Выбор характеристического полинома двоичной М-последовательности для идентификации нелинейного динамического объекта Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

УДК 681.51.015

ВЫБОР ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА ДВОИЧНОЙ М-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

© 2011 В. Ф.Яковлев

Самарский государственный технический университет

Поступила в редакцию 05.05.2010

Рассмотрен алгоритм выбора характеристического полинома М-последовательности заданной степени при синтезе тест-сигнала для идентификации нелинейных динамических объектов, позволяющего без смешивания оценивать наибольшее число ординат ядер Вольтера первого и второго порядков. Ключевые слова: ряд Вольтера, тест-сигнал, двоичная М-последовательность

Для идентификации нелинейных динамических объектов используются их различные модели, в том числе и отрезок ряда Вольтерра, в дискретном случае имеющий вид:

Q-1Q-1

y[i] = h + At • ¿h[j] • x[i - j] + At2 • ¿¿h[k,l] • x[i - k] • x[i -1],

j=0

(1)

здесь у[1] - реакция объекта, д ^ - шаг дискретизации, х[1] - входной сигнал, Ь0, ЬЦ], Ь[к,1] -ординаты ядер Вольтерра Ы, Q - времена памяти ядер первого и второго порядков [1].

На практике для независимой оценки ординат ядер Вольтерра при идентификации применяют ортогональные к сдвигу кусочно-постоянные тест-сигналы небольшой амплитуды, не нарушающие нормальное функционирование объекта, тогда при измерении реакции объекта один раз на такте тест-сигнала:

ТуМ • - Л]

К Л] = ^-.

Т хгр - Л] .

h[k, l ] = -

S y[i] • x[i - k] • x[i -1] ¿x2[i -k] • x2[i -1] •

(2)

Здесь р - число замеров, размерность плана эксперимента.

Для моделей динамики используют субоптимальные композиционные планы эксперимента с ядрами в виде планов Плакетта-Бермана или двоичных (троичных) М-последовательностей [1,2]. В композиционных планах эксперимента для моделей динамики строки ядра плана соответствуют двоичным числам, появляющимся в регистре сдвига аппаратного или программного генератора М-последовательности на каждом такте. Яковлев Вадим Фридрихович, кандидат технических наук, доцент кафедры "Теоретическая и общая электротехника". E-mail: vf7415@mail.ru

Отметим, что в литературе имеется недостаточно сведений о практической стороне синтеза субоптимальных тест-сигналов на основе М-пос-ледовательностей с использованием современных аппаратных и программных средств. Цель этой статьи частично восполнить этот пробел путем разработки алгоритма и программы для отбора двоичных М-последовательностей с необходимыми корреляционными свойствами, пригодных для использования в тест-сигналах.

Двоичная М-последовательность является упорядоченным с помощью сопровождающей матрицы (характеристического полинома Р(х)), множеством компонент Б. вектора координат элементов поля Галуа СР(2п) в степенном базисе [4]. М-последовательность, генерируемая с помощью характеристического полинома степени п, имеет период (2П - 1) такт.

При генерации тест-сигналов эти компоненты заменяются реальными сигналами с нормированными значениями:

х(0) = +1. х(1) = -1. (3)

Умножение для реальных сигналов оказывается эквивалентным сложению по модулю 2 для компонент Б.:

1 ф 0 = 1 (-1Н+1) = -1 1 © 1 = 0 (-1)-(-1) = +1 (4)

0 © 0 = 0 (+1)-(+1) = +1 0 © 1 = 1 (+1)-(-1) = -1

Для независимой оценки ординат Ь0 и Ь[к, к] в тест-сигнал на основе двоичной М-последова-тельности вводятся дополнительные такты, после чего полный факторный композиционный план содержит (2п+2п+1) строк, а тест-сигнал -(2п+2п+4Ы-3) тактов [2]. Дополнительные такты необходимы также для устранения погрешности от неверного задания исходного состояния объекта перед началом тестирования. В качестве примера на рис. 1 приведен композиционный сигнал на основе двоичной М-последовательности с характеристическим полиномом Р(х) = х3+х+1, ам-

N-1

k l

i = 0

£=0

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 13, №4,2011

Рис. 1. Композиционный сигнал на базе двоичной М-последовательности:

а - формирование начальных условий, б - ядро плана, в - дополнительные такты для оценки h0 и h[k, k]

плитуды дополнительных импульсов а определяются по параметрам плана, точками указаны моменты измерения реакции объекта [2].

М-последовательности с запаздыванием j>n являются линейными комбинациями последовательностей с запаздываниями в диапазоне (1 — n) того же характеристического полинома:

Si-j = аД-i © a2-Si-2 ©.....En-Si-n. (5)

Коэффициенты а в (5) совпадают с коэффициентами полинома-остатка R(x) в GF(2n) [4]:

Rj(x) = xj mod F(x). (6)

Выражение (6) иногда называют алгоритмом Дэвиса, его применяют для генерации задержанных М-последовательностей при идентификации линейных динамических объектов.

В специализированной литературе имеются таблицы коэффициентов полиномов различных степеней для генерации М-последовательностей. Нужно выбрать полином, обеспечивающий раздельную оценку ординат h[j] и h[k,l] при наи-

меньшей длине тест-сигнала и известных временах памяти ядер Вольтерра N и Q.

