Выбор величин, характеризующих сходимость оценок, при псевдоградиентном оценивании параметров межкадровых деформаций изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

Г. Л. МИНКИНА, M. Ю. САМОЙЛОВ, А. Г. IАШЛИНСКИЙ

ВЫБОР ВЕЛИЧИН, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ СХОДИМОСТЬ ОЦЕНОК, ПРИ ПСЕВДОГ РАДИЕНТНОМ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ МЕЖКАДРОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Объем локальной выборки отсчётов изображений, используемый для нахоо/сдения псевдоградиента при псевдоградиентном оценивании параметров изображений, влияет как на характер сходимости оценок так и на вычислительные затраты. Однако вопросы оптимизации объёма выборки исследованы явно недостаточно. В работе для задачи оценивания параметров межкадровых геометрических деформаций изображений проведён анализ и выбор величин, характеризующих скорость сходимости оценок параметров, которые могут быть использованы для оптимизации объёма локальной выборки по различным критериям.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05-08-65472-а)

Оценивание параметров межкадровых геометрических деформаций изображений (МГДИ) является одной из ключевых задач при представлении и обработке последовательностей изображений [1]. При решении указанной задачи хорошо себя зарекомендовали псевдоградиентные процедуры (ПГП) [2-4]. Формирование с помощью ПГП оценки вектора а = (а7,а2,...,ат)7

параметров МГДИ 1(1} } и

2(2) - Ы3) }, {/= (лиу}>Л = Щ, Ь =

может быть описано соотношением

С; Д))' 0)

где (3 - псевдоградиент целевой функции О,

характеризующей качество оценивания; Д - матрица усиления - положительно определённая матрица размера т х т, задающая величину приращения оценки параметров на г -й итерации; Zí+^ - локальная выборка отсчётов изображений 2(1) и . используемая для нахождения (3 на (V +1) -й итерации; а0 - начальное

приближение вектора параметров; и 1(2) -наблюдаемые изображения.

При этом объём локальной выборки (ОЛВ) ц,, используемый на различных итерациях

1 = 1,Т процесса оценивания, во многом определяет как характер сходимости оценок а , так и вычислительные затраты. Однако вопросы оптимизации ОЛВ в литературе практически не исследованы. Учитывая это, в настоящей работе

© Г. Л. Минкина. М. Ю. Самойлов, А. Г. Ташликский, 2005

предпринята попытка анализа и выбора величин, характеризующих сходимость сходимости оценок параметров, которые могут быть использованы для оптимизации ОЛВ по различным критериям.

В качестве исходной информации для нахож-

-А

дения скорости сходимости вектора оценок а исследуемых параметров сГ изображений к оптимальном}' значению а* целесообразно использовать ПРВ этих оценок на соответствующих итерациях. При этом скорость сходимости оценок молено оценивать различными численными величинами, например, математическим ожиданием, вероятностью превышения некоторого порогового значения, доверительным интервалом и т. д. Рассмотрим возможности и особенности использования этих величин при оценивании параметров МГДИ.

Если ПГП оценивается один параметр, то указанные характеристики непосредственно применимы к оценке параметра. Если же оценивается совокупность параметров, то в общем случае на одной и той же итерации для каждого / -го параметра, г = 1, т, может получиться свое значение ОЛВ обеспечивающее выполнение заданного критерия. Такой подход привел бы к необоснованным вычислительным затратам, что в принципе противоречит задаче обеспечения максимального быстродействия при заданном критерии качества оценивания. Поэтому при псевдоградиентном оценивании параметров изображений на каждой итерации локальная выборка формируется один раз, соответственно и для критерия необходима единая мера. Для задачи оценивания МГДИ в качестве такой единой меры

в настоящей раооте предлагается использовать плот н ость распределения вероятноете и (ПРВ ) расстояний между одноименным» точками изображений с опорного и деформированного кадров. вошедшими в локальную выборку. Рассмотрим предлагаемый подход подробнее.

