Выбор альтернатив при создании робототехнических инженерных комплексов с учётом степени важности критериев Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.896

ВЫБОР АЛЬТЕРНАТИВ ПРИ СОЗДАНИИ РОБОТОТЕХНИЧЕСКИХ ИНЖЕНЕРНЫХ КОМПЛЕКСОВ С УЧЁТОМ СТЕПЕНИ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ

Э.А. Амирбеков

Дан анализ методов рационального выбора альтернатив при создании робо-тотехнических инженерных комплексов. Разработаны новые подходы к агрегированию многомерных данных, представленных в виде матриц попарных связей. Получены компоненты вектора приоритетов позволяющие проранжировать образцы робототехни-ческих инженерных комплексов и выбрать среди них наилучший уже с учетом мнения всех экспертов.

Ключевые слова: альтернатива, робототехнический инженерный комплекс, критерий, нечеткие отношения, подмножество, матрица сравнений, индекс согласованности.

Робототехнический инженерный комплекс (РТИК) - это совокупность функционально связанных технических устройств, функционирующих и управляемых по заданному алгоритму с возможностью перепрограммирования и обеспечивающих действия человека, необходимые для решения задач инженерного обеспечения. РТИК, как правило, разрабатывается применительно к конкретным инженерным работам: поиск и обезвреживание инженерных боеприпасов, инженерная разведка и т. д. Необходимо проранжировать образцы РТИК и выбрать среди них наилучший уже с учетом мнения всех экспертов по совокупности критериев.

Рассмотрим ситуацию, когда по каким-либо соображениям можно заранее определить степень важности отдельных критериев [1-4].

Пусть задано множество альтернатив Х, и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями fj, j = 1, J. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому из критериев представляется в форме нечеткого отношения предпочтения, т. е. имеется J - отношений предпочтения на множестве Х. Степень важности критериев (нечетких отношений предпочтения на множестве Х) выражается числами 1j, такими,

что 1j ^ 0; = 1, j = 1, J. Пусть / (У);УG X есть функция принад-j

лежности j-го нечеткого отношения. Пересечению этих отношений соответствует функция принадлежности вида

/Q1 (Ъ У) = min {/1(х, y),.../j(x y)}.

Определим нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив во множестве (X ,/q^):

ma (х)=1 - supLma(у,х)-ma(х,у)].

и УЕ*

Введем свертку исходных отношений предпочтения следующего

вида:

mQ (х, у) = TIjMj (х, у). (1)

j

Определим нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив во множестве (X, jiQ):

ma(х)=1 - sup [ma(y, х) - mQ(x, у)]. (2)

yEX

Определим пересечение множеств (1) и (2):

m™ (х) = mm(mQA m^}.

Рациональным будем считать выбор альтернатив из множества

Xнд = {х/хе X,mm(х) = supm** (у)}.

уе X

Метод анализа иерархий. Рассмотрим совокупность элементов A = {Aj},i = 1,N некоторого уровня иерархии. Необходимо определить степени влияния (веса) W = {w^J = 1,N этих элементов на некоторый элемент более высокого уровня. Построим матрицу парных сравнений Ai по степени их влияния C = {cj }, i, j = 1, N, придерживаясь следующих правил:

а) если cj = c, то cу = 1/ c, c Ф 0;

б) если суждения имеют одинаковую важность (оказывают одинаковое влияние на вышестоящий элемент), то cj = cу = 1, в частности,

ch = 1 для всех i.

Построенная описанным образом матрица сравнений называется обратно-симметричной матрицей [2]. Такая матрица называется согласованной, если справедливо c& = cycjk, i, j, k = 1, N. Очевидной для согласованности матрицы является типичная ситуация, когда сравнения основаны на точных измерениях, т. е. веса элементов точно известны. В этом случае имеем:

Су = Wi / wj, i, j = 1, N. Тогда cjcjk = (Wj/ Wj)(wj/ wk) = w}/ Wk = c^.

Кроме того, в этой ситуации очевидно, что

сц = Щ / = 1/( / Щ) = 1/с^• (3)

Составим матричное уравнение:

Сх = у, (4)

где х = (хЬ....^X у = (Уl, — ум).

