Вычисление гарантированного курса расхождения при опасности сближения вплотную Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК

ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА -

МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА имени АДМИРАЛА с. О- МАКАРОВА^,

ЭКСПЛУАТАЦИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА,

СУДОВОЖДЕНИЕ

УДК 656.052.484 С. Н. Некрасов,

д-р техн. наук, проф.;

Д. В. Трененков,

асп.;

К. И. Ефимов,

асп.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО КУРСА РАСХОЖДЕНИЯ ПРИ ОПАСНОСТИ СБЛИЖЕНИЯ ВПЛОТНУЮ

CALCULATION OF THE GUARANTEED PASSING COURSE AT THE DANGER OF THE CLOSE-QUARTERS SITUATION

В статье описаны способы оценки областей неопределенностей положения судов при расхождении в море и способы выбора гарантированного курса расхождения при сближении судов вплотную. Рассмотрена ситуация двух и более судов, идущих пересекающимися курсами, когда фактическое местоположение каждого судна будет находиться в эллипсе погрешностей курсов и скоростей каждого из судов. Таким образом, расчетное место их столкновения будет находиться не в точке, а в суммарном эллипсе, полученном путем сложения эллипсов погрешностей каждого из судов. Расчетным способом показано, что для гарантированного безопасного расхождения судам необходимо учитывать размеры данного эллипса. Актуальность рассматриваемой проблемы обусловлена необходимостью более полного понимания влияния погрешностей элементов движения судов и их взаимодействия при возникновении опасности столкновения.

In abovementioned clause described assessment methods of the uncertainty areas positions of the ships during passing at sea and methods of choice guaranteed passing course at the close-quarters situation. In situation when two ships and more are crossing, actual positions of every ship are located in the ellipse of the errors of course and speed of every ship. So, calculated position of collision located not in the point, but in the summary ellipse, obtained by the addition of ellipse of the errors of every ship. Ships are required to consider of this ellipse for guaranteed safety crossing, and it shows by calculations. Topicality of this problem is the wide understanding of the ships moving errors and their interaction in collision situation.

Ключевые слова: безопасность плавания, корреляционная матрица, эллипс погрешностей, расхождение судов.

Key words: safety of navigation, correlation matrix, ellipse of the errors, passing of the ships.

П

РИ движении судна его путь представляет собой криволинейную траекторию, обусловленную воздействием как гидрометеорологических факторов, так и причинами, возникающими при управлении судна. В общем случае основные навигационные параметры будут представлять собой стохастический процесс с некоторыми статистическими характеристиками. При решении задач расхождения судов в море это имеет определяющее значение как для текущей оценки основных параметров движения встречных судов, так и для решения задач прогноза дистанции расхождения и времени расхождения судов [1].

Оценка неопределенностей и погрешностей прогноза положения судов и других основных навигационных параметров при принятии допущения о нормальном распределении вектора навигационных параметров будет характеризоваться эллипсом рассеивания (гиперэллипсом в многомерном случае). Наличие эллипсов неопределенностей положения двух судов приводит к появ-

Выпуск 1

|Выпуск 1

лению областей опасного сближения судов. Для выхода из зоны опасного сближения необходимо определить гарантированные курсы расхождения, при которых риск столкновения стремится к минимуму. Решение этой задачи будет способствовать уменьшению риска столкновения судов в море, который в настоящее время достаточно высок. Важность рассматриваемой задачи обусловлена также необходимостью более полного понимания влияния погрешностей элементов движения судов и их взаимодействия на появление областей возможного столкновения судов.

Гарантированный маневр подразумевает изменение курса судна AKc или его скорости AV с учетом того, чтобы вероятность столкновения стремилась к нулю. Опыт показывает, что практически во всех ситуациях маневр курсом более эффективен, чем маневр скоростью. С другой стороны, в стесненных районах плавания возможны ситуации, когда маневр может быть выполнен только с помощью изменения скорости [2]. Тем не менее, изменение курса и/или скорости приводит к изменению положения линии относительного движения судов (ЛОД) при построении и расчете схем взаимного положения судов-целей.

