Всевозможные базисы симметрической группы s n+1, из n циклов длины от 2 до n+1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542.1 В. В. Мендель

ВСЕВОЗМОЖНЫЕ БАЗИСЫ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ вп+1, ИЗ п ЦИКЛОВ ДЛИНЫ ОТ 2 ДО п+1.

В статье приводится способ нахождения некоторых базисов симметрической группы ¿>„+1. В качестве условия взято, что элементы базиса {у,}"и удовлетворяют равенству у,2 = у2 =■■■ = }'',Г1 = е. В работе описано количество таких базисов, алгоритмы их нахождения и некоторые выводы.

Ключевые слова: симметрическая группа, цикл, базис, представление.

Существует множество способов представления элементов симметрической группы. Одним из наиболее удобных можно считать такой, при котором каждому элементу группы 51 соответствует упорядоченная и-ка чисел, где на г-й позиции находится число от 0 до г (в таком виде легко определить порядок и длину подстановки). Один из способов получить такое представление элементов группы является разложение

всех ее элементов в произведение циклов соответствующих длин от 2 до и+1, то есть представление в некотором базисе где

У\ = УI = ■■■= У» = <-' {с — единичный элемент). Рассмотрим способ получения всех таких базисов и способ представления каждого элемента симметрической группы с их помощью. Для начала докажем вспомогательное утверждение:

Утверждение 1. Если элемент / = х"1... х"г" цикл порядка и+1. Здесь х = с^с'-,.. .е , где е. = (/,/ +1) (транспозиция соседних элементов) и х\ 1 = с, I = \л - 1, х хк = х]хк_]х1 для 1>к [1, с. 34], то при последовательном возведении элемента / в степени от 1 до и степень старшего образующего элемента Хп будет проходить в некотором порядке, все значения от 1 до и,

при возведении / в степень и+1 все степени образующих равны нулю. Доказательство.

В элементе / = х"1... х"" задающем подстановку

Мендель Василий Викторович — аспирант (Дальневосточный государственный гуманитарный университет, Хабаровск); e-mail: [email protected].

© Мендель В. В., 2014

87

(0 1 ... п-1 пЛ

, а однозначно определяет положение символа и в

\°0 «1 - а„-х ап) "

этой подстановке, и находится на позиции (и - ан) пюс1( п +1) [2, с. 299]. Так как при последовательном возведении цикла в степени символ п должен пройти все и позиций, то он посетит все позиции, кроме и, а значит, сте-

_ г а, а

пени ап примут все значения, кроме нуля. Ьсли возвести / — х1 ... хп в степень и, то получим единичный элемент, а значит, ап = 0. Утверждение доказано.

Замечание. Для любого элемента f = х"]... х"' порядка к, не

являющегося циклом длины п+1, возведение во все степени от 1 до к- \ не даст всех степеней ссп старшего образующего элемента. Это напрямую

следует из доказательства утверждения, так как символ п в таком случае включен в цикл меньшего порядка, чем п+1, а значит, не пройдет все позиции от 0 до п-1, даже если порядок элемента / больше или равен п+1.

Теперь можно доказать утверждение, при помощи которого находятся все интересующие нас базисы:

Теорема 1. Симметрическая группа +1 имеет 2!- 3!- ■ п\ базисов из

элементов 2 = уъ2=... = у']+1 - е . Доказательство.

1) Покажем, что если взять по одному любому циклу порядка

/ = 2, п +1, то любой элемент можно представить как последовательное умножение некоторых степеней этих циклов.

a) Возьмем набор _у2 = уъг= ... = у'^ 1 = е циклов соответствующей

длины (у. = х^ ... X^ ).

b) Известно, что любой элемент из 8п+1 представим в виде х"1... х"".

c) Согласно предыдущему утверждению для каждого элемента Х?...Х? существует такая степень^., чтоур = х^1...хр^х"'. Домножая,

| . в ✓у^ _ у ^ уу^ 1 Л 1

для любого г, х,1... х{ 7 справа на элемент у. ", будем получать л: 1 ... X до тех пор, пока не получим разложение изначального элемента в произведение степеней у,у .

Из а)-с) следует, что любой элемент группы Нп,, представим в виде у? у? ...ур , где у,..., уп циклы соответствующих длин. Из предьщуще-го утверждения следует, что если в качестве у выступает не цикл длины ¿+1, то в таком виде можно представить не все элементы группы 5п+1.

2) Пользуясь формулой для определения количества элементов заданной циклической структуры [3, с. 171], имеем, что в группе ровно

88

(/ — 1)I циклов длины I. Это значит, что существует 2\-Ъ\- ■ п\ способов выбрать базис у ; у в группе . Теорема доказана.

Замечание. В доказательстве предоставляется способ перехода от системы образующих элементов х1,...,х к произвольному базису элементов >-:,..., Уп •

Опираясь на вышеизложенный материал, можно составить алгоритм (и соответственно программу) для поиска всех таких базисов некоторой симметрической группы.

Алгоритм 1. Нахождение всевозможных базисов.

1) Задаем элементы х1,..., хп.

2) Для каждого из них находим множество Х{, / = 1, п всех сопряженных (любым известным способом на наше усмотрение).

