CC BY
34противоречивы, их отличает логическая выводимость одних из других, они не выглядят усложненными. Результаты вычисления физических величин и£п, иЬп, иЬп/и£п, п£П и пЬп не противоречат астрономическим данным о реальном наблюдаемом мире.
Газодинамическая модель эволюции Вселенной обобщенно рассматривает идеализированные термодинамические состояния и позволяет обойти отдельные характерные для современной теории расширяющейся Вселенной трудности. Хотелось бы верить, что наблюдаемое согласие расчетных величин с данными, которые независимо получены другими авторами иными методами, окажется полезным при поисках ответа на вопрос об устройстве окружающего нас мира. Эпиграф принят согласно [16, с. 203].
Литература
1. Кошман В.С. О взаимосвязи микропараметров механизма теплопроводности металлов // Sciences of Europe. 2020. No.49. Vol. 2. pp. 29 - 32.
2. Черепащук А.М., Чернин А.Д. Современная космология: факты и идеи // Вестник Моск. ун - та. Серия 3. Физика. Астрономия. 2008. С. 3 - 19.
3. Вайнберг С. Космология / пер. с англ. М.: ЛИБРИКОМ. 2013. 608 с.
4. Кошман В.С. Планковские величины, закон Стефана - Больцмана и гипотеза о рождении вселенной // American Scientific Journal. 2019. № 29. Vol. 2. P. 64 - 69.
5. Вайнберг С. Первые три минуты. Современный взгляд на происхождение Вселенной / пер. с англ. М.: Энергоиздат.1981. 208 с.
6. Краснопевцев Е.А. Спецглавы физики. Статистическая физика равновесных систем: учебное пособие. Новосибирск: Изд - во НГТУ. 2014. 387 с.
7. Девис П. Случайная Вселенная / пер. с англ. М.: Мир. 1985. 160 с.
8. Кошман В.С. Закон Стефана - Больцмана и оценка изменчивости плотности энергии барионов Вселенной // American Scientific Journal. 2019. .№ 30. Vol. 1. P. 57 - 62.
9. Кошман В.С. К вычислению объемной плотности энергии гравитационного излучения Вселенной // Sciences of Europe. 2020. No.52. Vol. 1. pp. 23 - 27.
10. Кошман В.С. О зоне ближайшего к сингулярности развития нашей Вселенной // Sciences of Europe. 2020. No.51. Vol. 1. pp. 29 - 31.
11. Пенроуз Р. Путь к реальности или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель /пер. с англ. М. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2007. 912 с.
12. Кошман В.С. О взаимосвязи изменчивости энергетических характеристик и объема Вселенной при ее космологическом расширении // Sciences of Europe. 2020. No.48. Vol. 2. pp. 50 - 53.
13. Нарликар Дж. Неистовая Вселенная / пер. с англ. М.: Мир. 256 с.
14. Новиков И.Д. Эволюция Вселенной. М.: Наука. 1990. 192 с.
15. Дирак П. Космология и гравитационная постоянная // Дирак П. Воспоминания о необычной эпохе / пер. с англ. М.: Наука. 1990. С. 178 - 188.
16. Гейзенберг В. Шаги за горизонт / пер. с нем. М.: Прогресс. 1987. 368 с.
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ
ПРОЦЕССОВ
Кузнецов В.П.
Институт океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук
INTRODUCTION TO THE THEORY OF NONLINEAR WAVES EQUATIONS OF NONLINEAR
WAVE PROCESSES
Kuznetsov V.
Leading Research Scientist Ph. D Shirshov Institute of Oceanology, Russian Academy of Sciences
АННОТАЦИЯ
В настоящей статье предлагается единое описание нелинейных волновых процессов различной природы. Показывается, что звуковые волны, гравитационно-капиллярные волны на поверхности жидкости, ионно-звуковые волны в плазме и др. во втором приближении по величине возмущений и величине кинетических коэффициентов описываются единым нелинейным волновым уравнением для скалярного потенциала. Далее образуется приближенная форма этого уравнения - параболическое приближение, при этом постулируется малость изменения формы волны на протяжении длины волы.
