Выбор и использование объемов аккумулирующих емкостей сжатого воздуха Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦМИ

Том ХХИ 1991 N4

УДК 533.6.071.1

ВЫБОР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБЪЕМОВ АККУМУЛИРУЮЩИХ ЕМКОСТЕЙ СЖАТОГО ВОЗДУХА

В. П. Кулеш

Рассмотрены варнанты возможной реалнзацни аэродинамического эксперимента, состоящего из произвольного числа режимов работы аэродинамических установок с секундным потреблением воздуха, значительно превышающим производительность одновременно работающих компрессоров и требующих предварительиого аккумулирования воздуха в газгольдерных емкостях. Показано и обосновано наличие при заданном объеме газгольдерных V единственной стратегии организации эксперимента, обеспечивающей минимальио возможные энергетические затраты при одновременно минимальном временн его проведения.

Получены зависимости времени т и энергетических затрат Е, необходимых для осуществления эксперимента, от объема газгольдерных. Показано наличие для заданных начальных условий оптимальных объемов емкостей V, и VE (V, =1= V£), обеспечивающих проведение конкретного эксперимеита соответственно за минимальное время или с минимальными энергетическими затратами. Рассмотрены необходимые и достаточные условия этих минимумов.

На начальном этапе проектирования системы воздухоснабжения экспериментальной базы аэродинамических установок и при последующей ее эксплуатации важным является выбор источников сжатого воздуха, к которым относятся компрессоры и газгольдерные емкости. При этом исходной является информация об экспериментах — совокупностях режимов работы потребителей. Каждый режим отдельного потребителя характеризуется такими параметрами, как массовый секундный расход воздуха С, продолжительность т, предельно допустимое минимальное давление воздуха у модели ртт"

В силу характера аэродинамических исследований определяющую роль на облик системы воздухоснабжения оказывают эксперименты, осуществляемые в аэродинамических трубах периодического действии с большими секундными расходами воздуха, зачительно (в десятки раз) превышающими реально возможную суммарную производительность компрессорных станций, в связи с чем возникает необходимость в предварительном аккумулировании сжатого воздуха в газгольдерных емкостях. И если тип компрессоров и их количество с достаточной степенью точности могут быть определены простым арифметическим расчетом на основании известных полного набора совокупностей режимов и минимально необходимого календарного времени их проведения, а значит, и среднесуточного потребления воздуха, при известном дискретном ряде средних производительностей компрессоров, то выбор необходимых объемов газгольдерных емкостей представляет более сложную задачу. Кроме того, для уже существующих систем воздухоснабжения важную роль играет организация их рациональной эксплуатации, одним из необходимых условий

которой является прежде всего обоснованное секционирование полного объема газгольдерной и правильный выбор необходимого сочетания секций газгольдеров при проведении текущих экспериментов.

1. Так как производительность компрессоров и удельные затраты электроэнергии на выработку 1 кг сжатого воздуха зависят от давления в емкостях, то пренебрегая коммуникационными связями между емкостями, компрессорными станциями и потребителями, и в предположении отсутствия ограничений по давлению в емкостях, вопросы выбора объемов емкостей и организации их эксплуатации могут быть сведены к решению следующей задачи для системы «компрессор — газгольдер — потребитель», где под «компрессором» будем подразумевать обобщенный компрессор с характеристиками, являющимися суммарными для всех работающих компрессоров, под «газгольдером»— газгольдер с объемом, равным суммарному объему всех газгольдеров, под «потребителем»— единственный потребитель с режимами, соответствующими режимам всех возможных потребителей.

Задача. Необходимо проведение эксперимента из п режимов. Каждый г-й режим (ё = 1, ...., п) характеризуется заданной продолжительностью т,-, секундным расходом воздуха С; и предельно допустимым минимальным давлением воздуха на входе р тп Все режимы выполняются последовательно в порядке возрастания г без отключения компрессора, являющегося источником сжатого воздуха с производительностью С(р) кг/с и удельными затратами электроэнергии на выработку 1 кг воздуха Н(р) кВт-ч/кг, причем С(р) ^ G,■; р — давление воздуха в газгольдере, аккумулирующем воздух. Начальное давление- в газгольдере р0, температура воздуха, неизменная в процессе проведения эксперимента,— Т, газовая постоянная — R. Определить необходимый объем газгольдера V при условии обеспечения:

1) минимального времени проведения эксперимента ТтП

2) минимальных затрат электроэнергии £тт на эксперимент;

3) моделирование изменения состояния системы в поцессе проведения эксперимента по времени.

