CC BY
0
УДК 620.18
Вычисление эффективных механических характеристик дисперсно-армированного полимерного композиционного материала c низкомодульными включениями
1 1 12 М.П. Данилаев , С.А. Карандашов , В.А. Куклин ' ,
И.Н. Сидоров1, А.И. Энская1
1 Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н.Туполева-КАИ,
Казань, 420111, Россия 2 Казанский федеральный университет, Казань, 420018, Россия
Разработка адекватных математических моделей механических характеристик дисперсно-армированных полимерных композиционных материалов (ДАПКМ) требует их верификации. Верификация таких математических моделей механических характеристик ДАПКМ осложняется, по крайней мере, следующими причинами: отсутствие информации о механических характеристиках переходного слоя, возникающего на границе «модифицированная частица - полимер»; отсутствие информации о механических характеристиках агломератов, которые неизбежно образуются в процессе формирования ДАПКМ. В данной работе предложена математическая модель вычисления эффективных механических характеристик (модуля объемной деформации, модуля сдвига, модуля Юнга и коэффициента Пуассона) ДАПКМ с капсулированными частицами наполнителя и верификация этой модели на образцах ДАПКМ с включениями в виде пузырьков воздуха. Получены упрощенные формулы вычисления эффективных механических характеристик ДАПКМ с низкомодульными включениями в виде пузырьков воздуха. Показано, что предложенная модель позволяет достоверно получать значения модуля объемной деформации, модуля сдвига, модуля Юнга и коэффициента Пуассона ДАПКМ при малом относительном объеме дисперсных субмикронных частиц в матрице.
Ключевые слова: полимерный композиционный материал, математическая модель, модуль Юнга, модуль объемной деформации, модуль сдвига, коэффициент Пуассона
DOI 10.55652/1683-805X_2024_27_3_116-130
Evaluation of the effective mechanical properties of a particle-reinforced polymer composite with low-modulus inclusions
M.P. Danilaev1, S.A. Karandashov1, V.A. Kuklin1,2, I.N. Sidorov1, and A.I. Enskaya1
1 Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev, Kazan, 420111, Russia 2 Kazan Federal University, Kazan, 420018, Russia
Adequate mathematical models of the mechanical properties of particle-reinforced polymer composites (PRPC) require verification, which is difficult to do for at least the following reasons: lack of information on the mechanical characteristics of the transition layer formed at the modified particle-polymer interface, and lack of information about the mechanical characteristics of agglomerates that are inevitably formed during PRPC fabrication. This paper proposes a mathematical model for calculating the effective mechanical properties (bulk modulus, shear modulus, Young's modulus, and Poisson's ratio) of PRPC with encapsulated filler particles. The model is verified on PRPC samples with inclusions in the form of air bubbles. Simplified equations are derived for calculating the effective mechanical properties of PRPC with low-modulus inclusions in the form of air bubbles. It is shown that the proposed model provides reliable estimates of the bulk modulus, shear modulus, Young's modulus and Poisson's ratio of PRPC at a small relative fraction of submicron-sized filler particles in the matrix.
Keywords: polymer composite material, mathematical model, Young's modulus, bulk modulus, shear modulus, Poisson's ratio
© Данилаев М.П., Карандашов С.А., Куклин В.А., Сидоров И.Н., Энская А.И., 2024
1. Введение
Расширение областей применения дисперсно-армированных полимерных композиционных материалов (ДАПКМ) требует улучшения воспроизводимости их физико-механических характеристик. Основной причиной недостаточной воспроизводимости является низкая адгезия некоторых типов дисперсных частиц наполнителя к полимерной матрице. Это приводит к снижению механических характеристик (предел прочности, предельная деформация, модуль упругости) ДАПКМ [1-3]. В работе [3] снижение предела прочности ДАПКМ с частицами оксида цинка обосновывают образованием каверн по границе «частица -матричный полимер». Анализ образования агломератов частиц оксида алюминия в полиметилме-такрилате [4] показал, что модификация частиц наполнителя, направленная на повышение смачиваемости частиц полимером, позволяет на порядок уменьшить концентрацию агломератов в ДАПКМ. Один из эффективных методов модификации дисперсных частиц основан на формировании промежуточного слоя на их поверхностях. Например, формирование оболочки полистирола на поверхностях дисперсных частиц оксида алюминия позволило повысить взаимодействие частиц с полимером матрицы [5] и за счет этого повысили предел прочности ДАПКМ и его твердость.
Прогнозирование механических характеристик ДАПКМ с модифицированными частицами наполнителя требует разработки инженерных методик их расчетов. Сложность при верификации и использование разработанных математических моделей механических характеристик ДАПКМ обусловлена целом рядом факторов.
Одним из основных усложняющих верификацию факторов является отсутствие информации о механических характеристиках переходного слоя, возникающего на границе «модифицированная частица - полимер». Известно, что взаимодействие модифицированных частиц наполнителя с матричным полимером приводит к ограничению подвижности макромолекул полимера [6, 7]. Следствием этого является изменение механических характеристик матричного полимера в этой области [8], что может приводить к возникновению локальных напряжений в ДАПКМ [5]. Следует отметить, что в ряде работ, например [9], предложены математические модели механических характеристик ДАПКМ, учитывающие переходный слой, образующийся на границе «моди-
фицированная частица - матричный полимер». Однако отсутствие экспериментальных данных о значениях механических характеристик этого слоя не позволяет провести достоверную верификацию таких моделей.
Второй фактор обусловлен отсутствием информации о механических характеристиках агломератов, которые образуются в процессе формирования ДАПКМ [4, 10]. Следует отметить, что агломерация дисперсных частиц существенно влияет на механические характеристики ДАПКМ [11].
Для верификации математических моделей ДАПКМ с дисперсными частицами наполнителя, на наш взгляд, возможно избежать необходимости учета указанных факторов, если вместо дисперсных частиц рассмотреть закрытые ячейки (пузырьки). Образование пузырьков можно инициировать при получении образцов монолитных пластиков, например из полиэфирной или эпоксидной смол. Концентрацию пузырьков и распределение их по размерам можно определить экспериментально, в оптически прозрачных образцах [4]. Это позволит провести верификацию модели с учетом распределения пузырьков по размерам и их объемной концентрации. Эти характеристики дисперсной среды зачастую невозможно определить непосредственно в образцах ДАПКМ с дисперсными частицами. Поэтому в большинстве работ указывают массовую концентрацию частиц наполнителя, а распределение частиц по размерам определяют до их введения в полимер. Это вносит дополнительные погрешности при верификации моделей.
Целью данной работы является разработка математической модели вычисления эффективных механических характеристик (модуля объемной деформации, модуля сдвига, модуля Юнга и коэффициента Пуассона) ДАПКМ с капсулирован-ными частицами наполнителя и верификация этой модели на образцах ДАПКМ с включениями в виде пузырьков воздуха.