ABSTRACT
This article offers a unified description of nonlinear wave processes of various nature. It is shown that sound waves, gravitational-capillary waves on the surface of a liquid, ion-sound waves in plasma, etc., in the second approximation in terms of the magnitude of perturbations and the magnitude of the kinetic coefficients, are described by a single nonlinear wave equation for the scalar potential. Next, an approximate form of this equation is formed - the parabolic approximation, while the smallness of the change in the waveform along the length of the wave is postulated.
Ключевые слова: звуковая волна, нелинейная волна, уравнение, дифракция, диссипация.
Keywords: sound wave, nonlinear wave, equation, diffraction, dissipation.
В одной работе о нелинейном функциональном анализе сказано: "Материк линейности окружен океаном нелинейности..." Если же принять во внимание, что вообще говоря, любая линейная задача является предельным случаем более общей нелинейной, то материк линейности можно считать просто точкой в пространстве знаний. Это образное сравнение очень точно показывает, какую роль в познании природы играют нелинейные проблемы. Практически любой раздел теоретической физики имеет дело с нелинейными уравнениями. Вот что пишет В.Гейзенберг [1]: "На самом деле, поскольку нелинейность занимает столь важное место в природе, возможно, что даже такую линейную по своей сути теорию, как квантовая теория, придётся заменить, на нелинейную". После этих слов вряд ли нужно доказывать сколь важным и многообещающим делом является изучение океана нелинейности.
Нелинейная теория волн стала развиваться ещё в XIX веке в механике сплошных сред. Риман, Рен-кин и Гюгонию провели теоретические исследования, не потерявшие своего значения до настоящего времени. Точные римановские решения показывают, что различные точки волнового профиля перемещаются с разными скоростями: точки сжатия выдвигаются вперед, а точки разряжения оказываются отставшими. Эти эффекты накапливаются по мере распространения волны, и на определенных расстояниях от излучателя образуется ударная волна. В недиссипативных средах все возмущения являются конечными, т.е. для любых не равных нулю возмущений эффект накопления приводит к образованию разрыва. Нелинейные эффекты в волновом движении исследовались в различных областях физики: в оптике, в плазме, в гидродинамике, в акустике, в радиофизике и т.д. Исследования в этой области привели к открытию новых физических явлений. Сюда относятся явления самофокусировки и самосжатия волновых пакетов, эффекты умножения частоты, индуцированного рассеяния. Нелинейные волновые явления лежат в основе целого ряда устройств, электронные лампы с бегущей волной, нелинейные оптические фильтры, системы с ударными электромагнитными волнами, параметрические усилители и генераторы, оптические умножители или преобразователи частоты света.
Волны различной физической природы описываются в линейном приближении, по существу, одинаково - волновым уравнением. Нелинейные волны тоже, вообще говоря, сохраняют эту общность в описании. Однако в разных областях физики теория нелинейных волновых явлений развивалась самостоятельно, игнорируя аналогию с родственными явлениями в других областях. Больше того, многие работы по теории нелинейных волн начинаются с получения нелинейных уравнений движения независимо для каждой задачи, например, для плоской, сферической и цилиндрической.
Далее предлагается единое описание нелинейных волновых движений различной природы. Показывается что звуковые волны, гравитационно-капиллярные волны на поверхности жидкости, ионно-звуковые волны в плазме и др. во втором приближении по величине возмущений и величине кинетических коэффициентов описываются нелинейным волновым уравнением для скалярного потенциала. При этом среда считается слабонелинейной, слабопоглощающей и слабодиспергирующей, т.е. для достаточно малых значений волнового числа влияние нелинейности, диссипации и дисперсии незначительно. Так как отыскание общего решения нелинейного волнового уравнения представляет чрезвычайные трудности, далее образуется приближенная форма этого уравнения (параболическое уравнение). При этом требуется малость изменения формы волны, по крайней мере, на протяжении длины волны.