Характеристики 0(р) и Н(р, полученные экспериментальным путем для одного из реально действующих компрессоров, представлены на рис. 1, откуда очевидно

^<0. О.

<1р < '

2. Рассмотрим два из возможных вариантов реализации некоторого эксперимента из двух режимов (рис. 2).

Оба режима характеризуются соответственно параметрами С, ті, рі тп и Сг, "{2, р2 тт" В первом случае (рис. 2, а) первый режим осуществляется по мере достижения давления в газгольдере рп, обеспечивающего завершение

р

р*

?г*~Ргт1.

а)

о уг с

Л»'

Рис. 2

режима при предельно допустимом давлении р 12 = Р\ min" Затем осуществляется закачка газгольдера до давления р2\, обеспечивающего завершение второго режима при заданном предельном давлении р2 тп Здесь и в дальнейшем, как и подразумевается условиями задачи, будем рассматривать такие эксперименты, для которых р,| > Р1-1.2, г = 1, .... п (ро2 = Ро), т. е. когда возможна «пила режимов», как на рис. 2, а.

Во втором случае (рис. 2,6) первый и второй режимы осуществляются непрерывно с момента времени ь когда давление в газгольдере достигает значения р{ При этом, как и в первом случае, эксперимент завершается при давлении Р22 = Р22 = Р2 тП

По известной формуле давление газа р в емкости объема V выражается

как

где М — масса газа в емкости, Т — температура газа, Я — газовая постоянная.

Обозначив изменение массы газа в емкости в единицу времени й^(р)=

Тогда

ёр АТ <Ш_

с1т У с1т

(1)

или

(2)

Потребляемая компрессором электрическая мощность

е(р) = Н(р) • С(р).

Тогда дифференциал потребляемой энергии Е с учетом (2):

(3)

Сравним суммарные. затраты электроэнергии на эксперимент для обоих вариантов. Для первого варианта в соответствии с (3) приращения энергии Е по участкам равны: :

Р22 Р2\

- -Е - 1 -22 Е2!

Е22 — Е21— $ Н(р-) —ЪГdp ' ^21 Е12 — + ^ Н(р^р.

. Р21 Р|2

Б,2-Ем — +'(■ -§РР* ' Е"—

Р|1 Ро

Суммируя левые и правые части ■ равенств и выполнив некоторые преобразования, получим:

(4)

г2 г12 «(Р)О, , г22 Н(Р)С2

гЕ22 = ^ Н{р)(1р + ^ С(р)-0, Р 5 "С(рН07 р'

Ро РИ р21

Для второго случая (рис. 2, 6) аналогичным образом получим:

Р22 Р|2 Р22

^22 — ^ Н(Р^Р + 5 0{р)-0, Лр + 5 ОрУ-Ъ; (5)

Ро ■ р'| | Р*>|

Р22 Р22

1'2 — 1'22 — 1'2—-7 5 о2 — 1:22 — 1:2| — тЦ с(р)-О2 ' (6)

Р21 Р21

или с учетом однозначности подынтегральной функции, а также того,

что 022 — Р22, имеем 021 — р21.

Таким образом, вычитая (4) из (5), получим:

Р12 Р|2.

Н(р)а,^ Р Н(р)с,

'22,/ '

Л/7 (* Р А_Г "Р)Ъ'^ С Нр)°1

гЛ£—,г(£22, Е22) ^ 0(р)_0^р ^ Ъ(р)_Ъ,^р.