3) Для каждого элемента из Х/ / = 1, П — 1 последовательно подставляем в базис на ¿+1 место все элементы из Хм, то есть генерируем всевозможные сочетания элементов из множеств X¡ (по одному из каждого).

Алгоритм 2. Нахождение представления элемента х"1 ...х"" в новом базисе.

1) Задаем базис группы Бп+г. у^ = у\ = ... = у"п+1 = е .

2) Начиная с и, для каждого элемента х"1...X.' находим степень у.

образующего у\ = л*''"1... х^ , такую, что степени старших образующих х/ совпадают.

а'-1 _ ^ (Х^ С?- У-

3) Получаем х,1 ... х/, 1 как произведение х,1... х1' • у/ .

4) Полученный набор у и есть степени базисных элементов у . Рассмотрим группу , она имеет 12 базисов, удовлетворяющих

нашим условиям. Выпишем их в таблицу вместе со значениями, определяющими взаимодействие базисных элементов между собой.

Как видно, существует всего 6 качественно различных базисов группы , то есть таких, где взаимодействия между соответствующими парами (у, у ) различны. Совпадающие базисы можно рассмотреть на

примере. Запишем подстановки, соответствующие первому и второму базису:

Г01^ "012ч "0123"

Х1 = ' Х2 ~ ' Хз

V10; J20 у1230у

89

Таблица

№ Базисные элементы Взаимодействие элементов

У1 У 2 Уз У 2 У1 У3 У1 У3 У 2

1 X X2 X3 УУ2 У1У2 У3 У1У32

2 X X22 X^X^ У1У2 У1У2 У3 У1У32

3 X X22 X3 У1У2 УУ2У3 2 3 У2У3

4 X X22 X2 X3 У1У2 УУ2^ 2 3 У2У3

5 X X22 XX2X3 У1У2 2 2 У 2 У3 2 3 У1У2 У3

6 X X2 X3 У1У2 2 2 У 2 У3 23 У1У2 У3

7 X X2 XX2X3 У1У2 У 2 У32 2 3 У2У3

8 X X22 X3 У1У2 У 2 У32 23 У22У33

9 X X22 X1X32 У1У22 3 У1У3 23 У22У33

10 X X22 2 3 X2 X3 У1У2 У1У33 23 У22У33

11 X X22 X1X32 У1У2 3 У1У3 У1У2 У32

12 X X2 2 3 X2 X3 У1У2 У1У33 У1У2 У32

2)х,=

Г011

vi 0,

х2 —

012 201

/

^0123^ 2031

V

У

Заметим, что если во втором базисе все 0 заменить на 1 и наоборот, то получим подстановки, соответствующие первому базису. Так как дру-

гой способ перенумеровывания неприемлем для х _

10

то можно

утверждать, что симметрическая труппа £ имеет

2\-Ъ\-...-п\ 2

качественно

различных базисов {}': }"=1.

Таким образом, нами получен способ нахождения всевозможных базисов симметрической группы 8п+1, удовлетворяющих условиям

У?=У32=~ = )С1=е.

Список литературы

1. Казинец В. А. Копредставление симметрической группы / / XXXIV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова «Фундаментальные проблемы математики и информационных наук»: тезисы докладов / Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2009. С. 33 — 35.

90

2. Мендель В. В. Умножение в симметрической группе в терминах порождающий и соотношений // Сборник статей аспирантов и студентов Дальневосточного государственного гуманитарного университета. Хабаровск: изд-во ДВГГУ, 2012. С. 297 - 303.

3. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. Харьков: Научно-техническое изд-во, 1937. 214 с.

* * *

Mendel Vasilii V.

VARIOUS BASES OF THE SYMMETRIC GROUP Sn+1,

FROM n CYCLES OF LENGTH FROM 2 TO n+1.

(Far Easten State University of Humanities, Khabarovsk)

The article provides a way of finding some bases of the symmetric group S„+l. As a condition is

taken that the elements of the basis {j,- )"=i satisfy the equation yf = y\ = ■■■ = у"*1 = e . The article

describes a number of such bases, algorithms for finding them and some conclusions.

Key words: Symmetric group, cycle, basis, representation.

References

1. Kazinets V. A. A Presentation of the Symmetric Group [Kopredstavlenie simmetricheskoy gruppy]. XXXIV Dal'nevostochnaya matematicheskaya shkola-seminar imeni akademika E. V. Zolotova «Fundamental'nye problemy matematiki i informatsionnykh nauk»: tezisy dokladov (Far Eastern Mathematical School Seminar, named after E. V. Zolotov "Fundamental Problems of Mathematics and Information Science": Book of abstracts). Khabarovsk, TOGU Publ., 2009, pp. 33 — 35.

2. Mendel V. V. Multiplication in the Symmetric Group in Terms of Generators and Relations [Umnozhenie v simmetricheskoy gruppe v terminakh porozhdayushchiy i sootnosheniy]. Sbornik statey aspirantov i studentov Dal'nevostochnogo gosudarstvennogo gumanitarnogo universiteta (Collection of Articles by Postgraduate Students of the Far Eastern State University of Humanities). Khabarovsk, DVGGU Publ., 2012, pp. 297 — 303.

3. Frobenius G. Teoriya kharakterov i predstavleniy grupp (The Theory of Characters and

Group Representations), Kharkov, Scientific and Technical Publ., 1937. 214 p.

* * *

91