CC BY
47
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XXI 1990
№ 1
УДК 629.7.025
629.7.015.4.023
И
ВЫБОР РАЦИОНАЛЬНЫХ КОНСТРУКТИВО-СИЛОВЫХ СХЕМ НЕСУЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЛА ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЯМ
А. К. Ковалевский
Применен обобщенный критерий оптимальности в виде условия равномерного распределения плотности энергии для выбора рациональных конструктивно-силовых схем (КСС) несущих поверхностей ЛА максимальной жесткости. Для проверки используемой методики и составленной на ее основе программы для ЭВМ решена задача оптимизации силовой массы при ограничениях по перемещениям для 10-стержневой фермы. Сравнение полученных результатов с приведенными в литературе показало хорошую сходимость метода. Для примера решена задача выбора КСС цельноповоротного стабилизатора самолета.
При проектировании несущих поверхностей летательных аппаратов принципиальное влияние на выбор КСС могут оказывать жесткостные характеристики. Если оценивать жесткость несущей поверхности по перемещениям нескольких ее точек под воздействием заданной внешней статической нагрузки, то выбор рациональной КСС можно осуществить из решения оптимизационной задачи с ограничениями по перемещениям. Решение этой задачи представляется в виде двух вложенных друг в друга циклов. На внешнем — осуществляется перебор различных типов силовых _схем и, после прохождения внутреннего цикла, производится их сравнение между собой, На внутреннем — определяется распределение конструктивных параметров данной КСС, при которых выполняются все наложенные на нее ограничения и вычисляется силовая масса конструкции.
Постановка задачи. За критерий качества проектируемой КСС принимается ее силовая масса G (х), где*—вектор проектных параметров конструкции. Для определения оптимального вектора х* можно сформулировать задачу математического программирования
G (х*) = min G (х) ;
X
й(х)<0,/=1,2,..., л; х с Q ,
где gi(x) — записанное в канонической форме ограничение на i-е обобщенное перемещение 6г, Q — область определения проектных параметров, задаваемая их минимальными и максимальными значениями. Здесь минимальные значения проектных параметров определяются требованиями прочности проектируемой КСС. В дальнейшем индексом * будем обозначать значения переменных, соответствующие оптймаль-ному решению.
Поведение агрегата под нагрузкой описывается с помощью метода конечных элементов (МКЭ)
[АТ] а = Р, (2)
где и — вектор перемещений, [АГ] — матрица жесткости конструкции, Р — вектор внешних нагрузок.
Под обобщенным перемещением б; понимается линейная комбинация перемещений узлов расчетной сетки МКЭ
N
Ч = ^ ау и/ . (3)
/=1
где ац ■— компоненты вектора весовых коэффициентов Л/.
Тогда поиск рациональной КСС при учете ограничений на перемещения представляет собой имитационную задачу, в которой за математическую модель проектируемой конструкции принимается модель МКЭ, а экспертные оценки качества КСС
проводятся по величине ее силовой массы, представляющей собой сумму масс всех конечных элементов, которые в дальнейшем будут считаться компонентами вектора проектных параметров х = т
м
о(**)=2 т1- (4)
к = 1
Вывод основных соотношений. Будем считать, что оптимальное решение задачи математического программирования (1) достигается на границе области допустимых значений. Тогда ограничение на /-е обобщенное перемещение запишется в виде
Ь* = [6гЬ (5)
где [5г] — величина перемещения, заданная по требованиям жесткости. Для любого вектора х, представляющего собой некоторое приближение к решению задачи (1) из уравнений (2) и (3) определяется соответствующее ему значение бь Величину ог, приближенно, можно получить, воспользовавшись разложением обобщенного перемещения 6г. в ряд Тейлора по массам конечных элементов и ограничившись первыми двумя членами ряда
Л ,,
8* = вг+Х шАт*ъ-ть)- (6)
к = 1 *
дЦ
Для определения -— найдем частную производную вектора внешних на-
дт/г
грузок Р по массе А-го конечного элемента тк
|*_У£1„ + И* (7)
дл1^ (//Яд. д
Предполагая, что внешние нагрузки не зависят от распределения ¿илового материала в конструкции, получим
(8)
дтк дтк
В соответствии с (3) запишем
Р-Л'.Р-. ' т
и /Й£ О ТП\1
