Выбор оптимального числа подсистем при реализации декомпозиционного управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 65.011.2

Н.В. Мокрова

ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ЧИСЛА ПОДСИСТЕМ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ДЕКОМПОЗИЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ

Приведены постановка и решение экстремальной задачи разбиения сложной многоэлементной системы на подсистемы. Для оценки эффективности декомпозиции введена функция затрат времени на решение задачи оптимального управления. Проведен вычислительный эксперимент, данные которого позволили сформулировать предложения по выбору оптимального варианта разбиения сложной системы.

Задача разбиения, иерархическое управление, многоэлементные системы, оптимальное количество подсистем, эффективность декомпозиции

N.V. Mokrova CHOICE OF OPTIMAL QUANTITY OF SUBSYSTEM AT REALIZATION OF DECOMPOSITION MANAGEMENT

The extreme problem of splitting of difficult multi-element system on subsystem is given statement and decision. Function of timing for the decision of an optimal control problem is entered for estimation the effectiveness of the decomposition. The computing experiment which data has allowed to formulate offers for choice an optimum variant of splitting of difficult system is made.

Splitting problem, hierarchical management, multi-element system, optimum quantity of subsystem, efficiency of decomposition

С развитием новых технологий, увеличением производственной мощности промышленных предприятий растут масштабы производственных комплексов. Для реализации эффективного управления сложными технологическими системами (СТС) необходимо создание структур иерархического управления. Многоуровневое управление становится менее продуктивным при возрастании уровня иерархии и количества подсистем из-за потери элементами самостоятельности. Изучение пространства состояний иерархической структуры составляет отдельную задачу, характеризующую сложность задач управления системами [1, 2].

Для управления СТС широко используются декомпозиционные методы, которые предполагают постановку и решение многовариантной задачи разбиения СТС на отдельные подсистемы, возникающую многократно на разных уровнях иерархии. Число возможных вариантов разбиения на подсистемы велико и различается по количеству подсистем на уровне а — ba и по структуре [3]. Комбинаторная задача оптимального разбиения состоит в поиске

допустимого варианта разбиения pка е P, для совокупности подсистем, при котором затраты I на реализацию системы управления полученной структурой минимальны

I (pка) ^ mm, pка е P. (1)

Задание не единственно возможного критерия (1), характеризующего качество разбиения сложной системы и эффективность реализуемой структуры, затруднено в явном виде. Задача разбиения системы размерности п на элементы с учётом всех факторов, включая технологические ограничения, является плохо выраженной и трудноразрешимой, что не позволяет типизировать её решение. На основе вычислительного эксперимента предложен метод приближённых оценок времени вычисления целевой функции, который подтверждает эффект декомпозиции и целесообразность использования иерархического управления в СТС. В рамках этого метода принята приближенная оценка времени решения глобальной задачи в двухуровневой структуре симплекс-методом при заданных параметрах вычислительной процедуры

Т

2 3

с0 + с1 s + С 2 5 + с3 s

Ь

+ (с 4 + 5 Е Т ,

(2)

I = 1

где Т - время решения для локальных задач; Ь - число подсистем; с^ - коэффициенты, характеризующие компьютер и метод решения; 5 - число связей между элементами системы.

При реализации метода явной декомпозиции размерность глобальной задачи определяется числом переменных связи между подсистемами СТС. Для линейной структуры без обратных связей принято 5 = п . Проведены исследования многоэлементной опытной системы, состоящей из последовательно соединенных однотипных элементов с учётом критерия оптимальности функции затрат (2). Получены зависимости изменения времени общего решения от числа подсистем для структур размерности п (рис. 1 а).

б

Рис. 1. Зависимость общего времени решения задачи от числа

подсистем

Рис. 2. Зависимость экстремального числа разбиений от размерности системы

а

У становлено, что общее число элементов и количество выделенных подсистем влияет на оценку времени решения задачи, не изменяя вид кривых. В случае, если количество выделяемых подсистем равно единице, происходит централизованное решение задачи управления СТС. С ростом числа подсистем затраты возрастают, а затем начинают уменьшаться. Это объясняется тем обстоятельством, что при малом числе выделенных подсистем локальные задачи имеют относительно высокую размерность и сложность, тогда как задача координации достаточно проста. С увеличением числа подсистем сложность и размерность локальных задач убывают, но возрастает сложность и размерность задачи координации. Минимальные затраты времени имеют место в случае сравнительной простоты локальных задач. Однако при этом размерность задачи координации максимальна и дальнейший её рост приводит к снижению эффекта декомпозиции.

