CC BY
11
DOI: 10.15593/RZhBiomeh/2016.4.09 УДК 616.284-004
к Российский
Журнал / Биомеханики
www.biomech.ru
ВРЕМЯ ЗАВЕРШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКИ МОДЕЛИРУЕМЫХ БИОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
А.А. Селянинов1, А.А. Баранова2, Е.В. Вихарева3
,3
1 Кафедра теоретической механики и биомеханики Пермского национального исследовательского политехнического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29, e-mail: [email protected]
2 Кафедра физики и математики Пермской государственной фармацевтической академии, Россия, 614990, Пермь, ул. Полевая, 2, e-mail: [email protected]
3 Кафедра аналитической химии Пермской государственной фармацевтической академии, Россия, 614990, Пермь, ул. Полевая, 2, e-mail: [email protected]
Аннотация. Исследование биомеханических процессов зависит от наблюдателя (как, в принципе, вообще в механике). Ставится задача нахождения времени завершения процесса, которое в данной работе определяется временем достижения заранее заданного значения определяющего процесс параметра. При инструментальном сопровождении реализации биомеханического процесса можно прогнозировать его завершение путем наблюдения за изменением определяющего параметра или на основе кинетического моделирования данной реализации. Если при тех же условиях наблюдатель не следит за течением процесса, то процесс становится по сути случайным. Это связано с тем, что биомеханические процессы, как биологические и биотехнологические, связаны с жизнедеятельностью органов или микроорганизмов, что приводит к неоднозначности течения и результатов реализаций. В этом случае прогнозировать время достижения заранее заданного значения определяющего процесс параметра можно лишь с заданной вероятностью. Для исследования этих процессов как случайных необходима серия экспериментов или наблюдений за повторяемостью реализаций. Как правило, необходимая информация ограничена как по количеству реализаций, так и по числу наблюдений по временным сечениям процесса. Простые (кинетически моделируемые) случайные процессы могут быть описаны обыкновенными функциями системы ограниченного числа случайных параметров на основе кинетических моделей для реализаций. Кардинальным является вопрос о достоверности закона распределения системы случайных величин. В данной работе предложен критерий достоверности закона распределения случайных параметров в условиях малой выборки и разработана методика определения времени завершения биомеханических процессов с заданной вероятностью. Предложенная методика дает возможность разработать и реализовать детерминированную и вероятностную постановки задач оптимизации для простых биомеханических процессов.
Ключевые слова: биомеханические процессы, кинетика, позиция наблюдателя, время завершения, детерминированный и вероятностный подходы, закон распределения, малая выборка, критерий достоверности.
© Селянинов А.А., Баранова А. А., Вихарева Е.В., 2016
Селянинов Александр Анатольевич, д.т.н., профессор кафедры теоретической механики и биомеханики, Пермь
Баранова Анна Александровна, ассистент кафедры физики и математики, Пермь
Вихарева Елена Владимировна, д.фарм.н., заведующая кафедрой аналитической химии, Пермь
Введение
Биомеханические процессы, как биологические, так и биотехнологические, связаны с жизнедеятельностью органов или микроорганизмов, что приводит к неоднозначности течения и результатов реализаций. Наблюдатели (исследователи, врачи и пациенты) заинтересованы в прогнозе течения и времени окончания подобных процессов.
Позиция наблюдателя определяет кардинальные различия результатов наблюдения.
1. За процессом производится непрерывное или дискретное во времени наблюдение с регистрацией определяющих параметров. При инструментальном контроле прослеживается течение процесса с прогнозом завершения. При адекватном математическом моделировании в данном случае возможно прогнозирование времени окончания процесса при значительно меньшем числе регистраций параметров во времени. Речь идет о конкретной реализации или о конкретном пациенте. В этом случае проявляется детерминированный подход.
