Вычисление групп спинорных бордизмов некоторых пространств Эйленберга-Маклейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вы,п. 1.1995

УДК 517.11:517.98

С некоторых вопросах нестандартной теории пространств

Л.В.Канторовича Ю.Н.Ловягин

В работе методами булевозначных моделей теории множеств исследуются архимедовы векторные решетки. Вводится понятие нестандартного (в смысле А.Робинсона) расширения векторной решетки. Исследуется некоторая равномерность на векторной решетке, сходимость относительно которой совпадает с (г)-сходимостью.

Настоящая заметка посвящена приложению методов теории моделей к теории векторных решеток. Мы используем теорему 1.И.Гордона [1] о булевозначной реализации расширенного К - пространства. Благодаря общей теории векторных решеток [2,3], наши результаты переносятся на более широкий класс структур. Естественной границей наших методов является архимедова векторная решетка.

Методы булевозначных моделей теории множеств [4] мы используем в комбинации с методами нестандартного анализа А.Робинсона.

§1. Пусть Ь - язык узкого исчисления предикатов первого порядка с равенством, имеющий два бинарных функциональных символа +,#, константные символы 0,1, бинарный предикатный символ <, а также множество унарных функциональных символов А = {А : А € И}.

В языке Ь рассмотрим теории ТТ упорядоченных полей и V£ векторных решеток.

Пусть далее В - полная булева алгебра, V® -соответствующий отделимый булевозначный универсум теории множеств, 72 - множество вещественных чисел внутри V®, в частности V® (= Я (= ТТ

© ю.н.Ловягин, 1995.

47

Согласно теореме Е.И.Гордона Я ¿|= боле того Я |

расширенное К-пространство с базой, изоморфной В, с естественн кольцевой структурой, причем алгебра идемпотентов кольца и морфна В.

§2. В силу общей теории внутри V® существует такой элеме *Я, что

V® Я -нестандартное расширение Я в смысле А.Робинсо », в частности, Vм (=< ^ ГР >

Таким образом, внутри V® существуют множества Р, I и фун ция такие, что

1. || Уб(б е / = Ух(х е я л(х > о) э| € |< ж)) ||= 1

2. II Щь £ ^ = Зх{х € Я А(ж > 0) А (| у \< ж)) ||= 1

3. II Щу е Р=3х3е(х е Я Лее I А(у = ж + е))) ||= 1

4. || dom st = Р ||=|| п^ $1— Я ||= 1

5. || Уу(у <Е РэУеУх(х £ Я Ае е I А(у = ж + е) Э (зЬг=х))) || =1

6. || VуУги(у £ ^Ли; (Цу+^г) = ¿¡¿у + st w) Л ($£(учу) = = з£у зЫ ||= 1

7. || Кег 5«= 11|= 1

8. у® факторкольцо ^//изоторфно Я

9. V® |=<С st является естественной проекцией Г/1 на Д >

Элементы множества Р называются конечными (вещественным числами), множества I - бесконечно малыми числами, множестг Р- бесконечными (бесконечно большими).

§3. Для х,у £ й | положим х < у тогда и только тогда, когд \\х < у|| =1.

Лемма, ж <1 у тогда и только тогда, когда существует слаб* единица е £ Я | такая, что х+е=у.

Действительно,||ж <3 у\\ = 1, тогда и только тогда, когда

\\3е(е £ Я Ае > 0 А ж + е = ?/)|| = 1, то есть существует тако" элемент е £ Я что ||е > 0|| = > и х+е=у.

Покажем, что е - слабая единица. Пусть 2 > 0 и ъ (1 е. Тогд ||лАе = 0|| = 1 Так как ||е > 0|| = 1, отсюда следует, что \\г = 0|| = 1. Что и требовалось доказать.

Теорема. Структура < R, < , +, О, Л > является упорядоченным векторным пространством.

Доказательство. Требуется установить только, что <1 - отношение строгого порядка и согласовано с алгебраическими опера-паями. Но это сразу следует из определения и соответствующих тзойств строгого порядка внутри V®.