Замечателен факт, что волны бесконечно малой амплитуды самой различной природы описываются одинаково - волновым уравнением для той или иной функции, но и волны конечной амплитуды сохраняют эту удивительную общность (во втором приближении) и могут описываться единым нелинейным волновым уравнением [2-4].
Нелинейное волновое уравнение. Звуковые волны.
Система уравнений динамики вязкой тепло-проводящей жидкости в общем случае нелинейна. Общих методов точных решений нелинейных уравнений нет, и поэтому единственно возможным в такой ситуации остаются приближенные методы, базирующиеся на том или ином упрощении задачи. Среди всех возможных упрощений, пожалуй, главное состоит в линеаризации уравнений. В акустике предполагается, что звуковые возмущения гидродинамических величин обычно малы по сравнению с соответствующими в невозмущенном состоянии. Для малых же возмущений уравнения оказываются линейными. Следующей по сложности задачей может считаться решение уравнений, в которых сохранены лишь члены до второго порядка включительно. Подобные задачи уже относятся к проблемам нелинейной акустики.
Движение жидкости будем определять в неподвижной относительно невозмущенной среды системе координат X, у, z, I полем скорости
и(х, у, z, I ) и полями термодинамических характеристик среды: полем давления p(X, y, z, t) , плотности p(X, y, z, t), температуры T(X, y, z, t) и энтропии s( X, y, z, t).
Система уравнений динамики сплошной среды состоит из уравнения непрерывности [4,5]
^ + сИу(рй) = 0
уравнения движения
р[— + (йУ)Щ = -£гас! р + ?]Ай + (£ + —<Иш д/ 3
и уравнение притока тепла РТ{— + ЙУ5) = ^ + ^ - - 81к + Уй)2 + ОУ^Т)
,д5
2 дх, дх
дх,
где ч, С , X -
коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости и теплопроводности, а также уравнения состояния среды, которое для идеального газа в переменных р, Т имеет вид р = рКГ, а в переменных р, 5
р = р7Я ехр[(5 - 50)/с], где 7 = ср/су, отношение теплоемкостей при постоянном давлении постоянном объёме, К = Ср — Су - газовая постоянная для единицы массы вещества.
Будем предполагать, что возмущения, характеризуемые полями пульсаций гидродинамических величин, малы, т.е.
(Р-Ро )/Ро С Я (р - Ро )/ Ро° Л
(и)/с0, где л □ 1 . Индексом «ноль» обозначаются невозмущенные величины. Используя метод линеаризации этих уравнений можно показать, что всевозможные движения среды распадаются в первом приближении на три не взаимодействующих между собой компоненты. Этими компонентами являются вихревая несжимаемая компонента, описываемая полем вихря
у, г, {) = V X й(х, У, г, / ), энтропийная компонента 5(X, у, z, /) и потенциальная (или акустическая) компонента, связанная с пульсациями потенциальной части поля скорости
IX Х^ у, г, = V • й(х, у, г, / ) и пульсациями давления р(X, у, z, /) . Из всей совокупности возможных движений, описываемых полной системой, будем рассматривать лишь потенциальные (акустические) движения, т.е. удовлетворяющие условию
V X и(х, у,г,{) = 0. Тем самым вихревая компонента и её взаимодействия с другими компонентами опускаются [4]. При этом условии уравнение движения может быть записано в виде:
Р(% + т:V*/2) = р + (--г/ + £)Ай д 2 3
Дальнейшее упрощение уравнений может быть достигнуто, если ввести еще одну малую величину 8, связанную с коэффициентами вязкости и теплопроводности. Действительно, если предположить, что все поля являются периодическими
д2р 1 д х 2 с1 др 2 7 — 2 д
—т =--(^Р) +—— + с2-—^--
д/2 2 д/ р д/ 0 2р2 д
функциями пространственных координат с заданным волновым вектором к , то в линеаризованных уравнениях будут фигурировать следующие безразмерные величины:
8 = —— (4Ч + С) = — У = ^ . Ве-
СоРо 3 СоРо X
личина V является аналогом обычного числа Прандтля и имеет порядок величины для воздуха ~ 1. Величина 8 имеет тот же порядок, что и отношение длины свободного пробега в газе Ь к длине волны возмущения Л (поскольку Ъх □ с0р0Ь).