Для определённости будем считать, что оцениваются параметры аффинной модели МГДИ:

параллельный сдвиг Л=(Л0Лу)г? угол поворота

ф и коэффициент масштаба к . Такое ограничение набора параметров не ограничивает общности приведённого ниже рассмотрения, при котором важно только аналитическое задание некоторой конкретной модели МГДИ. Предположим также, что на некоторой итерации оценивания ОЛВ ц/г = 1, а вектор оценок равен

ам *м)Г- Тогда для точки (а,Ь),

например, узла сетки отсчётов Деформированного

кадре Z(1)

к

го кадра Z • ■ на интерполированном опорном

в локальную выборку будет выбрана точка с координатами (ха, уь):

Ха = Х0 У0)5Шф,_у) + /2л.М,

Уь =Уо :0)ппф,_, +(Ь-у0)со^1_,) + ку{н],

(2)

где (х0,уо) - принятые координаты центра поворота.

При этом в силу случайного характера оценке каждого из параметров /у/м) > > Ф /-/ н

соответствует своя ПРВ: (/гд.) (ку), (ф)

и н'м(к). При использовании для нахождения

указанных ПРВ методики, предложенной в работах [5-7] и предполагающей дискретизацию области определения параметров, получим дискретные распределения вероятностей (ДРВ)

р{(ф) = Р(ф=<рД 7 = 1,£ф , р,{к) = />(к=к/)) I = 1,4,

где Ьх, , ¿ф и ¿к - число дискретов разбиения областей определения параметров кх, , ср

и к соответственно. Таким образом, с соответствующей вероятностью оценка параметра может принять любое из возможных положений в пространстве параметров. Так, с вероятностью

в пару к точке (а,ь) кадра Ъ^ на кадре в локальную выборку будет выбрана точка с координатами

0 « % , щ хии~ х0 + к / (1Л - хо)со* Ф / ~ - У о) Ф /.) + /'.у,,

• • • у » %

У па = У о +*/((«* - -*<> ф/ + \Ь ~ У и) СОХ Фу ) -I- //,,„

соответствующая сочетанию значен ий //// .

ФУ и ку оценок параметров и т.д., вплоть до точки с координатами

соответствующей сочетанию значений Л£г

- LxLyLip Lk

Ф/ф и оценок параметров, которая будет выбрана с вероятностью

К = Л* Кг (АV Кф (ФКК (К) .

Таким образом, можно построить ДРВ расстояний между точкой и возможными

оценками местоположения этой точки на г-й итерации, т. е. получить распределение евклидова расстояния г между истинным положением точки и его оценкой. Назовем это расстояние евклидовым расстоянием оценки (ЕРО). Распределение ЕРО и будем использовать как

основу для получения критериев оптимизации

олв.

Рассмотрим пример расчёта ДРВ ЕРО. Пусть

модель наблюдаемых изображений гауссовская,

1 ^

начальная невязка параметров составила Их0 =4 ?

л

к 0 -4 , (р0 = 15° , к0 = 1,2, отношение сигнал/шум % = (отношение дисперсий изображения и шума) и используется релейная ПГП [8] с матрицей усиления

А =

X

4lX 0 0 0 0,05 0 0 0

0 к 0 0 0 0,05 0 0

0 0 \ 0 0 0 0,4 0

0 0 0 к 0 0 0 0,005

Проведённый расчёт ПРВ оценок параметров после 60 итерации дал распределения, приведённые на рис. 1, на рис. 2, а приведена IIPB w60(г)

ЕРО, пересчитанная из ПРВ w60[hx), vv60 [hy) и

w60 (ф). При этом для получения возможных координат {хаШ, yabcd) оценок использовались соотношения (2), а ЕРО рассчитывалось по формуле

>abcd = V(a ~ ХаЬЫ У +(Ь~ У abed У '

При этом математическое ожидание ЕРО составило 1,98, а дисперсия - 4,02.

.ох -

-

•л 0 ^ -

0.02 1

о | Л"'&о(лг) • • • • • » •

Л.ОХ -

•лО'.» -

\мЧ -

»>.0^ -

р

2.8

3.6 -1.1

5.2

0.1 -,По(Ф)

0.1

0.08 -

0.6

13.4 19.8 26.2

1.08 1.16 1.24 1.32

Рис. 1. ПРВ оценок параметров М.ГДИ на 60

итерации

л • _ . - .

