CC BY
10(л) Если характеристика основного поля не равна двум, то не существует многообразий ассоциативных алгебр, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным. Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-01-00209-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Petrogradsky V.M. Exponents of subvarieties of upper triangular matrices over arbitrary fields are integral // Serdika Math. 2000. 26. 1001-1010.
2. Рацеев С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница // Вестн. Самар. гос. ун-та. 2006. 6(46). 70-77.
3. Мищенко С.П., Череватенко О.И. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста // Вестн. Самар. гос. ун-та. 2006. 9(49). 19-23.
Поступила в редакцию 26.05.2010
УДК 511
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МОДУЛЕЙ СПЛАВОВ С. В. Шешенин1, М. И. Савенкова2
В статье изучаются изменения эффективных модулей оловянно-свинцовых сплавов в зависимости от изменения микроструктуры сплава, ее регулярности, а также концентрации включений олова. Кроме того, исследуется зависимость между геометрическими характеристиками сплава и размером представительного объема образца.
Ключевые слова: эффективные модули упругости, композит, представительный объем, припой, оловянно-свинцовый сплав.
In this paper we consider the effective moduli of a tin-lead alloy and their changes. We study their dependence on the variation of the alloy microstructure, its regularity, and the concentration of tin inclusions. In addition, we study the relation between the geometric characteristics of the alloy and the size of the representative volume element.
Key words: effective elastic moduli, composite, representative volume element, solder, tin-lead alloy.
В настоящее время оловянно-свинцовые сплавы используются в качестве припоя при монтаже печатных плат. Предполагается, что в будущем сплав олово-свинец будет заменен на сплав серебро-медь ввиду экологической целесообразности. В процессе работы материал припоя периодически нагревается и остывает, в результате чего происходит диффузия компонентов припоя. Структура сплава претерпевает изменения, его материальные свойства меняются, что в конечном итоге может вызвать процесс образования трещин и привести к разрушению припоя и выходу из строя платы. В работе изучаются эффективные модули упругости припоя в зависимости от изменения микроструктуры материала. Экспериментально полученные фотографии [1] показывают только двумерную структуру, поэтому моделирование проводится в рамках предположения о плоской деформации. Также исследуются зависимости эффективных модулей от концентрации, расположения и количества включений для модельного волокнистого материала.
Сплав олово-свинец рассматривается как двухкомпонентный композит, структура которого изображена на рисунке, а-г. При этом на рисунке, а представлена структура в начале процесса диффузии, а на рисунке, б — в конце. Аналогично на рисунке, в показана структура другого оловянно-свинцового сплава в начале процесса диффузии, а на рисунке, г — в конце. Для вычисления эффективных упругих модулей применялись два подхода. Структура сплава (рисунок, а, б) похожа на слоистую, поэтому в первом подходе для вычисления эффективных модулей используются аналитические формулы для слоистого композита [2, 3]. Во втором подходе эффективные модули вычисляются исходя непосредственно из опре-
1 Шешенин Сергей Владимирович sergey.sheshenin@mail.ru.
2 Савенкова Маргарита Ивановна,
— доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
— асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: madgista@gmail.com.
деления, а именно решается плоская задача теории упругости со специальными граничными условиями в области представительного объема:
( {Сг]ш(х)Пк,,г), ■ = 0, {Пг(х) = и(0),
г,3,к,1 = 2, 3; (1)
(0) (0)
(2)
(0)
где е- — компоненты симметричного тензора-константы. Тогда эффективные модули можно найти из соотношения
К) = ш, (3)
где (а^) — средние по представительному объему компоненты тензора напряжений,
Микрофотографии представительных образцов сплава свинец-олово (верхний ряд) и модельных образцов сплавов (нижний ряд): включения (белый цвет) — олово, матрица (черный цвет) — свинец
е(0) = {е%з) — средние компоненты тензора деформаций [2, 4]. Например, в случае, когда = 1, а остальные компоненты равны нулю, получим из (3) эффективные модули упругости С^Цг, = 2, 3.
Сравнение этих двух способов вычисления эффективных модулей привело к очень близким результатам для структур, показанных на рисунке, а, б и д, е. Конечно, второй способ является универсальным, а первый годится только для слоистых структур или близких к ним.
В течение процесса диффузии слои (включения для структуры на рисунке, в, г) утолщаются и расстояние между ними увеличивается, однако концентрация олова в сплаве не меняется. Основной результат вычислений состоит в том, что, как выяснилось, при наблюдаемом на практике изменении микроструктуры эффективные модули практически не изменяются. Слабое изменение модулей объясняется погрешностями в вычислениях. При этом относительная разница между значениями модулей, полученными с помощью этих способов, составляет 0, 5-2%, что говорит о применимости аналитических формул для данной структуры. Значения, вычисленные для остальных модулей, столь же близки между собой.
Подобное исследование было проведено для ряда других структур и также было установлено, что эффективные модули зависят главным образом от концентрации и крайне слабо от геометрических характеристик структуры.