Уравнение (4) соответствует в развернутой записи системе уравнений

Ъсух] = У1,1 =1 N• j _

Из соотношения (3) следует c¡jWj / = 1,1, j = 1, N. Отсюда ясно, что

справедливо соотношение XcijWj / W' = N. 1 = 1, N или

j _

X с^ = ^,1 = 1, N (5)

Выражение (5) эквивалентно следующему соотношению:

Cw = Ш. (6)

В теории матриц формула (6) отражает тот факт, что является собственным вектором матрицы С с собственным значением N.

Будем теперь рассматривать ситуации, когда значения элементов матрицы сравнений основываются не на точных измерениях, а на субъективных суждениях. В этих ситуациях их значения будут отклоняться от идеальных отношений wi / Wj и поэтому уравнение (6) не будет иметь места.

Однако из курса теории матриц [3] известно, что если числа 1,...., 1N удовлетворяют уравнению Сх = 1х, т. е. являются собственными

значениями матрицы С, и с^ = 1,1 = 1, N, то справедливо: X11 = N.

Отсюда следует, что если имеет место (6), то все собственные значения матрицы С есть нули за исключением одного, равного N. В случае согласованности матрицы С её наибольшее собственное значение есть N.

Известно, что для положительной обратно-симметричной матрицы малым изменениям элементов соответствуют малые изменения собственных значений матрицы [3]. Объединяя полученные результаты, находим, что если диагональ матрицы С состоит из единиц и С - согласованная матрица, то при малых изменениях её элементов наибольшее собственное значение матрицы - 1тах остается близким к N а остальные собственные значения - близкими к нулю.

Отсюда рассмотренная в начале данного подраздела задача может быть сформулирована следующим образом.

Дана обратно-симметричная матрица С значений парных сравнений

192

весов (степеней влияния) элементов заданного уровня рассматриваемой иерархии относительно некоторого элемента более высокого уровня. Для нахождения вектора приоритетов (весов) элементов необходимо определить собственный вектор w матрицы С, удовлетворяющий условию:

Cw =1max W

где 1 max - максимальное собственное значение матрицы С.

Поскольку желательно иметь нормализованное решение, то, полагая a = X Wj, заменим w на (1/a)w. Это обеспечивает единственность и i

нормировку, так как X (1/ a) W = 1.

i

Учитывая, что малые изменения элементов матрицы С вызывают малое изменение максимального собственного значения матрицы, отклонение последнего от N может служить мерой согласованности матрицы, так как позволяет оценить близость полученной шкалы к основной шкале отношений, которую мы хотим оценить [5]. В качестве числового выражения этой меры Т. Саати предложил использовать индекс согласованности (ИС), определяемый следующим образом:

ИС = (1 max - N)/( N - 1).

Вводится также понятие случайного индекса (СИ), т. е. индекса согласованности сгенерированной случайным образом по шкале 1-9 обрат-носимметричной матрицы. В работе представлены средние значения СИ для матриц порядка от 1 до 15, полученные экспериментально. Соответствующая информация приведена в таблице.

Значения случайного индекса

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

СИ 0,00 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,54 1,56 1,57 1,59

Отношение ИС к СИ для матриц того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС, меньшее или равное 0,1 считается приемлемым. Таким образом, условие согласованности матрицы парных сравнений выглядит следующим образом:

ОС = ИС/ СИ £ 0,1.

Метод специальной метрики. Конечной целью метода анализа иерархий, разработанного Т. Саати [5], является получение вектора приоритетов. Компоненты этого вектора позволяют проранжировать все сравниваемые объекты по эффективности. Математическая основа метода заключается в аппроксимации обратно симметричной матрицы попарных сравнений Б (получаемой от экспертов) матрицей О более простого вида, построенной на векторе приоритетов Ш по правилу

в = УУГ Т, (7)

—Т

где У - транспонированный вектор, составленный из обратных значений компонент вектора У

Аппроксимация сводится к вычислению главного собственного вектора матрицы Д который и предлагается в качестве искомого вектора приоритетов У [3]. Идея такого подхода базируется на простом факте: совпадении главных собственных векторов матриц в и Д если последняя образована по правилу (7). Таким образом, близость матрицы попарных сравнений Б и матрицы приоритетов в предполагает, прежде всего, близость компонент их главных собственных векторов.

Несмотря на простоту и привлекательность такого подхода определения вектора приоритетов У с последующим принятием решения по выбору наилучшего образца на основе определения максимального значения компонент вектора У, этот метод имеет ряд недостатков, основными из которых являются следующие.