2. Теоретическая часть
2.1. Алгоритм вычисления эффективных модулей упругости гомогенного ДАПКМ
При дальнейшем исследовании рассмотрим в общем случае ДАПКМ (рис. 1, а), состоящий из изотропной полимерной матрицы и включения в виде изотропного ядра с заданными механическими характеристиками, покрытого внешней изо-
Рис. 1. Структурная схема ДАПКМ: а — общий вид ДАПКМ, Йм — полимерная матрица, Й! — включение, 5^(р) — поверхности задания кинематических (статических) граничных условий, Рп — вектор напряжений на 8р, пр — вектор единичной нормали к поверхности £р; б — ячейка периодичности (размеры отнесены к радиусу включения а)
тропной оболочкой постоянной толщины (рис. 1, б). Представительный объем гетерогенного ДАПКМ по аналогии с работой [12] будем рассматривать в виде регулярной периодической вдоль координат х1, х2, х3 структурой (рис. 1, а), где х — безразмерный вектор координат, отнесенный к характерному размеру представительного объема Ь = Ь1. При этом поперечные размеры ячейки 11, 12, 13 (рис. 1, а) много меньше общих размеров представительного объема Ь1, Ь2, Ь3 вдоль соответствующих осей координат. В соответствии с методологией работы [13] введем «быстрые» переменные £3, которые определяют локальное изменение параметров напряженно-деформированного состояния ДАПКМ при внешнем нагружении. Связь «быстрых» и «медленных» переменных будем представлять как
§1 = ^2 = §3 = Х3, е = ± к, = 1±, ' = 1,3.
Ь1
и
В работе [12] задачи на ячейке периодичности для определения эффективных механических ха-
рактеристик ДАПКМ рассмотрены в общей постановке. В реальных ДАПКМ относительный объем дисперсных субмикронных частиц обычно удовлетворяет условию (рис. 1, б)
4/3л(а + Ь )3 к1к2к3
«1,
где а = а/^, а — радиус ядра включения; Ь = ЬД, Ь — толщина оболочки. Далее будем рассматривать именно такой случай при расчете эффективных механических характеристик ДАПКМ. В этой связи далее размеры ячейки периодичности отнесем к радиусу ядра включения а. При этом получим ячейку периодичности с размерами, представленными на рис. 1, б, и задаваемую как
^и = [§? +§2 +§32 < 1],
О §2 =
1 <§?+§2+§2 <
' п2 1+-
V
а
О
§,1Пс1
§2+§ 2+§3 <
1 + -
а
V
у
(1)
П§,4 =
1§,1 < £ < 1 ка < 1 ка
2а 2 а 2 а
¿§,3 =¿§,4^ ¿§,то1, ¿§ = У %.
'=1
Для определения эффективных модулей упругости ДАПКМ имеем задачи на ячейке периодичности [14] (параметры Ламе включения, оболочки и матрицы — величины постоянные, по повторяющимся индексам проводится суммирование):
= дЗД) = ^!)+Д( ?))
д§д д§д
х grad§ (ё!У§ (Nгт (?))) + Д(?)А§Nгт (?) = 0, (2)
I еП§,
Ё £ (?) = Ц ? diy§ (N гт (?))
+ Д( ?)
гдыт (?)+емкт (?)л
д§ к
С цку ( ? ) дд^гт ( ? )
д§,
дП'
С № (?) гт(
д§ <
екп1
,1(2)
( ^ )Л
д§,
екп1
!,1(2)
[а,(%)]|_ п/,1(2)5г
[д (% 4
'1.1(2)
1,1(2)
(е п1Д(2) + ёп1Д(2))
[X (% )]|
Р«£ 5,
[Д (%)]|.
'1.1(2)
■51.1(2) р(%)
е + е -2т. Ст Р(%) Сг Р(%)
(3)
//
1
и,т(да)(%) _ 2 (5гУрт + 5гтр,),
р(%)=, р(%) ^^(Р^РТ), %е §1.
1(2)'
51Д = [Р? + Р? + р? = 1],
■»1,2 =
р?+р2+р?=|1+а
а
Л2
1.1(2)
= [ Кт ( % ) е
= 0,
1.1(2)
% е ■»1.1(2).
(
[[N ]]. = N
(4)
= 0. . = 1.3.
У1 ^ ^ 0. (5)
где ^1(2). Ц1(?) — параметры Ламе ядра и оболочки включения; цм — модуль сдвига матрицы; 5. — символ Кронекера; СчШ] (%) — безразмерный тензор модулей упругости. отнесенный к параметру Ламе матрицы Ам. задаваемый как
С Чк (%) = X (%)5# 5. + дф(5„. 5^ + 5.5). (6) [1. %
[Х1(2)/ХМ. % ейрД(2).
д м/Х М. % еЦр.з.
Д1(2^ХМ . % е £р.1(2).
Х1(2) = "
У1(2) Е1(2)
Д1(2)
1(2)
(1 + У1(2))(1 "2 УК2)) 2(1 + УК2))
Здесь Е1(3). Vl(3) — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материалов ядра и оболочки включения; операция [•]„ означает разность односто-
■1.1(2)
ронних пределов функции (вектор-функции) на границе раздела Зщ?) (рис. 1. б); п1Ч — компоненты единичной внешней нормали на поверхности ■щ?,; Ур (£1 р) — объем ячейки периодичности;
(/(%))р — операция осреднения функции /(%);
Ыт (%) — периодическая компонента вектора (%). которая входит в представление вектора перемещений как [12. 13]
щ(X. %) = и(0)(Х) + еЫ,т(%)
дх,
+ 0'(е2).
где и(0)(х) — компонента вектора перемещений осредненной задачи; и,т((Ю)(%) — однородное «псевдоперемещение» на «бесконечности»
(!4! ^ «).
Уравнение (2) и соотношения (3)-(5) получены после нормирования
рр = ¿арр.
ит (%) = ¿мт (%)+аи,т{ ю)( %) = аит (%)
(далее штрихи опущены). После решения системы (2)-(5) и определения вектор-функций (%) с ее помощью вычисляются эффективные модули упругости ДАПКМ.
2.2. Алгоритм вычисления эффективного модуля объемной деформации гомогенного ДАПКМ
Для осредненных компонент тензоров деформаций и напряжений в работе [14] получено соотношение (без учета влияния температуры)
(X) = ^С(%) дит^){'%) + С(%) дЫ'р(%)
хе(тоГ)(Х).
Р
(7)
где е^к)(х). стЧ0)(х) — соответственно компоненты тензора осредненных деформаций и напряжений. Представим эти компоненты в виде суммы шаровой и девиаторной частей:
т, _Я I ,т А _ Ф о
е(0) = V3 (0)5,т + э(0). °(0) = е(0)5дк.
®Ч0) =^(0)5?к ®(0) = 1/3ар^. (8)
„Чк = аЧк а 5
_ (0) а(0)°Чк-
В соответствии с (7). (8) получим связь между шаровыми частями тензоров осредненных деформаций и напряжений вида
8 ак = С(4)
'(0)" qk
дП'тг ^(4) д§ ,
С (4)
дКг (4 У
д§ ,
х-е(0)8
(0)гт'
(9)
из которой следует
3с
(0)
д(П_^( 4))
д§,
= ( 8 ккС кк* ф^д^+8qk С qk'j (?) (4))
д§,
Х 6(0) = 3К 6(0).
/§ (10)
В выражениях (9), (10) введены следующие обозначения:
П(<ю)( ? ) = "3 8 гтП гт(ю)(? ) = "3 §',
N (?) = ,38тКг (?) = 3 X (4), 3 3 ] =1 К — эффективный модуль объемной деформации гомогенного ДАПКМ. Для определения этого модуля рассмотрим задачу одновременного растяжения вдоль координат 4,1, 4г, 4з с «псевдоперемещениями» на «бесконечности» (всестороннее растяжение)
иЩю)(?) = 3 eL§l, и22(да) (?) = 3ё2§2,
и33(») (? ) = 3 ®3§3.