р'п Р22

Из таких же соображений, как и (6), имеем:

Р'2 Р'2

Г ___ЁР____= С _______ЁР---- (7)

) 0(р)-с, 3 0(р)-с, ' ( '

р1| ри

а так как р,, < р", то и р^ < р12" Допустив, к примеру, противное р12 >Р|2- имели бы (обозначив ■ Др) — (О(р) — 0|)-1)

Р|2 Рц Р|2 Р|2 Р|2

^ f(p)dp — ^ Др^р + ( f(P)dp + ( f(p)dp < ( f(P)dp , (8)

Р|| Р|1 р'|| Р|2 Р|| ,

PH

так как при знакоотрицательной подынтегральной функции ^ f(p)dp +

рц

р'12

+ \ f(P)dp < О. То есть соотношение (8) противоречило бы выражению р"||

(7), а значит предположение ри > р’)2 неверно.

Р|2 < Р\2 < PH < Р\\- (9)

Тогда

Р|2 Р|2 Р|| Р|2 Р12 Р|2

Н(р)<Р Р|2 С рн Жр)«Р _г

0(р)-0, 3 о(р)-о, 3

Р|| р"

Р|| р

_ Г Я(р)<Р Г Я(р)а!р

3 а, -О(р) 3 С,-С(р)

рн Р|2

При (01 0(р)) 1 >0 и непрерывной функции Н(р) на рассматриваемом

интервале изменения р в соответствии с теоремой о среднем, имеем:

РII Р;2

*• с, _^,(р) #(^ 0) _ра {р),

Р|1 Р|2

где р :: || :: р, 1 , Р12 :: £2 :: Р12, или в предположении (9) |1 > £2, а следовательно, #(£0 > #(£2).

Аналогичной заменой интервалов интегрирования из соотношения (7) получим:

Рн Р|2

С аР -- С ^

3 0(р)-0, 3 С(Я)-0, •

Р|1 Р|2

Тогда

*.гД£=[Н(Е,)-Н(|,)1| (1О)

Р||

Если бы вместо (9) имели Р|2 < Р" :: Р12 < рп, то утверждение (10) достигалось бы более очевидным °браз°м:

*'*4=? -гт^Н тг^Ч^Ь^уГр (11)

р'|2 Р'2 Р|2

где р{2:: £:: р,|, Р12:: £2:: Р" и, следовательно, £, >£2, а значит\ и #(£,) > Н(Ы-

Таким образом, первый вариант более предпочтителен в сравнении со вторым вариантом с точки зрения затрат электроэнергии на выработку необходимого количества воздуха. Мерой количественной оценки разности этих затрат могут служить соотношения (10) и (11).

Аналогичным образом может быть показано, что и время реализации эксперимента по первому варианту меньше в сравнении со временем реализации по второму варианту, причем

гДт = Ым0(рп — Р12) — ЫМ'НРн — Р12) > 0,

где

:Лт = т22 — т22, /г(р) = “оТрГ’ Р‘2< М’/<Р'и* Р12<М'<Рп-

Таким образом, первый вариант организации эксперимента предпочтительнее в сравнении со вторым вариантом, так как характеризуется меньшими затратами электроэнергии и осуществляется в течение меньшего промежутка времени, и справедливо утверждение, что все эксперименты, состоящие из последовательности режимов работы потребителей периодического действия, характеризующихся высоким уровнем потребления воздуха, значительно' превышающим производительность компрессорных станций, должны организовываться в соответствии с «пилой режимов», каждая впадина между зубьями которой соответствует предельно допустимому минимальному давлению некоторого режима в момент его завершения.

3. Рассмотрим один «зуб» «пилы режимов», соответствующий реализации 1-го из режимов эксперимента (рис. 3).

Рис. 3

Отдельный режим имеет две стадии. Первая стадия, назовем ее стадией наполнения, заключается в повышении давления воздуха в емкости от исходного давления ра т,-1

хода,— когда включается потребитель с расходом Сь

заданный промежуток времени '1" достигалось заданное давление р,2

Таким образом, известными являются: рц

сора О(р), расход воздуха через потребитель Сь

начальный момент времени тц

рительно определив р 1

давления р('1") для любого произвольного момента времени '1", т,

I = 1, ..., п.

Из выражения (2)

Рц

с...?*?,.