Поэтому во всех случаях, когда движения среды могут быть описаны с помощью обычных гидродинамических уравнений 3 I 1 и в частности для воздуха при нормальных условиях
Асо ' I- 0,5-10 5 см. Таким образом, при
выводе основного уравнения нелинейной акустики будем учитывать помимо членов первого порядка малости ц, все величины, имеющие второй порядок малости л2 и ¡18 , и пренебрегать членами более высокого порядка.
В уравнении притока тепла опустим член
¡IVЯ учитывающий рассеяние звука на неоднород-ностях температуры и члены с коэффициентами
вязкости, имеющие третий порядок малости 8Л .
Если исключить температуру, уравнение притока
д5 X р\ тепла примет следующий вид: — = — Д(—) . Та-
д р р
ким образом, изменение энтропии 8 имеет второй порядок малости. Также ограничимся вторым порядком в разложение уравнения состояния
2/ \ . 7 1 2/ \2
--со(р —ро) , где
2ро
р — ро = со2(р —ро) +
со =.
т
' р о
- адиабатическая скорость звука. В ре-
зультате опуская громоздкие вычисления и вводя скалярный потенциал
й{х, у, г, I) = -У(р(х% у, г, /), получим из системы одно скалярное уравнение в виде:
Хсо / 1 1
1 А
д
(р—р )2 + —- )Др+ —(- ч + С)^ Др.
р
ро 3
И окончательно, используя уравнение неразрывности, получим основное нелинейное волновое уравнение для скалярного потенциала, описывающее распространение волн конечной амплитуды в диссипативных средах различной природы:
^ - с02 Др = - [ЪД р + (Ур)2 + а( р2 ],
ы2 дг дг
г -1 1 4 11
a = Vr> b = —[-1+^ + х(---)] (1)
2с оп 3 с с
где:
г—К ь—±[4
'0 Ро 3 -V ~р
Плоские и квазиплоские поля В случае одномерных плоских полей уравне ние (1) принимает следующий вид:
д2р 2 д2р д д2р др 2 др 2
2с=
(-) , или,
дх С2 дт 2с0 дт
возвращаясь к функции скорости u(X, т) = -дф/дх , получим известное уравнение
Бюргерса, которое может описывать распространение плоских волн конечной амплитуды в диссипа-
ди ди , д2ы
средах [4,5],--Vau— = b
дх дт дт
где:
а — (у +1)/2с\, Ь — Ь1/2с1 . В том же приближении можно получить уравнение для плотности
, ч р0 др др у +1 др , д2р р(х,т) — , + {-— Ъ- н
дт2
с\ дт' дх 2р0с0' дт
Заметим, что во втором приближении по порядку возмущений все гидродинамические величины связаны между собой соотношениями линейной акустики.