При этом необходимо решить задачу (2)-(5) для суммарного вектора «псевдоперемещений»
N(4) = М% = 3(^1(4) + N22(4) + N33(4)).
Для этого воспользуемся методом, предложенным в [14, 15]. Определим структуру вектора N(4) как
N ?) = 3 п р (Р)э1(е, Ф),
где векторы ортонормированного базиса э, (6, ф), ' = 1,3, выражаются через углы сферической системы координат и единичные векторы ё,,' = 1,3, в соответствии [16]. Компоненты этого вектора в системе координат 41, 4г, 43 имеют вид
N (4) = (N • е,) =1 ПРр) §,,' = 1Д (11) 3 Р _
Здесь следует отметить, что компоненты N (4) удовлетворяют условию нормировки (5)
< N (4 )>§= 0.
Вектор N(4) удовлетворяет уравнению (2) [14], которое на основании операции дифференцирования
тН 1 (Р)) ~ (1 (Р)) — = (1 (р))—
дг (1 (р))=т
д§к dр
переходит к виду
(Х( 4) + Д( 4)) grad§ (diy§ (N(4))) + Д(4 )А§N(4)
=3<Ц4)+2Д(4))
(П Р (Р))' + 2
(ПР (р))' 2 ПР (Р)
- = 0, (12) Р
Р Р' 4
Решение уравнения (12), обеспечивающее ограниченность его модуля в областях ¿§ ,, ' = 1, 2, 3, представим как [14]
- 1( . В3 Л ёк§к
N,(4)=- А,р+4-
(13)
3Р2у _
4 еО§,;, ] = 1,2,3, В = 0, А3 = 0.
Для определения в (13) констант А, В удовлетворим условия сопряжения (3), (4) для вектора N 4), которые переходят к виду:
(А1 + 1)(3Я1 + 2ц1) = (А2 + 1)(3А,2 + 2Д 2) - 4Д2 В2,
А1 = А2 + В2,
(А2 + 1)(3А, 2 + 2Д2) - 4Д2
В9
(1 + -/а)3
(14)
= 3 + 2 Дм - 4 Д
В3
м
(1 + -а)
3
В2
В3
2 (1 + -/а)2 (1 + -1а)2' При получении (14) использовались соотношения
Ёкк (4) = А 3(3Я (4) + 2Д( 4 ))8кк
( § §
+ 8
2 +8кк
1
_ В
2Д(4 )3ГТ 3р3
-3
Л
)(4) = М 4 )8кк diy§ (и^ 4))
(дп(к0)(4) дП(ка0)(4)Л
Д(4)
д§к
д§к
= 3(3Х( 4) + 2Д( 4 ))8кк.
X
Следует отметить. что представление (13) обеспечивает условие периодичности (4) асимптотически
[[ N ]1
= 0, j — 1,3.
После решения системы (14) приведенный эффективный модуль объемной деформации вычисляется как
K K
mix mod
K
M
K
M
. K1 K
W Л —
M
K
(15)
M
Ki (M) — "
(M) — 3 (3^¿(M) + 2Ai(M)), i — 1,2,
K —-
}qk
С qkij (f)
(£ s)(4)}
3(( A + 1)(3X (f) + 2Д (4)))
dNi (4)'
K
W —■
mix mod
4 ъаъ
— wK1 + wK2 + wm KM,
4 -3 W 2 — - ™
(1 + b/а)3 -1
3 к^зк3 3 к^з ^3 VМ = 1 -^12. ^12 =^1 +У2.
где ^¿(М) (Т = 1. 2) — объемные доли ядра. оболочки включения и матрицы. Расчеты приведенного эффективного модуля объемной деформации Кей- /Км = К/Км и приведенного модуля объемной деформации смесевой модели Ктктоа/Км [15] (Км — модуль объемной деформации полимерной матрицы) проводились для двух вариантов структуры ДАПКМ: для механических характеристик материалов (полимерная матрица. дисперсные частицы. полимерная оболочка); для низкомодульных включений. имитирующих воздушные пузырьки. Исходные данные для этих вариантов приведены в табл. 1.
Данные третьей строки табл. 1 соответствуют типовым характеристикам частиц оксида алюминия (смесь 5 и 9. диапазон размеров 40-190 нм. рас-
пределение по размерам — нормальное, производитель Plasmotherm, Product No. PL1344281). Следует отметить, что молекулярная масса полистирола, формируемого на поверхностях частиц оксида меди, — низкая [17]. Поэтому модуль Юнга оболочки может отличаться от его типовых значений для промышленно выпускаемого полистирола [18]. В табл. 1 приводятся исходные данные варианта расчетов механических характеристик полимерной композиции с типовым значением модуля Юнга полистирола (1.5 ГПа). Определение истинного значения этой величины требует проведения дополнительных исследований и выходит за рамки настоящей публикации.
При расчетах учитывалось, что включение состоит из дисперсной частицы и полимерной оболочки. Все вычисления для варианта расчета с пузырьковыми включениями проводились при отношении Ь/а — 0.01 с целью реализации малого влияния оболочки на механические характеристики. Следует отметить, что исследования влияния толщины оболочки полистирола на поверхностях субмикронных частиц оксида алюминия (Al2O3) [19] показали, что при отношениях В/а > 0.1 влияние механических свойств оболочки на механические свойства полимерной композиции оказывается существенным.
На рис.2, а представлена расчетная зависимость с использованием соотношений (15) приведенного модуля объемной деформации от приведенного радиуса дисперсной частицы при различных значениях отношения В/а. На рис. 3, а представлена зависимость приведенного эффективного модуля объемной деформации Keff /KM — K/km и приведенного модуля объемной деформации смесевой модели Kmixmod/KM от приведенного радиуса включения а — а/11 для второго варианта расчета с низкомодульными включениями, имитирующими воздушные пузырьки с использованием соотношений (15). Для этого вари-
Таблица 1. Характеристики материалов (KM = 794 МПа)
EM, МПа Vm Ei, МПа V1 E2, МПа V2 Kb МПа K2, МПа ць МПа ц2, МПа
Ядро включения — дисперсная частица и полимерная оболочка
1529 0.179 3.7 • 105 0.35 1.5 • 103 0.35 4.1 • 105 1.7 • 103 1.37 • 105 0.55 • 103
Включение, имитирующее воздушные пузырьки
1529 0.179 0.1 0.35 0.1 0.35 0.11 0.11 0.04 0.04
1529 0.179 10 0.35 10 0.35 11.11 11.11 3.7 3.7
1529 0.179 50 0.35 50 0.35 55.56 55.56 18.5 18.5
Рис. 2. Зависимости приведенного модуля объемной деформации (а) и приведенного модуля сдвига (б) от приведенного радиуса дисперсной частицы при различных значениях отношения —а. Максимальная объемная доля дисперсной частицы у1тах = 0.03
анта расчеты проведены при различных малых значениях модуля Юнга ядра включения и оболочки. Все расчеты выполнены при размерах ячейки периодичности к1 = к2 = к3 = 1 (рис. 1, б), соответствующих изотропному гомогенному ДАПКМ.
