Выбор и настройка автоматических регуляторов в системах теплоснабжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Инженерное оборудование зданий и сооружений

УДК 669.046: 658.52.011.56

ВЫБОР И НАСТРОЙКА АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ В СИСТЕМАХ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ

В. И. Панферов

Рассматривается задача параметрического и структурного синтеза регуляторов. Для типовых объектов управления теплоснабжающих систем приводятся структуры и параметры настройки оптимальных регуляторов. Анализируется проблема устойчивости систем автоматического регулирования.

В литературе известно множество различных способов синтеза систем автоматического регулирования (САР). При этом для расчета САР тепловых процессов наибольшее распространение получили методы работ [1, 2], в которых рекомендуется, в частности, использовать наиболее простой по закону регулятор, обеспечивающий на данном объекте необходимое качество переходного процесса. В то время, когда появилась работа [1], требование простоты было равносильно требованию надежности системы автоматического регулирования, так как регуляторы реализовывались аппаратно. Однако в современных условиях это требование не является определяющим, поскольку утрачена прямая связь закона регулирования с физической структурой регулятора, а, следовательно, и с его надежностью. В настоящее время регуляторы обычно представляют собой виртуальные регулирующие приборы (вследствие реализации их программным способом). Кроме того, наиболее простой регулятор, обеспечивающий заданное качество регулирования, может быть далеко не оптимальным. Дело в том, что требования к качеству переходного процесса, как правило, формулируются в виде максимально допустимых (а не оптимальных) значений некоторых показателей. Вместе с тем, интересно было бы знать, какой регулятор является идеальным или близким к идеальному для данного объекта. При этом будет замечательно, если для ответа на поставленный вопрос удастся привлечь ясные и хорошо понятные соображения и математические выкладки, поскольку приводимые в литературе рекомендации по выбору типа регулятора и его настроек базируются прежде всего на результатах многочисленных вычислительных и натурных экспериментов, а также и на опыте промышленной эксплуатации САР. Как отмечал в свое время академик Воронов А.А., большинство методов синтеза САР являются

«...эмпирическими, не имеющими строгого математического обоснования, но проверенными большим количеством расчетов и опытом построения практических систем» [3, с. 220]. В данной работе рассматривается, на наш взгляд, одно из интересных в указанном смысле решений задачи синтеза.

Очевидно, что идеальной передаточной функцией замкнутой системы по задающему воздействию является передаточная функция вида 1¥эс (/?)=1 [4]. В этом случае САР абсолютно точно отрабатывает задание, а также полностью исключает влияние возмущений на процесс управления [5]. Однако, как это достаточно хорошо известно научной общественности, добиться такой передаточной функции совершенно невозможно. Поэтому есть смысл попытаться за счет выбора регулятора получить такую передаточную функцию замкнутой системы, которая в определенной мере будет близка к идеальной. Нетрудно видеть, что при малом значении параметра в следующие

передаточные функции близки к 1: —-—, е~вр,

вр+1

причем при в->0 предел этих передаточных функций будет точно равен 1. Кроме того

—-—«ё~вр , т.е. данные передаточные функции вр+1

приближенно равноценны. Здесь р - оператор преобразования Лапласа. Отметим также, что по данным работы [5] система с передаточной функцией

—-— является оптимальной по робастности и вр+1

точности.

Если известна передаточная функция замкнутой САР по заданию РГЗС (р) , то передаточная

функция регулятора Жр ( р) находится по формуле:

Инженерное оборудование зданий и сооружений

(р)=-

>зс (р)

(1)

>06 Ы^-^зс (/>)]’ где (р)~ передаточная функция объекта.

Динамические свойства большинства объектов в системах теплоснабжения описываются следующими передаточными функциями:

1

о~хР

к.

об

-г р

'об

-X р

ТобР

Тобр+1 а^р +а^р+1

где коб, То5, г - соответственно коэффициент передачи, постоянная времени и время запаздывания объекта; аьа2 - коэффициенты дифференциального уравнения объекта. Если для объектов данного

типа Ш., ( о) выбрать в виде —-—, то в соответ-4 ' вр+1

ствии с формулой (1) будут получаться физически нереализуемые структуры регуляторов из-за наличия в числителе (р) сомножителя вида етр .