Введем
с02^ = -[b^T + (—)2 + a(^)2] (2) де 0 дх2 дГ дх2 дх дГ Нелинейность среды и диссипативные процессы вызывают изменение формы волны вдоль направления распространения. Поэтому в слабонелинейных и слабопоглощающих средах естественно искать решение уравнения (2) в виде
ф(т = t — х/с0, х) [2-4]. Выполняя замену
переменных в уравнении (2) и для определения порядка величины отдельных членов в полученном уравнении, введем безразмерные переменные следующим образом х = х\1, т = т/Т, ф = ф/ф0, где l - характерная длина интервала, на котором существенно изменяется функция ф(х, т), T - характерный масштаб времени, ф0 амплитуда функции ф(х,т) и
далее подставим их в (2). В полученное уравнение (опускаем которое для простоты) входят три безразмерных параметра с0Т/l, bfcj и ф0/c0l, которые можно интерпретировать следующим образом, если в качестве масштаба времени T принять период колебаний функции ф, то величина
С0Т/1П Я/1, где Я - длина волны; условие
Я/1 < 1 является условием малости изменения формы волны на интервале порядка длины волны, которое всегда выполняется; второй параметр Ъ/са1 □ L/1, где L - длина свободного пробега, также почти всегда может считаться малым L/lü 1 , и наконец, третий параметр Фо/С Ю M, где M - число Маха, принят нами
М □ 1. Таким образом, пренебрегая тремя малыми членами по сравнению с единицей и сохраняя члены, определяющие диссипативные и нелинейные силы, мы получим следующее приближенное
дф b д2ф у +1 , дф
1 дф
V(х,т) = ~т—
безразмерную
функцию
2 и, в дальнейшим все уравнения
с0 дт
будем записывать относительно этой функции, уравнение Бюргерса для функции V(X, т) имеет вид:
дV дV , д2V
— + aV— — Ъ—- (3)
дх дт дт Наиболее простые закономерности звуковых волн конечной амплитуды в однородной среде относятся к случаю плоских волн. При любых отклонениях от законов геометрической акустики картина явления сильно усложняется даже для волн малой амплитуды. Чтобы получить результаты упрощенной (в диффузионном приближении) теории дифракции звуковых волн конечной амплитуды за отверстиями в плоском экране (излучатели конечных размеров) для малых углов дифракции будем рассматривать явление поперечной диффузии по фронтам приблизительно плоских волн, следуя [6]. Будем искать решения в форме приблизительно плоской волны в виде V(т — I — х/с0, X, у, г) . Выполняя замену переменных в уравнении (2) и предполагая, что форма волны медленно изменяется как вдоль направления распространения, так и поперек, получим
ö2V с,
д „ ö2V a д
дхдт 2
—-0A±V = -[b-2 + - — V2] (4)
дт дт2 2 дт
д2_+ <L
ду2 + дг2
где A± + - оператор Лапласа по
переменным у, I. В случае поля с аксиальной симметрией в плоскости у, I уравнение (4) принимает вид
дУ с 1 дк д а В,
-——(—Г +--) +-(Ъ—7 +--V )
дтдх 2 дг г дг дт дт 2 дт
где г — л[у2 + ^2 .
Описание дифракции у краев отверстия путем рассмотрения поперечной диффузии по плоским фронтам является лишь простейшим приближением. Для уточненного описания следует учесть,
что поперечная диффузия происходит по фронтам цилиндрической волны, расходящейся от края. Вне зоны эффективной диффузии градиенты становятся слишком малыми, из-за расширения цилиндрических фронтов. Поэтому диффузией здесь практически можно пренебречь. Расходящаяся волна в этих областях имеет характер обычной цилиндрической волны, идущей от края. Диффузия по приблизительно плоским фронтам оказывается правильной для малых углов дифракции. В зонах больших углов дифракции в тени можно принять цилиндрическую волну, а в освещенной зоне - плоскую волну [6].
Сферические и цилиндрические волны конечной амплитуды
Для одномерных полей, имеющих сферическую или цилиндрическую симметрию уравнение (1) при тех же предположениях о плавности искажений формы волны может быть сведено к следующему приближенному уравнению
+ a д
дг 2г
— + ^ — Ъ ^ + V2.
где
дт2 2 дт
П — 2 или 1 для сферических и цилиндрических волн соответственно; т — I — г/'с0, это уравнение
справедливо лишь при условии г/ ЯП 1. Это уравнение можно представить в другой форме для сфе-
дЖ
рической волны
— гмЖ
дЖ
дЖ
+ —
дг дт дт
где Ж — V г/г0, г — \п(г/ г0 ), и для цилиндриче-
дЖ Т1Г дЖ Ъг д2Ж
" — аЖ —--1---—г, где
ской волны
дг
дт 2к дт
Ж — уТТ^, 2 — .