Из формул (15) и графиков Кй/Км, Ктж mod/Kм при Я1(2) = 0.1 МПа следует, что при вычислении эффективного модуля объемной деформации ДАПКМ с низкомодульными включениями можно пользоваться смесевой моделью. При этом
К 1 1 4 а3
= Ум =1 -^12 =1 -^па
К
м
1+-
\3
(16)
2.3. Алгоритм вычисления эффективного модуля сдвига гомогенного ДАПКМ
Рассмотрим вид деформации ячейки периодичности — сдвиг в плоскости (4142) (рис. 1, б) с вектором
ищ»)© = Пщ»)(4) ё = 1/2(ё1§ 2 + ё2§1).
Этому виду деформации соответствует эффективная компонента тензора модулей упругости Л1212 л
С = д. При этом необходимо решить задачу (2)-(5) для вектора «псевдоперемещений» ^2( 4), структуру которого в соответствии с [14, 15] определим как
1.000.990
0.97 Н 0.96
| а
...... 1
-3 V
4
0.00 0.04 0.08 0.12
0.16
а!1л
Де^Мм 1.000.990
0.97-| 0.96
\б_
...... 1
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
а!1л
Рис. 3. Зависимости приведенного модуля объемной деформации (Ещ = 0.1 (1), 10 (2), 50 МПа (3); смесе-вая модель: Е1(2) = 0.1 МПа, формула (16) (4)) (а) и приведенного модуля сдвига (Ещ = 0.1 (1), 10 (2), 50 МПа (3); смесевая модель: Ещ = 0.1 МПа, формула (37) (4)) (б) от приведенного радиуса включений. Максимальная объемная доля дисперсной частицы
¥1п
= 0.03
^2( 4) = (ЦКр^т ф соб ф Бт2 6) • э1 + (П1е2 (р) sin ф соб ф Бт 6 соб 6) • э 2
+
1 Пф2 (р) СОБ 2ф sin 6 V 2
'3-
Компоненты этого вектора в системе координат
414243 при имеют вид
414243 при выполнении условия П162(р) = Щф)
Ы{2(4) = (N12 • е,) = (Пр(р) - пЦ(р))
§1§2§,
+ 2 П?2(Р) ^^,, = 1,3.
2 о
(17)
Здесь следует отметить, что компоненты Л,2(4) удовлетворяют условию нормировки (5)
< Л12( 4 )>§ = 0.
В работе [14] уравнение (2) приводится к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям для определения функций ПР2(р), ПЦ (р):
(ад)+д(4))(Ь1(р))'-1+Д(4)Ь2(Р) = 0, (18) р
(ад)+Д( 4)) А(р)+Д(4) Ьэ(р) = 0, (19)
где
(
1
V
а(р) = (ирз(р) - и»)—
р3 у
V
(
■ (ир? (р) - и»)—+ — и!? (р) р 1р
1
л'
^з(р)=
1 и1рз(р) - и1ез(р)Л
+
( ир2(р) -и1ез(р)
!3(р) = 2 ир2(р) - и1е2(р)
( ие2(р) Л
р
2 ь —
р
I ие (р) Л' и12(р)
Решение уравнений (18). (19) будем искать в виде ир?(р) = Лра. и®2(р) = Бра. где Л. В — константы. подлежащие определению. В работе [14] показано. что выражения для компонент вектора ^2( %). обеспечивающих ограниченность его модуля в областях ££ р 1 (Т = 1.2.3). имеют вид
М/з(%) = ВДр^р. + М?(р)(51.р? +5?.р1). . = 13 Ы1(р) = Л(2)(1 - к12)). % е££ рд.
м2(р) = ¿А+2)(1 - к? „+2))р-2„-3) (20)
„=1
+ Л(2)(1 -к22)). % е£
р.2'
м3(р) = ¿¿( ЛМММ+2)(1 - кМ+2))р-2„-3). % е £\ „=1
3
12
м2(р) = 2¿(Л1(''у2'-2)). % е££р.1. 2 „=1
Ы?(р) = 2 ¿( Л?' Щ' V2*-2) 2 „=1
+ Л? „+2)к2„+2)р-2 „-1). % е££ р.2.
N2 (р) = 1 С (ЛМ+2)кМ+2)р-2„-1). % е ££ р.3. 2 „=1
с коэффициентами
(21)
к« = 1. к (?) = Ь4^.
6у(%) '
к(3) =
2(1 - 2у(_%)) к(4) =- 2
5-4у(%) . 3.
(22)
Для определения в (20). (21) констант Л(г) в областях £££р. (Т = 1.2.3) удовлетворим условия сопряжения (3). (4) для вектора ^2(%):
[2Ч?(%)ёкпЧ] »
1.1(2)
1.1(2) Т.1(2)п 1.1(2)
= ([^1(р)] ,1д(2) + [2 2(р)]^(2))п11д(2)п2д(2)П
+ [23(р)]| <»11(2)(п11Д(2)ё2 + п2Д(2) е1) = -[Д(%)]^ (ё1п2Д(2) + е?п1Д(2)). % е ■?1Д(з). (23)
[М1(р)р3]. п1Д(2)п2Д(2)п1Д(2)
■»1.1(2)
+ [Nз(р)р]^ (ё1п2Д(2) + ёзП11Д(2)) = 0. (24)
[[N2]]. = 0. . = 1.3.
(25)
где
(
\
ЕДр) = X(%)р2 (5Nl(р) + -(^(р))'
I р /
2?(р) = Д^Х^ВДУр + 2Nl(р))р2 + 2(( ^(р))^ ВДр2)). 23(р) = Д (%)((Nз(р))'р + ВДр2 + 2 Nз(р)). 2 Чк (%) = Х (% )5чк а!Ур (^з( %))
Д (%)
Vй ур*
дрк
др
ч У
= Х (% )5чк р1р? ( (Щр))^ ^[(р) +?(^(р)/
(
Д(%) З^р))'^
Л
+ 2Nl(р)5чk р^?
р У
+ Д(%)I (^(р))^ + N1^)
I р У
X ((51чрз +52чр1)рк + (51кр2 + 52кр1)рч)
+ 2Д (%) ^(р)^
2к +52ч51к ). (26)
Условия сопряжения (23) и (24) сводятся к условиям
([21(р)]|5- + [2?(р)]Ь ) = 0. % е 5Д1.1(2). (27)
1.1(2)
1.1(2)
[23(р)],1д(з) =-[Д(%)],1д(2). %е ■1.1(2). (28)
[Nl(р)р3]|. = 0. [^(р)^5 = 0. %е 5Ц(2). (29)
1.1(2) 1д(2)
С учетом представлений (20)-(22) на основании (27)-(29) получим систему уравнений для определения констант Л1(1). Л1(2). Л?0 (Т = 1.4). Л-(3). ЛМ соответственно в областях £р 1. £р 2. £р 3:
Б • А = ц,
Б = Щ ],', ] = 1Д (30)
А = [ А(1) А(2) А(1) А(2) А(3) А(4) А(3) А(4)]Т - Л1 Л2 Л2 л2 л2 ЛЫ ЛЫ \ '
ц = [0 0 - (Д1 - Д2) - ( Д2 - Дм) 0 0 0 0]Т.
где элементы матрицы определяются геометрией и механическими параметрами субмикронной сферической частицы и матрицы. Здесь следует отметить, что представление (20)-(22) обеспечивает условие периодичности (25) асимптотически:
[[ Л2]],
= 0, ] = 1,3.