Угол ЛОД является функцией от вектора скорости судна и вектора скорости цели. Однако, как отмечалось ранее, предполагается, что из-за неопределенности вектора относительной скорости судна возможно возникновение некой области (эллипса ошибок) относительного взаимного положения судов в прогнозируемом месте встречи. Поэтому для определения угла отклонения ЛОД необходимо учитывать влияние неопределенностей и, как следствие, изначально закладывать величину искомого AK с учетом данных обстоятельств. Таким образом, угол изменения ЛОД выражается в виде функции

AKp = fD, Sp, Vp, A, B, t). (1)

Графически гарантированный угол AKp с учетом эллипса неопределенностей показан на рис. 1. Однако положение эллипса, как и его размеры, описываются корреляционной матрицей, определяющей погрешности в расстоянии по ЛОД из-за учета неопределенностей в скоростях. Поэтому размеры и положение эллипса непостоянны.

Рис. 1. Положение эллипса погрешности на линии относительного движения судна

В судовождении для каждого способа определения места судна существуют зависимости, которые позволяют рассчитать погрешность определения места судна относительно земной по-

верхности, которую обычно представляют в виде окружности. Применение эллипса погрешностей для оценки положения широкого применения не нашло. Для использования преимуществ данного способа была введена характеристика — радиальная средняя квадратическая погрешность (РСКП) [3], определяемая в виде

М = л1а2 + В2, (2)

где А — большая полуось эллипса погрешностей;

В — малая полуось эллипса погрешностей.

Вероятность пребывания случайной точки в круге радиуса М больше, чем в среднеквадратическом эллипсе погрешностей, она зависит от соотношения В/А полуосей этого эллипса и колеблется, хоть и в незначительной степени (рис. 2). Переход от эллиптической погрешности к радиальной также важен ввиду удобства определения необходимого изменения угла ЛОД для уклонения от столкновения с целью. Достоинством РСКП (М) как меры точности является также и то, что она выражается одним числом.

(в \ Кр

\ К. у. * т ДК> ••

ДНр N. У ^

Рис. 2. Определение радиальной средней квадратической погрешности и ее применение для изменения угла ЛОД

Тогда необходимый угол изменения ЛОД можно представить в виде

I

AKp = arctg

f ЫЛ

V ^

(3)

где Sp — расстояние по линии относительного движения в текущий момент времени;

M — радиальная погрешность положения судна из-за учета неопределенностей в векторах скоростей.

С учетом

и

А2

+

у

В2 =-

2 2 Gls +ар

р р

----------\

+ 4 Rs у ,

°ргр

№ О

V

У

(5)

Выпуск 1

|Выпуск 1

где о2 — дисперсия Sj о£ — дисперсия Vpj,

угол изменения ЛОД АКр принимает вид

(6)

откуда следует

АКр = arctg

(С

+ av

(7)

V У

В выражении (7) показана аналитическая зависимость минимально допустимого угла изменения ЛОД для обеспечения заданного уровня безопасности расхождения судов с учетом прогноза влияния неопределенностей параметров движения с известной долей вероятности. Таким образом, на данном этапе была рассмотрена ситуация, когда одно судно (судно 1) наблюдает другое (судно 2). Для безопасного расхождения судов был построен эллипс погрешностей или РСКП (в зависимости от возможности построения). Но, если учитывать, что на (судне 2), также для безопасного расхождения с судном 1, выполняют построение области ошибок, то в расчетах появляется два эллипса. При этом сумма двух или нескольких эллиптических погрешностей также характеризуется эллиптической погрешностью [4]. Данная ситуация рассмотрена на рис. 3. Следовательно, исходя из поставленной задачи, судно должно изменить свой курс или скорость таким образом, чтобы его ЛОД не заходил в построенную область ошибок.

В рассмотренной задаче, согласно правилам МППСС-72, судно 1 должно изменить свой курс вправо и/или уменьшить скорость, так как оно наблюдает судно 2 со своего правого борта [5]. При изменении курса угол отворота не должен быть меньше, чем угол изменения курса ДКр. Как

отмечалось ранее, в настоящее время чаще используется РСКП в связи с тем, что она проще в построении и выражается одним числом. При построении области ошибок при помощи РСКП угол изменения курса AK напрямую зависит от построенной окружности [6] — рис. 4. Следовательно, R = AKp = f(D, S, Vp, A, B, т).