1. При заполнении матрицы попарных сравнений Б эксперту предлагается сравнивать пары объектов по важности, априори предполагая, что во сколько раз лучше (хуже) один объект по отношению к другому, во столько раз другой объект хуже (лучше) другого объекта. Тем самым в неявном виде считается «обратная симметричность» отношений "быть лучше (хуже)". Этот факт нельзя считать очевидным, поскольку его выполнимость зависит от абсолютной «беспристрастности» экспертов, их высокой компетентности.

2. Оценивать близость матриц попарных сравнений Б и приоритетов в на основе близости их главных собственных векторов справедливо только для хорошо согласованных матриц (т. е. матриц, для которых ИС достаточно мал [3]). Суждения экспертов, для которых ИС велик, считаются противоречивыми и их предлагается исключать при формировании общего мнения. Такая точка зрения также спорна, во-первых, из-за неоднозначности оценок компонент вектора приоритета, поскольку в качестве последних можно взять, например, обратные величины левого собственного вектора, отвечающего максимальному собственному значению матрицы Б [3]. Во-вторых, исключение мнений экспертов - крайняя мера.

Более корректным подходом при аппроксимации матриц в и Б в ряде ситуаций представляется такой подход, при котором близость матриц оценивается на основе некоторой меры, отвечающей определенной аксиоматике. Внедрение метрики на множестве матриц попарных сравнений позволяет ослабить требования к экспертам, в частности, допустить к обработке такие матрицы, которые содержат интервальные оценки, или даже пропуски. Указанные матрицы соответствуют ситуации, когда эксперт затрудняется дать однозначные оценки.

Однако, использование в качестве меры близости традиционной метрики наименьших квадратов не вполне корректно из-за её сильной чувствительности к большим значениям элементов оцениваемых матриц. Поэтому необходимо разрабатывать новые подходы к агрегированию многомерных данных, представленных в виде матриц попарных связей. Предлагается следующая мера близости

р(О, С) = 1п(5р(я • С Т )• Брув • П~Т)) (8)

на множестве ~

= {X, Y | X = (x, j > 0), Y = (y, j > 0), хц = уц Vi, j = 1, л}

квадратных матриц размерности п*п с положительными элементами и

-Т -Т

совпадающими главными диагоналями. Обозначения С (О ), определенные выше для векторов, остаются справедливыми и для матриц, а выражение 5р( А) = ^ ац, как обычно, обозначает след матрицы А = (ай). В

1

[3] доказывается, что мера (8) удовлетворяет всем свойствам «расстояния» за исключением одного: минимальное значение (8) на множестве ^п достигается только на равных матрицах, в отличие от равенства нулю при традиционном подходе. Очевидно, что это свойство не ограничивает общности предлагаемого метода, поскольку допускает экстремальную постановку задачи при определении вектора приоритетов Ж

Мера (8) применима к любым матрицам одинаковой размерности с положительными элементами, в том числе и к матрицам нечетких бинарных отношений «быть не хуже». Элементы таких матриц принимают значение, равное единице для объектов, находящихся в указанном отношении, и значение меньше единицы для остальных пар объектов в соответствии со степенью предпочтительности одного объекта перед другим. Примером такой матрицы является матрица

D--

( 1

0,8 0,6 0,6 0,6

1 1

0,8 0,8 0,8

1 1 1

0,9 0,9

1 ^

1

1

0,9 1

(9)

Аппроксимацию матриц D можно осуществлять матрицами

T

f(G) = f(W-W ), элементы которых являются значениями функции f (x) = min( x,1) от элементов матрицы, что отражает свойство бинарного отношения «быть не хуже». Это приводит к решению задачи

р(f(W- W~T),d)® min. (10)

W>0

Для матрицы (9) таким решением будет следующий вектор:

/0,277Л

W =

0,214 0,176 0,163 v 0,170 j

(11)

T

Сравнивая значения элементов матрицы f(W-^Т )

f (W -W ~T)

( 1 0,771 0,637 0,588 v 0,612

1 1

0,825 0,763 0,794

1 1 1

0,924 0,961

1 1 1

0,961 1

Л

и матрицы (9), можно убедиться в высокой точности предлагаемого метода. Отметим, что результат решения задачи (10) не зависит от выбора нормировки вектора W, так же как не зависит от шкалы сравнения объектов, используемой при определении элементов матрицы D. Последнее свойство особенно ценно, поскольку повышает устойчивость получаемых оценок для компонент вектора приоритетов W. Инвариантность к нормировке и выбору шкалы сравнения объектов выполняется не для каждой меры близости, в частности, не выполняется для меры близости, определенной метрикой наименьших квадратов. Если экспертов несколько, то задача (10) трансформируется в более сложную

Xр(f(W- W~T),Dmin, (12)

i=1 W >0

где Di - матрица оценок i -го эксперта.