После решения системы (30) вычисляется эффективный модуль сдвига по формуле
А = С1212 =Ё122(»)( 4)) §+(£12(5)) §
/.. ^(дЛ112(4) +дЛШЛ
:( д(4)) § +Д(4)
( д (4)) §+( Д (4)
4
д§2
((
2( Л1(р))
д§1 , '§2§2Л
VV 2
+Г(Л2(р))'~~ + Л[(р)Л(§2 +§2) + 2N2(р) ) .(31)
V _р ) ;/§
В (31) < Д (4 )>§ соответствует упрощенной сме-севой модели вычисления эффективных компонент гомогенного ДАПКМ и определяется как
< Д (4 )>§ = V! Д1 + У2 Д 2 + Ум Д М. При вычислении составляющей
(Г
(
IД = Д(4)
1
2( Л1(р))
'§?§2Л
VV
Л
(Ы2(р)У- + Л[(р) (§2 +§12) + 2N2(р) Р
\\
(32)
§
воспользуемся сферической системой координат (рис. 1, б) и формулами (20)-(22). Тогда интеграл (32) представляется как
2 М (33)
/ = I1 + / 2 + /м ц ц ц (г '
где
8 п/2 V 2 1
/Д = ^^ | dф | бШ еdеJД1(g1(р)cos2 фsin2 фБШ4 6
¿§ 0 0 0 .2 а 1 т лг
+ ШР)БШ2 6 + 2 Л2(р))рМр = 3/4 Д1У1 х} V 15 е1(Р) + 3 ^1(Р) + 8Л1(Р)Р2 ] dр = Д 1У1кД,
/ 2 = 3 Д 2У 2 Д 4((1 + -/а)3 -1)
х1+Г а (15 б12(Р) + 3 &2(Р) + 8Л22(р)р2 V
1
/ м =
'д =
= Д 2^2к Д,
Д а3 V2 V2
Дма- 8 г dф г бШ еdе
кк к 1 * К^2К3 0 0
р(ф,6)
X | (б13(р)сОБ2 фsin2 фБШ4 6
1+-а
+^(р^т2 е+2 N23(р))р2dр
-Д м (1 -ум )
4(1 + -/а)'
х I
1+-/а
15 а3^
;о?(р)+8л2чр)р2)
м
= дм (1 -ум ) кд ,
е (р)=2( N1 (р))'р5,
62 (Р) = (N2 (р))'р3 + N1^ (р)р4, , = 1,3. После подстановки (20)-(22) в (33) для /Д, /
м
/ д получим
2
Д' ^
/Д = Д1Ук, к1 = А1(1)к1(1) + А1(2)к1(2), (34)
■ Д = Д 2^2 кд,
(35)
к2 = А21)к21) +—(8 + 4к22) Л А22)(1 + -1р5 - 1, Д 22 15 V 3 2 ) 2 (1 + -¡а)3-1
/ М = 0 Ц •
С учетом (34), (35) для эффективного модуля сдвига гомогенного ДАПКМ имеем:
А = Дmix mod + V Д1кД + ^2 Д 2 кД
(
= Д м
Дmixmod
-Уг
Ц
Д 1кД
(36)
Д м Д м Д м
Дmixmod = VД1 + V 2 Д 2 + V м Д м.
Расчеты приведенного эффективного модуля сдвига де1Г/Дм =Д/Д м и приведенного модуля сдвига смесевой модели Д^^^/ Дм с помощью формул (36) проводились так же для двух вариантов структуры ДАПКМ, как и для модуля объемной деформации. Исходные данные для этих вариантов приведены в табл. 1. На рис. 2, б представлена расчетная зависимость с использованием соотношений (36) приведенного модуля сдви-
га от приведенного радиуса включений при различных значениях отношения Ь/а.
На рис. 3. б представлена зависимость приведенного эффективного модуля сдвига Д^/ДМ = Д/ДМ и приведенного модуля сдвига смесевой модели Дт^той/ДМ от приведенного радиуса включения а = для второго варианта расчета с пузырьковыми включениями. Из формул (36) и графиков рис. 3. б для Ец? = 0.1 МПа следует. что при вычислении эффективного модуля сдвига ДАПКМ с низкомодульными включениями можно пользоваться смесевой моделью. При этом
Д 1
Д М
1 4 -3 ^12 =1 -3 Ш
1+Ь
3
(37)
По известным значениям эффективного модуля объемной деформации и эффективного модуля сдвига определяются эффективные модуль Юнга и коэффициент Пуассона гомогенного ДАПКМ. а также коэффициент Пуассона. вычисленный в рамках смесевой модели:
Е =
9 К Д
у =
3К - 2Д
У mixmod
3К + Д' 2Д + 6К"
3Kmixmod ?Д mixmod 2д mixmod + 6 Kmixmod
(38)
На рис. 4 представлены зависимости приведенных эффективного модуля Юнга и коэффициента Пуассона для второго варианта расчета с пузырьковыми включениями.
Для проверки адекватности предложенной модели проводилось ее сравнение с существующими моделями расчета эффективного модуля объемной деформации и эффективного модуля сдвига. рассмотренными в работе [15]. Результаты сопоставления представленной в работе модели с «моделью среды с малой объемной долей включений» [15] для эффективного модуля объемной деформации и эффективного модуля сдвига приведены на рис. 5. а и б соответственно. В расчетах рассматривали включение без оболочки. при этом использовали следующие выражения для расчета эффективного модуля объемной деформации [15]
'А! = 1 , (1 + (4/3) Д М/ К М)( К - КМ) \К м У ш К1 + V3 ДМ
для расчета эффективного модуля сдвига [15]
Д
Д м
= 1 -
УКЯ
15(1 -Ум) I1 Дм ] 7 - 5у м + 2(4 - 5у м) Д1/ Д
Относительное расхождение значений зависимостей (рис. 5. а. б) между результатами расчетов
Ев&/Ем-1.000.990
0.97 Н 0.96
\ а
...... 1
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
а/и
0.9998
Рис. 4. Зависимости приведенного эффективного модуля Юнга (а) и приведенного эффективного коэффициента Пуассона (б) от приведенного радиуса включений. Максимальная объемная доля дисперсной частицы у^ = 0.03. Е1(З) = 0.1 (1). 10 (2). 50 МПа (3); смесевая модель: Е1(З) = 0.1 МПа. формула (38) (4)
по предлагаемой модели и модели [15] в диапазоне объемной доли у (4 • 10-6-0.03) составило не более 3 %.
2.4. Алгоритм вычисления эффективных модулей упругости гомогенного ДАПКМ с распределением включений по размерам
В реальных ДАПКМ включения. относительно равномерно распределенные в полимерной матрице. состоят из фракций частиц с различными размерами. В этой связи далее представитель-
К-ец/К-М 1.041.02-
— [15]
Метод осреднения в периодических средах
| а
1.00-
0.00
0.05
0.10
0.15
а/и
Ш;1Т/ММ
1.011.00-
— [15]
Метод осреднения в периодических средах
"Ш
0.00
0.05
0.10
0.15
а/и
Рис. 5. Зависимости приведенного модуля объемной деформации (а) и приведенного модуля сдвига (б) от приведенного радиуса дисперсной частицы. Максимальная объемная доля дисперсной частицы = 0.03
Рис. 6. Структура гетерогенного ДАПКМ: а — общий вид структуры гетерогенного ДАПКМ; б — ячейка периодичности наполненная N включениями, имеющими заданное распределение по размерам и заданные радиус-векторы центров 4/ (/ = 1, N)
ный объем гетерогенного ДАПКМ будем рассматривать в виде регулярной периодической вдоль координат х1, х2, х3 структуры (рис. 6, а) с ячейкой периодичности, наполненной включениями, имеющими заданное распределение по размерам и заданную привязку их центров к точкам ячейки периодичности (рис. 6, б).