Поэтому будем сначала считать, что 1¥зс (р)=е~тр , т.е. будем считать, что в=т. Такой выбор использовался и в работе [6, с. 81], однако в этой работе решалась несколько иная и частная задача. Кроме того, при вычислениях по формуле (1) будем

иметь в виду, что е~тр »1—гр. Тогда для объекта

т

первого типа получим, что Т¥ (р)=~^, т.е. близ-

н т

ким к идеальному является П-регулятор с коэффи-Т

циентом передачи к = . Для объекта второго

типа

>р(р)=

Таб

к,обг

1+-

1

То5 Р

т.е. квазиоптималь-

ным является ПИ-регулятор с коэффициентом пе-

т

редачи к„ = и временем интегрирования

Кб*

-Тоб ■ Если рассмотреть объект третьего типа, то искомая передаточная функция регулятора бу-

«1

дет равна ї¥р(р)=

коб*

1 1 1 +--------+ — р

а\Р ах

. Таким об-

разом, в данном случае близким к идеальному является ПИД-регулятор с коэффициентом передачи

*1

к*=к Л,

временем интегрирования Гин = ах

об

временем дифференцирования 71 =— .

Примечательно то, что полученные настройки достаточно близки к рекомендациям работ [1, 2]. Для объекта второго типа полученные настройки ПИ-регулятора полностью совпадают с настройками работы [2] для переходного процесса с минимальной квадратичной площадью отклонения от идеального результата. Для объекта первого типа

настройка П-регулятора для апериодического переходного процесса и переходного процесса с 20 % перерегулированием в работе [2] отличается от полученной только на постоянный множитель. Для переходного процесса с минимальной квадратичной площадью отклонения настройка П-регулятора в работе [2] отсутствует, причем никаких разъяснений на этот счет не приводится. Для объекта третьего типа в работах [1, 2] вообще нет никаких рекомендаций.

Подчеркнем, однако, что настройки работ [1,2] определялись с помощью моделирования и по работе на промышленных объектах и являются достаточно проверенными практикой. Вместе с тем, в работах [1, 2] не указывается, как была найдена структура приводимых формул для настройки.

Далее, учитывая данные работы [5], будем считать теперь близкой к идеальной передаточную

функцию вида Щзс(р)=—-—е~тр, где в -доста-вр+1

точно малая постоянная времени. В результате для

объекта первого типа получим, что IV (р)=

Трб

т+9

т.е. близким к идеальному также является П-регулятор, только его коэффициент передачи будет

Т

иметь несколько меньшее значение = ——. Для

9 т+в

объекта второго типа квазиоптимальным также будет ПИ-регулятор, только его передаточная функция бу-

дет иметь вид РГр (р)=

об

*об(т + 0)

1+-

1

Гоб Р

. Переда-

точная функция регулятора для объекта третьего типа

1

будет такой Шр (р)=

*об(Т + 60

1+-

^2 -+-2-Р ахр ах

Та-

ким образом, введение инерционного звена первого порядка в передаточную функцию замкнутой САР во всех случаях привело только к уменьшению коэффициента передачи регуляторов, структуры квазиоптимальных регуляторов при этом не изменились, как не изменились и настройки их интегрирующей и дифференцирующей частей. В принципе такой результат и следовало бы ожидать, так как, как это уже отмечалось выше, передаточные функции —-— и е~вр приближенно экви-вр+1

валентны, поэтому соответствующий параметр в настройках регуляторов просто увеличивается.

Следует отметить, что данный подход к решению задачи синтеза (посредством предварительного выбора передаточной функции замкнутой системы) вообще-то известен уже давно. По-видимому, впервые в отечественной литературе идея этого метода достаточно ясно изложена в работе [1, с. 7-8]. Многие методы синтеза САР, в частности, и методы [4] по существу основаны на предварительном выборе желаемой передаточной

Панферов В.И.

Выбор ы настройка автоматических регуляторов __________ ; . в системах теплоснабжения

