CC BY
38
Время ожидания в неоднородных системах с очередями 39
Сведения об авторе
Людмила Александровна Муравьева-Витковская — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра вычислительной техники; E-mail: muravyeva-vitkovskaya@yandex.ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
вычислительной техники 23.12.13 г.
УДК 004.89: 002.53
В. В. Соснин
ВРЕМЯ ОЖИДАНИЯ В НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМАХ С ОЧЕРЕДЯМИ ПРИ ОБСЛУЖИВАНИИ ЗАЯВОК В ПОРЯДКЕ ПОСТУПЛЕНИЯ
Для системы массового обслуживания с заявками двух классов с помощью имитационного моделирования рассчитано среднее время ожидания в очереди при использовании бесприоритетной дисциплины обслуживания. Показаны условия, при которых различается среднее время ожидания заявок разных классов.
Ключевые слова: неоднородная система массового обслуживания, среднее время ожидания в очереди, бесприоритетная дисциплина обслуживания.
Введение. В теории массового обслуживания важное место занимает бесприоритетная дисциплина обслуживания (ДОБП). Традиционно считается [1], что при ДОБП качество обслуживания заявок разных классов одинаково (показателем качества считается среднее время ожидания заявки в очереди). В работе [2] показано, что в системе M/G/1 ДОБП ни один из классов не имеет преимуществ в качестве обслуживания, т.е. если значения времени ожидания в очереди заявок к классов суть случайные Ц\, Щ,..., И, то их математические ожидания равны: М[И^] = М[И2] = ... = М[И^]. Однако цель настоящей работы — проверить, обладает ли этим свойством весь класс систем GI/GI/1 с ДОБП [3]. Для подтверждения корректности полученных автором результатов были проведены дополнительные исследования.
Поставленная задача решалась с помощью имитационного моделирования. Рассмотрим пример исследования системы массового обслуживания (СМО) GI/GШ с заявками двух классов (НК — низконагружающий, ВК — высоконагружающий класс), которые создают загрузки Рвк = 0,3 и Рнк = 0,03 . Время обслуживания заявок ВК и НК — случайная величина Ввк и ^нк такая, что М [ Ввк ] = М [ ] = 10 у. е. Время между приходом заявок ВК и НК — случайная величина ^вк и ^нк . Для моделирования ^вк , ^НК, ^ВК и используется гамма-распределение, каждая из этих величин имеет фиксированное значение математического ожидания, а коэффициент вариации V изменяется от 0 до 3 с шагом 0,1 так, что у= v[^вк ] = v[^нк ] = v[^вк ] = VВнк ]. При проведении имитационных экспериментов измеряются время ожидания в очереди заявок каждого из классов (Иж и ), а также относительное различие их средних значений:
е = М [ИВК ] - М [ИНК ] 100% М [Инк]
40
В. В. Соснин
Результаты имитационного моделирования этой системы приведены на рисунке. Высота значков на кривых соответствует величине 99 %-ного доверительного интервала измеренных в соответствующей точке величин (по Стьюденту). На рисунке а видно, что средние задержки НК и ВК заметно различаются за пределами доверительного интервала. Относительное значение этого различия представлено на рисунке б: видно, что среднее время ожидания заявок ВК может быть на 90 % меньше или на 20 % больше среднего времени ожидания заявок НК.