Общее время решения задачи при решении на современных вычислительных машинах незначительно, но чрезмерное увеличение количества локальных задач ведет к трудностям при формировании и расчете глобального критерия. Оценочные расчеты позволили выработать рекомендации по выбору оптимального количества элементов в подсистемах. Вычислительные эксперименты по оценке времени решения тестовых задач управления показали:

- для систем, состоящих содержащих в своем составе 17-18 и менее элементов, существует разбиение, характеризующееся наименьшей эффективностью (максимальное значение на рис. 2);

- если сложная система имеет в своем составе более 17-18 элементов, любое разбиение эффективно (рис. 2).

Эффективность разбиения сложной системы, имеющей в своем составе большее количество элементов, можно охарактеризовать на примере рис. 1 б). Функциональные зависимости имеют продолжительный линейный участок убывания времени, затрачиваемого на решение задачи управления, при увеличении количества подсистем, после которого следует значительное снижение временных затрат, установлено пороговое значение для выбора оптимального разбиения

Ь ~ 0,75п. (3)

Наибольшую эффективность имеет количество подсистем, равное числу элементов сложной системы, с условием возможности координации решения локальных задач. Получены зависимости, подтверждающие интуитивные представления об эффекте декомпозиции и целесообразности использования иерархического управления СТС. Возникает вывод, что эффективность декомпозиции тем выше, чем больше элементов в СТС. С увеличением числа элементов возрастает показатель оптимального числа подсистем. При этом затраты на управление всей системой неизбежно возрастают. Увеличение размерности каждой подсистемы ведёт к росту затрат времени решения задачи управления, при этом функция времени имеет экстремум при определённом количестве подсистем. В области экстремума изменение времени, как правило, незначительное, в определённый момент при (3) наступает эффект снижения общего времени решения задачи, что наряду с полученным выше при анализе тестовых систем, содержащих большое количество элементов, выражением (3) демонстрирует эффект декомпозиции.

Подобные зависимости получены и для случая, когда в структуре СТС учтены обратные связи. Исследовано влияние количества обратных связей и числа подсистем на общие затраты, связанные с декомпозиционным решением задачи управления сложной системой. Полученные результаты свидетельствуют о том, что усложнение задачи координации за счет учёта обратных связей приводит к возрастанию трудоёмкости решения задачи управления СТС, с увеличением числа подсистем влияние локальных задач на общую сложность задачи управления СТС возрастает. В то же время сформулированные выше рекомендации по разделению управляющих функций между подсистемами имеют место.

Сформулируем основные выводы, полученные в ходе исследований. Декомпозиция с любым количеством подсистем эффективна при наличии в системе более 17 элементов и позволяет получить наилучшие результаты, начиная с отношения количества подсистем к количеству элементов Ь ~ 0,75п, что является основой обоснования рациональных и эффективных способов разбиения сложных объектов на подсистемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Воронин А. А. Оптимальные иерархические структуры / А. А. Воронин, С.П. Мишин. М.: ИПУ РАН, 2003. 214 с.

2. Рожихин П.В. Оценка мощности пространства состояний иерархической структуры / П.В. Рожихин // Управление большими системами: сб. тр. Вып. 11/ Под общ. ред. Д. А. Новикова. М.: ИПУ РАН, 2005. 126 с.

3. Артамонов А.Г. Математическое моделирование и оптимизация плазмохимических процессов / А.Г. Артамонов, В.М. Володин, В.Г.Авдеев. М.: Химия, 1989. 224 с.

Мокрова Наталия Владиславовна -

кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики Московского государственного университета инженерной экологии

Статья поступила в редакцию 25.09.09, принята к опубликованию 25.11.09