функции замкнутой системы. В известной мере этот подход используется даже при выборе желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы [7, 8]. Обсуждаются и используются такие подходы и в настоящее время [5, 9]. Однако непосредственно этот метод в литературе практически не рассматривается, во всяком случае, автору неизвестны работы конкретно с вышеизложенной постановкой и решением задачи синтеза. Вместе с тем, метод достаточно прост и отличается предельной ясностью. Очень важно, что метод приводит к явному формульному решению задачи, дает однозначный ответ на вопрос: какой регулятор следует применить на данном объекте и каковы должны быть его параметры настройки. Последнее замечание достаточно значимо, по крайней мере, в учебных целях, т.к. в литературе по существу нет формализованных процедур, позволяющих однозначно решать задачу синтеза регуляторов. Так, например, в [1, с. 85], в частности, отмечается, что каждый из типовых переходных процессов «...может быть обеспечен любым регулятором непрерывного действия». При этом в работах [1, 2] для любого типового переходного процесса предлагаются настройки любого из типовых регуляторов. Если учесть, что требование простоты закона регулирования в настоящее время уже не является существенным, то следует признать неоднозначность рекомендаций работ [1, 2] по выбору структуры регуляторов в современных условиях. Определенная неоднозначность прослеживается также и в известных процедурах параметрической настройки уже выбранного каким-то образом закона регулирования. Здесь достаточно упомянуть о показателе колебательности М, ведь в работе [8] требуется, чтобы он не превышал значения, равного двум, а в работе [10, с. 59-60] вообще утверждается, что «...обоснованные рекомендации по выбору М устанавливают на основании опыта эксплуатации каждого класса систем», т.е. уже после проектирования и внедрения САР. Таким образом, рассмотренный метод, на наш взгляд, незаслуженно обделен вниманием. Отметим также, что в результате применения метода получаются структурно устойчивые и астатические САР.

Нетрудно видеть, что во всех рассмотренных случаях передаточная функция разомкнутой системы (р) получается одинаковой и равной е-гр

РРрс (р) = — -—, поэтому передаточная функция

/ ч ехр

замкнутой САР будет равна (р) =---------------—.

(в+т)р+е гр

Отсюда следует, что дифференциальное уравнение замкнутой САР будет иметь вид:

где х - выходная (регулируемая) величина объекта; и - заданное значение регулируемой величины.

Решая уравнение (2) для единичного ступенчатого воздействия, найдем переходную функцию замкнутой системы. На рис. 1 приведены переходные функции САР для т=5 с и различных значений параметра в \ доя кривой 1 6=0 с; для кривой 2 0=3 с; для кривой 3 в=5 с; для кривой 4 0=8 с .

(2)

Рис. 1. Переходные функции САР

Как видно из рис. 1 во всех случаях САР устойчивая, причем с увеличением параметра в колебательность переходной функции уменьшается, переходный процесс все в большей степени приобретает апериодический характер (демпфирован-ность САР возрастает), причем при х-»1,

т.е. САР астатическая. При этом очевидно, что во многих случаях за счет выбора параметра в всегда можно добиться приемлемого качества процесса регулирования.

Используя критерий устойчивости Найквиста для систем с запаздыванием [7], нашли, что критическая частота со^ будет равна ®кр —> по_

этому условие устойчивости замкнутой САР в общем случае запишется так: г/(<9+г) < ж/2 . В нашем же случае всегда г/(#+т)< 1, поэтому рассматриваемая САР устойчива.

Справедливости ради, отметим также следующий факт: найденная передаточная функция

е~хр

W3C(p) =-------------— близка по структуре с

(в+т)р+е тр

рекомендуемой в работе [11] передаточной функцией замкнутой САР, однако этот результат получен автором работы [11] совсем другим, достаточно сложным и не совсем «прозрачным» путем. В другой работе того же автора [12] приводится условие устойчивости систем с такими передаточными функциями, это условие применительно к нашему случаю полностью совпадает с вышеприведенным неравенством. В этой же работе [12] указывается, что если при этом 0<т/(в+т)<0,37, то переходный процесс в САР монотонный, если

0,37<г/(#+г)< п/2 - колебательный затухаю-

Инженерное оборудование зданий и сооружений

щий, при г/(0+г) > тг/2 переходный процесс

колебательный расходящийся. Численное моделирование показало также, что область монотонных переходных процессов, выделяемая автором работы [12] неравенством 0<г/(#+т)<0,37, подтверждается, однако только приближенно.