2. Контролируются исходные условия и определяющие процесс параметры для группы подобных реализаций или пациентов, для которых при одинаковых условиях следует дать прогноз течения и завершения процесса. В силу индивидуальных особенностей процесс будет случайным, в результате чего время окончания можно прогнозировать только с определенной вероятностью. В данном случае необходим вероятностный подход. Для его применения требуются эксперименты на повторяемость или набор медицинской статистики. В силу сложностей различного плана фиксации т \1\о определяющих процесс параметров вероятностный подход применяется в условиях малой выборки.
В работе [14] сформирован класс кинетически моделируемых биомеханических процессов, основным требованием принадлежности к которому является монотонность течения и гладкость реализаций, а также наличие данных по изменению определяющих параметров во времени. В работах Пермской школы биомехаников произведен кинетический анализ ряда процессов из этого класса: заживление мягких тканей [1], сушка желатиновых капсул с лекарственными средствами [10-11], биодеструкция лекарственных средств [4, 12, 15], восстановление слуха после стапедопластики [19]. Соответствующие математические модели основаны на кинетических уравнениях различного порядка по классификации из области химической кинетики [13] и биотехнологии [2].
В работах [16, 19] разработаны подходы к вероятностному анализу на примере восстановления слуха после стапедопластики и биодеструкции лекарственных средств.
Целью данной работы является разработка методики прогноза времени завершения кинетически моделируемых биомеханических процессов в условиях малой выборки.
Методика определения времени завершения кинетически моделируемых
биомеханических процессов с заданной вероятностью
Через х обозначим значение определяющего параметра в реализациях биомеханического процесса.
В детерминированном подходе время завершения реализации процесса I (х^)
определяется временем достижения параметром предельного значения хпр и элементарно определяется из кинетического уравнения [1, 10-12, 15].
В вероятностном подходе время завершения биомеханического процесса ^пр (хпр, рр) определяется временем достижения параметром предельного значения хпр
с заданной вероятностью р .
В качестве случайного биомеханический процесс Х(г) представлен обычной функцией системы случайных величин, которые являются параметрами кинетической модели (пусть а и Ь),
Х(г)=/(а, Ь, г), (1)
где а и Ь становятся случайными величинами.
Для определения времени предлагается использовать верхнюю границу доверительного интервала течения биомеханического процесса с заданной вероятностью. Границы доверительного интервала связаны с дисперсией случайного процесса, которую при таком представлении определяют дисперсии случайных параметров кинетической модели для реализаций. Вероятность попадания в доверительный интервал определяет закон распределения системы случайных параметров кинетической модели.
Для исследования процесса как случайного предложено провести эксперименты на повторяемость или, при наличии, использовать медицинскую статистику, в результате чего получены результаты изменения параметра X (гк), г = 1, /тах, к = 1, к^ , где /тах = 10, что означает малую выборку, ктах = 4 -
малое количество временных сечений процесса, полученных экспериментально.
С одной стороны, на основе этих данных можно произвести моделирование процесса (1) с определением методами статистики выборочных аналогов числовых характеристик системы случайных параметров и с последующим определением выборочных аналогов числовых характеристик уже для самого определяющего процесс параметра. При этом кардинальным является вопрос о достоверности применяемого закона распределения системы случайных параметров (пусть а и Ь) в условиях малой выборки.
С другой, классической, стороны этот процесс на основе данных по повторяемости можно представить системой случайных величин - значений
определяющего параметра по временным сечениям процесса: Х^ (гк), к=1, ктх , где £Шах равно числу временных сечений, в которых произведены экспериментальные замеры.
Учитывая, что наиболее чувствительной к дисперсиям параметров кинетической модели реализацией является дисперсия определяющего процесс параметра, вводим критерий достоверности закона распределения исходных случайных величин в виде
Дл(г)-тт, г е (0,да), 7 = 1,2,..., (2)
где Д')(г) - выборочная дисперсия на момент времени ^ случайного процесса, полученная с у'-м вариантом закона распределения системы случайных величин; Д - экспериментально определенная выборочная дисперсия в сечении процесса на тот же момент времени из эксперимента на повторяемость. В качестве нормы в выражении (2) можно предложить сумму модулей или максимум модуля разности выборочных дисперсий по временным сечениям.