Согласно требованиям ИМО, для 95 % вероятности необходимо умножать результаты расчетов на два, т. е. принимать радиус СКП равным 2M.

Вероятность нахождения места судна в круге с заданным радиусом M рассчитывается с помощью интеграла [7]:

1

Я ехр

уА2 В2,

2пАВ м

За область интегрирования принимается круг радиусом

cUSacUs^.

м. =ш

■r4a2

+вг

(8)

(9)

где Мз — заданный радиус круга;

R — нормированная радиальная погрешность (коэффициент, показывающий, во сколько раз радиус заданного круга больше среднеквадратичного радиуса М).

При использовании радиальной погрешности элементы эллипса, как правило, не рассчитываются. Для практических расчетов, связанных с анализом навигационной безопасности судовождения, удобно пользоваться формулой, выражающей закон распределения Релея [8]:

Р = \- е~м11м2 = 1 _ e~R2, (10)

Расчет вероятности радиальной погрешности показал следующие значения:

- при R = 1 (М = M - РСКП) P = 0,632 - 0,683;

- при R = 2 (Мз = 2M - удвоенная радиальная СКП) P = 0,954 - 0,982;

- при R = 3 (М = 3M - утроенная радиальная СКП) P = 0,997 - 0,999.

Для судна 1 (Ар В1), следовательно Мх =-\JA2 + В2; для судна 2 (А2; В2), следовательно М2 = \Ja22 + В2. Тогда =aJMl + M|.

Выпуск 1

|Выпуск 1

В этом случае вероятность правильного решения на маневр будет определяться как вероятность успешного изменения угла ЛОД (ДКр), т.е. вероятность ненахождения судна в круге радиусом M [9]. Для решения обратной задачи, т.е. определения минимально допустимого угла ЛОД с предельной вероятностью Р = 0,997(М = 3М) необходимо рассчитать угол изменения ЛОД (ДК) для выхода линии из круга радиусом 3М:

АКр = arctg

ГЪМ^ V У

(11)

Также в общем виде для различных вероятностей формулу (11) можно представить в виде

АК = arctg

(Ш, Л У

(12)

В ходе работы были вычислены углы изменения ЛОД для различных значений вероятностей (рис. 3):

Рис. 5. Зависимость необходимого угла изменения ЛОД от отношения РСКП к дистанции сближения для различных степеней вероятности ненахождения судна в круге радиусом M

Таким образом, уменьшение риска может быть достигнуто при повышении качества принятия решения на маневр. Иными словами, если судоводитель/оператор будет принимать решение на маневр с учетом допустимого ДКр, т.е допустимого ДКс, то с определенной долей вероятности точка расхождения судов, т.е. место взаимного относительного положения судов, будет находиться вне (или внутри) пределов эллипса погрешностей, исходя из поставленной задачи безопасного расхождения или сближения вплотную.

Не вызывает сомнения, что учет всех возможных неопределенностей, особенно неопределенности взаимного положения судов, приводит к повышению качества принятия решения на маневр, что, в свою очередь, безусловно, снижает риски неправильного или неэффективного маневра и, как следствие, риски возникновения опасной ситуации. Но поскольку данный метод является довольно трудоемким для повседневного применения вахтенным помощником при ведении расчетов для расхождения с судами, его применения возможно только в автоматизированных комплексах как часть системы управления безопасностью с последующей оценкой риска «сверху» и «снизу».

Эффективность системы управления безопасностью судоходства зависит от степени использования инструментов воздействия на вероятность проявления основных событий, предшествую-

щих риску возникновения аварийной ситуации. Приведем способ расчета характеристик суммарной векторной погрешности, основанной на взаимно-однозначном соответствии корреляционных матриц и параметров рассеивания [10]. Если определить суммарный вектор погрешностей

X = X + х2, (13)

то по определению его корреляционная матрица

Rx = = (*1 + *2)(*i + х2У = xlXlT + ххх2т + х2хУ + х2х2т = RXi + RVi + + RXi (14)

при взаимной некоррелированности складываемых векторов (R = 0, R = 0) определяется суммой корреляционных матриц:

=R

■Xl+X2

— R„ + Rv —

f 2

CJr

xl

та

Чад

a ( rr2 CJV Rv „ 1 f a2 R ^

ад + x2 *2 У 2 — xy

R R a2

У1 J ^ ЪУ2 Уг ^ ^ xv У V

(15)

Корреляционная матрица полностью определяет погрешности счисления при их нормальном распределении. Элементы РСКП будут следующими:

tg2T = -rf^; у = V(CT'-^)2 + 4<: A2 = l(a2x + v2y + у); в2 = fa + а2 - у).