т- г) 0(р)-С,-

Рц

То есть Р

«р< -». (,2>

Ра

Очевидно, что функция Д.рп ,

независимой переменной р

вании интеграла по верхнему пределу и с учетом того, что С,-получаем:

Для приближенного определения интервала [рь Р2], на котором функция (12) меняет знак, положим {(р,) > 0, ((р2) <0 или, обозначив а = = —, согласно (12) имеем:

а >5 Gl -С(р) < (Р| Ра) О - вт.х (р) •

Р2

а < ^ а, - с (р) >(р2 Рй) о, - втЖ (р) ’

Р/2

откуда

Р1 Ре + а( G^ — Отах(р)), р2 ^ р;2 + а( О,- — GПlh1(Р)).

Таким образом, решение (12) существует и единственно. Найдя р,ь можно определить и

Р/1

Др

О(р) ’

Рг—1.2

а затем найти и р(х) для любого момента времени т(т|_,.2<т<т/2) , что

достигается решением нелинейных уравнений, получаемых, как и решение

(12), из выражения (2) (см. рис. 3):

Р|

/(р) = Дт,г — ^ -Щр)=0' т,_1.2<т<т,|,

Р|—1.2 Рц

/(р1^ = Ати2 \ а( р) — й. = 0, Т/1<Т<Т1'2-

Рл

Определение остальных «зубьев» «пилы режимов» выполняется аналогично.

Чтобы показать существование объема, обеспечивающего минимальное время выполнения эксперимента, предварительно рассмотрим эксперимент из одного »'-го режима (см. рис. 3).

На основании выражения (2) имеем:

т°' = + ( ~0{р)=~ЯТ - ~0{р)' (13)

Р—1.2 Р—1.2

Р/1 Р/1

т.:=—С ______Ё£!__=-------_________£?£!__ (14)

т‘ г) в—в(^) НТ) G(p)-G| • (14)

Р/2 Р|2

Так как суммарное время выполнения данного эксперимента т2 = т№ + т1, а т,- = со^, то в случае существования, т1; min соответствует т0; тп Необходимым же условием минимума функции т0ДУ) является условие -Д-ф“=0.

НС*

В частном случае -др- =0 или G(p) = c = const. Тогда (13) и (14) примут вид:

АТ с — С,

Из соотношения (16) следует:

т°‘ — ~ІГг~^п Р/-1.2) • 05)

" = Т5Т Т—Г (Р/2-Р/.) . С16)

с — О.

У = Т,.ЯТ ■ '

Р/2 Р/1

Поэтому вопрос определения Ут; соответствующего V ("2тЖ)> сводится К определению ра, соответствующего ут^ Из соотношения (18)

т

рп = Р/2 - -V- (с - О,.)

\ I Р/2 Р/-І.2 с С,

о,-) — Р,_, 2 I =---------------------—---------------Т,---------------

и после подстановки в (15) получим

"о/ = -^ТГ-[ Р/2 — -V #Т(с- °<) А-1.2] = Л7.с

^т0| Р/2 Р| — 1,2

<*У — ЯГс •

Возможны случаи:

1) Р/2 < Р/-1.2. 7-<0' Т0/тт соответствует Утах, Рц (т0/ „ш) == Р/1 ш<п 1

Д Ти т, (С, — с)

2) Р/2 = Р/-1.2, Т = 0, "О, "= соп^ "= -----------с-----;

Т Л7 . ч ..

Р/1 = Р/2------т (с — О; ) , Р/ I min соответствует Утах ;

3) Р/2> Р/-1.2, >0, То/т1п соответствует Кт(п;

Р/1 ("о / тт) соответствует р, ^ • лучай, с(

режимов:.) согласно (13) имеем:

При .< О (случай, соответствующий рассмотренной выше «пиле

от^-Л-.( *Р і У <<й| (17)

4У ЗУ Зрм <*У ) С(Р) ^ в(Й1) (IV ■ ( )

'/-1.2

Но из (14)

Р/1

Р/2

тоесть

Р/1

^Р/. _ 0,-0(р„)г др ,)8)

) С,.-С(р) ( )

<*У У

и после подстановки в (17), а затем, удовлетворяя необходимому условию минимума -5^"= получаем нелинеиное уравнение

<М=\ <|9>

Р1-1.2 Р12

Чтобы оценить возможность единственного действительного решения (19), найдем производную

Рп

л "