На основании предложенного критерия определяется достоверный закон распределения исходной системы случайных величин. Параметрами этого закона являются выборочные дисперсии и средние выборки системы исходных случайных величин, определенные по выборке параметров кинетических кривых для реализаций биомеханического процесса.
Замечание: для процесса биодеструкции парацетамола таким законом является нормальный, для дротаверина гидрохлорида («Но-Шпы») - логнормальный закон распределения.
Интегрирование полученного закона распределения позволяет определить пределы изменения исходных случайных величин на основании требуемой вероятности. Полученные значения случайных величин определяют согласно выражению (1) нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала течения процесса с заданной вероятностью р .
В результате время завершения биомеханического процесса t (хпр, р*) предлагается определять как время достижения определяющим параметром предельного значения х с заданной вероятностью р по верхней границе соответствующего доверительного интервала согласно выражению
tnp (Хр > Р ) = min t
te(0,<»)
. (3)
P (Xt < Хпр ) = Р*
Предложенная методика дает возможность разработать и реализовать детерминированную и вероятностную постановки задач оптимизации для кинетически моделируемых биомеханических процессов.
Время завершения биомеханических процессов с заданной вероятностью
Применим предложенную методику определения времени завершения с заданной вероятностью по верхней границе доверительного интервала для ряда биомеханических процессов. Вид доверительного интервала зависит от динамики биомеханического процесса, которая описывается соответствующим кинетическим уравнением.
На рис. 1 приведены схемы доверительных интервалов для перемещения зуба при коррекции зубного ряда с применением эластопозиционеров (а) и уменьшения болевого синдрома после полостной операции (б).
Необходимость коррекции зубного ряда в ортодонтии достаточно часто возникает у детей после замены молочных зубов постоянными, если зуб не встраивается в зубной ряд. Коррекция производится применением брекет-системы или эластопозиционера, причем использование эластопозиционера зачастую предпочтительнее, так как он носится несколько часов в день и в ночное время [18].
В качестве определяющего процесс параметра х предложено перемещение зуба и, мм. Клинику процесса описывает модель на основе кинетического уравнения нулевого порядка с двумя параметрами, отражающими начальную величину дефекта и0 и скорость устранения дефекта Ь. Вероятностный анализ основывается на клинической статистике. Схема доверительного интервала с заданной вероятностью приведена на рис. 1, а. В качестве х предложена допустимая величина дефекта
ипр, мм, которая определяет время завершения коррекции зубного ряда по верхней границе доверительного интервала на рис. 1, а согласно выражению (3).
х, мм
X, %
месяцы
Ю /. сутки
Рис. 1. Схемы доверительных интервалов для определения времени завершения процессов: а - перемещения зуба при коррекции зубного ряда; б - уменьшения болевого синдрома: 1 - верхняя граница доверительного интервала; 2 - нижняя граница доверительного интервала; 3 - математическое ожидание
Подобным образом ведет себя процесс сушки желатиновых капсул с гидрофильным наполнителем [10-11].
Болевой синдром после полостных операций в хирургии возникает на второй день, что связано с прекращением действия наркоза. Начальную величину болевых ощущений х0 предложено принять за 100 %. Динамика изменения болевого синдрома оценивается ежедневно по ощущениям пациента с фиксацией параметра х, %, от начального и описывается кинетическим уравнением минус первого порядка с одним параметром, отражающим скорость устранения болевого синдрома Ь. Вероятностный анализ основывается на клинической статистике. Схема доверительного интервала с заданной вероятностью приведена на рис. 1, б. В качестве допустимой предложена слабая величина боли х = 5 % от начальной, которая определяет время завершения
проявления болевого синдрома по верхней границе доверительного интервала (рис. 1, а) согласно выражению (3).
