0 5 dt = Jm .
0 0
Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2
Равенство Im = Jm объясняется заменой t = sin x. Применим формулу интегрирования по частям
л/2
Im = J sinm 1 xd(— cos x)
• m—1
= - Sin x cos x
л/2
0
л/2
(m — 1) J sinm 2 x cos2 xdx.
из которой вытекает рекуррентное соотношение и формулы для четных и нечетных т
(2п-1)1! п (2п)!! 1т = -----, т = 2п ; 1т =——, т = 2п +1.
Im =
m — 1
m—2 :
т (2 п)!! 2 (2 п +1)!!'
Так как с ростом т, интеграл 1т убывает, то верны неравенства 12п+1 < 12п < 12п-1, которые
в свою очередь приводят к неравенствам
(2n)!! (2 n — 1)!!
1 л
< — <
2 n +1 2
(2 n)!! (2 n — 1)!!
J_ 2 n
Поскольку разница между крайними членами неравенства стремится к нулю, то при стремлении п к бесконечности получаем формулу Валлиса
lim
(2 n)!! (2 n — 1)!!
1
л
2 n +1 2
Для интегралов 1т, а значит и для интегралов Jт справедливы соотношения
1 > J 2n+1
—> ; (2 n+i)^-!=?; ( и+i)(— п+i )2—
J 2П (2 П + 2- 2
Из этих соотношений и формулы Валлиса вытекают равенства
lim(2 П + 1)(J2 п+i )2 = ^; lim^ •J 2 п+i =^
п^-да 2 п^-да 2
2 2 -1
В интеграле Jm, сделав замену х = 1 - z п , получим соотношение
л
J2n+1 2
Jm =J
1 xm
0 VT— x"
-dx =
x 2 = 1 — z 2 n—1; xdx = — zdz;
>/ñ ¡
-Í ( z 2n—1
= J -fñ z\[n
2 > n
z dz.
n J
m—1
Г2"
-(—zdz).
Тогда, при т = 2п +1, имеем 4nJ2n+1 = 11 1 -
о V
Переходя к пределу в обеих частях, при неограниченном увеличении п, получаем равенство
да I
Г е-йх = ^. { 2
Из которого, в силу четности подынтегральной функции, вытекает формула (1) и которое часто также называют интегралом Эйлера-Пуассона. Возьмем произведение интегралов Пуассона.
12 12 К 2 2ч /i \n/2
—-a1x , Г —~anx, Г —2(a1xl +...+anxn К (2Л)
— I ^ ... dxn —
f —2a1x Л f —2a"x Л f
I е 2 dx... I е 2 dx =1
R
R"
Va1-an
Поэтому для диагональной матрицы с положительными элементами на главной диагонали будет сразу вытекать следующее равенство
j e 2 dx = v '
Vdet A '
(2)
Пусть теперь А - произвольная, невырожденная, симметричная, положительно определенная матрица. Такие матрицы называются ковариационными (см. [3, с. 301]). Найдется Q - ортогональная матрица, т. е. (QTQ = Е), такая, что QT AQ = Б, где Б - диагональная матрица с поло-
жительными элементами на главной диагонали djj > 0; ] = 1,...,п . Сделаем замену х = Qy, тогда, модуль якобиана перехода
D( xj,..., xn)
D (yx,..., Уп)
= |det Q = 1.
i---(xAxT) p
e 2 dx =1 e
-2(yQAQryr) D(x1,..., xn)
D( Уl,..., Уп)
dy = j e
П
-2( yD/) d = (2я)2
dy =
-s/det D '
Но так как А = Б, то формула (2) остается справедливой для матриц А из вышеуказанного класса. Добавим к линейный множитель (Ь,х) = Ь1 х1 +... + Ъпхп к показателю экспоненты, тогда формула (2) примет вид
\п/2
f --2(^)+(ъx)d (2я)- f 1 I e 2 dx =\ ' expl — • bA 1b I.
i -s/detA 1 ~ 1
(3)
Действительно, для диагональной матрицы А, матрица А-1 также диагональна, с элементами, (аг7) 1 на главной диагонали. Дополним в формуле (3) квадратичной формы в показателе экспоненты до полного квадрата.
1 T 1
-2(xAx )+(b, x) - 2
(
(
a
11
Ъ1
a
(
2
... an
11 у
x-
a
пп у
2 (bA-1bT).
Для окончания доказательства формулы (3) достаточно указать на равенство
QA-QT
R
Библиографические ссылки
1. Зорич В. А. Шар, сфера и всё-всё-всё // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2016. № 3. С. 16-19.
2. Неклюдов А. В. Некоторые нестандартные доказательства и задачи в курсе математического анализа [Электронный ресурс] // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. Вып. 5. URL: http://engjournal.ru/catalog/pedagogika/hidden/743.html (дата обращения: 14.04.2017).
3. Ширяев А. Н. Вероятность-1. М. : Изд-во МЦНМО, 2004. 520 с.
© Новоселов О. В., Опокин Д. С., 2017