Получаемые на основе (12) компоненты вектора приоритетов позволяют проранжировать образцы РТИК и выбрать среди них наилучший уже с учетом мнения всех экспертов. Решение задачи (12) для большого числа экспертов представляет определенные трудности вычислительного характера. Для простоты вычислений целесообразно перейти к решению следующей задачи:

n

X р W - w k =1

-T f1

D))

® min,

W >0

(13)

полагая для D = (dj)

f -1(D ) = \

d; j, если d; j < 1

J

1

di.

если d;, j > 1

= D + DT - E.

(14)

j

где Е - матрица, составленная из одних единиц.

Очевидно, преобразование (14) на множестве матриц ^п взаимно

однозначное. Поэтому любому решению У задачи (13) всегда будет соот-

Т

ветствовать единственная матрица из ^п f(У ■ У* )е , которая будет близка к матрице, определяемой решением задачи (12). Это решение достаточно точное. Например, для выше рассматриваемого примера (9) оно практически не отличается от оптимального решения

0,278Л

0,214 0,176 0,162 0,169^

Дополнительная информация о важности показателей для рассматриваемой совокупности образцов также получается экспертным путем на основе заполнения матриц попарных сравнений Б е ^п. Например, если одной из таких матриц является матрица (9), то решение (11) задачи (12) позволяет получить все т = 5 весовых коэффициентов важности показате-

лей

т

в в , =1

3=1

Очевидно, такой способ определения коэффициентов

£ в,р( Г (У ■ ), в,)® шт

0, справедлив и в общем случае. Если в, е матрица попарных сравнений, отражающая мнение всех экспертов по выбору наилучшего образца на основе ,-ого показателя, то решение задачи

Т 4

I, в,) ®

,=1 У>0

определяет интегральный вектор приоритетов У0, позволяющий все рассматриваемые образцы проранжировать по их значимости с учетом всех используемых показателей на основе мнения всех экспертов.

Важным вопросом при проведении экспертного опроса при выборе наилучшего образца РТИК является определение степени согласованности индивидуальных суждений экспертов для принятия решения о наличии или отсутствии у них общего мнения. В качестве такой оценки предлагается использовать значение целевой функции в (12)

т= £ р( f(W ■ У" Т), Д.). (15)

1=1

Очевидно, указанная мера является суммой отклонений индивидуальных мнений от общего мнения. Поэтому, чем меньше отклонение

р( f (W ■ W~T), Di) для i-го эксперта, тем лучше его мнение согласуется с групповым мнением. Основываясь на этом факте, можно построить итерационную процедуру, позволяющую последовательно улучшать степень согласованности т путем проведения повторных процедур опроса. При этом целесообразно, в первую очередь, предлагать пересматривать свое мнение тем экспертам, чей вклад в оценку (15) является наибольшим.

Список литературы

1. Беллман Р. Введение в теорию матриц / пер. с англ.; под ред. В.В. Лидского. М.: Изд-во «Наука», 1976. 352 с.

2. Брайсон А., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Наука, 1972.

3. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач. М.: Радио и связь, 1990.

4. Гир Дж. Ван. Прикладная общая теория систем. М.: Мир, 1981.

5. Саати Т. Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993. 423 с.

Амирбеков Эльхан Анвер оглы, преподаватель, vlroom@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский институт экономики и информатики

SELECTION OF ALTERNATIVE IN CREATING ROBOTIC SYSTEMS WITH CONSIDERING CRITERIA IMPORTANCE DEGREE

E.A. Amirbekov

Analysis of methods of alternative rational selection in creating robotic systems has been presented. New approaches to aggregating multivariable data represented as a matrix of pair-wise communications have been developed. Components of the priority vector have been found to allow ranking robotic system samples and to select the best of them considering opinions of all experts already.

Key words: alternative, robotic system, criterion, fuzzy relations, sub aggregate, comparison matrix, compatibility index

Amirbekov Elihan, teacher, vlroom @yandex. ru, Russia, Tula, Tula institute of economics and informatics