среды - вода содержащая пузырьки газа. Изменения скорости звука при дисперсии этого типа заметны лишь на самых коротких длинах волн, близких по порядку к длине свободного пробега Ь, т.е. эта дисперсия лежит на границе гидродинамического описания явления. Распространение волн конечной амплитуды сопровождается возрастающей ролью самых коротких длин волн ~ Ь (при образовании разрыва), для которых дисперсия уже существенна. Поэтому при исследовании структуры ударного фронта рассмотрение дисперсии второго порядка (будем так называть её) желательно. Получим уравнение, в котором дисперсия второго порядка учтена для плоских волн конечной амплитуды. Для того чтобы принять во внимание дисперсию второго порядка сохраним при выводе уравнения (1) член, пропорциональный Ь/Я, не
зависящий от характерной длины I и получим следующие уравнение общего вида
дV т.дV ,дV .дV
— + аV— — Ъ—^ + ё—-дх дт дт дт
(5)
Нелинейные волны в диспергирующих средах
Дисперсия звуковых волн обусловлена двумя причинами. Первая из них связана с физическими свойствами среды и всегда сопровождается поглощением звука. Дисперсия этого типа вызывается релаксационными процессами, возникающими в среде при отклонениях от термодинамического равновесия. Для установления равновесного состояния в релаксационных процессах требуется время сравнимое с периодом звуковых волн, вызвавших эти отклонения. Такими процессами могут быть: перераспределение энергии между различными степенями свободы частиц сред, процессы диссоциации и рекомбинации, химические реакции и т.д.
К дисперсии звука этого типа, но не релаксационного характера приводят теплопроводность и вязкость среды. Эти виды дисперсии звука связаны с обменом энергии между областями сжатий и разряжений в звуковой волне. В однородной среде этот обмен приводит в основном только к поглощению звука, а изменения скорости звука представляют собой по отношения к коэффициенту затухания лишь квадратичный эффект. В микронеоднородной среде теплопроводность и вязкость приводят к существенной дисперсии. Пример такой
где а, Ъ, ё коэффициенты нелинейности, затухания и дисперсии. Такое уравнение называется уравнением « Кортевега-де-Вриза» с затуханием.
Рассмотрение дисперсии релаксационного типа можно посмотреть в работе [7], добавим только, что учет релаксации приводит (при сохранении общего вида уравнения (5)) к появлению добавочной диссипации, которая описывается в рассматриваемом случае релаксационной добавкой ко второй вязкости, а последний член в (5) описывает общую «действительную» дисперсию, определяемую коэффициентом ё.
Нелинейные волны на поверхности жидкости и в плазме
Как отмечалось выше, в последнее время нелинейные волновые процессы интенсивно изучаются в физике плазмы, радиофизике, оптике, гидромеханике и др. Наряду со специфическими проблемами, возникающими в каждой области, имеется ряд вопросов, представляющих интерес с точки зрения построения общей теории нелинейных волновых процессов. Приведем несколько примеров нелинейных волн в диспергирующих средах [7] , описание и исследование которых может быть проведено в рамках настоящего метода.
Гравитационно-капиллярные волны на поверхности идеальной несжимаемой жидкости.
Волны этого типа описываются уравнениями Буссинеска (мелкая вода кНП 1 , с учетом капиллярных эффектов)
— + (йУ)и + + + -)УАН = 0 Ы 3 р
дН —
,--1- У( Ни) = 0 , где й - вектор скорости, к -
Ы
глубина жидкости, Н — к + Ц, Г/(х, у, () — 2 уравнение поверхности в момент времени I, а-
коэффициент поверхностного натяжения жидкости, р - плотность жидкости. Дисперсионное уравнение соответствующее линеаризованным уравнениям Буссинеска имеют вид
к2 3а
с(к) = с0к[1--(h2--)] +... где
6 рg
С . Параметр дисперсии d определяется
^ с0 п 2 3а > формулой и = — ^--). Существенно, что
6
Pg
2
при достаточно большом а (а > —-—) параметр дисперсии меняет знак; это влечёт за собой качественное изменение характера эволюции по сравнению со случаем, когда капиллярные эффекты невелики и > о. Уравнения Буссинеска совпадают по форме с уравнениями гидродинамики, дополненными членом, учитывающим дисперсию; роль плотности играет полная глубина жидкости Н, а давления - величина ^Н2/2 . На них автоматически распространяются все результаты, справедливые для соответствующих уравнений гидродинамики. Роль скорости звука при этом играет величина - с0 = . Аналогичные уравнения можно
получить и для других типов волн, в частности, для волн в плазме.