Если АI трактовать как некоторый вектор «фиктивных нагрузок» [4], то, подставляя его вместо правой части в разрешающее уравнение МКЭ (2), получим соответствующий Д; вектор «фиктивных перемещений» /¿, как решение следующего уравнения
I К]/1 = А1. (Ю)
3—«Ученые записки» № 1
113
Умножая правую и левую части равенства (8) на // получим
дт^ дтк
Учитывая симметрию матрицы жесткости [Ä-], выражение (10) можно записать в виде
fJ[K]=Al. (12)
Подставляя полученное выражение для А] в (9), получим
^-=Л1К] д— • (is)
дть дтк
Сравнивая между собой выражения (И) и (13) имеем
д Ttifa dffife
Если компоненты матрицы жесткости \К] являются линейными функциями от конструктивных параметров конечных элементов, то
(.6)
дт/г тк
где \K\k — матрица жесткости k-ro конечного элемента. Оставляя в векторах и и /; -только те компоненты, которые связаны с узлами, принадлежащими k-щ конечному элементу и обозначив их {«&} и {fkU соответственно, получим
дъ {/*}! [ДГЬ {«*}
— 1---------------------. (16)
dtщ тк
Выражение в правой части можно трактовать как плотность «фиктивной» энергии. Равномерное распределение плотности «фиктивной» энергии (16)
дЬ*
-—г = const (17)
k
при постоянной массе является критерием оптимальности и позволяет получить кон-
дь]
етрукцию максимальной жесткости [1, 5]. Обозначив -—г. как С, можно приближенно
дтк
записать выражение (6) в следующем виде:
м
' 8* = 8*+Ет(й; + Сг) К-^)- <18)
Для удобства, в дальнейшем, будем называть величину С, — «целевой производной». Выведем выражение для тк в предположении, что
m*k--=akmk. (19)
Воспользуемся гипотезой «замораживания сил», в соответствии с которой
последовательное изменение параметров распределения материала в упругих системах под действием стационарных нагрузок ведет лишь к последовательному локальному изменению напряженного состояния, не изменяя распределения внутренних сил в системе. Это условие для поставленной задачи реализуется в виде соотношений
[*]*{«*}• = [*]*{«*}; . (20) {/*}?[*]* = {/*}№• (21)
Если матрица жесткости к-го конечного элемента [ЛГ]* линейно зависит от значения -его конструктивного параметра, то можно записать
{/*Я[*]*-«* \flYi [К]*.
(22)
Тогда в соответствии с (16), (19), (20), (21) выражение для целевой производной лринимает вид
а ь1 _ _ № [*]* _ _ {/;}? т: {«*}*_
дт*к т\ ак тк
\П]1К\кШ {и*}
ак тк
■Сравнивая (10) и (23), получим
а\
дтк
тк = тк
VI
дЬ1
¿дтк1С1
(23)
(24)
Метод решения. Для определения тк необходимо решить систему двух нелинейных уравнений (18) и (24). Решение ищется численно при помощи метода последовательных приближений. Варьируется величина целевой производной Сг.
дЪ1
Согласно (16), частные производные -— должны иметь отрицательные значения,
дтк
поэтому для С» рассматривается интервал
я0<С/<0. (25)
Для определения нижней границы интервала по формуле (16) находятся зна-¿>5г
чения частных производных -— и требуется выполнение условия
дтк
| «о I = шах к
дЦ
дтк
(26)
Используется метод «золотого сечения», в соответствии с которым интервал неопределенности (а, в) делится на две неравные части так, чтобы отношение большей части к меньшей равнялось отношению длины всего интервала к его большей части. Выберем точки Хо и у о так, чтобы для них выполнялись соотношения
«о < *о < Уо < *о = 0;
• Ло
• X,
о
ь0 — х0
¿0--- Яд
Уо-^о
Хо — #0 Уо — До То — Уо
(27>
где ¿=1,618033989______определяет «золотое» отношение. Подставляя х0 и у о пооче-
редно в (24) и (18), определяются значения обобщенных перемещений 6,(х0) и •б<(г/о) и сравниваются с ограничением [б;]. В том случае, если
то принимается в противном случае
[*|]-М*о)|<1[»|]-8/(Уо)1 ■
«1 ■= «о . Уг = хо > Ьг=у0 ,
ах = хо , х1 = у0 , й, = .
Процесс продолжается до тех пор, пока длина интервала неопределенности не будет удовлетворять условию
1п — Ьп ап — (6о «о) ~рГ ^ ’ (28)
зооо-6, к г .
2800-
гт-
2400 -2200 -
решение помученное автором
_ Л решения приведенные —*—J вработе [/]
Да
гть
11
.I..... I.... I
Ч 6 8 п
Номер итерации
12 П
Рис. ?
ввод
исходны/
данных
| П=0
Определение перемещений ПО мкэ
“Т "
Построение дек-торад обобщенных перемещений
Построение праиз Йодных от матриц жесткости элементов
±
Вычисление целв8ой произдодной
Т
Определение новых значений нонструк тиднь/х переменных
©
Ное приближение к оптимальному решении!