® х ® у

:V5+4-

(16)

Следовательно, М = \1а2 + В2

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу. Корабль 1, следуя курсом К1 = 0°, накопил погрешности счисления, характеризуемые эллипсом рассеивания Э1 с параметрами А = 3 кб, В1 = 1 кб, тА1 = К1. Корабль 2, следуя курсом К2 = 30°, имеет погрешности счисления, характеризующиеся эллипсом рассеивания Э2 с параметрами А2 = 4 кб, В2 = 2 кб, тА2 = К2 (рис. 6). Определим параметры эллипса рассеивания, характеризующего суммарную погрешность счисления, накопленную обоими судами. Совместим ось 0 с линией первого курса.

Рис. 6. Эллиптические погрешности и их сумма

Для аналитического решения воспользуемся уравнениями:

q = A2 - B2 = 9 - 1 = 8; q2 = A\ - B2 = 16 - 4 = 12; t2 = TA2 - TA1 = К2 - К1 = 30°; 2^2 = 60°.

Выпуск 1

|Выпуск 1

+q'i +

tg 2T'

2q[q'2 cos2^2 = ^64 + 144 + 2-8-12-0,5 = 17,43;

= q2sm2x'2 = 12-0,866 _Q712.

^'+<72 008 2x2 8 + 12-0,5 ’ ’

2T' = 36,6°; T' = 18,3°; T = K + T' = K1 + 18,3°.

Далее находим полуоси суммарного эллипса погрешностей:

A2 = 0,5(A12+B12+A22+B22+^') = 0,5(9+1+16+4+17,43) = 23,71A = 4,86;

B2 = 0,5(A2+B2+A2+B2-q) = 0,5(9+1+16+4-17,43) = 6,26B = 2,50.

Таким образом, рассмотрены навигационные параметры как стохастический процесс с некоторыми статистическими характеристиками. При обработке данных навигационных параметров можно рассчитать области неопределенностей судов при расхождении в море, что позволяет оценить появление опасной навигационной ситуации с определенной долей вероятности.

Список литературы

1. Некрасов С. Н. Определение навигационных рисков при имитационном моделировании управления судном при проходе узкости / С. Н. Некрасов, К. И. Ефимов, Д. В. Трененков // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2014. — № 1 (23). — С. 34-36.

2. Груздев Н. М. Навигационная безопасность плавания / Н. М. Груздев. — СПб.: ГУНиО МО РФ, 2002. — 221 с.

3. Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втуза / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. — М.: Наука, 1980. — 706 с.

4. Луконин В. П. Теория обработки навигационной информации / В. П. Луконин. — М.: ВУНЦ ВМФ «ВМА», 2010. — 295 с.

5. Коккрофт А. Н. Руководство по правилам предупреждения столкновения (МППСС-72). — А. Н. Коккрофт, Дж. Н. Ф. Ламеер / пер. с англ. Н. Т. Шайхутдинова и К. В. Щиголева. — СПб.: ООО «Мор-сар», 2005. — 326 с.

6. Груздев Н. М. Математическая обработка и анализ навигационной информации / Н. М. Груздев. — М.: Воениздат, 1979. — 224 с.

7. Вентцель Е. С. Теория вероятностей и ее инженерное приложение / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — М.: КНОРУС, 2010. — 480 с.

8. Груздев Н. М. Оценка точности морского судовождения. — М.: Транспорт, 1989. — 191 с.

9. Абезгауз Г. Г. Справочник по вероятностным расчётам / Г Г Абезгауз, А. П. Тронь, Ю. Н. Копен-кин, И. А. Коровина. — М.: Воениздат, 1970. — 536 с.

10. Болдырев В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении / В. С. Болдырев. — Л.: ВМА, 1974. — 248 с.