С целью количественного исследования зависимости эффективных модулей от геометрических характеристик структуры модули вычислялись для ряда модельных структур. При этом изучалась зависимость эффективных модулей от регулярности микроструктуры рассматриваемого сплава, от количества включений олова в нем и его концентрации. Ввиду невозможности проведения исследований на реальных образцах материала была разработана программа, позволяющая моделировать упрощенные структуры с использованием данных о реальном сплаве. В результате получались изображения структуры, приведенные на рисунке, д-ж. Включения олова моделировались кругами разного радиуса (показаны белым цветом). Это позволило сравнить вычисленные модули с результатами, предоставляемыми аналитическими формулами для волокнистого однонаправленного композита [2, 4].
Были рассмотрены три вида структуры композита, два из которых периодические, так что включения располагаются в узлах квадратной (рисунок, д) и треугольной (рисунок, е) сеток, а третий нерегулярный (рисунок, ж). Треугольная сетка создавалась из равносторонних треугольников, а нерегулярная — путем случайных отклонений включений от узлов квадратной сетки. Таким образом, в процессе исследования появилась возможность изучить, каким количеством включений создается представительный объем. Эффективные модули вычислялись исходя из определения (1)-(3), а также по формулам для волокнистого композита [4].
Вычисленные модули представлены в таблице, где использованы следующие обозначения: Кон — концентрация олова в сплаве, N — количество включений, Кв — квадратная сетка, Тр — треугольная сетка, Пр — произвольная сетка включений.
В результате проведенных вычислений и анализа результатов можно сделать следующие выводы.
Если микроструктура имеет вид квадратной сетки, представительный объем перестает быть таковым в случае, когда количество включений меньше или равно 4. Для треугольной сетки это критическое число 3. Для произвольной сетки в условиях проведенного вычислительного эксперимента при любом количестве включений объем можно считать представительным. Это верно при всех рассмотренных концентрациях. В пределах представительного объема эффективные модули зависят лишь от концентрации
олова в композите. При увеличении концентрации олова в композите эффективные модули растут, а при постоянной концентрации практически не зависят от структуры. При увеличении концентрации на 0,1 изменение эффективных модулей составляет примерно 23-27%. Кроме того, сравнение результатов, полученных с помощью аналитических формул и из определения (1)-(3), показало, что аналитические формулы для волокнистого композита дают хорошую точность при концентрации олова не более 0,2.
Значения эффективных модулей для различных сеток
Кон N Кв Тр пР Кв тР пР Кв тР пР Кв тР пР
С*2222 С*2233 Сзззз С*2323
49 109,19 108,83 107,37 57,39 58,03 58,15 109,19 109,2 107,36 25,09 25,36 24,89
25 110,73 109,19 107,73 57,74 58,15 58,03 110,73 108,98 108,73 25,9 25,25 24,67
0,14 16 110,82 108,97 107,6 57,65 57,87 57,93 110,82 108,67 107,47 26,35 25,41 24,78
9 112,4 109,58 108,76 57,96 57,92 58,06 112,4 109,3 107,6 27,54 25,83 25,49
4 116,25 111 107,37 58,83 58,04 57,73 116,25 110,75 108,01 30,29 26,87 24,73
144 137,86 135,62 135,16 66,55 68,98 68,65 137,86 134,66 138,02 30,19 31,18 31,17
36 137,56 134,98 134,22 66,76 68,72 67,75 137,56 134,25 134,65 31,54 31,59 30,66
0,28 16 139,17 138,8 134,91 67,16 68,71 68,42 139,17 135 133,7 33,47 32,49 32,23
9 141,78 137,09 137,25 67,85 68,22 67,91 141,78 136,48 133,54 35,86 34,43 32,08
4 148,27 138,84 135,16 69,7 68,06 68,52 148,27 136,23 135,2 41,25 34,96 33,55
144 167,83 164,94 164,77 75,48 79,76 78,11 167,83 161,75 169,56 35,5 37,97 36,99
36 169,34 169,97 167,09 76,52 80,07 79,96 169,34 162,03 167,85 37,55 39,31 39,33
0,41 16 171,88 173,29 166,57 77,49 80,45 80,15 171,88 163,79 169,3 40,29 40,84 40,28
9 174,86 176,67 171,89 78,52 80,75 79,42 174,86 165,79 170,97 43,42 42,5 41,39
4 182,84 183,9 164,89 81,21 81,65 78,52 182,84 169,98 170,54 50,67 46,08 39,76
0,5 64 204,72 202,82 203,68 86,46 92,58 90,41 204,72 198,28 208,41 42,32 47,11 44,73
64 204,72 202,82 203,68 86,46 92,58 90,41 204,72 198,28 208,41 42,32 47,11 44,73
Авторы выражают благодарность профессору В. Мюллеру и ассистенту Т. Бему (Technische Universität, Berlin), предоставившим оцифрованные фотографии микроструктуры сплава. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 07-01-92111-ГФЕН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dreyer W, Müller W.H. A study of the coarsening in tin/lead solders // Int. J. Solids and Struct. 2000. 37. 3841-3871.
2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М.: Эдиториал УРСС, 2003.
4. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982.
Поступила в редакцию 14.12.2009
УДК 531.396
КОМПОЗИЦИОННЫЙ СПОСОБ ПРОГРАММИРОВАНИЯ САККАДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ГЛАЗА
А. Г. Якушев1
Саккада — это быстрое скачкообразное движение глаз, которое формируется нервной системой еще до своего начала, а затем осуществляется как программное глазодвигательными мышцами. В работе последние моделируются как вязкоупругие элементы, а про-
1 Якушев Андрей Германович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: moids@yandex.ru.