Следует отметить, что решения, полученные в разд. 2.1, 2.2 инвариантны по отношению к смещению центра ядра включения относительно начала координат 414243 (рис. 6, б) (эффективные свойства гомогенного ДАПКМ не зависят от смещений периодической структуры включений вдоль осей координат 4ь 42, 43 как единого целого). Принимая во внимание последнее свойство для отдельной фракции включений, решение задачи вычисления эффективных модулей упругости гомогенного ДАПКМ с распределением включений по размерам представим в виде следующих последовательных этапов приближений модулей упругости гомогенного ДАПКМ.
1. Вычисление на /-м этапе после решения системы (14) эффективного приведенного модуля объемной деформации гомогенного ДАПКМ К(/) с «эффективной матрицей» (/ - 1)-го этапа, имеющей модуль объемной деформации К(/-1) и встроенную в нее периодическую структуру включений с радиус-векторами их центров 4/ (рис. 6, б), радиусом ядра включения а/, по формулам
КА(/) = Кmixmod + ...(/) А(/) К1 + ...(/) А(/) К2
¿(/-1) = ¿(/-1) +У1 А1 ¿(/-1) 2 К« / = ^,
=.((/) к+.2) к 2+.мм) К(/-1),
¿(0) = !(3+2 Д м),
К, = ^, + 2Д,),, = 1,2,
.((/) =
4 па
(/)
, V2 =—па/
4 ^3 (1 + Ъ1а1 )3-1
ЧЛ2Л3 (/)
к1к2 к3
,(/)
V 2/).
V м =1 -¥Г
2. Вычисление на /-м этапе после решения системы (30) эффективного приведенного модуля сдвига гомогенного ДАПКМ Д(/) с «эффективной матрицей», имеющей модуль сдвига Д(/-1) и встроенную в нее периодическую структуру включений с радиус-векторами их центров 4/, радиусом ядра включения а/, по формулам
Д А/) , 11г(/) Д2к|2(/) / = ^
Д(/) Д(/) г* _ "mix mod
Д
(/-1)
Д
(/-1)
+ VÍ/)-Т(йг + V2 Д (/-1)
Дч
Д(/) _,„ (/) Д +,„ (/) Д +,|/(/) Д(/-1) M'mixmod _ т 1 Д1 + т 2 Д2 + 4% д ,
к1 = А(1) к(1) + А(2)к(2) Д(0) ~ кд(/)~ А1(/) к1 + А1(/) к1 , д _ дм,
к2 = А-^) к21) + 4(8 + 4к22) ) АН(1 + )5 -1
1 д(/)- л2(/)л2
15
(1 + -/ а/ )3 -1
3. Вычисление эффективных модуля Юнга и коэффициента Пуассона гомогенного ДАПКМ по формулам
Е(/) =
9 КА(/)Д(/) 3К(/) + А(/)
3К(/)
;(/)
у(/) = ";~2 Д(,ч , / = 1,,.
2 А(/) +6 КА(/)
В случае низкомодульных включений, имитирующих воздушные пузырьки, формулы этапов 1-3 на основании (16), (37), (38) и выводов разд. 2.1, 2.2 переходят к виду
КА( N) Ь Д (N) ь
—=П (1 - VI!') N/ = П (1 -V/N
к
м
/=1
м
/=1
ítN, = N, V® (39)
/=1 3 к1к2к3
Е N) Ь 3КА( N) 2 |А (N) р_= П(1 -м,(/))N о(N) = 3К__
Ем "П(1 ^ , У = + 6КА(N) м
где N1 — количество включений с радиусом а1 из общей группы включений количества N Ь — количество фракций включений с радиусом а1. После линеаризации произведений в (39), в силу малой объемной доли включений, получим:
П(1 ^^ -1-XN/V((12) = Ум. (40) /=1 /=1
Выражение правой части (40) представляет собой формулу для объемной доли матрицы в ДАПКМ при равномерном фракционном распределении пузырьков в представительном объеме (рис. 6, а).
3. Экспериментальная часть и верификация математической модели
При экспериментальном определении эффективных механических характеристик ДАПКМ согласно ГОСТ 11262-80 для определения модуля Юнга и коэффициента Пуассона используется образец, в котором поперечное сечение вдоль осей х1, х2 (рис. 6, а) включает ограниченное количество ячеек периодичности. Для обоснования возможности проведения таких экспериментов рассмотрим поля напряжений и деформаций при растяжении вдоль оси х3: стержня (1) (С1) в виде прямоугольного параллелепипеда с большим количеством ячеек периодичности вдоль осей хь х2 (рис. 6, а) с помощью равномерно распределенного по лицевой поверхности 8Р вектора напряжений Рп = Рё3; стержня (2) (С2) в виде прямоугольного параллелепипеда с конечным количеством ячеек периодичности вдоль этих осей с помощью равномерно распределенного по уменьшенной лицевой поверхности !§р вектора напряжений Рп. В случае растяжения С1 в ячейке периодичности реализуются поля компонент тензоров локальных напряжений и деформаций вида (индекс N - 1) означает эффективные механические характеристики матрицы N - 1)-го этапа при расчете этих характеристик последнего ^го этапа):
)(х,4) = а^Д) + <(N), Я,к,т,г = 1Д
^)(4) = (В(N-1)(4) - В(N-1)^(0)(N),
С
Яктг —
( N-1)
В(к-1)( 4 )
дN(N)гт (4 )
(4)+С( N _1)(4)
д§,
К
( N )
(41)
~як / ^.чктг —.. —.. дN(N)гт (4)
В( N-1) =\ С( N-1) ( 4 ) + С( N -1)(4 )
"( N-1)
( N -1)^
( N )
д§,
^) (Х, 4) = ^(Ч))(N) + E(N)гт (4) , (
дхг
Кг
-О '(Ю,
N )гт
дN' дNJ
ш( N )гт и1у( N ) гт
д§,
д§,
Як, _ _ _
С( N-1)( 4 ) = N-1) (4
+ Д ( N -1) (4 )(5„5 к, я, где осредненные напряжения ) и деформа-
ции s(/0)(N) определяются как
а
як
(0)(N)
Г
С Яктг (4) + С Чк (4) ^ N) гт ( 4 )
= К ^ )sзз
Л
К
(N)
,33
гт I ~(0)( N)'
§
o(0)(N у (42)
КГ) =53,53чN )(52,52, +51,.51,.).
В соответствии с (41), (42) и в условиях отсутствия векторов напряжений на границах параллелепипеда 5*1, 52 (рис. 6, а) для осредненных напряжений С1 будем иметь:
= Р = Е(N )s33
— -Г — С, Ь(0)(.....