Следует заметить, что представление динамических свойств реальных объектов управления теплоснабжающих систем приведенными передаточными функциями, как известно, является достаточно приближенным. Неоптимальными могут быть как структура математической модели объекта, так и численные значения ее параметров. Поэтому качество переходных процессов в реальных системах с регуляторами, алгоритмические структуры и настройки которых выбирались вышеизложенным способом, может отличаться от ожидаемого и весь вопрос состоит в том, насколько в каждом конкретном случае будет допустимым это отличие. Сконструированная САР, в частности, может и не удовлетворять такому требованию как робастность. Поэтому приемлемость для практики рассмотренного способа синтеза САР требует достаточно тщательной проверки. Вместе с тем нельзя не упомянуть, что уже частичное одобрение и применение способа можно усмотреть в работах [1, 2], а также в работах [6, И, 13] и других. В данной же работе ограничимся исследованием того, как точность определения времени запаздывания объекта сказывается на свойствах системы. Выполненные расчеты показали, что если параметры объекта определены точно, то при 0=0 с перерегулирование а=49%. Если же параметры объекта определены неточно, причем если время запаздывания модели гмод меньше времени запаздывания, имеющего место на реальном объекте, тоб то перерегулирование возрастает. Так, например, если тмод = 4с, а то6 = 5с, то а=12%. САР в такой ситуации, когда из-за погрешности параметрической идентификации получилось, что гмод <тоб ,

может и потерять устойчивость. В самом деле, если структура математической модели объекта и все ее параметры, кроме времени запаздывания, определены достаточно точно, то во всех рассмотренных случаях передаточная функция разомкнутой системы получается одинаковой и равной

. . expf-Tng/?)

Жж(р) =7— -----------г , поэтому САР будет устой-

(0 + *мод )Р

чива лишь при удовлетворении следующего неравенства: гоб /(0 + тмод)<^/2-

Влияние тмод >гоб аналогично увеличению параметра 0, т.е. демпфированность САР возрастает.

Как показал анализ литературных источников, часть вышеприведенных результатов можно найти и в работе [14]. Однако подход работы [14] излишне

усложнен: задача решается методом эвристического конструирования алгоритмической структуры идеальной САР, при этом используются структуры регулятора Ресвика и предиктора Смита. Кроме того, найденная таким образом структура идеального регулятора, как отмечает сам автор [см. 14, с. 240], имеет ряд недостатков. Предложенная процедура решения задачи, на наш взгляд, заметно проще, причем на всех этапах решения получаются структурно устойчивые регуляторы и системы.

Литература

1. Копелович А.П. Инженерные методы расчета при выборе автоматических регуляторов. — М.: Металлургиздат, 1960. -190 с.

2. Проектирование систем контроля и автоматического регулирования металлургических процессов/ Г.М. Глинков, В. А. Маковский, С.Л. Лотман, М.Р. Шапировский; Под ред. Г.М. Глинкова. — М.: Металлургия, 1986. - 352 с.

3. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. - М.: Энергия, 1980.-312 с.

4. Фрер Ф., Орттенбургер Ф. Введение в электронную технику регулирования. Пер. с нем. -М.: Энергия, 1973. —190 с.

5. Мань Н.В. Оптимальный синтез робастной каскадной автоматической системы управления// Теплоэнергетика. - 2000. —№ 9. -С. 22—28.

6. Ялышев А. У., Разоренов О.И. Многофункциональные аналоговые регулирующие устройства автоматики. — М.: Машиностроение, 1981. — 400 с.

7. Теория автоматического управления. Ч. 1. Теория линейных систем автоматического управления/ Под ред. А. А. Воронова. - М.: Высш. школа, 1977.-304 с.

8. Теорш автоматического управления/ Под ред. А.В. Нетушша: Учебник для вузов. Изд. 2-е, доп. и перераб. - М.: Высш. школа, 1976. - 400 с.

9. Гончаров В.И., Лиепиньш А.В., Рудницкий В.А. Синтез робастных регуляторов низкого порядка// Изв. РАН. Теорш и системы управления. — 2001.-№ 4.- С. 36-43.

10. Кулаков Г.Т. Инженерные экспресс-методы расчета промышленных систем регулирования: Справ, пособие. - Минск: Вышэйшая школа, 1984. -192 с.

11. Сметана А.З. Методика расчета параметров настройки систем автоматического регулирования теплоэнергетических процессов// Теплоэнергетика. - 2002. -№ 10.- С. 40-45.

12. Сметана А.З. Методика определения передаточной функции линейного динамического объекта по его переходной характеристике// Изв. РАН. Энергетика. -1998. -№2.-С. 142-155.

13. Скаржепа В.А., Шелехов КВ., Герасимов А. С. Тиристорные цифровые регуляторы температуры. — Киев: Техника, 1979. —144 с.

14. Лукас В.А. Теория автоматического управлент. - М.: Недра, 1990. - 416 с.