Выбор порога чувствительности для систем диагностики Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

кандид

>тем|

^математических ЩУКИН Николай Васильевич,

наук

доктор физико-математических наук, профессор

ГРИНЕНКО Владимир Антонович ГРУЗДОВ Федор Владимирович МИЛЮКОВ Федор Владимирович

IV/J

ЫБОР ПОРОГА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ СИСТЕМ ДИАГНОСТИКИ1

При работе любой системы, диагностики возникают, ошибки первого и второго рода. Ошибки первого рода и ошибки второго рода в математической статистике — это ключевые понятия, задач, проверки статистических гипотез. Тем. не менее данные понятия, часто используются и в других областях, когда речь идет, о принятии «бинарного» решения, (да/нет) на основе некоего критерия, (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может, давать ложный результат.. В статистических тестах обычно приходится, идти на компромисс между приемлемым уровнем, ошибок первого и второго рода. Зачастую для. принятия, решения, используется, пороговое значение, которое может, варьироваться, с целью сделать тест, более строгим, или, наоборот, более мягким.. Возможны, разные подходы к выбору порога чувствительности. В этой статье будет, описан экономический подход, основанный на выборе порогового значения, таким, образом, чтобы, минимизировать средний ущерб при эксплуатации системы..

Ключевые слова: система диагностики, порог чувствительности, уровень значимости.

In the process of operating any diagnostic system, type I error and type II error may occur. These errors are the key terms of the tasks of the statistical hypotheses examination in mathematical statistics. However, these terms are often used, in other areas when it comes to taking the "binary" decisions (yes / no) based, on a test which may give a false result with certain probability. The statistical tests usually have to compromise on an acceptable level of errors of the first and second kind. Often the decision is taken based, on a threshold. limit value, which, may vary in order to make the test more stringent or alternatively, more lenient. There are different approaches to the threshold, value selection. This article will describe the economic approach, based, on the choice of the threshold, value so as to minimize the average costs during the exploitation, of the diagnostic system..

Keywords: diagnostic system, the threshold, value.

По мере накопления и расширения знаний об окружающем мире все актуальней становятся задачи диагностики в различных областях человеческой деятельности: техника, медицина, экономика и д.р. По своей сути диагностика — это процесс установления диагноза или распознавания проблемы. В процессе диагностики проводится сравнение текущего состояния объекта исследования с его моделью. Если совпадение оказывается неудовлетворительным, выдается предупре-

ждающее сообщение, инициирующее предусмотренные действия. Своевременная диагностика нежелательных событий позволяет минимизировать затраты, связанные с лавинообразным накоплением нарушений в сложных системах. Безусловно, к сложным системам относятся и атомные станции, для которых эффективным признается использование диагностических средств, позволяющих быстро обнаруживать симптомы отказов и ухудшение рабочих характеристик, что

1 — Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».

непосредственным образом связано с повышением безопасности, надежности и экономической эффективности эксплуатации АЭС и ядерной энергетики в целом.

Для АЭС с реактором РБМК-1000 задача диагностики и мониторинга активных зон была решена к 1999 году в виде программного средства (ПС) ECRAN (Experimental&Calculational Reactor ANalisys), предназначенного для непрерывного контроля измерительных данных, поступающих от системы

01_2012_SPT.indd 35

внутриреакторного контроля и своевременного выявление отказов оборудования и ошибок в исходных данных программ сопровождения эксплуатации ЯЭУ [1, 2, 3].

Однако, как это часто бывает, если программа не является достоянием сообщества людей, которое непрерывно бы поддерживало и совершенствовало ее работоспособность, то программа устаревает и через какое-то время становится неработоспособной. К сожалению, такая судьба постигла и ПС непрерывной диагностики ECRAN.

Тем не менее реализованные в программе алгоритмы не были утеряны, а возможность живого контакта с авторами и разработчиками позволила восстановить заложенный в программу научный потенциал. Использование современных кодов, методов и подходов к разработке программного обеспечения позволило вдохнуть в программу новую жизнь, сделало ее код работоспособным под современными операционными системами на современной компьютерной технике. Проведенные усовершенствования диагностических алгоритмов позволили повысить их точность и скорость работы.

Таким образом, была создана расчетно-измерительная диагностическая система ECRAN 3D [4 — 8], основу которой составляют аттестованные программные средства сопровождения эксплуатации (POLARIS [9], КОНТУР-М [10]), а также апробированные методы обработки экспериментально-расчетной информации о состоянии активной зоны и базы данных РБМК.

Однако при работе любой системы диагностики могут возникать ошибки первого и второго рода. Ошибки первого рода и ошибки второго рода в математической статистике — это ключевые понятия задач проверки статистических гипотез. Тем не менее данные понятия часто используются и в других областях, когда речь идет о принятии «бинарного» решения (да/нет) на основе некоего критерия (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может давать ложный результат.

Пусть дана выборка X = (Xt,...,Xn)T из неизвестного совместного распределения PX, и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез: H0,

Н1, где Н0 — нулевая гипотеза, а Н1 — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий:

Г: К ^ {Но, Н}

сопоставляющий каждой реализации выборки X = х одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации.