Рассмотрим теперь ситуацию, когда ОЛВ больше единицы - \х > 1> и на каждой итерации

ПГП отсчёты деформированного изображения выбираются в соответствии с некоторым планом локальной выборки. Например, при ц = 3 план

может быть следующим. Координаты (/х/,уг/)

первого отсчёта деформированного кадра Z•:?! для локально выборки выбираются случайным образом в пределах некоторой зоны, в частности, в полярных координатах: где

-Я/ +{]угУо)2 > С; =агщ )ч _ / ,

Jx¡ Х0

(х0, у0) - координаты центра поворота, а двух последующих по правилу (я2>^>2 +120

(й^Сз =Су +240°), где Я2 и Я3 - случайные значения в пределах некоторой области.

0.05 -!

0.04 -

0.03 -

0.02-

0.01 -

0.03

0.02 -

0.01 -

0

0.05 1.05 2.05 3.05

а) при ц = 1

0.05 1.05 2.05 3.05

б) при ¡х-З

Рис. 2. ПРВ ЕРО на 60 итерации

Каждой точке плана локальной выборки соответствует своё распределение ЕРО, а совокупно-

сти всех точек - суммарное распределение ЕРО. Это рас п рёделен11е 11 будем 11С пол ьзовать д л я критериев оптимизации ОЛВ. При этом правило формирования плана локальной выборки будем считать заданным.

Пример рассчитанной ПРВ ЕРО для приведённого выше плана локальной выборки, алгоритма и начальных условий, идентичных примеру рис. 2,а, приведён на рис. 2,6. Анализ результатов показывает, что при увеличении ОЛВ распределение не нормализуется. Это видно и из рис. 3, где приведены ДРВ ЕРО на 85 и 65 итерациях, \1 = 2 9 координатах (/?3 = 10, = 5°) и

(/?2 = 20, = 5'7) отсчетов кадра и начальном

л л

рассогласовании параметров Л 0 = 4, К0=4,

ф0 = 15° и к 0 = 1. Отсутствие эффекта нормализуемое™ ПРВ ЕРО связано с нелинейной зависимостью ЕРО от параметров МГДИ, в результате чего разные точки плана локальной выборки дают отличные друг от друга математические ожидания и дисперсии ЕРО.

0.02 ->%(>')

0.01 1

0.02 -45 (г)

0.01 -

г'" 0

9.4 1 ] .4

Рис. 3. Примеры ПРВ ЕРО при ц = 2,

показывающие отсутствие эффекта нормализуемости

Необходимо отметить также, что в ряде случаев параметр ЕРО целесообразно использовать и при оценивании одного параметра, например в ситуации., когда требуется сравнить результаты, полученные для параметров разной размерности, в частности, масштаба и угла поворота.

Теперь, после введения понятия ЕРО, найдём с его помощью численные величины, характеризующие скорость сходимости ЕРО к нулю на конкретной итерации. Для этого сравним ПРВ ЕРО на (/ -1) -й и (-й итерациях. Математическое ожидание изменения оценки при ОЛВ ¡х, равном т, составит

ОО

о

(3)

и=/н

Положительное значение Л/£_\/ | будет озма-

чать улучшение вектора о оценок параметров, отрицательная - ухудшение. Очевидно, что при использовании ДРВ ЕРО математическое ожидание изменения оценки определяется соотношением:

и

/=i

где 1У - число дискретов разбиения области

определения ЕРО.

На рис. 4 для примера приведена зависимость разности вероятностей ™60(г)-и'б1(г) от ЕРО на

60 итерации при ц = 1. План локальной выборки

и условия расчёта аналогичны рассмотренным выше примерам. Видно, что при больших ЕРО разности вероятностей положительны, а при малых - отрицательны, что даёт положительную

величину математического ожидания Л/[Дг]

»

изменения ЕРО, равную в соответствии с (3) 0,017.