Рис. 4
Рис. 3
где е — некоторое заданное наперед малое число. В качестве п-го приближения к значению целевой производной принимается
в данной задаче не зависят от распре-
(29)
деления силового материала' они определяются один раз перед началом цикла. В том случае, если найденные по условию (24) значения конструктивных параметров оказываются вне области определения С}, они принимаются равными своим минимальным или максимальным допустимым значениям, соответственно.
Данная методика справедлива в случае, когда накладывается ограничение только на одно обобщенное перемещение. Если таких ограничений несколько, решение проводится последовательно, для каждого обобщенного перемещения в отдельности. В этом случае получаемые на предыдущем этапе значения конструктивных переменных принимаются в качестве минимально допустимых для следующего ограничения. Согласно проведенным расчетам, нужно обращать внимание на последовательность выполнения ограничений — первыми должны идти более легкие случаи.
В связи с тем, что в рассмотренном итерационном процессе используется приближенное выражение (18) для нахождения обобщенного перемещения 5*, после окончания цикла необходимо провести уточняющий расчет перемещений по МКЭ, соответствующих новому распределению силового материала в конструкции. Вся процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность в определении о*. Таким образом, процесс решения задачи (1) можно представить в виде двух вложенных итерационных циклов. На внешнем — с помощью метода конечных элементов определяются компоненты вектора перемещений, а на внутреннем — с помощью обобщенного критерия оптимальности (17) для полученного вектора перемещений и в срответствии с наложенными ограничениями производится переопределение конструктивных параметров задачи.
Для проверки методики проведен расчет статически неопределимой 10-стерж-невой плоской фермы (рис. 1). Стержни изготовлены из алюминиевого сплава (£= = 7037 кг/мм2, р = 2,77ХЮ-7 кг/мм3) и имеют минимальное допускаемое значение площади поперечного сечения = 64,52 мм2. Ограничения на вертикальные пере-
мещения на свободном конце фермы равны 50,8 мм. Оптимальное решение с минимальной массой 6=2300 кг, приведенное в литературе [5] было достигнуто после 10 итераций. На рис. 2 показано изменение массы фермы по итерациям. Для сравнения приведены результаты, полученные другими авторами [5]. Сравнение позволяет сделать вывод о хорошей сходимости предложенного алгоритма и возможности его использования для выбора рациональных КСС. Изложенная методика реализована в программе - «ОКОР», написанной на алгоритмическом ядыке «ФОРТРАН-77». Блок-схема программы приведена на рис. 3. Расчет по МКЭ проводится по программе «РШЕЬ». Для обмена информацией между программами используются общие файлы на магнитных дисках.
В качестве практического примера решена задача выбора рациональной конструктивно-силовой схемы цельноповоротного стабилизатора. Рассматриваемые варианты КСС схематично представлены на рис. 4. Схема / включает в себя несущую об-
I
г
6 8 10 12 14 16 и
Натр итерации
Рис. 5
шивку, сотовый заполнитель, две торцевые нервюры и узел крепления стабилизатор» к фюзеляжу. Схема II получается добавлением лонжерона к схеме I, а схема /// отличается от первой наличием дополнительной силовой нервюры и соединенной с ней и узлом крепления стабилизатора подкосной балкой. Материал, из которого изготовлены элементы конструкций — алюминиевый сплав. Для всех 3 схем за начальное приближение принимается распределение силового материала, удовлетворяющее требованиям прочности. При выборе КСС рассматривается расчетный случай нагружения, соответствующий максимальному крутящему моменту относительно оси вращения стабилизатора. При этом ограничиваются угол поворота концевого сечения и вертикальное перемещение (из плоскости стабилизатора) точки, принадлежащей бортовой нервюре и лежащей на передней кромке агрегата. На рис. 5 представлен график изменения силовой массы по итерациям для различных КСС. Ограничившись 18 итерациями найдены относительные значения массы для каждой КСС, отнесенные к массе третьей схемы GgTH= 1. Для первой и второй КСС получены, соответственно, значения 0°™ = 1,211 и 0^™ = 1,153, сравнивая которые между собой можно сделать вывод о предпочтительности третьей схемы перед остальными при заданных ограничениях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бирюк В. И., Липин Е. К-, Фролов В. М. Методы проектирования конструкций самолетов. — М.: Машиностроение, 1977.
2. М а л к о в В. П., У г о д ч и к о в А. Г. Оптимизация упругих систем.— М.: Наука, 1981.
3. X о г Э., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование. —
М.: Мир, 1983.
4. Is a'kson G., Pardo Н., Le г пег Е., Venkayya V. В. ASOP-3: a program for optimum structural design to sutisfy strength and deflection constraints. — J. of Aircraft, 1978, vol. 15, N 7.
5. Khot 'N. S., В erke L., Venkayya V. B. Comparison of optimality criteria algorithm for minimum weight design of structures. —
AIAA J„ 1979, vol. 17, N 2.
Рукопись поступила 28/XI 1988 г..