Комбинированный тест-сигнал на базе М-последовательности длиной (2п - 1) тактов позволяет раздельно оценивать по (2) п ординат ядра первого порядка и (п-п) ординат ядра второго порядка. Для большинства реальных динамических систем N > Q, поэтому выбираем разрядность п полинома Р(х) так, чтобы значимые ординаты ядра Ь[к,1] полностью размещались в квадрате п-п. Если нужно произвести идентификацию динамического объекта со временем памяти ядра Вольтерра первого порядка большим п, потребуется генерировать реплики М-последовательности с запаздыванием ^|>п и изменить параметры дополнительной части тест-сигнала.

При использовании запаздывания ;|>п оценки ординат ЬЦ] и Ь[к,1] могут оказаться смешанными в силу (5), если:

х[1-Л = х[1-к]х[1-1]. (7)

Алгоритм для отбора характеристических полиномов М-последовательностей состоит в том, что по (6) определяем максимальное запаздывание ;рп, при котором в полиноме-остатке не менее трех ненулевых коэффициентов, то есть оценки ЬЦ] и Ь[к,1] не связаны. Из нескольких полиномов Р(х) одной степени выбираем полином с максимальным значением допустимого запаздывания.

Процесс идентификации связан с автоматическим управлением объектом исследования, оборудованием для подачи тест-сигнала и сбора данных, обработкой данных. Это удобно осуществлять в специализированной среде программирования ЬаЬУ1ЕШ [5]. Разумно и подготовительную работу делать в той же среде. Автором был

'.' № P'rjprf ПгИ'ЧГР

[1 t|;.it:*:pi:i:<nlo-t ■ II:-.-Ul- '*■

Рис. 2. Блок-схема виртуального прибора для определения максимального запаздывания М-последовательности.

области определения ядра первого порядка отличаются значительно, таким образом отбор характеристических полиномов М-последовательнос-тей для синтеза эффективных композиционных тест-сигналов для идентификации нелинейных динамических объектов является обязательным.

ВЫВОДЫ

При заданной области определения ядра Вольтера второго порядка Ь[к,1] в квадрате п-п максимально допустимые значения запаздывания тест-сигнала на базе двоичной М-последовательности (область определения ядра ЬЦ])

Таблица 1. Результаты расчета допустимого максимального запаздывания для некоторых характеристических полиномов

Коэффициенты полинома F(x) Степень полинома F(x) Период М - последовательности Максимальное запазды вани е

111000011 8 255 54

110101001 8 255 14

110001101 8 255 60

111110101 8 255 14

111100111 8 255 116

1 1 100100001 10 1023 126

11011000001 10 1023 40

11010001001 10 1023 58

11110110001 10 1023 282

1 1 1000000000101 14 1 63 83 1631

110101000000001 14 1 63 83 578

111110100000001 14 1 63 83 612

111110000000101 14 1 63 83 930

разработан несложный виртуальный прибор для определения допустимого запаздывания в среде LabVIEW по изложенному выше алгоритму. На рис. 2 представлена блок-схема виртуального прибора, на рис. 3 - лицевая панель.

В окно "Полином" лицевой панели прибора вводятся в двоичном коде коэффициенты характеристического полинома, для GF(2n) это обычное представление F(x). Запускается виртуальный прибор (рис.3), определяющий полином-остаток, максимально допустимое число ординат в h[j] без смешивания оценок h[j] и h[k,l].

Результаты расчета для некоторых характеристических полиномов приведены в табл. 1, они подтверждают, что для различных характеристических полиномов одинаковой степени допустимые

CHOICE OF CHARACTERISTIC POLYNOMIAL OF BINARY M-SEQUENCE FOR NONLINEAR DYNAMIC OBJECT IDENTIFICATION

© 2011 V.F.Yakovlev Samara State Technical University

The paper considers algorithm of choosing characteristic polynomial of a known power of binary M-sequence for generation of a test-signal for identification of nonlinear dynamic objects. The test-signal based on this M-sequence allows to measure separately maximum ordinates of Volterra first and second order kernels.

Keywords: Volterra kernels, test-signal, binary M-sequence.

Vadim Yakovlev, Candidate of Technics, Associate Professor at the Theoretic Electrotechnology Department. E-mail: vf7415@mail.ru

П1< Cdit Vie> F^otrt G р er: те T эс s Wrdffw Help

1 mil ' 1 г

1 IJ 1

'LU ПИ пгтлттг

1 1 i mnrrrnn rmnrririmn Г

ГС XT"" III L" л|- ркм lrinuy 1ПП 1МГ

'.-1

Рис. 3. Передняя панель виртуального прибора

сильно различаются для различных характеристических полиномов одинаковой степени n. Предложенные в статье алгоритм и программа позволяют отбирать характеристические полиномы М-последовательностей, приводящие к генерации тест-сигналов наименьшей длины.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ikonen E. Advanced process identification and control. New York: Marcel Dekker Inc., 2002. 316 p.

2. Яковлев В.Ф. Идентификация электрической дуги аппроксимирующими моделями. Алгоритмы и аппа-ратура//Математические методы исследования динамики и проблемы управления низкотемпературной плазмой. Новосибирск: Наука, 1991. с.175-244.

3. ЛьюнгЛ. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.

4. Davies W.D.T. System identification for self-adaptive control. New York: Wiley-Interscience, 1970. 290 р.

5. Тревис Дж. LabVIEW для всех. М.: ДМК Пресс, 2005. 540 с.