0.0015 -

0.0005 -

-0.0005 А

-0.0015 -

-0.0025 -

Рис. 4. Зависимость разности Wtt(r)-w61(r) от ЕРО

0.015

0.005 -

-0.0051*1

-0.015 -

-0.025 J

Рис. 5. Зависимость разности

от ЕРО

Аналогично может быть рассчитано и математическое ожидание м[Дг(+/с)] улучшения вектора оценок параметров при увеличении ОЛВ

ц на к . Так. например, при увеличении ОЛВ и на 1 улучшение составит

■л

д/М+«]= JH».->", (4)

-со

~Pit

LI =///+/ /

Очевидно, что при использовании ДРВ:

i—l

Пример зависимости разности вероятностей

от ЕРО на 60 итерации при

ОЛВ р., равном 1 и 2, приведён на рис. 5. Как и

на рис. 4, при больших ЕРО разности вероятностей положительны, а при малых - отрицательны. Это (в соответствии с формулой (4)) и дало положительную величину математического ожидания

А/[Дг(+ к)] улучшения вектора оценок параметров, равную 0,021. Отметим, что параметр

также может оыть использован при

оптимизации ОЛВ.

Рассмотрим возможность использования в качестве меры скорости сходимости ЕРО условия превышения ею с заданной доверительной вероятностью Рп некоторого порогового значения

vrn. Это условие может выполняться либо на

каждой итерации оценивания параметров, либо в заданном диапазоне итераций. Для нахождения доверительной вероятности необходимо знать ПРВ w,(vr) скорости сходимости, тогда вероятность того, что скорость сходимости ЕРО превысит vrn, составит величину

Р = 1- fW/(vr)?vr.

-ОО

При этом численное значение vr можно найти

как разность между значением ЕРО г на текущей итерации и математическим ожиданием ЕРО М[г] на предыдущей итерации:

vr =Mt_}\>']-r,

оо

где M,_j [г] = \rwt4 (r)dr, wt4 (г) - ПРВ ЕРО

о

на (t - 1)-й итерации. Тогда задача сводится к нахождению ОЛВ ц, обеспечивающего выполне-

ние условия

м,., И

Р= Jw, (v, ОФ vr >РП.

(5)

rn

При использовании ДРВ ЕРО вероятность превышения скоростью сходимости ЕРО величины угп будет определяться выражением

Г;1— у

где 1„ =/7//————— - целое число дискре-

/

г

тов разбиения области возможных значений ЕРО от уП1 до /г - величина дискрета раз-

4

биения; -А/,_/[г) = - математическое

ы

ожидание ЕРО на (г - 1)-й итерации. Тогда, как и

в непрерывном случае, задача сводится к нахождению ОЛВ ¡1 9 обеспечивающего выполнение

условия

р=1 Ри М > К ■

Ы

Для наглядности на рис. 6 приведён пример ДРВ (у,.)скорости сходимости V,. на 60 итера-ции оценивания, рассчитанной при р. = 1, плане

локальной выборки и других условиях оценивания, аналогичных условиям рассмотренных выше примеров. Здесь же приведено пороговое значение уП} =0,21 , вероятность превышения

которого составляет 0,68. На рис. 7 показана зависимость вероятности Р превышения скоростью сходимости указанного порогового значения от объёма локальной выборки ц . Видно, что

с ростом \х вероятность Р растёт, достигая при

ц = 5 значения 0,99 .

0.05 -

0.04 -

0.03 -

^60 (у г)

0.02 -

0.01 -

Рис. 6. ДРВ уг на 60 итерации

ь

0.9-

0.8-

0.7-

0.6

Р

"Т"

3

Ц

Рис. 7. Зависимость вероятности Р от ОЛВ

Если в качестве меры скорости сходимости вектора оценок выбрать доверительным интервал (ДШ при заданной доверительной вероятности, то как численное значение этой меры может быть использовано изменение границ ДИ на

т •

(/ + 1}-й итерации по сравнению с / -й итерацией

АгДН = Гл1 1) +Г>н ~'п(1+1) > (6)

где индексы «л» и «и» означают соответственно левые (/;,,, г,;(,+])) и правые (гт, >;,(,+1)) границы

доверительных интервалов. Сказанное поясняется рис. 8, где I, и - ДИ на г -й и (г +1) -й итерациях при заданной доверительной вероятности.

I

V

м

I

Г

7 л /1 гп(

Рис. 8. Геометрическая интерпретация, поясняющая изменение границ доверительных

интервалов

Математическое ожидание М[Дг(+А)] улуч-

шения оценки при увеличении ОЛВ ц также

может быть характеризовано границами доверительных интервалов. Так, при увеличении ОЛВ ц на 1

Агди (+к) = Кп

Ц=/М

— Г.