<*Рп

' Рп

0(р„)+('ёйт 1)\ 0(р)-о,+(о(ра) 0 с(р„)-(

р,|

аа(Рп) Г <*р

.... -5

Тогда, с учетом (18),

^(Рл) аРч 3 °(р)—

р,'2

о,. 01.-0(р,.,)Гг' гір "I

0*Ы У | з 0;-°Р) |

- - , .-РіІ

_ V ар‘*

(IV ёр (IV

Так как --(р) < О, то при piI> р,-2, Gi> G(р) имеем > О, т. е. функция (19) возрастающая и может иметь единственный действительный корень Рп, при тах(р^|.2, р,^) < Рп <Рта*> где ртах — предельно допустимое давление в емкости (ограничение).

Определив Рп, из (16) легко получить Ух, соответствующее То; тш" V, = - ЯТт\

г —*р—1

І з 0(р)-0(

Для эксперимента, содержащего п режимов, суммарное время реализации

Т}; (У) = I (То; + т) = I То; + 1= Т; (20)

|‘=1 i= 1

или,обозначив

п п

I т«=т=-кТтад- IТ=Т-=соп%'’

1=1 i=l

запишем

Т}; = Т + Те.

Как и в случае эксперимента, состоящего из одного режима, определение Vг для П режимов сводится к решению нелинейного уравнении, получаемого из условия dт/dУ = О.

6з

При этом вместо (17) будем иметь:

п

д} Др.!

. .. М

;=1 ‘

^+1^т\А=°- (21>

‘=1 Р/-1.2 1=1 Ра

Чтобы оценить характер возможного решения (21), рассмотрим производную

Рл 2

ёР

ЛУ

V дР Мі гі0(йі) ГС 1 °1 — °(Рп) (22)

_^ 9ри М “А о*(й,) йрц 3 а(р) — а V • ( ;

Так как по условию —~^р ~ < О> О; > 0(рп) , то > 0 при любом V, а значит, функция ^ — монотонно возрастающая. Но поскольку соответствует а Т„£— , а, значит, и ----2-> О, то, следовательно, решение (21)

У. удовлетворяет второму условию достаточности минимума функции Т1;(У), т. е. имеет место такое Ут , при котором

Т1;(У,) = тш Т1;(У) = тт;п.

На основании (14) численное решение (21) можно упростить. Так, из (14)

р.1 Р|I

С __________=—^ _________^____ (23)

3 а(р)-а,. т, 3 а(р)-а, *

Р;2 Р|2

т. е. после подстановки в (21) имеем:

“ X 5' ~т+т!' -5<^г[ I Ч4т -')] <24)

‘=1 Р,—1,2 Р12 1-1=1 -■

Таким образом, объем У*, обеспечивающий минимальное время проведения эксперимента, существует и может быть определен численным решением (24). При этом алгоритм вычисления функции Р( V) содержит следующие элементы:

1) определение для заданного объема V значений рн, i = 1, . . . , п;

2) получение численным интегрированием интегралов

рц Р/1

С ______*Р_______ С _*£_ / = 1 п

3 G(^^) — G| ' 3 О(р)’ 1 1 ’•••’ ’

Р|2 Р/-1.2

3) по мере изменения индекса і последовательное суммирование в соответствии с (24).

Рассмотрим энергетические затраты, необходимые для проведения эксперимента, и покажем наличие объема, минимизирующего эти затраты.

Согласно соотношению (3) дифференциалы потребляемой компрессором энергии на стадии наполнения (см. рис. 3) гі£оі и на стадии расхода гі£,-. для і-го режима" можно записать в следующем виде:

«£„, --:-H(p)dp, ІЕ, - •§$-§■ір.