(43)
33 \0XN )
i(0)(N )'
_ар = _3р = 0 ~ р = 1 2
) = ) = 0, а,Р = 1,2,
Е N) = в(
( N -1)
33 тг _ _
С( N-1) ( 4 ) + С( N-1) ( 4 )
•"ёЛ
33Ч ,Т\ дN(N)гт (4 )
( N-1)*
(N)гт'
К
( N )
Для получения С2 рассмотрим прямоугольный параллелепипед, входящий в С1, с боковыми поверхностями 51, 52 (рис. 6, а) и лицевой поверхностью 5р. Со стороны С1 на поверхности 51, 52 действуют локальные векторы напряжений
а1kN)(X 4)Пяёк
= а
>1(2)
§( N )
(4) ё
(векторы осредненных напряжений равны нулю) и на лицевой поверхности 5р вектор напряжений Рп. После освобождения поверхностей 51,52
§
(обнуления локальных векторов напряжений на этих поверхностях) получим С2 с компонентами тензоров локальных напряжений и деформаций вида
<)(х. %) = )(%) + аЧ0)( N) + Аа|к„)(%).
Ч. к. т. г = 1.3.
^д»<0)( х)
.)(х. %) = Г(0)(N) + Е(.У)гт (%
дхг
(44)
+ АЕ.) гт (%) ^ + О'(е).
где Аа^)(%). АЕ.) гт (%) — дополнительные периодические компоненты напряжений и матриц деформаций. Среднее напряжение ст3^)(р3) в заданном поперечном сечении С2 согласно (41).
(43). (44) определяется как
1 - — 33 (%)+с33
(Т
33
(N)(р3) = ^ \ ((р3N)(%) + АТ33N)■
Р &
= р = Е(-н ^33
>(0)( N )•
(0)( N )^а12
(45)
Согласно (44) средние деформации е?^. В33) на лицевой поверхности 51 с учетом периодичности
функцИй NN)гт (%). ^т)гт (%) равны:
1 П2
Г?? =1 ?
в N - 1
п
2
0
,22
Ч0)( N)
22 Ч N) гт
(%) д^то)( х)
дх_
+ АЕ
22
(N) гт
(%) д^то)( х)'
^ дх.
^ = -У( N )в33 ^ З = У в(0
'(0)( N ):
.33 =
в(Ю = „ 1
п
0
+ Е
33
N) + Е( N) гт
^мтч X)
(46)
,( % )
+ АЕ
33
(N) гт
(%) ди!0)( X )
дх
dрз =в
дх
33
'(0)( N ):
где п2. п3 — количество ячеек периодичности вдоль координат (полагаем. что в соответствии с ГОСТ 11262-80 расстояния между метками на С2 кратны длинам 11.1З (рис. 6. а)). Таким образом. при отдельном растяжении С2 в соответствии с ГОСТ 11262-80 будем получать в соответствии с (45). (46) модуль Юнга Е(и) и коэффициент Пуассона У( 14). равные аналогичным параметрам С1.
Проверка адекватности рассмотренной модели расчета механических характеристик полимерных композиционных материалов возможна как путем сопоставления с существующими теоретическими моделями. например [20. 21]. так и путем сопоставления результатов моделирования с экспе-
риментом. В настоящей работе авторы используют второй подход проверки адекватности математической модели. позволяющий обосновать возможность ее использования для пористых полимерных композиционных материалов.
Для достижения поставленной в работе цели были подготовлены образцы полимера на основе полиэфирной смолы (марка ПН-1). Были получены два типа образцов: образцы 1 — не содержащие пузырьков. образцы 2 — с пузырьками воздуха. Образцы смолы получали при температуре 23 ± 3 °С. Для получения образцов с пузырьками (образцы 2) полиэфирную смолу предварительно дегазировали в вакууме. после чего перемешивали со скоростью 150 оборотов в минуту в течение 10 мин. В результате перемешивания в полиэфирной смоле образовывались пузырьки разных размеров. которые поднимались на поверхность. Для сохранения достаточной концентрации пузырьков в смоле в процессе перемешивания в смолу добавляли отвердитель. а перемешивание осуществляли до начала нарастания вязкости. После этого раствор помещали в емкость прямоугольной формы (ширина 20 ± 1 мм. длина 120 ± 2 мм. толщина 3± 0.4 мм). Форму выдерживали 24 ± 3 ч до полной полимеризации полиэфирной смолы. Выдержку осуществляли в естественных условиях при температуре окружающей среды. например в диапазоне 18-25 °С. и влажности 30-60 %. Для получения достоверных результатов было изготовлено по 10 образцов каждого типа.
Выбор материала обусловлен оптической прозрачностью получаемых образцов. Это позволяет использовать оптические методы для визуализации и последующего статистического анализа пузырьков в образцах. Анализ таких изображений с использованием программной среды ImаgeJ и последующей их статистической обработки позволил получить осредненную гистограмму распределения пузырьков по размерам (рис. 7). Для получения фотографий образцов использовался оптический микроскоп марки Микромед с адапте-
Рис. 7. Распределение количества воздушных пузырьков по размерам. Ь = 41
Таблица 2. Сопоставление результатов экспериментов и расчетов
Тип образца Модуль Юнга, МПа (измерение) Коэффициент Пуассона (измерение) Модуль Юнга, МПа (расчет) П (1 -vg) l=1 vM
Образец 1 1529 ± 38.45 0.179 ± 0.03 1529 - -
Образец 2 1430 ± 36.5 0.183 ± 0.03 1434 0.940 0.938
ром FMA050 Touptek Photonics. Изображения пузырьков получали в трех областях каждого из образцов полимера: площадь сканирования составляла ~4 см2. Причем, изменяя фокусировку, осуществляли сканирование по толщине образца. При этом в каждом кадре фиксировали пузырьки только с четкими контурами. Следует отметить равномерное распределение пузырьков по объему каждого из образцов. Этого добивались перемешиванием полиэфирной смолы с отвердителем до начала нарастания вязкости. Скорость перемешивания подбирали опытным путем. На основании этой гистограммы были вычислены теоретические, в соответствии с формулами (38), (39), значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона гомогенного ДАПКМ. Результаты вычислений представлены в табл. 2.
Измерение модуля Юнга и коэффициента Пуассона производили по ГОСТ 11262-80 на универсальной настольной испытательной машине для физико-механических испытаний различных материалов Shimadzu AG-X 50 kN. Параметры испытания: скорость нагружения на растяжение 0.5 мм/мин; температура окружающей среды 23 ± 2 °С. Измерение коэффициента Пуансона образцов производилось на универсальном измерительном микроскопе УИМ-21. Оптическая система микроскопа имеет координатную сетку, шаг деления которой составляет 1 мкм. Измерительная система микроскопа предусматривает привязку образца к координатной сетке при его позиционировании на предметном столе микроскопа. Это позволяет фиксировать изменение поперечных размеров образца в процессе его растяжения с точностью 0.5 мкм. Растяжение образца проводили вручную с использованием микрометрического винта, деформацию образца определяли с помощью индикаторных часов с ценой деления шкалы 1 мкм. Коэффициент Пуассона определяли как отношение ширины образца при его растяжении на 0.5 мкм к ширине исходного образца. Величину деформации соотносили с линейным участком характеристики нагружения образца, которую получали при растяжении образца на универсальной настольной испытательной машине
SЫmadzu ЛО-Х 50 кК Значение механических характеристик, усредненное по всем образцам, представлено в табл. 2.