Л1

а-т

(7)

Необходимо также отметить, что приведённые формулы (6) и (7) справедливы при использовании ЕРО, поскольку этот параметр не может принимать отрицательных значений, а, следовательно, в = г - г" = Я всегда положительно. При анализе измерения границ ДИ глобальных (справедливых для всего изображения) параметров МГДИ, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, например, таких как угол поворота, параллельный сдвиг и др., необходимо учитывать ещё знаки

рассогласования е = а-а* оценки и оптимального значения параметра. Если в > 0, то справедливы формулы (6) и (7). Если же в < 0, то

АГпы = г

- г.„ + К

ДИ - 'л((+1) ~'Л1 _г'и(М-1) ~гт •>

Агт(+к)= ГШ

г.

]1=т+к л1

ц=т

+ Г,

Ш

Обобщая, можно записать

Агди = [гм - ГЛ(М) +гп(-гп{м)^пе(,

^ ж (+ к) =

Ч™ Гд!

|л=Ш+1 + Г>"

а=т

Однако проведённые исследования показали, что для рассматриваемой задачи ДИ является менее информативным параметром по сравнению со средним значением и вероятностью пре-

вышенмя порогового значения. Связано это с тем. что вид распределения ЕР С) изменяется от итерации к итерации и существенно зависит как от плана локальной выборки, так и от совокупности параметров МГДП. Поэтому на смежных итерациях изменение границ ЕРО не всегда характеризует улучшение вектора оценок в целом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Грузман, И. С. Цифровая обработка изображений в информационных системах: учеб. пособие / И. С. Гузман, В. С. Киричук, Косых В. П., Г. И. Перетягин, А. А. Спектор. - Новосибирск: Изд-во НГТУ; 2002. - 352 с,

2. Цыпкин, Я. 3. Информационная теория идентификации / Я. 3. Цыпкин. - М.: Наука. Физ-матлит, 1995. - 336 с.

3. Tashlinskii, Alexandr. Computational Expenditure Reduction in Pseudo-Gradient Image Parameter Estimation / Computational Scince - ICCS 2003. Vol. 2658. Proceeding, Part П. - Berlin: Springer, 2003. - Pp. 456-462.

4. Tashlinskii, A. G. Pseudogradient estimation of image sequence spatial deformations / Automation, Control and Inrormation Technology // A Publication of The International Association of Science and Technology for Development - IASTED. -Anaheim-Calgary-Zurich: ACTA Press, 2002. -Pp. 382-385.

5. Tashlinskii, A. G. The Efficiency of Pseudo-gradient Procedures for the Estimation of Image Parameters with a Finite Number of Iterations / Pattern Recognition and Image Analysis, Vol.8, 1998. -Pp. 260-261.

6. Ташлинскии. А. Г., Тихонов В. О. Методика анализа погрешности псевдоградиентного измерения параметров многомерных процессов /7 Известия вузов: Радиоэлектроника. - 2000. -Т. 44. № 9. - С. 75-80.

7. Ташлинскии, А. Г.. Самойлов М. Ю.. Ком-

- # • » ^

кадаев А. В. Возможности сокращения вычислительных затрат при вероятностном моделировании процесса псевдоградиентного измерения параметров изображений // Вестник УлГТУ. - 2005. - № 1. -С.52-53.

8. Ташлинский, А. Г. Псевдоградиентное оценивание пространственных деформаций последовательности изображений // Наукоёмкие технологии. - 2002. - Т. 3, № 3. - С. 32-43.

Минкина Галина Леонидовна, аспирантка кафедры САПР УлГГУ, имеет публикации в области оценивания параметров межкадровых геометрических деформации изображений.

Самойлов Михаил Юрьевич, аспирант УлГТУ, имеет научные работы в области оптимизации параметров псевдоградиентных процедур оценивания параметров межкадровых геометрических деформаций изображений.

Ташлинский Александр Григорьевич, доктор технических наук, профессор кафедры САПР УлГТУ, сфера научных интересов - статистические методы анализа и обработки цифровых изображении