Л Распределение Рх выборки X соответствует гипотезе Н0, и она точно определена статистическим критерием, то есть Цх) = Н0.

Распределение Рх выборки X соответствует гипотезе Н0, но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть Цх) = Н

Распределение Рх выборки X соответствует гипотезе Н и она точно определена статистическим критерием, то есть Цх) = Н

^4 Распределение Рх выборки X соответствует гипотезе Н но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть Цх) = Н0.

Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и ее называют ошибкой первого и второго рода соответственно. Пропуск отказа при его фактическом наличии назовем ошибкой первого рода. Регистрацию отказа при его отсутствии назовем ошибкой второго рода.

Как видно из вышеприведенного определения, ошибки первого и второго рода являются взаимно симметричными, то есть, если поменять местами гипотезы Н0 и Н то ошибки первого рода превратятся в ошибки второго рода и наоборот. Тем не менее в большинстве практических ситуаций путаницы не происходит, поскольку принято считать, что нулевая гипотеза Н0 соответствует состоянию «по умолчанию» (естественному, наиболее ожидаемому положению вещей) — например, что исследуемый объект находится в работоспособном состоянии. Соответственно альтернативная гипотеза Н1 обозначает противоположную ситуацию, которая обычно трактуется как менее вероятная, неординарная, требующая какой-либо реакции. С учетом этого ошибку первого рода часто называют ложной тревогой, ложным срабатыванием или ложноположительным срабатыванием — например, анализ

положения регулирующего органа показал его обрыв, хотя на самом деле обрыва не произошло. Из-за возможности ложных срабатываний не удается полностью автоматизировать борьбу со многими видами ошибок. Как правило, вероятность ложного срабатывания взаимосвязана с вероятностью пропуска события (ошибки второго рода). То есть, чем более чувствительна система, тем больше опасных событий она детектирует и, следовательно, предотвращает. Но при повышении чувствительности неизбежно вырастает и вероятность ложных срабатываний. Поэтому чересчур чувствительно (параноидально) настроенная система диагностики может выродиться в свою противоположность и привести к тому, что побочный вред от нее будет превышать пользу. Соответственно ошибку второго рода иногда называют пропуском события или ложноотрицательным срабатыванием — объект не работоспособен, но анализ состояния этого не показал. Степень чувствительности системы защиты должна представлять собой компромисс между вероятностью ошибок первого и второго рода. Где именно находится точка баланса, зависит от оценки рисков обоих видов ошибок [11].

Экономический подход к принятию решения

Во время работы системы диагностики обычно приходится идти на компромисс между приемлемым уровнем ошибок первого и второго рода. Зачастую для принятия решения используется пороговое значение, которое может варьироваться с целью сделать тест более строгим или, наоборот, более мягким. Этим пороговым значением является уровень наличия отказа, которым задаются при проверке статистических гипотез.

Возможны разные подходы к оценке рисков обоих видов, а соответственно и к выбору уровня наличия отказа. Опишем один из них — экономический. Для этого выберем порог принятия решения так, чтобы минимизировать средний ущерб при эксплуатации системы.

Теперь рассмотрим модель работы диагностической системы. Диагностическая система работает, производя

13.04.2012 13:55:33

периодические проверки с заданным шагом по времени №. Если выходной сигнал для данного типа отказа превышает заданный порог, происходит принятие решения о наличии отказа. Также возможна альтернатива — принятие решения после N превышений порога подряд. После этого происходит проверка наличия отказа дополнительными средствами. При наличии отказа он устраняется мгновенно, с точки зрения системы диагностики.

Примем следующую модель шумов при нормальной эксплуатации системы:

X2

Таблица 1. Ущерб в различных ситуациях

l

e

2і2

Pf(х)

^iai/V 2л

e

(X-X о /

2aL

Величина Отказ есть Отказ зарегистрирован

0 0 0

C v-' check 0 l

C + C + '-'fail 1 v-'check 1 Crepare l 0

f(t) 'Cfail + Ccheck + Crepare l l

причем отсутствуют корреляции по времени.

Модель отказов такова — отказы случаются с заданной равномерной плотностью по времени Р/. Плотность распределения в условиях наличия отказа тоже нормальна, но с другим законом:

т.е. при появлении отказа возникает смещение и изменяется дисперсия сигнала оценки ошибки. В этих данных также отсутствуют корреляции.

Модель ущерба

В таблице 1:

♦ Сскеск — стоимость проведения проверки на наличие отказа;

♦ Сгераге — стоимость ремонта;

♦ Сш — асимптотическая стоимость ремонта, вызванная несвоевременным обнаружением отказа;

♦ /^) характеризует нарастание последствий при работе без принятия мер по ремонту, она равна нулю при t = 0 и равна 1 при t ^ ~.

В дальнейшем будем пренебрегать Ссьеск + Сгераге по сравнению с членом

С/аЦ.