Определение. Порядок < назовем существенным порядком в э i .

j-.» 4- *

§4. Рассмотрим теперь структуру *R Легко понять, что *R „;= VC и, так как внутри V® * R - элементарное расширение i?, *R [ - R I как модели VL (см. напр. [6], стр.290).

Множество /jC*R i назовем идеалом бесконечно малых элементов, множество FlC*R j - множеством конечных элементов. Функ-гяю síj. - функцией стандартной части. Учитывая свойства 1.-9. из §2, получаем, что имеет место

Теорема. Пусть V - архимедова векторная решетка. Тогда щществует векторная решетка *V, являющаяся элементарным гжширением V и множества I, Fd* V такие, что

1. е € I тогда и только тогда, когда для всех v Е V+ |e¡ < v

2. v 6 F тогда и только тогда, когда v = k + е для некоторых к в V,e е I

3. v € F тогда и только тогда, когда |t)| < к для некоторого

kev.

При этом существует функция st : F <— V такая, что £©mst = F, mgst = V, kerst = I, и, если v = х + е, то stv = х.

Доказательство. Пусть К- К-пополнение V и X - максимальнее расширение К. Пусть далее - база X, V8 - соответствующий гулевозначный универсум теории множеств . Тогда X изоморфно Щ, где R - множество вещественных чисел внутри Va. Далее утверждения теоремы получаются из вышеизложенного, если положить *V = *R I.

§5. Опишем теперь решетку "V в терминах внутренних по отношению к теории V С. Доказательства можно проводить не умаляя общности для случая V = R[.

Теорема 1 .Для е Е I необходимо и достаточно существования бесконе'чно .малого вещественного числа а внутри V® такого, что б = ал • Ia, где 1 ~ фиксированная порядковая единица (если

она существует) V, А - естественной вложение универсума фон Неймана в . Если порядковой единицы в исходной решетке нет, то можно взять любую единицу в максимальном расширении К-пополнения V.

Достаточность условия теоремы очевидна. Покажем необходимость. Пусть е 6 I. Тогда, по определению I |(е и 0|| = 1. Ясно, что существует элемент а £*Я такой, что аЛ = е. Что и требовалось доказать.

Определение 1 .Два элемента у,и> £* V назовем бесконечно близкими, если V — ш £ I. В этом случае будем писать V « и>.

Теорема 2.ь « ю тогда и только тогда, когда Ц-у и ги|| = 1. Действительно, так каку — ги £ I, 8Цу-1и)=0, то есть — ю) = О|{ = 1 или Цг; « ги|| = 1.

Определение 2.Для х £* V положим ц(х) = {ы V : и « х}. Множество /.¿(ж) назовем монадой (ореолом) элемента х.

Теорема 3.

1. Пусть х £ Р. Тогда у £ р,(х) тогда и только тогда, когда ьЬу^&Ьх, тогда и только тогда, когда V ~ х.

2. х £ V тогда и только тогда, когда 81х=х.

3. если ж, у £ V и х « у, то х=у.

Для доказательства рассмотрим х, у £ V такие, что х « у. Тогда

1 х = | у и, следовательно, \\stx = = 1, то есть, так как ||а;,2/еЛ|| = 1,||х= ¡,11 = 1.

Следствие. Если х,у £ V и х фу, то /л(х) П ц{у) = 0.

Следующее утверждение очевидно.

Теорема 4.Пусть \\х £ -КЦ = 1 и пусть р(х) - монада х внутри V®. Тогда /л | (ж) - монада х в* К [.

§6. Определение.Пусть V - архимедова векторная решетка с единицей . Естественной топологией решетки V назовем ее монадологию, то есть топологию тм(V), порожденную семейством монад {ц(х) : х £ V}.

Теорема 1.Пусть < Х,т > - топологическое пространство внутри V®. Тогда т' = {Е Е £ г является базой топологии на множестве X |. При этом, если а - база топологии т внутри V®, то О' ~ {Е Е £ о - база топологии X | и топологии с базами Т' и а' совпадают.

Доказательство. Пусть х £ V | ГШ |. Тогда х е {V П IV)

есть ||.хгшп V П — 1. Следовательно, внутри К® существует цемент и в а такой, что ||ж € II С V Г) У/\\ = 1 или х £ и-[С V 1 ~1Г Остальное очевидно.