На рис. 2 приведены схемы доверительных интервалов для заживления мягких тканей в послеоперационный период (а) и восстановления слуха после стапедопластики (б).
х, мл
X, дБ
а
25 t, сутки
20 15 10 5 0
гпр
0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25месяцы б
Рис. 2. Схемы доверительных интервалов для определения времени завершения процессов: а - заживления мягких тканей в послеоперационный период; б - восстановления слуха после стапедопластики: 1 - верхняя граница доверительного интервала; 2 - нижняя граница доверительного интервала; 3 - математическое ожидание
а
Процесс заживления мягких тканей, стянутых хирургической нитью после полостных операций, длится в течение нескольких недель. В качестве определяющего процесс параметра х предложен объем отделяемого V, мл [1]. Клинику процесса описывает модель на основе кинетического уравнения минус первого порядка с двумя параметрами, отражающими начальную величину объема отделяемого У0 и скорость заживления Ь. Вероятностный анализ основывается на клинической статистике. Схема доверительного интервала с заданной вероятностью приведена на рис. 2, а. В качестве х предложена допустимая величина объема ¥пр, которая оценивается врачом и
определяет время заживления по верхней границе доверительного интервала (рис. 2, а) согласно выражению (3).
Различные аспекты стапедопластики и послеоперационной адаптации пациентов рассмотрены в работах российских [6-7, 17] и зарубежных авторов [20-25]. Восстановление слуха после стапедопластики в отохирургии связано с раневым процессом, протекающим в окрестности рабочей части протеза стремени поршневого типа, и подтверждено клиническими наблюдениями за изменением различных показателей состояния слуха в послеоперационный период [8-9, 19]. Улучшение слуха в течение первого послеоперационного месяца можно связать с формированием упругой мембраны в области рабочей части протеза, которая частично восстанавливает гидродинамику движения жидкости в лабиринте внутреннего уха. Одним из показателей инструментального контроля является значение костно-воздушного интервала (КВИ, дБ).
В качестве определяющего процесс параметра х предложено выбрать изменение показателя КВИ, дБ, в послеоперационный период [19]. Клинику процесса описывает модель на основе кинетического уравнения первого порядка с двумя параметрами, отражающими начальную величину изменения показателя КВИ0 и скорость восстановления слуха Ь. Вероятностный анализ основывается на клинической статистике. Схема доверительного интервала с заданной вероятностью приведена на рис. 2, б. В качестве х предложена допустимая величина изменения
показателя КВИпр, в частности равная нулю. Допустимая величина изменения показателя КВИпр определяет время завершения восстановления слуха после стапедопластики по верхней границе доверительного интервала (рис. 2, б) согласно выражению (3).
В полном объеме предложенная методика определения времени завершения биомеханического процесса с заданной вероятностью реализована для анализа биологической деструкции дротаверина гидрохлорида. Процесс связан с жизнедеятельностью почвенных бактерий, интенсифицируется в лабораторных условиях с целью очистки сточных вод, утилизации лекарственных средств и получения полезных продуктов [3-5, 12, 15-16]. В качестве определяющего процесс параметра х, %, предложена концентрация дротаверина гидрохлорида в культуральной жидкости по отношению к начальной. Адекватная экспериментальным данным модель - кинетическое уравнение первого порядка с двумя параметрами, отражающими скорость процесса Ь и ускорение а.
Введенный критерий (2) по выборочной дисперсии случайного процесса Пх(¿) применили для выбора достоверного закона распределения системы случайных величин а и Ь. По данным эксперимента на повторяемость нашли выборочные дисперсии в соответствующие моменты времени для использования критерия (2) (рис. 3). Из рис. 3 следует, что выборочная дисперсия процесса по данным эксперимента близка к выборочной дисперсии, определенной с применением гипотезы о логнормальном законе распределении, поэтому считаем его достоверным для биологической деструкции дротаверина гидрохлорида.