Ионно-звуковые волны в плазме без магнитного поля
Плазма рассматривается в «двухжидкостном» приближении, т.е. предполагается, что ионная и электронная плазмы описываются уравнениями гидродинамики, причем, ионная и электронная компоненты слабо взаимодействуют между собой и поэтому могут иметь существенно различные температуры. Кроме того, рассматриваются лишь медленные (ионные) колебания плазмы, обратные времена которых значительно меньше электронной ленгмюровской частоты. При сделанных предположениях уравнения движения для ионов принимают
вид 5^ + (йУ)м = -£а.уи-^УДи,
д1 пп пп
— + У (пи) = 0 . где П - плотность, с0 =
т
, и = с0Б2 ¡2, Б2 = Т/4жп0 в2 - дебаевский радиус, Т - электронная температура. Приведенные уравнения движения аналогичны уравнениям Бус-синеска и уравнениям гидродинамики без дисперсионного члена.
Нелинейные волны в плазме, находящейся в сильном магнитном поле
Отметим, не выписывая основных уравнений, что волны, распространяющиеся вдоль магнитного поля качественно аналогичны капиллярным волнам на поверхности жидкости, в то время, как волны, распространяющиеся поперёк магнитного поля, аналогичны гравитационным поверхностным волнам в неглубокой воде. Дисперсионное уравнение для магнитозвуковой ветви имеют вид
Нк „ к2с2
т„
с =
Л
жпт
[1 -——-Щ а)], а- угол 2 0)1
т
между волновым вектором и магнитным полем Н , т = те + т, с - скорость света.
Обобщенное описание нелинейных волновых процессов
Резюмируя результаты можно написать общее нелинейное волновое уравнение, описывающее во втором приближении распространение волн конечной амплитуды различной природы в диссипатив-ных и диспергирующих средах
дф
а
дф
дф
—у - сйДр = —[(Уф)2 + а(—)2 + ЬДф + и Д—] (6)
дг
&
аг
дг
где:
й(х,у,г,{) = -Уд)(х,у,г,{), ср-
ска-
- с, к =о_ а
дтдх 2 1 дг 2
лярный потенциал, постоянные коэффициенты с, а, Ь, и - определяются физическими и геометрическими свойствами среды и могут быть вычислены в каждом конкретном случае с помощью выше приведенных формул.
Дальнейшее исследование закономерностей распространения волн конечной амплитуды в различных средах будет осуществляться на основе параболического приближения уравнения (6). Для получения уравнения параболического приближения постулируется плавность изменений формы волны в любом направлении, т.е. малость их, по крайней мере, на протяжении длины волны, хотя на больших расстояниях от источника могут накопиться и не малые искажения первоначальной формы. В параболическом приближении уравнение (6) для квазиплоских волн принимает вид (7)
д т/2 ид2У ,д3¥1 —V + Ь—- + и—- ],
дг дг2 дг3
где:
1 дф
v (X, у, 1,г) = — — ..
сп дг
г = I - х/с0
л д2 д2
Д| =-7 + —7
1 дУ дг2
а = (у + 1)/2с0, Ь = Ь72с03, и = и х)2с\.
В случае плоских волн уравнение (7) принимает более простой вид
дV а д тл2 , д2V . д3V
— —--V + Ъ—^ + ё—^
дх 2 дт дт2 дт3
А для сферических и цилиндрических волн конечной амплитуды уравнение (7) записывается в виде (8)
дV п т, а д т,2 , д2V , д3V
— + — V —--V + Ъ—^ + ё—^
дг 2г 2 дт дт2 дт3
Изложению методов решений уравнений нелинейных волновых процессов в параболическом приближении для задач с граничными условиями, в которых надлежит проследить за движениями непрерывной среды, при заданных граничных значения поля, подчиняющегося одному из приведенных здесь уравнений будет посвящена следующая статья.