Комбинируя этот результат с теоремой 4 §5, получаем, что имеет ;:?сто:

Теорема ]) совпадает со спуском естественной топо-

::згии множества вещественных чисел.

Прямым следствием этого утверждения является:

Теорема 3.Архимедова векторная решетка является хаусдор-рявым равномерным пространством в своей естественной топо-2тии.

Следствие.Алгебраические и решеточные операции в архимедовой векторной решетке равномерно непрерывны.

Теорема 4.Естественная топология архимедовой векторной решетки совпадает с интервальной топологией существенного грядка.

Доказательство. Достаточно доказать, что для а,Ь б Д 1 ~лЛ] |= <|а,Ь| > = {г е Л а < г < 6}. Покажем сначала, что л. Ь) <1 а,6> = {г : а <! -г < Ь}. Имеем г 6 (а, Ь) | тогда и только тогда, когда \\г £ (а, Ь)|| = 1 тогда и только тогда, когда 1 < гЛг < Ь|| = 1 тогда и только тогда, когда ||а < г\\ = \\г < Ь|| = 1 тогда и только тогда, когда а <1 2 <1 Ь.

Если же ||г = а|| = 1 или \\г = Ь|| = 1, то г=а, соответственно 2=Ь и, следовательно, <] |а, 6| > = [а, Ь]

Теорема 5.Пусть х - направление в V. Тогда х О в ^(У) тогда и только тогда, когда х сходится к 0 с регулятором.

Доказательство. Сходимость направления х в топологии V равносильна условию ||жА —► 0|| = 1, следовательно, для любого е > О существует «о так, что для всех а > ао|||жа| < еА|| = 1 , то есть ха\ < еЛ • 1, что и означает, что х сходится к нулю с регулятором единица.

Обратно, если х сходится к нулю с регулятором, то

|= Уб > 03«оV» > ао|£а| < е • г. Тогда по принципу переноса V® |= \/е > 03ад\/а' > а$\ха\ < е • гл. Что и означает сходимость направления х к нулю во множестве вещественных чисел (внутри V®).

§7. Пусть теперь V - архимедова векторная решетка с единицей 1. Тогда множество N — {п\ \ п £ ш} естественным образом

изоморфно множеству натуральных чисел. Пусть *N - естественное расширение N при элементарном вложении V в *V. Элементы множества *N\N будем называть бесконечными натуральными числами.

Теорема. Пусть {.*:„} С V(n Go») - произвольная последова-тельностъ. Тогда: Jl

(I) последовательность {а;п} сходится к х с регулятором тогда fc и только тогда, когда для всех бесконечных v xv « х; сс:

(II) х является предельной точкой последовательности {ж„} тогда и только тогда, когда для некоторого бесконечного vxu « х;

(III) {х„} - (г)-фундаментальна тогда и только тогда, когда для всех бесконечных и, v ж„ ~ хи,.

Этот результат является прямым следствием теоремы 5 предыдущего параграфа и соответствующих фактов для вещественных последовательностей.

Литература

1. Гордон Е.И. Вещественные числа в булевозначных моделях теории множеств и К-пространства //ДАН СССР. 1977. Т.237.№4. С.773 - 775.

2. Канторович J1.B., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. M.;JI.: Гостехиздат, 1950. 546 с.'

3. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

4. Solovay R.,Tennenbaum S. Itherated Cohen extension and Souslin's probeltm //Ann. of Math. 1971. V.94.№2. P.201 -275.

5. Robinson A. Non-Standard Analysis. Amsterdam: North-Holland publ. сотр., 1966. 293 p.

6. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартные методы анализа. Новосибирск: Наука, 1990. 344 с.

Summary

Lovyagin J.N. On some questions of nonstandard theory of Kan-

irovich spaces

Archimed vector lattices by the Boolean-valued models methods of :e set theory are studied. A notion of nonstandard (in the sence of ..Robinson) enlargement of vector lattice is introduced. A certain uni-im structure in the vector lattice with respect to which convergence rincides with the (r)-covergence is investigated too.

%кты,вкарскии университет

Поступила 8.02.95