4. Заключение
Проведенные теоретические и экспериментальные исследования показывают, что разработанная математическая модель вычисления эффективных механических характеристик ДАПКМ с капсулированными частицами наполнителя позволяет достоверно получать значения модуля объемной деформации, модуля сдвига, модуля Юнга и коэффициента Пуассона ДАПКМ при малом относительном объеме дисперсных субмикронных частиц в матрице. Математическая модель вычисления эффективных механических характеристик ДАПКМ построена на основе предположения регулярной (периодической) структуры расположения капсулированных частиц наполнителя в матрице и метода осреднения в периодических средах. Разработаны алгоритмы аналитического вычисления модуля объемной деформации, модуля сдвига и на их основе модуля Юнга и коэффициента Пуассона. В случае имеющегося на практике фракционного распределения включений по размерам предложен алгоритм вычисления эффективных механических характеристик ДАПКМ в виде последовательных этапов приближений модулей упругости гомогенного ДАПКМ с текущими размерами включений фракции и эффективными механическими характеристиками матрицы. Получены упрощенные формулы вычисления эффективных механических характеристик ДАПКМ с низкомодульными включениями в виде пузырьков воздуха. Проведена верификация предложенной математической модели при экспериментах растяжения образцов ДАПКМ с включениями в виде пузырьков воздуха.
Финансирование
Научные исследования проведены при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках исполнения обязательств по соглашению номер № 075-03-2024-067 от 17.01.2024 г. Авторы бла-
годарны программе ПРИОРИТЕТ-2030 за поддержку данного направления работ.
Литература
1. Takagi H. Review of functional properties of natural fiber-reinforced polymer composites: Thermal insulation, biodegradation and vibration damping properties // Adv. Compos. Mater. Taylor Francis. - 2019. - V. 28. -No. 5. - P. 525-543. - https://doi.org/10.1080/09243046. 2019.1617093
2. Kawaguchi T., Pearson R.A. The effect of particle-matrix adhesion on the mechanical behavior of glass filled epo-xies: Part 1. A study on yield behavior and cohesive strength // Polymer. - 2003. - V. 44. - No. 15. - P. 42294238. - https://doi.org/10.1016/S0032-3861(03)00371-9
3. Wang Y., Hua H., Li W., Wang R., Jiang X., Zhu M. Strong antibacterial dental resin composites containing cellulose nanocrystal/zinc oxide nanohybrids // J. Dent. -2019. - V. 80. - P. 23-29. - https://doi.org/10.1016/j. jdent.2018.11.002
4. Kuklin V., Karandashov S., Bobina E., Drobyshev S., Smirnova A., Morozov O., Danilaev M. Analysis of aluminum oxides submicron particle agglomeration in polymethyl methacrylate composites // Int. J. Molec. Sci. -2023. - V. 24. - No. 3. - P. 2515. - https://doi.org/10. 3390/ijms24032515
5. Данилаев М.П., Карандашов С.А., Киямов А.Г., Клабу-ковМ.А., Куклин В.А., Сидоров И.Н., Энская А.И. Формирование и характер остаточных напряжений в дисперсно-наполненных полимерных композитах с частично кристаллической структурой // Физ. мезо-мех. - 2022. - Т. 25. - № 2. - С. 67-76. - https://doi.org/ 10.55652/1683-805X_2022_25_2_67
6. Robertson C.G., Lin C.J., Rackaitis M., Roland C.M. Influence of particle size and polymer-filler coupling on viscoelastic glass transition of particle-reinforced polymers // Macromolecules. Am. Chem. Soc. - 2008. -V. 41. - No. 7. - P. 2727-2731. - https://doi.org/10.1021/ ma7022364
7. Успенская М.В., Сиротинкин Н.В., Бондарева Е.А. Влияние наполнителей на кинетику гелеобразования и свойства влагопоглощающих полимерных материалов // Пластические массы. - 2008. - № 1. - C. 38-40.
8. Козлов Г.В., Афашагова З.Х., Буря А.И., Липатов Ю.С. Наноадгезия и механизм усиления дисперсно-наполненных полимерных нанокомпозитов // Инженерная физика. - 2008. - № 1. - C. 47-50.
9. Le T.-T., LeM.V. Nanoscale effect investigation for effective bulk modulus of particulate polymer nanocomposites
using micromechanical framework // Adv. Mater. Sci. Eng. - 2021. - V. 2021. - P. e1563845. - https://doi.org/ 10.1155/2021/1563845
10. Samal S. Effect of shape and size of filler particle on the aggregation and sedimentation behavior of the polymer composite // Powder Technol. - 2020. - V. 366. - P. 4351. - https://doi.org/10.1016/j.powtec.2020.02.054
11. Zare Y. Study of nanoparticles aggregation/agglomeration in polymer particulate nanocomposites by mechanical properties // Compos. Part. Appl. Sci. Manuf. - 2016. -V. 84. - P. 158-164. - https://doi.org/10.1016/).compo sitesa.2016.01.020
12. Сидоров И.Н., Энская А.И. Алгоритм гомогенизации упругих свойств дисперсно-армированных полимерных композиционных материалов // Научно-технический вестник Поволжья. - 2020. - № 9. - С. 60-66.
13. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984.
14. Сидоров И.Н., Данилаев М.П., Куклин В.А. Энская А. И. Механические свойства дисперсно-армированных полимерных композиционных материалов: коллективная монография. - Казань: Изд-во КНИТУ-КАИ, 2022.
15. Christensen R.M. Mechanics of Composite Materials. -Courier Corporation, 2012.
16. Седов Л.И. Механика сплошной среды: учебник для вузов. - СПб.: Лань, 2004. - Т. 1.
17. Sakhabutdinov A.Z., Hussein S.S.M.R.H., Ibragimo-vaA.R., Kuklin V., Danilaev M.P., Zaharova L.Y. Polystyrene molecular weight determination of submicron particles shell // Karbala Int. J. Modern Sci. - 2021 -V. 7. - No. 3. - P. 234-240.
18. Martin J.R., Johnson J.F., Cooper A.R. Mechanical properties of polymers: The influence of molecular weight and molecular weight distribution // J. Macromolecular Sci. C. - 1972 - V. 8. - No. 1. - P. 57. - https://doi.org/ 10.1080/15321797208068169.
19. Akhmadeev A.A., Bogoslov E.A., Danilaev M.P., Klabu-kov M.A., Kuklin V.A. Influence of the thickness of a polymer shell applied to surfaces of submicron filler particles on the properties of polymer compositions // Mech. Compos. Mater. - 2020. - V. 56. - P. 241-248.
20. Зимина В.А. Экспериментальное исследование структуры, упругих и прочностных характеристик пористой корундовой керамики // Вестник ТГУ. Математика и механика. - 2020. - № 67. - С. 117-126.
21. Микушина В.А., Смолин И.Ю. Численное моделирование деформирования и разрушения пористой алю-мооксидной керамики на мезоуровне // Вестник ТГУ. Математика и механика. - 2019. - № 58. - С. 99-108.
Поступила в редакцию 24.08.2023 г., после доработки 28.12.2023 г., принята к публикации 29.12.2023 г.
Сведения об авторах
Данилаев Максим Петрович, д. т.н., проф., зав. лаб. КНИТУ-КАИ, danilaev@mail.ru Карандашов Сергей Алексеевич, вед. инж. КНИТУ-КАИ, serega005@mail.ru
Куклин Владимир Александрович, к.ф.-м.н., вед. инж. КНИТУ-КАИ, инж. КФУ, iamkvova@gmail.com Сидоров Игорь Николаевич, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. КНИТУ-КАИ, INSidorov1955@mail.ru Энская Анна Игоревна, ст. преп. КНИТУ-КАИ, pushisst@mail.ru