Литература
1. Гейзенберг В. Нелинейные проблемы в физике // УФН. 1968. Т.94. №1. С. 155-166.
2. Кузнецов В.П. Уравнения нелинейной акс-тики // Акуст. журн. 1970. Т. 16. №4. С. 548-553.
3. Заболотская Е.А., Хохлов Р.В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков // Акуст. журн. 1969. Т. 15. №1. С. 40-47.
4. Кузнецов В.П. Нелинейная акустика в океанологии. М.: Физматлит, 2010. 263 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: ГТТИ, 1953.
6. Малюжинец Г.Д. Развитие представлений о явлениях дифракции // УФН. 1959. Т. 69. №2. С. 321-334.
7. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: «Наука». 1973.
8. Кузнецов В.П. О спектральных методах решения уравнений нелинейной акустики // Акуст. журн. 2013. Т. 59. №3. С. 322-326.
САМОАКТИВИРОВАННОЕ СВЕЧЕНИЕ ZnSе С ДЕФЕКТАМИ УПАКОВКИ
Морозова Н.К.
Национальный исследовательский университет Московский энергетический институт
SELF-ACTIVATED EMISSION OF ZnSе WITH STACKING FAULTS
Morozova N.
National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Moscow, Russia
АННОТАЦИЯ
На основе теории антипересекающихся зон (bandanticrossingtheory ВАС) предложены зонные модели, объясняющие природу основных полос люминесценции ZnSe O в видимой SA и прикраевой SAL области спектра. Показано, что краевое свечение кристаллов ZnSe-O определенного состава представлено одной серией эквидистантных полос SAL(I) по аналогии с CdS-О
Выяснено, что для составов ZnSe-Se(O), близких к р- типу проводимости при избытке селена и кислорода, наблюдается сегрегация кислород содержащих комплексов на дефектах упаковки (ДУ). Это влияет на изменение зонной структуры материала и определяет образование сложной структуры мультизоны. В спектрах краевого свечения таких образцов наблюдалось три вида эквидистантных серий: SAL(I) и на ДУ-SAL(II) и SAL(Cu).
Концентрация кислородно - примесных и собственно - дефектных центров на ДУ может быть на порядок и более выше их содержания в остальном объеме кристалла. Экситонное свечение таких кристаллов не насыщается при увеличении плотности возбуждения до >1025- 26см-3с-1, а возрастает по интенсивности суперлинейно, свидетельствуя о начале вынужденного испускания.
Обнаружено, что кислород в кристаллах ZnSe-Se(O) растворяется и концентрируется на ДУ не только в виде устойчивых комплексов с собственными точечными дефектами решетки, но и в составе кислородно примесных комплексов. Эти особенности объясняют и специфику спектров самоактивированного ZnSe-Se(O).
ABSTRACT
Based on the bandanticrossingtheory (ВАС) band models are proposed that explain the nature of the main luminescence bands of ZnSeO in the visible SA and SAL near-edge spectral regions. It was shown that the edge emission of ZnSe-O crystals of a certain composition is represented by one series of equidistant SAL (I) bands by analogy with CdS-O and ZnS-O. It was found that for ZnSe-Se(O) compositions close to the p-type conductivity with an excess of selenium and oxygen, segregation of oxygen-containing complexes on stacking faults (SF) is observed. This affects the change in the band structure of the material and determines the formation of a complex multizone structure. In the edge emission spectra of such samples, three types of equidistant series were observed: SAL (I) and on the SF - SAL (II) and SAL (Cu). The concentration of oxygen-impurity and self-defective centers on the SF can be an order of magnitude or more higher than their content in the rest of the crystal volume. The exciton luminescence of such crystals does not saturate when the excitation density increases to >1025-26cm-3s-1,
