УДК 51
Мередов О.А.
преподаватель кафедры «Общая математика» Туркменский государственный университет имени Махтумкули
(г. Ашгабад, Туркменистан)
Оразгелдиева О.А.
студент факультета «Математика» Туркменский государственный университет имени Махтумкули
(г. Ашгабад, Туркменистан)
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРЕМУ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ: ПЕРЕКРЕСТНЫЙ И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Аннотация: в данной статье рассматриваются теорема о неподвижной точке. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния теоремы о неподвижной точке на математику.
Ключевые слова: анализ, метод, образование, математика, наука.
Теорема о неподвижной точке представляет собой один из фундаментальных принципов в математике, имеющий глубокие последствия и применения в различных областях, включая анализ, топологию, экономику и компьютерные науки. Суть этой теоремы заключается в том, что при определенных условиях функция, отображающая множество в себя, должна иметь по крайней мере одну точку, которая остается неподвижной. Это означает, что для функции \( f \), определенной на множестве \( X \), существует элемент \( x \in X \) такой, что \( f(x) = x \).
Этот простой на первый взгляд принцип нашел свое место в многих сложных теориях и реальных приложениях. От доказательства существования решений дифференциальных уравнений до анализа экономических моделей
равновесия, теорема о неподвижной точке оказалась важным инструментом для исследований и разработок.
В этой статье мы исследуем историю, математические основы и разнообразные применения теоремы о неподвижной точке. Мы также обсудим новейшие исследования в этой области и представим конкретные примеры, демонстрирующие практическое значение этой теоремы.
Исторический Контекст Теоремы о Неподвижной Точке
Исследование неподвижных точек началось в начале 20-го века и было важным разделом в развитии топологии и функционального анализа. Важные вехи в развитии этой теоремы включают работу нескольких ключевых математиков, которые значительно расширили наше понимание и применение этого принципа.
1. Леон Брауэр (1912): Брауэр, голландский математик, сформулировал и доказал одну из первых и самых известных версий теоремы о неподвижной точке. Его теорема, известная как Теорема Брауэра о неподвижной точке, утверждает, что для любого непрерывного отображения из компактного выпуклого множества в евклидовом пространстве в само себя существует по крайней мере одна неподвижная точка. Это открытие было фундаментальным в топологии.
2. Стефан Банах (1922): Польский математик Банах обобщил концепцию неподвижной точки в контексте метрических пространств, сформулировав теорему, известную сегодня как Принцип сжимающих отображений или Теорема Банаха о неподвижной точке. Этот принцип стал основополагающим в анализе и теории дифференциальных уравнений.
3. Лефшец и его фиксированная точка (1937): Американский математик Соломон Лефшец расширил концепцию неподвижной точки, введя мощный алгебраический метод, который позволил применять ее в более широком контексте. Теорема Лефшеца о неподвижной точке играет важную роль в алгебраической топологии.
Эти открытия и разработки положили начало многим современным исследованиям и приложениям теоремы о неподвижной точке, позволив ей стать одним из ключевых инструментов в математических и научных исследованиях. Эта теорема продолжает вдохновлять новые исследования и разработки в самых разных областях науки.
Математическое Доказательство Теоремы о Неподвижной Точке
Теорема о неподвижной точке включает в себя несколько важных математических утверждений и доказательств, которые зависят от контекста их применения. Рассмотрим два основных вида этой теоремы: Теорему Брауэра и Принцип сжимающих отображений (Теорему Банаха).
Теорема Брауэра о Неподвижной Точке
Теорема Брауэра утверждает, что для любого непрерывного отображения \( f \) из компактного выпуклого множества в евклидовом пространстве \( K \) в само себя существует по крайней мере одна неподвижная точка. То есть, существует такой элемент \( x \т K \), что \( Д(х) = x \). Эта теорема имеет фундаментальное значение в топологии и анализе.
Принцип Сжимающих Отображений (Теорема Банаха)
Теорема Банаха утверждает, что в полном метрическом пространстве любое сжимающее отображение \( f \) имеет ровно одну неподвижную точку. Отображение \( f \) называется сжимающим, если существует постоянная \( 0 < k < 1 \) такая, что для всех \( x, у \) из пространства выполняется неравенство \( d(f(x), Д(у)) k \cdot d(x, у) \), где \( d \) обозначает метрическое расстояние. Этот принцип нашел широкое применение в функциональном анализе и теории дифференциальных уравнений.
Эти математические доказательства и теории являются краеугольным камнем для понимания и применения теоремы о неподвижной точке в различных научных дисциплинах. Они не только предоставляют строгий математический фреймворк для изучения динамических систем, но и позволяют применять эти концепции в реальных приложениях, от экономических моделей до алгоритмов компьютерного программирования.
Заключение
Теорема о неподвижной точке, безусловно, является одним из краеугольных камней современной математики, оказывая глубокое влияние на множество областей науки и техники. Ее применение простирается от фундаментальных теоретических исследований до решения практических задач в разнообразных дисциплинах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Reich S. Kannans fixed point theorem. Boll. Unione Mat. Ital. 4 (4), 111 (1971).
2. Aamri M., El Moutawakil D. т-distance in general topological spaces with application to fixed point theory. Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, iss. 2 (2003).
3. Alber Y.I., Guerre-Delabriere S. Principle of Weakly Contractive Maps in Hilbert Spaces. In: Gohberg I., Lyubich Y. (eds.) Operator Theory: Advances and Applications. New Results in Operator Theory and Its Applications. Vol. 98. Basel, Birkh'auser (1997). https://doi.org/10.1007/978-3-03488910-0_2.
Meredov O.A.
Turkmen State University named after Magtymguly (Ashgabat, Turkmenistan)
Orazgeldieva O.A.
Turkmen State University named after Magtymguly (Ashgabat, Turkmenistan)
INTRODUCTION TO THE FIXED POINT THEOREM
Abstract: this article discusses the fixed point theorem. A cross-sectional and comparative analysis of the influence of the fixed point theorem on mathematics was carried out.
Keywords: analysis, method, education, mathematics, science.