т. е. общая энергия £(.у', потребляемая на і-м режиме, равна

Полная энергия Е, расходуемая на весь эксперимент, равна

Е(У) = 1; . (25)

1=1

Поступая как и в случае исследования зависимости суммарного времени,

затрачиваемого на эксперимент, от объема емкости V и удовлетворяя

необходимому условию экстремума dE/dV = О, приходим к нелинейном), уравнению типа (21):

п у Р|| Рн Рц \

МЮ =£( I Я(р^р + dp - Н(Й,) (26)

‘=1\Р|-|,2 Ра PH /

В результате преобразований и подстановок, аналогичных выполняемым при определении производной dF/dV, см. (22), получим:

П г- Рц

^Н(Р, ) О;- ^(Д.) ^

п . . ч ^ ГИ

у г ан(Рл ) °'-0(Рі) Гг ар 1

Ь 1 V з О-О(р)

*■=* |_Рі2 J

Так как —И- >0, О,- > 0(ра) , то > О, а поскольку -V. соответствует " то это означает, что решение (26), обозначим его V£,

удовлетворяет второму условию достаточности минимума функции £^), т. е. имеет место такое V£, при котором Е(^) = ттЕ^) = £тт-

Численное решение (26) упрощается подстановкой (23), в результате чего имеем:

5 ИШР + 5 °<т\ -Щ&г) - <27)

-1,2 Ра Р12 /

4. На основании изложенного могут быть составлены алгоритмы и програм ■ мы, позволяющие:

1) при известном объеме газгольдерной моделировать произвольный эксперимент из п режимов;

2) получить зависимости продолжительности выполнения эксперимента и необходимых затрат электроэнергии от объема газгольдерной, представляя их в виде графиков соответственно т^) и £^);

3) определить оптимальный объем V" при котором эксперимент осуществляется за минимальное время тт|П;

4) определить объем газгольдерной ^, при котором эксперимент выполняется с минимальными энергетическими затратами £т|^

При этом подразумевается, что эксперименты реализуются в соответствии с избранной стратегией, т. е. в соответствии с описанной выше «пилой режимов». Решение задачи 1 заключается в получении такой «пилы» (зависимости р (т)) для произвольного эксперимента, а также в определении

суммарных энергетических затрат для произвольного момента времени от начала эксперимента. т. .е. в получении зависимости £(т) с представлением этих зависимостей в виде графиков. Задача 2 предполагает получение графиков зависимостей £(У) (25) и т1:(У) (20). Задачи 3 и 4 сводятся к решению нелинейных уравнений (24) и (27). Имея графики, получаемые в результате решения задачи 2, 11 принципе необязательно решение

задач 3 и 4, являющихся лишь экстремальными точками зависимостей

£(У) и т1:(П

Перечисленные задачи реализуются комплексом программ, составленным на языке ФОРТРАН-77 для ПВМ и позволяющим проиллюстрировать полученные выводы.

5. В качестве примера рассмотрим ряд некоторых из режимов работы потребителей, параметры которых представлены в таблице.

Номер режнма 1 Секундное потребление воздуха Gi, кг/с Продолжнтель-ность режима Т(, с Предельное мн-нимальное давление воздуха р,2- 10-5, Па

1 650 180 7,5

2 625 300 7,0

3 2300 120 7,0

4 650 1200 5,5

Как и прежде, условно будем считать, что работает лишь один потребитель с указанными режимами. Пусть начальное давление в газгольдерной ро = 1-105 Па, температура воздуха Т = 300 К. Характеристики каждого из пяти используемых одновременно работающих компрессоров б(р) и Н(р) соответствуют приведенным на рис. 1.

и

Г10? мин

а) 10 Е-Юэ,иВт-ч

18 20У-10,м'

110,0 Щ5 11,0 У-10,м

Рис. 4

Полученные для таких условий зависимости т( и Е(К) для эксперимента, состоящего из одного из режимов, представлены на рис. 4, а для эксперимента, включающего последовательность из всех четырех выбранных режимов таблицы,— на рис. 5. Наконец, на рис. 6 изображены три «пилы режимов:. для трех различных объемов газгольдерной: V) = 48000 м3, V = 80 000 м3, Кз = 250000 м3. Как видим из рис. 5,а, V соответствует Кт, с чем, с другой стороны, полностью согласуется представленное на рис. 6.

Таким образом, наличие оптимальных объемов Кт и Ке и программных средств для их определения позволяют осуществить как обоснованный выбор объемов газгольдерных емкостей проектируемых систем воздухо-снабжения, так и наиболее эффективное использование существующих газгольдерных путем их секционирования и подключения необходимого расчетного количества секций при выполнении каждого эксперимента.

Рукопись поступила 26/11 1990 г.