Работа диагностической системы имеет смысл, если она позволяет обнаружить отказ на начальных этапах нарастания стоимости последствий. Чтобы упростить рассмотрение примем, что темп нарастания последствий невелик по сравнению с временным окном усреднения по времени в алгоритме поиска отказа. Тогда можно заменить: Щ) х С/ац ^ С/ац.

Пропуск отказа

Ложная тревога

Рис. 1. Оценка вероятностей ошибок первого и второго рода

Посчитаем ущерб как функцию порога принятия решения о наличии отказа в предположении, что отказы — редкое явление.

Для дальнейших выкладок нам потребуется соотношение:

erfc І І

вог £. Тогда компонента стоимости С2, связанная с ложными тревогами, с учетом двухсторонних ограничений будет иметь вид:

°ак)

С = с

(1 - Pf )erfc

2yf2

тт. !■

dx.

Для упрощения примем экспоненциальную модель нарастания стоимости последствий отказа:

f(t) = 1 - e -xt.

Пусть вероятность нахождения в состоянии отказа равна Pf, а уровень тре-

72

Обозначим вероятности ошибки первого рода Р1, а вероятность ошибки второго рода Р2:

P1 =

erfc I X7+^ 1 + erfc1 ^ Xo

2^2

P2 = 1 - P1.

01_2012_SPT.indd 37

1

2

Тогда средняя стоимость последствий Таким образом, изменяя £ необходимо минимизировать функционал С1 + С2, что легко осуществляется численными алгоритмами минимизации.

отказа СЇ будет иметь вид:

(-1 + ed£i )К

C = C P

'-'1 fail rf

fail f ( da

( - Pi )(1-Pi)

а средняя стоимость С2, связанная с ложными тревогами:

C = C P

2 fail f

£ (1 - e-Udt )•/>■

Заключение

В статье был изложен экономический подход, позволяющий выбирать порог чувствительности диагностических систем таким образом, чтобы минимизировать средний экономический

ущерб при эксплуатации системы. Предложенный подход был применен для выбора порога чувствительности в системе ЕСЯЛЫ 3Б, предназначенной для диагностики и мониторинга состояния активных зон и баз данных реакторов РБМК-1000. Проведенная расчетно-экспериментальная верификация созданного программного средства показала, что обеспечен требуемый уровень функционально-технических показателей системы диагностики ■

‘

Литература

Ї. Schukin N.V., Filatov A.V., Chernov E.V., Romanin S.D., Semenov A.A. Development of mathematical models for NPP core analysis during operation./ International conference on the physics of reactors PHYSOR Яв. — Vol. 4. — k-78-k-8в. — September Їв — 2Q, ЇЯЯв

2. Филатов А.В., Щукин Н.В., Семенов А.А., Романин С.Д. Система контроля загрузки активной зоны, методами расчетноэкспериментальной диагностики./ Сборник трудов научной сессии МИФИ-ЇЯЯ8. — Том. 4. — С. ЇЯ — 2Ї.

3. Щукин Н.В., Филатов А.В., Семенов А.А., Романин С.Д. Ecran — система контроля загрузки активной зоны, ядерного реактора./ Сборник трудов «Научные исследования, в области ядерной энергетики в технических вузах России». — МЭИ, 4:3в—38, ЇЯЯЯ.

4. Милюков Ф.В., Щукин Н.В., Семенов А.А., Соловьев Д.А., Черезов А.Л. Программа взаимокорреляционного анализа параметров ядерной безопасности./ Аннотации докладов. — Научная, сессия НИЯУМИФИ-20ЇЇ. — С. в2.

5. Соловьев Д.А, Семенов А.А., Щукин Н.В. Система пространственно-временной диагностики ECRAN 3D./ Аннотации докладов. — Научная сессия НИЯУ МИФИ-20Ї2. — С. в0

в. Груздов Ф.В., Соловьев Д.А. Построение эмпирической модели определения, расхода теплоносителя, через канал РБМК./ Аннотации докладов. — Научная, сессия НИЯУМИФИ-20Ї2. — С. в5.

7. Глазков О.В., Соловьев Д.А. Выявление отказов в положении ОР СУЗ в РБМК./ Аннотации докладов. — Научная, сессия НИЯУ МИФИ-20Ї2. — С. 7Q.

8. Милюков Ф.В., Соловьев Д.А. Выявление неверных перегрузок в реакторе РБМК./ Аннотации докладов. — Научная, сессия НИЯУ МИФИ-20Ї2. — С. 72.

Я. Лысов Д.А., Погосбекян Л.Р. Программа Polaris, версия. 4.2.Ї: Аттестационный паспорт, программного средства. Регистрационный номер ПС в ЦОЭПпри РНЦ КИ №в32 от. Ї4.0Я.2007. Регистрационный номер паспорта аттестации №23Ї от. Ї8.0Я.2007, ВНИИАЭС, Москва.

Ї0. Апресов А.А. Модернизированная версия, программы. «КОНТУР-М» для. совместного нейтронно-физического и теплогидравлического расчета реакторов типа РБМК. Отчет. ИАЭ, инв. N 33/4Я4484, ЇЯ84.

ЇЇ. http://ru.wikipedia.org/wiki/Oшuбкa_первoгo_рoдa.