Dx, %2
120 80 40 0
/ /- У 1 I
in Vv2 ДУ \ 1 1
N \\ \ Ч \ \\ \ 1 1 1
\ \ 1 /
3 \ \ ч, ч
10
15
20
I, сутки
Рис. 3. Выборочный аналог дисперсии Дх(0: 1 - нормальный закон распределения; 2 - линеаризация; 3 - логнормальный закон распределения; ■ - экспериментальные
значения
x, % 80 60 40 20
(Г
к
\\ч 1
\ \ \
\ \ /зч
2 \ ---
ю
15
б
t, сутки
Рис. 4. Время завершения процесса биологической деструкции дротаверина гидрохлорида с вероятностью 95 %: а - плотность распределения системы случайных величин а и Ь; б - доверительный интервал, ограниченный кривыми:
1 - х(аь Ьь t); 2 - х(а2, Ь2, t); 3 - шх($)
Для процесса биологической деструкции дротаверина гидрохлорида с применением логнормального закона распределения построили доверительный интервал течения реализаций с заданной вероятностью 95 %, исходя из требований фармации (рис. 4, б).
а
На рис. 4, а приведена плотность распределения системы случайных величин а и Ь. Выражение для определения необходимой вероятности имеет вид
a? b
р = Ц /(а, Ь)йайЬ ^р ♦ = 0,95, (4)
а1 Ь1
где плотность распределения двух независимых величин (значение Каь близко к 0) определена выражением
( „ ™ 42 Л , ( /1 д ч2 Л
1
a
(ln a - ma )2 1 (ln b - m )
f (a, b) = f (a)f (b) = - exp -v ^ 2 ^ - exp ^ 2 ^ . (5)
2g
b
2g
На рис. 4, а точка 2 соответствует нечувствительности выражения (4) к значениям случайных параметров и нижней границе доверительного интервала с вероятностью 95 % (см. рис. 4, б). Точка 1 на рис. 4, а определяется достижением заданной вероятности, согласно выражению (3), при уменьшении значений а и Ь и соответствует верхней границе доверительного интервала с вероятностью 95 % (см. рис. 4, б).
Согласно выражению (3) и рис. 4, б время биологической деструкции с целью утилизации дротаверина гидрохлорида, т.е. достижения концентрации хпр =1 % от начальной, составляет 21,3 сут. с вероятностью 95 %. Кстати, при биомеханическом сопровождении реализации при тех же условиях, т.е. при детерминированном подходе, время биологической деструкции дротаверина гидрохлорида составило 13,7 сут.
Выводы
1. Разработана методика прогноза времени завершения с заданной вероятностью кинетически моделируемых биомеханических процессов в условиях малой выборки по верхней границе доверительного интервала.
2. Для решения вопроса о достоверности закона распределения системы случайных величин (параметров кинетического уравнения) введен критерий на основе сравнения выборочной дисперсии процесса, полученной в результате математического моделирования, с выборочной дисперсией, полученной по сечениям процесса из экспериментов на повторяемость.
3. Рассмотрен ряд биомеханических процессов. В полной мере методика проиллюстрирована при процессе биологической деструкции лекарственных средств на примере дротаверина гидрохлорида. Предложенная методика дает возможность разработать и реализовать детерминированную и вероятностную постановки задач оптимизации для рассмотренного ряда биомеханических процессов.
Благодарность
Авторы выражают благодарность за помощь в постановке задач и обсуждение результатов исследований научному руководителю кафедры теоретической механики и биомеханики Пермского национального исследовательского политехнического университета, основателю Пермской школы биомеханики профессору Ю.И. Няшину.
Список литературы
1. Баранова А.А., Селянинов А.А., Вихарева Е.В. Кинетическое моделирование биомеханических процессов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2012. - № 3. - С. 7-25.