а) 6)
Аналогичный характер имеет соотношение вариации времени ожидания, отличие состоит в том, что относительная разница их значений несколько меньше. Приведенный пример позволяет однозначно утверждать, что „свойство бесприоритетности" ДОБП в СМО М/О/1 не может быть распространено на весь класс систем 01/0/1. Анализ экспериментальных данных показал, что заявки НК получают тем лучшее качество обслуживания, чем ближе параметры системы к следующим предельным значениям: у[] ^ 0, ^вк ] ^ да ,
Ч^ВК ] ^ 0, у[5НК ] ^ 0, Рвк ^ да . Указанное свойство проверялось для у[^ВК ] < 5 . При
РНК
у[^вк ]> 5 для получения результатов с приемлемым доверительным интервалом требуются существенные вычислительные мощности. Примем, что полученное свойство верно для всей области значений 0 <у[^вк ] <гх, тогда с помощью аналитических преобразований (см. подробный вывод в [3]) можно сформулировать следующее неравенство:
М [Жнк ] >рМ [Жвк ]. (1)
Этот результат подтверждается имитационными экспериментами с различными законами распределения (двухфазное Кокса, гамма, равномерное). Приведем пример возможного применения полученного результата. Рассмотрим процессы, протекающие на выходном порте некоторого маршрутизатора в компьютерной сети. В качестве потока заявок ВК рассматривается сетевой трафик, который проходит через порт. Современные маршрутизаторы позволяют в режиме реального времени получить данные о текущих характеристиках передачи пакетов, поэтому будем считать информацию о средних задержках пакетов потока ВК доступной и достоверной. В качестве потока заявок НК рассматривается сетевой трафик низкой интенсивности, который планируется дополнительно пустить через рассматриваемый порт. Тогда неравенство (1) позволяет оценить максимальное преимущество в качестве обслуживания, которое могут получить заявки НК. Например, пусть заявки ВК создают 60 %-ную нагрузку, а их среднее время ожидания в очереди равно 200 мс. Пусть требуется пустить в эту СМО еще один поток заявок, увеличивающий ее нагрузку на 3 %. Тогда формула (1) позволяет утверждать, что время ожидания в очереди заявок нового потока не может быть менее 123 мс.
Оптимизация перераспределения нагрузки в кластерах 41
Таким образом, в настоящей работе получены следующие результаты:
1) с помощью имитационных экспериментов показано, что при бесприоритетной дисциплине обслуживания заявки разных типов могут иметь разные средние значения времени ожидания в очереди, а также разные вариации этого времени;
2) получена численная оценка нижней границы для показателей ожидания низконагру-жающих потоков заявок.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bolch G., Greiner S., Meer H., Triverdi K. Queueing networks and Markov chains: modeling and performance evaluation with computer science applications. NY: John Wiley & Sons, 1998.
2. КлейнрокЛ. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979. 600 с.
3. Соснин В. В. Свойства бесприоритетной дисциплины обслуживания в системах вида GI/G/1 // Тр. 5-й Всерос. науч.-практ. конф. „Имитационное моделирование. Теория и практика" (ИММОД 2011). СПб, 2011. Т. 2. С. 355—360.
Владимир Валерьевич Соснин
Сведения об авторе
канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра вычислительной техники; E-mail: vsosnin@mail.ru
Рекомендована кафедрой вычислительной техники
Поступила в редакцию 23.12.13 г.
УДК 681.3
В. А. Богатырев, А. В. Богатырев, С. В. Богатырев
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ В КЛАСТЕРАХ ПРИ ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ АКТИВНОСТИ ИСТОЧНИКОВ ЗАПРОСОВ
Предложено решение задачи динамической оптимизации перераспределения запросов через сеть в общедоступный кластер, выполняемой с целью минимизации среднего времени пребывания запросов и позволяющей учитывать задержки отображения числа активных узлов, формирующих запросы.
Ключевые слова: отказоустойчивость, распределение запросов, кластер, оптимизация, адаптация.
Введение. Распределенные вычислительные системы должны характеризоваться минимальными задержками обслуживания при максимальных надежности, отказоустойчивости и производительности системы [1—3]. Эффективность распределенных компьютерных систем достигается при их адаптации к отказам, к изменениям параметров потоков запросов и состояний очередей узлов [3—5], в том числе в результате динамического перераспределения запросов между узлами компьютерной системы [4—9].
Адаптивное перераспределение запросов в реальном времени приводит, с одной стороны, к балансировке загрузки и росту эффективности системы (уменьшению среднего времени пребывания запросов), а с другой — к ее падению из-за дополнительных задержек, связанных с отображением состояний узлов. Это и определяет необходимость оптимизации процесса перераспределения запросов в вычислительных системах, включая объединение через распределенную инфраструктуру множества ресурсов, доступных из любой точки системы.