2. Бирюков В.В. Основы промышленной биотехнологии. - М.: КолосС, 2004. - 296 с.
3. Вихарева Е.В., Селянинов А.А., Данилов Ю.Л., Рудакова И.П., Нечеухина Т.А., Ившина И.Б., Няшин Ю.И. Математическая модель процесса биодеструкции парацетамола как открытой системы // Российский журнал биомеханики. - 2008. - Т. 12, № 2. - С. 41-54.
4. Вихарева Е.В., Селянинов А.А., Ившина И.Б., Няшин Ю.И. Математическое моделирование процесса биодеструкции парацетамола актинобактериями рода Rhodococcus // Российский журнал биомеханики. - 2007. - Т. 11, № 2. - С. 93-100.
5. Вихарева Е.В., Селянинов А.А., Няшин Ю.И., Ившина И.Б. Кинетическая схема процесса биодеструкции парацетамола с истекшим сроком годности // Российский журнал биомеханики. -2006. - Т. 10, № 3. - С. 72-79.
6. Еловиков А.М., Селянинов А.А., Лиленко С.В., Нигматуллина С.В. Биомеханические особенности функционирования протеза стремени для стапедопластики при различном расположении центра тяжести // Российская оториноларингология. - 2014. - № 2 (69). - С. 27-31.
7. Еловиков А.М., Селянинов А.А., Няшин Ю.И., Лиленко С.В. Условия функционирования протеза стремени с позиции биомеханического моделирования // Российская оториноларингология. -
2012. - № 5 (60). - С. 57-61.
8. Еловиков А.М., Селянинов А.А., Няшин Ю.И. Особенности функционирования стремени при отосклерозе с позиции биомеханического моделирования // Вестник оториноларингологии. -
2013. - № 2. - С. 31-33.
9. Еловиков А.М., Селянинов А.А., Лиленко С.В., Нигматуллина С.В. Биомеханические предпосылки сохранения сухожилия стременной мышцы при стапедопластике // Вестник оториноларингологии. - 2014. - № 5. - С. 41-44.
10. Иванова Н.А., Вихарева Е.В., Баранова А.А., Селянинов А.А. Влажность оболочки и прочностные характеристики мягких желатиновых капсул с гидрофильными наполнителями // Фармация. -2013. - № 2. - С. 36-38.
11. Иванова Н.А., Разепина Я.А., Самбулова А.А., Баранова А.А., Вихарева Е.В., Сульдин А.В., Селянинов А.А. Выбор оптимального состава мягких желатиновых капсул с использованием нормированной целевой функции // Вестник Уральской медицинской академической науки. -2011. - № 3/1 (37). - С. 81.
12. Карпенко Ю.Н., Селянинов А.А., Мухутдинова А.Н., Рычкова М.И., Баранова А.А, Вихарева Е.В., Ившина И.Б. Хроматографическое определение дротаверина гидрохлорида и кинетическое моделирование процесса его биодеструкции в культуральной жидкости R. rhodochrous // Журнал аналитической химии. - 2014. - Т. 69, № 7. - С. 750-755.
13. Леенсон И.А. Как и почему происходят химические реакции. Элементы химической термодинамики и кинетики. - Долгопрудный: Интеллект, 2010. - 224 с.
14. Селянинов А.А. Класс кинетически моделируемых биомеханических случайных процессов // Российский журнал биомеханики. - 2012. - Т. 16, № 4. - С. 22-35.
15. Селянинов А.А. Вихарева Е.В. Кинетика биодеструкции лекарственных средств - производных фенола, изохинолина и карбоновых кислот // Российский журнал биомеханики. - 2010. - Т. 14, № 3. - С. 79-91.
16. Селянинов А.А., Вихарева Е.В., Баранова А.А., Карпенко Ю.Н. Стохастический анализ повторяемости процесса биологической деструкции дротаверина гидрохлорида // Российский журнал биомеханики. - 2013. - Т.17, № 1. - С 41-54.
17. Селянинов А.А., Еловиков А.М., Бородулина Т.С., Подгаец Р.М. Выбор параметров протеза стремени при стапедопластике на основе собственных частот // Российский журнал биомеханики. -2009. - Т. 13, № 4. - С. 42-53.
18. Селянинов А.А., Тотьмянина А.В, Подгаец Р.М. Биомеханическое сопровождение коррекции зубного ряда с применением эластопозиционеров // Российский журнал биомеханики. - 2012. -Т. 16, № 1. - С. 57-79.
19. Чарнцева О.В., Селянинов А.А., Еловиков А.М. Кинетика восстановления слуха после стапедопластики // Master's Jounal. - 2015. - № 2. - С. 189-196.
20. Beer H.-J., Bornitz M., Hardke H.-J., Schmidt R., Hofman G., Vogel U., Zahnet T., Huttenbrink K.-B. Modeling of components of the human middle ear and simulation of their dynamic behavior // Audiol. Neurootol. - 1999. - Vol. 4. - P. 156-162.
21. Eiber A., Huber A.M., Lauxmann M., Chatzimichalis M., Sequeira D., Sim J.H. Contribution of complex stapes motion to cochlea activation // Hear Res. - 2012. - Vol. 284, № 1-2. - P. 82-92.
22. Huttenbrink K.B. Biomechanics of stapesplasty: a review // Otol. Neurootol. - 2003. - Vol. 24, № 4. -P. 548-557.
23. Rosowski J.J. Mechanism of sound conduction in normal and diseased ears / Eds. J.J. Rosowski, S.N. Merchant. The function and mechanics of normal, diseased and reconstructed middle ear. - The Hague: Kugler Publications, 2000. - P. 137-145.
24. Sim J.H., Puria S. Soft tissue morphometry of the malleus-incus complex from micro-CT imaging // J. Assoc. Res. Otolaryngology. - 2008. - Vol. 9. - P. 5-21.
25. Volandri G., Di Puccio F., Forte P., Manetti S. Model-oriented review and multi-body simulation of the ossicular chain of the human middle ear // Medical Engineering & Physics. - 2012. - Vol. 34. -P. 1339-1355.
TIME OF COMPLETION OF KINETIC MODELLED BIOMECHANICAL PROCESSES
A.A. Selyaninov, А.А. Baranova, E.V. Vikhareva (Perm, Russia)
Research of biomechanical processes depends on the observer (as, in principle, generally in mechanics). The problem of determining time of completion of the process is formulated. In this paper, this time is determined by the achievement of predetermined value of the parameter defining the process. Completion of the process can be predicted by observation of changes of determining the parameter or is based on kinetic modelling of this implementation at instrumental accompaniment of biomechanical process. The process is essentially random under the same conditions if observer does not monitor course of the process. This situation is due to the fact that the biomechanical processes as biological and biotechnological processes are linked to the activity of organs or microorganisms. It leads to ambiguity of procedure and results of implementations. In this case, time of reaching of predetermined value of determining parameter of the process can be predicted only at given probability. Series of experiments or observations of repeatable implementations is necessary for research of these processes as random. As a rule, the required information is limited both by number of realizations and the number of observations on temporary sections of the process. Simple (kinetically modelled) random processes can be described by the ordinary functions of the system of limited number of random parameters based on kinetic models for implementations. The cardinal question is the reliability of distribution of random variables. In this paper, criterion of reliability of distribution of the random parameters in case of small sample is proposed, and the method of determining time of completion of biomechanical processes with given probability. The proposed method makes possibility for development and implementation of deterministic and probabilistic formulations of optimization problems for simple biomechanical processes.
Key words: biomechanical processes, kinetics, observer position, time of completion, deterministic and probabilistic approaches, law of distribution, small sample, criterion of reliability.
Получено 11 декабря 2016
